CN114528879A - 轴承故障周期自动检测方法和系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种轴承故障周期自动检测方法和系统，包括：通过传感器从故障轴承上收集振动信号；将振动信号进行划分重组，拼合成两段子信号；对每段子信号采用NRC算法处理，加权求和得到EnNRC统计量；构造缩减置信区间；从EnNRC统计量的最高峰开始，向之前的波峰构造波峰差统计量，并构建动态置信区间，检查区间内是否有其他波峰，若存在则从区间内的最高波峰开始下一次假设检验，迭代到区间内不存在其他波峰为止，此时的波峰为算法检测到的故障真实周期。本发明通过迭代假设检验比较存在干扰效应的周期性波峰及其他非周期波峰，逐步消除局部最优的误导效应，提高了周期检测的精度。

Description

轴承故障周期自动检测方法和系统

技术领域

本发明涉及轴承故障检测技术领域，具体地，涉及一种轴承故障周期自动检测方法和系统。

背景技术

轴承故障检测起源于工业发展初期的恒定工况，且已经积累了一定成果，该领域的研究已相对成熟。传统的检测技术大多基于振动信号的时域、频域等信息，通过提取并分析振动信号的相关特征，与健康状态下产生的振动信号的特征指标对比，分析设备当前的运行状态，判断是否存在潜在故障。

为了克服噪声的掩蔽效应所带来的困难，学者们在时域上设计了一些基准方法。Rabiner等人提出了一种自相关函数(ACF)来提取周期信号的周期波形特征，可以从时域变换信号中直观地识别周期。Huang等人提出了改进版的ACF——加权平均幅度差函数(AMDF)——用于声波基音提取。Variability Method和NRC算法通过多段子信号的相关性计算可以克服强背景噪声对周期信号周期检测的掩蔽效应。如果提供足够长的信号，这些方法下信号的周期性特征将不会被背景噪声所掩盖。基于这些时域上的变换信号，目前已经研究出一些自动估计周期的针对性方法。例如，Martin等人提出了一种使用AMDF周期图谱来检测周期的方法，Antoni等人提出了一种ACF和周期图谱方法结合的混合方法来自动识别周期，称为自动周期法(Autoperiod)。Wang等人还提出了一种正交子空间分解方法，利用经Variability Method变化后的特征信号来识别周期。在中强度背景噪声下，也有一些频域方法用以识别周期，比如周期图(periodogram)。基于Ramanujan和的变换最近也被设计出并用于研究频域信号。为了自动识别噪声信号的周期，一些利用最大似然估计(ML)的统计方法也逐渐兴起。Wise等人提出了一种带有惩罚系数的ML方法，即最大似然基音估计(MLPE)，用于从语音信号中估计基音周期。Ramírez等人提出了一种带正则项的近似最大似然估计方法，用于循环平稳信号的周期估计。这些方法通过定位似然函数的最大峰值来估计周期。

专利文献CN108106838B(申请号：CN201611122045.1)公开了一种机械故障精密诊断的整周期时域回归及报警方法，利用广义共振/共振解调方法和转速跟踪检测方法检测轴承、齿轮等故障的振动、冲击信号，通过自动修正每转跟踪采样点数后，先对原始信号按照分析的故障类型进行整周期截取，消除现场数据长度有限、非整周期采样造成频谱泄露及其与傅里叶变换频率分辨率之矛盾，可大大提高频谱定性的精准度，再对信号进行时域回归处理，其他无关信号成分的能量均不会产生干扰，最后利用级差公式对故障进行定量计算，可提高故障分类定量诊断的精准度。

现有研究中也提出了一些统计假设检验方法用于估计信号周期。例如，Dandawate等人提出了一种基于循环协方差和频谱的卡方检验方法来检测信号循环平稳性的存在并估计出信号的周期。最近，Horstmann等人中提出了一种多重假设检验方法，利用Holm’s的次序拒绝检验法来估计近似循环平稳信号的周期。这些假设检验方法是基于一种渐近广义似然比检验。通过确定具有最小p值的二进制检验的索引位置来估计周期。时域特征提取算法方法主要是在时域内提供能够消除背景噪声掩蔽效应的特征信号，且周期通常是通过基于人工经验的主观判断来识别。还有一些方法通过找出提取出的周期特征中的第一个波峰所在位置来确定周期，但由于轴承故障信号受到强背景噪声的干扰，最大波峰可能出现在任何倍数周期处，故这种识别方式没有任何的稳定性和说服力。由于强背景噪声的掩蔽效应，原始信号的频谱容易被噪声所掩盖，因此在强背景噪声下定位最大幅值频谱的简易判断方法不再能有效识别周期。因此，在频域上设计的传统方法不适用于一些信号被强背景噪声污染的应用。对于通过定位似然函数的最大峰值来估计周期的方法，似然函数在真实周期及其倍数上具有相似的统计性质，呈现出的峰值也是相似的，导致对基于最大峰值的周期识别有一定的误导效应。

因此，简单地定位具有最大似然估计值的位置以识别信号周期可能会识别出位于倍数周期位置的错误峰值，最终造成周期误诊。通过确定具有最小p值的二进制检验的索引位置来估计周期的方法同样面临周期倍数相似统计性质的干扰，即周期信号在真实周期及其倍数处会产生相似的p值。因此，假设检验方法同样可能会错误地将倍数周期识别为信号的真实周期。

因此，时域变换后的信号(如自相关系数、似然值和p值)在真实周期及其倍数处通常具有相似的视觉特征和统计特征，呈现出具有误导效应的局部最优现象。这种局部最优现象的误导效应使得针对性的周期估计算法、最大似然周期估计算法和假设检验类方法容易出现很高的误报和漏报概率，且除了假设检验算法，其他算法的误报、漏报概率都是不可控的，使得周期估计非常困难。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种轴承故障周期自动检测方法和系统。

根据本发明提供的轴承故障周期自动检测方法，包括：

步骤1：通过传感器从故障轴承上收集振动信号；

步骤2：将振动信号进行划分，将奇、偶片段分别重组，拼合成两段子信号；

步骤3：对每段子信号采用NRC算法处理，加权求和得到EnNRC统计量；

步骤4：利用该统计量进一步构造波峰差统计量；

步骤5：构造基于动态显著性水平的缩减置信区间；

步骤6：从EnNRC统计量的最高峰开始，向之前的波峰构造波峰差统计量，并构建动态置信区间，检查区间内是否有其他波峰，若存在其他波峰，则从区间内的最高波峰开始下一次假设检验，一直迭代到区间内不存在其他波峰为止，此时的波峰为算法检测到的故障真实周期。

优选的，将收集的故障轴承运转产生的周期脉冲信号y(t)分解为真实故障信号x(t)和背景噪声∈(t)，则有：y(t)＝x(t)+∈(t)，其中，∈(t)～N(0，σ²)；

定义时间序列y＝[y(1)，y(2)，...，y(l)]^T为y(t)的离散观测值，l为样本总数；x＝[x(1)，x(2)，...，x(l)]^T，∈＝[∈(1)，∈(2)，...，∈(l)]^T；

则信号y表示为：y＝x+∈，∈～N(0，σ²I_l)，I_l为大小为l×l的单位矩阵；

设故障信号x(t)的周期为T₀，T₀＝p₀/f_s，其中，p₀＞1为一个周期内的样本数目，f_s为采样频率；

通过NRC算法将信号y划分为

段，第k个信号片段y_k＝[y((k-1)n+1)，…，y(kn)]，其中k＝1，2，…，m；n是每段信号中样本数目；

则EnNRC统计量表示为：

其中，i、j为序列号；若l％n≠0，则信号被划分为2m+1段；

奇数段的信号片段长度为：n₁＝l-mn，其中

偶数段的信号片段长度为：n₂＝n-n₁；

将奇数段信号重新拼合成新的子信号：

将偶数段信号重新拼合成新的子信号：

在y_o和y_e上分别构造NRC函数，得到：

其中，

EnNRC统计量为

和

的加权和，记作

表达式为：

其中，ω_o＝o_nn₁/l，ω_e＝e_nn₂/l。

优选的，EnNRC统计量的表达式为：

定义l％n＝0时y_j，1为空，y_j，2＝y_j，并且两个空向量的内积为0，对于所有i和j，

故对于任意l，EnNRC统计量统一为：

的表达式改写成矩阵形式：

其中，

是大小为l×l的矩阵：

其中，M_n是由O_n和E_n构成的块对角矩阵，

且：

在真实信号x和背景噪声∈上用同样方式划分信号并构造EnNRC统计量：

从而

改写为：

的均值和方差为：

的期望不大于真实信号x的平均能量

根据柯西-施瓦茨不等式：

其中，

当且仅当n∈N时等式成立；当l趋向于无穷时，

依概率收敛于

优选的，最高波峰出现在故障真实周期

及其倍数处的概率随着信号长度l→∞收敛到1，表达式为：

其中，

对任意n≤K及

随着l→∞，概率表达式为：

噪声项

对任意待检测波峰p和备选波峰q服从近似正态分布，表达式为：

当

时，所提出的假设检验统计量

与未知信号x有关；而对于任意p和q，波峰差

都是有界的，表达式为：

为故障的真实周期波峰；

为目标周期波峰，当且仅当q∈N时等号成立；

根据这一不等式，构造任意q值下的零假设的有界接受域：

其中，δ是控制接受域大小的参数；

构造任意q值下的零假设的缩减接受域为：

缩减接受域由以下公式得到，对所有p和q，有：

等价表示为：

Tr(C_pC_p+C_qC_q-2C_pC_q)≥Tr(C_pC_p-C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立，验证该不等式等同于验证不等式：

Tr(C_pC_q)≤Tr(C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立；

的每个列向量都是周期为n的周期序列，而p％q＝0时，有：

因此：

所以当p％q＝0时，有：

Tr((C_p-C_q)C_q)＝Tr(-(C_p-C_q)D_q)＝0

不等式中等式成立的条件为p％q＝0，而p％q≠0时，得到：

Tr(C_pC_q)＜Tr(C_kC_q)＝Tr(C_qC_q)

其中，k是p和q的公倍数。

优选的，在接受域中存在多个显著波峰时，选择接受p值最大的

表达式为：

令

一直迭代到：

当

时，接受域

里不存在新的波峰

通过NRC算法中的噪声估计法对σ²进行估计，表达式为：

基于动态显著性水平设计迭代假设检验IHTDSL用于故障周期自动检测，IHTDSL的接受域

从故障信号中迭代学习，置信水平δ在每次迭代中根据下式动态估计：

其中，γ∈(0，1)，

为本次假设检验的待检测波峰；

终止条件简化为：

通过估计IHTDSL中的δ值来动态控制显著性水平，每次迭代中的自适应接受域都在第一类错误和第二类错误之间实现平衡，使两者都收敛于0，表现为故障周期的误判和漏判都在信号足够长时消失。

根据本发明提供的轴承故障周期自动检测系统，包括：

模块M1：通过传感器从故障轴承上收集振动信号；

模块M2：将振动信号进行划分，将奇、偶片段分别重组，拼合成两段子信号；

模块M3：对每段子信号采用NRC算法处理，加权求和得到EnNRC统计量；

模块M4：利用该统计量进一步构造波峰差统计量；

模块M5：构造基于动态显著性水平的缩减置信区间；

模块M6：从EnNRC统计量的最高峰开始，向之前的波峰构造波峰差统计量，并构建动态置信区间，检查区间内是否有其他波峰，若存在其他波峰，则从区间内的最高波峰开始下一次假设检验，一直迭代到区间内不存在其他波峰为止，此时的波峰为算法检测到的故障真实周期。

优选的，将收集的故障轴承运转产生的周期脉冲信号y(t)分解为真实故障信号x(t)和背景噪声∈(t)，则有：y(t)＝x(t)+∈(t)，其中，∈(t)～N(0，σ²)；

定义时间序列y＝[y(1)，y(2)，...，y(l)]^T为y(t)的离散观测值，l为样本总数；x＝[x(1)，x(2)，...，x(l)]^T，∈＝[∈(1)，∈(2)，...，∈(l)]^T；

则信号y表示为：y＝x+∈，∈～N(0，σ²I_l)，I_l为大小为l×l的单位矩阵；

设故障信号x(t)的周期为T₀，T₀＝p₀/f_s，其中，p₀＞1为一个周期内的样本数目，f_s为采样频率；

通过NRC算法将信号y划分为

段，第k个信号片段y_k＝[y((k-1)n+1)，…，y(kn)]，其中k＝1，2，…，m；n是每段信号中样本数目；

则EnNRC统计量表示为：

其中，i、j为序列号；若l％n≠0，则信号被划分为2m+1段；

奇数段的信号片段长度为：n₁＝l-mn，其中

偶数段的信号片段长度为：n₂＝n-n₁；

将奇数段信号重新拼合成新的子信号：

将偶数段信号重新拼合成新的子信号：

在y_o和y_e上分别构造NRC函数，得到：

其中，

EnNRC统计量为

和

的加权和，记作

表达式为：

其中，ω_o＝o_nn₁/l，ω_e＝e_nn₂/l。

优选的，EnNRC统计量的表达式为：

定义l％n＝0时y_j，1为空，y_j，2＝y_j，并且两个空向量的内积为0，对于所有i和j，

故对于任意l，EnNRC统计量统一为：

的表达式改写成矩阵形式：

其中，

是大小为l×l的矩阵：

其中，M_n是由O_n和E_n构成的块对角矩阵，

且：

在真实信号x和背景噪声∈上用同样方式划分信号并构造EnNRC统计量：

从而

改写为：

的均值和方差为：

的期望不大于真实信号x的平均能量

根据柯西-施瓦茨不等式：

其中，

当且仅当n∈N时等式成立；当l趋向于无穷时，

依概率收敛于

优选的，最高波峰出现在故障真实周期

及其倍数处的概率随着信号长度l→∞收敛到1，表达式为：

其中，

对任意n≤K及

随着l→∞，概率表达式为：

噪声项

对任意待检测波峰p和备选波峰q服从近似正态分布，表达式为：

当

时，所提出的假设检验统计量

与未知信号x有关；而对于任意p和q，波峰差

都是有界的，表达式为：

为故障的真实周期波峰；

为目标周期波峰，当且仅当q∈N时等号成立；

根据这一不等式，构造任意q值下的零假设的有界接受域：

其中，δ是控制接受域大小的参数；

构造任意q值下的零假设的缩减接受域为：

缩减接受域由以下公式得到，对所有p和q，有：

等价表示为：

Tr(C_pC_p+C_qC_q-2C_pC_q)≥Tr(C_pC_p-C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立，验证该不等式等同于验证不等式：

Tr(C_pC_q)≤Tr(C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立；

的每个列向量都是周期为n的周期序列，而p％q＝0时，有：

因此：

所以当p％q＝0时，有：

Tr((C_p-C_q)C_q)＝Tr(-(C_p-C_q)D_q)＝0

不等式中等式成立的条件为p％q＝0，而p％q≠0时，得到：

Tr(C_pC_q)＜Tr(C_kC_q)＝Tr(C_qC_q)

其中，k是p和q的公倍数。

优选的，在接受域中存在多个显著波峰时，选择接受p值最大的

表达式为：

令

一直迭代到：

当

时，接受域

里不存在新的波峰

通过NRC算法中的噪声估计法对σ²进行估计，表达式为：

基于动态显著性水平设计迭代假设检验IHTDSL用于故障周期自动检测，IHTDSL的接受域

从故障信号中迭代学习，置信水平δ在每次迭代中根据下式动态估计：

其中，γ∈(0，1)，

为本次假设检验的待检测波峰；

终止条件简化为：

通过估计IHTDSL中的δ值来动态控制显著性水平，每次迭代中的自适应接受域都在第一类错误和第二类错误之间实现平衡，使两者都收敛于0，表现为故障周期的误判和漏判都在信号足够长时消失。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

(1)本发明通过动态置信区间平衡假设检验过程中的第一类、第二类错误，也能在信号足够长时消除故障周期的误报和漏报；

(2)本发明通过迭代假设检验比较存在干扰效应的周期性波峰及其他非周期波峰，逐步消除局部最优的误导效应，提高了周期检测的精度；

(3)本发明可以将该算法应用于其他本质为周期检测的应用。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1为算法实施流程图；

图2为ACF典型波形图；

图3为NRC典型波形图；

图4为EnNRC信号划分方式示意图；

图5为迭代假设检验第一步的有界接受域和缩减接受域示意图(δ＝3)；

图6为迭代假设检验最后一步的有界接受域和缩减接受域示意图(δ＝3)；

图7a和图7b分别为仿真信号x(n)和y(n)的示意图；

图8为轴承振动信号故障周期检测精度示意图(CWRU实验)。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变化和改进。这些都属于本发明的保护范围。

实施例：

轴承出现单点故障时最明显的特征就是匀速转动时，振动信号会呈现出周期性特征，即故障有着一定的频率。该频率可以利用轴承的参数以及电机的转速计算得到。然而，由于设备的整体性和转速的不稳定性，且轴承随着使用时间的增加会产生一定磨损，实际参数会发生变化，实际应用中理论上的故障频率无法通过这种方式计算得到。因此，设计算法及时通过振动信号捕捉轴承故障周期，对轴承周期性故障成分的提取及后期的诊断是十分必要的。

故障轴承运转产生的周期脉冲信号y(t)可分解为真实故障信号x(t)和背景噪声∈(t)，即：

y(t)＝x(t)+∈(t)

其中，∈(t)～N(0，σ²)。

时间序列y＝[y(1)，y(2)，...，y(Ll)]^T为y(t)的离散观测值，也即振动传感器在轴承上能收集到的信号形式，其中l为样本总数。类似地，定义x＝[x(1)，x(2)，...，x(l)]^T，以及∈＝[∈(1)，∈(2)，...，∈(l)]^T。信号y可以表示为：

y＝x+∈

其中，∈～N(0，σ²I_l)，I_l为大小为l×l的单位矩阵。假设故障信号x(t)的周期为T₀，T₀＝p₀/f_s，其中p₀＞1为一个周期内的样本数目，f_s为采样频率。本发明还假设故障信号x的平均能量

是有界的。

大多数自相关类函数可以写为以下形式：

其中，C_n是大小为l×l的矩阵。如果C_n不是对称矩阵，则可以用

来替代C_n，故不失普遍性，可以假设C_n为对称矩阵。例如，Rabiner等人提出的ACF算法可表示为：

其中l≥n。该等式可被进一步改写成二次型形式：

R_n为l×l的矩阵，该矩阵在第n个非对角线处为单位元素，其余均为0。ACF典型波形图如图2所示。

NRC算法将信号y划分为

段，第k个信号片段y_k＝[y((k-1)n+1)，…，y(kn)]，其中k＝1，2，…，m，n是每段信号中样本数目。NRC也是基于自相关算法设计的统计量，表示为：

可以看出，NRC统计量中并未考虑信号分段后最后一段长度为n₁＝l-mn的残余片段，故NRC一定程度上并未完全利用原始故障振动信号中的全部信息。类似地，NRC统计量可以改写为二次型：

其中，I_n为n×n的单位矩阵，0_n为n×n的零矩阵，

为n1×n的零矩阵。NRC典型波形图如图3所示。

由于信号y的周期性特征，

的波形图通常在周期位置会出现明显的波峰，即

在n∈N，N＝{p₀，2p₀，3p₀，…}时出现局部最优值。n∈N时

的波峰称为周期峰，而

时出现的波峰称为非周期峰。然而，这些周期峰值统计性质的相似性使得周期估计算法很容易出现故障误报和漏报，因为算法可能会被这些局部最优周期峰值所误导。因此，识别正确峰值所处的真实周期是相当困难的。具体而言，传统优化算法擅长通过以下方式找到搜索区域的最高峰值[1，K]：

其中，K＞2p₀，

是最高峰

的坐标。在n≤≤K时，如果

有两个相同的最高峰，则返回坐标更小的峰值所在位置，即返回第一个最大峰值所在的位置。

按照这一方法找到的图2和3中的最高峰，并不是信号的真实周期所在位置，可能是信号真实周期的倍数。

在MLPE中提出的似然函数也可以写成二次型形式。这个似然函数的波形与NRC函数非常相似，呈现周期性的波峰。尽管使用了惩罚项来增强坐标较小的周期峰，MLPE统计量呈现的这些周期峰仍然具有相当大的误导性。因此，由于周期峰的误导作用，正确识别似然函数真实周期处的波峰也是相当困难的。

这种误导效应使得许多实际轴承故障检测应用中严重依赖领域知识和主观判断来识别故障周期，反馈的信息不够及时和可靠。为满足实际生产中对轴承故障周期准确而快速的估计而非人工参与周期识别的迫切需求，设计一种稳健的周期估计方法解决上述局部最优导致的的误导效应，从而确定真实周期，是至关重要和紧迫的。

简单地识别最大峰值可能会导致倍数周期错误，因为真正的峰值可能位于

之前的位置(即

)。要确定最高峰

是否为真实周期处的波峰，需要将该波峰与其之前的波峰进行比较，否则容易造成很高的误检率。因此，为了降低误检率，需要将最大波峰

与任何位于其之前的波峰

进行统计上的比较。

从统计上比较两个波峰可以利用统计假设检验完成。本发明提出以下假设检验：

来比较待检测波峰

与其他备选波峰

如果所有的

都明显小于

就可以认定

是故障的真实周期。如果存在显著接近

的波峰

则可以拒绝

位于真实周期处的假设，并重复假设检验过程以验证

是否为目标周期波峰。图2中两个标记的波峰在统计上可认为是显著相等的，这表明第一步搜索到的最大峰

可能不是正确的周期波峰。

本发明将对故障特征统计量两个可能位于周期处的备选波峰进行比较，以消除倍数周期波峰的误导效应。构造新的统计量：

即两个波峰的差值。基于这一统计量，可以采用迭代假设检验方法来从统计学上找到真实周期。

本发明拟设计Enhanced Noise Resistant Correlation(EnNRC)算法对轴承故障特征进行提取，这一步是为了初步削弱背景噪声的掩蔽效应，增强故障特征。它不仅具有与NRC相似的统计性质，还具有方便构造迭代假设检验的特殊统计性质。与NRC类似，EnNRC也将传感器收集到的振动信号划分为若干信号片段。如果信号能正好被划分为m段，每段信号有n个点(即l％n＝0)，EnNRC函数的构造方式与NRC完全相同。在这种情况下，EnNRC统计量可以表示为：

如果信号不能被恰好划分(即l％n≠0)，则信号被划分为2m+1段。图4展示了这种情况下信号的具体划分方式。由图可知，奇数段的信号片段长度为n₁＝l-mn，其中

偶数段信号片段长度为n₂＝n-n₁。

将奇数段信号重新拼合成新的子信号：

而将偶数段信号重新拼合成：

在y_o和y_e上分别构造NRC函数，得到：

其中，

(不小于l/n的最小整数)，

EnNRC统计量为

和

的加权和，记作

即：

其中，ω_o＝o_nn₁/l，ω_e＝e_nn₂/l。在该权重下，EnNRC会具有一些特殊的统计性质，将在下一节中详细讨论。

EnNRC统计量的完整形式为：

为了便于表示，定义l％n＝0时y_j，1为空，y_j，2＝y_j，且两个空向量的内积为0，即对于所有i和j，

故对于任意l，EnNRC统计量可以统一写成：

的表达式也可以改写成矩阵形式：

其中，

是大小为l×l的矩阵：

其中M_n是由O_n和E_n构成的块对角矩阵，

且：

在真实信号x和背景噪声∈上也可用同样方式划分信号并构造EnNRC统计量：

从而

可以进一步写成：

的均值和方差为：

尽管比起Q_n，C_n有着更复杂的矩阵结构，但EnNRC统计量与NRC统计量仍有着相似的统计性质。表明

的期望不大于真实信号x的平均能量

即根据柯西-施瓦茨不等式：

其中，

当且仅当n∈N时等式成立。当l趋向于无穷时(即l→∞)，

依概率收敛于

与NRC统计量类似，EnNRC统计量提取的故障特征也会呈现一些显著突出的波峰。最高波峰出现在故障真实周期及其倍数处的概率随着信号长度l→∞收敛到1，即：

其中，

对任意n≤K及

随着l→∞，则有：

表明最大波峰是周期波峰之一，然而最大波峰可能不位于p0处，因为所有周期波峰都有着相同的期望值，即：

且背景噪声导致的方差可能造成最大波峰出现在任意位置。这种在统计上具有误导性的相似性质表明，仅仅定位最大的波峰而不与其之前的波峰进行比较，识别出的周期可信度较低，很容易导致故障周期的误报和漏报。

考虑到真实故障信号x是未知的，从统计上比较任何基于相关性函数的统计量的波峰是非常困难的(如

和

)，这使得假设检验的解析拒绝域或接受域几乎不可能实现。然而，从另一个角度来看，EnNRC统计量可以很好地解决这一问题，因为对于任意p，q∈N，有：

这说明对于p，q∈N，

和

这两个波峰的差值只由背景噪声决定，而故障信号的背景噪声可以通过一定方法估算出来。因此，当p，q∈N时，仅研究

而非研究

就足以从统计上比较周期波峰。本发明将构造出一个特别的接受域，用于在假设检验中比较待检测波峰

和备选波峰

的精确概率分布可以用多种方法来计算，然而这些方法在l较大时都会出现插值效果差等问题。此外，为了克服背景噪声的掩蔽效应，在实际应用中一般都会收集足够长的信号来检测故障，这些方法如果要用数值积分来精确计算分布，则需要大量的计算时间，无法用于故障的在线检测。

本发明提出一种

的近似概率分布计算方法来解决这些难题。噪声项

对任意p和q服从近似正态分布，即：

然而，当

时，所提出的假设检验统计量

依然不可避免地与未知信号x有关，所以无法构造出准确的拒绝域或接受域。而对于任意p和q，波峰差

都是有界的，即：

当且仅当q∈N时等号成立。

根据这一不等式，可以构造任意q值下的零假设的有界接受域：

其中δ是控制接受域大小的参数。如图5所示，图中的区域即为假设检验的有界接受域。

与精确接受域相比，有界接受域具有一些特殊而重要的统计性质。首先，利用有界接受域进行假设检验时，当q∈N时，由于接受域大小不变，所以第一类错误和第二类错误率保持不变。其中第一类错误为

时错误地拒绝了零假设，而第二类错误为

时错误地接受了原假设。其次，当

时，由于有界接受域比精确接受域更窄，利用有界接受域进行假设检验会提高第一类错误率，降低第二类错误率。值得注意的是，由于

时出现的波峰都是非周期处的干扰波峰，故提高第一类错误率能有效地减少非周期波峰的接受域，即提高

的拒绝率反而能降低故障检测的误报率。因此，这两个性质表明，利用有界接受域进行假设检验有助于克服背景噪声污染导致的非周期波峰干扰，从而比精确接受域具有更高的故障周期检测精度。

然而，计算有界接受域非常耗费时间和内存，因为信号长度l通常相当大。因此，本研究进一步提出缩减接受域，如图5中的区域，以加快接受域的计算速度。任意q值下的零假设的缩减接受域为：

缩减接受域主要由以下公式得到：对所有p和q，有：

或等价表示为：

Tr(C_pC_p+C_qC_q-2C_pC_q)≥Tr(C_pC_p-C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立。验证该不等式等同于验证不等式：

Tr(C_pC_q)≤Tr(C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立。可以看出，

的每个列向量都是周期为n的周期序列，而p％q＝0时，有：

因此：

所以当p％q＝0时，有：

Tr((C_p-C_q)C_q)＝Tr(-(C_p-C_q)D_q)＝0

即不等式中等式成立的条件为p％q＝0。而p％q≠0时，可以得到：

Tr(C_pC_q)＜Tr(C_kC_q)＝Tr(C_qC_q)

其中k是p和q的公倍数。该不等式成立是因为C_k的非零元素比C_p对应位置的元素更大。不等式的取等条件说明基于缩减接受域的假设检验在

时依然保持相同的第一类错误率和第二类错误率。这一结论意味着至少在q＝p0时假设检验还保持着相同的误报率，因为

也就是说，使用缩减接受域时接受故障真实周期波峰的概率保持不变。使用缩减接受域的另一个好处是减少了其他不满足

的周期波峰

的接受率，一定程度上削弱了倍数周期波峰的误导效应。此外，与有界接受域类似，在

时，由于基于缩减接受域的假设检验使用了较窄的接受域，可以在很大程度上缓解背景噪声的掩蔽效应。如图5所示，有界接受域和缩减接受域均可以覆盖真实周期处的波峰，但缩减接受域覆盖的非周期波峰比有界接受域少的多，从而提高了判断和计算效率。

然而，接受域中可能不止存在一个

如图4所示，在接受域中共有3个显著波峰。在这种情况下，选择接受p值最大的

与通过简单优化指标(如似然性或p值)确定周期的传统方法类似，通过上式得到的

可能不是真实周期，这是由周期波峰的误导效应导致的。因此，这种定位统计量最大值来识别周期的一次性算法不能有效地克服误导效应。为了进一步解决这一问题，新找到的波峰

也应该继续与其之前的波峰进行比较，故需要重复上节提出的假设检验过程，将该波峰视为新的最大波峰，即令

一直迭代到：

也就是

时接受域

里不存在新的波峰

表1给出了迭代假设检验过程的详细步骤。图6为满足上式中终止条件时最后一次假设检验的接受区域。从图中可以看出，在最后找到的波峰之前，没有其他波峰位于接受域，则该波峰位于故障真实周期，该迭代假设检验过程可以有效克服倍数周期波峰的误导效应。

表1迭代假设检验算法流程

一般来说，确定置信区间时，参数δ都是固定的，如选择δ＝3，因为待测统计量一般都服从正态分布。使用固定置信水平(δ值固定)的迭代假设检验方法被称为IHTFSL(Iterative Hypothesis Testing on Fixed Significance Level)。由于实际应用中背景噪声大小σ²是未知的，故参考NRC算法中的噪声估计方法来估计σ²：

利用估计的σ²，执行IHTFSL时可计算出接受域。

然而，使用固定的显著性水平不可避免地会导致固定的第一类错误率，即使信号足够长。而当信号长度较短时，较小的显著水平会导致较高的第二类错误率，反之亦然。此外，同时减少第一类和第二类错误几乎是不可能的，因为在l保持不变的情况下，一种错误的减少几乎肯定会增加另一种错误。这些矛盾表明，在第一类错误和第二类错误之间找到更好的平衡可以有效地降低故障误报和漏报率。

为了克服这一矛盾，本发明将改进常用的固定置信区间的假设检验，基于动态显著性水平来设计迭代假设检验(IHTDSL)用于故障周期自动检测。IHTDSL的接受域

从故障信号中迭代学习，其中δ在每次迭代中根据以下公式动态估计：

其中γ∈(0，1)，

为本次假设检验的待检测波峰。大量仿真和实验研究表明，在大多数情况下，q＜p₀时的非周期波峰

的期望值通常小于

的一半。因此，在迭代假设检验过程中选择γ≤0.5是完全合理的。仿真和实验研究结果还表明，γ＝0.5时IHTDSL通常具有更高的故障周期检测精度。

终止条件可以简化为：

可以看出，此时的终止条件不再取决于未知的σ²，这是IHTDSL优于IHTFSL的第一个优点。第二个优点是随着信号长度趋于无穷，周期检测的第一类错误率和第二类错误率都会收敛于0。在传统的假设检验方法中增加数据样本的数量通常有助于减少第二类错误，而手动指定的第一类错误率保持不变。然而，通过估计IHTDSL中的δ值来动态控制显著性水平，每次迭代中的自适应接受域都能在第一类错误和第二类错误之间实现很好的平衡，使两者都收敛于0，表现为故障周期的误判和漏判都会在信号足够长时消失。

算法构建流程如图1所示，步骤如下：

1、利用传感器从故障轴承上收集振动信号y(t)；

2、以图4所示的方式将信号进行再划分，将奇、偶片段分别重组，拼合成两段子信号；

3、对每段子信号采用NRC算法处理，加权求和得到EnNRC统计量；

4、利用该统计量进一步构造波峰差统计量；

5、构造基于动态显著性水平的缩减置信区间，可令γ＝0.5；

6、从EnNRC统计量的最高峰开始，向之前的波峰构造波峰差统计量，并构建动态置信区间，检查区间内是否有其他波峰；

若存在其他波峰，则从区间内的最高波峰开始下一次假设检验，一直迭代到区间内不存在其他波峰为止，此时的波峰便可认为是算法检测到的故障真实周期。

优选地，本发明还包括：仿真验证；

本部分将所提出的IHTDSL和IHTFSL的性能进行比较，使用周期瞬态信号来模拟周期信号x：

其中ζ＝0.01为阻尼比，f＝10Hz为固有频率，p₀＝400为一个周期内样本点数目，f_s＝200Hz为采样频率。此外，还添加了强度为σ²＝4的背景噪声，合成被背景噪声污染的信号y(n)，波形如图7a和图7b所示。该信号的信噪比约为-19dB。

合成的仿真信号长度在10000～150000个点不等，每种长度的信号进行200次测试，且每种方法的周期识别区间为[1，2500]，即K＝2500。根据200次测试中周期检测正确次数

计算每种信号长度下的周期检测精度，结果如表2所示。

表2不同γ和l组合下IHTDSL、IHTFSL、NRCPE和MLPE周期检测精度

从表2结果可以看出，当γ取值较大时，IHTDSL具有较高的周期检测精度。随着信号长度的增加，所有γ取值下IHTDSL的精度均收敛到1，这进一步证明了：信号长度趋于无穷时误检率将收敛到0。周期检测精度收敛到1的速度随着γ值的增大而增大，收敛速度在γ≥0.5时不会继续增大，这也解释了为什么γ＝0.5时周期检测精度收敛速度反而不如γ＝0.4时快。一般来说，由于γ＝0.5在大多数应用场景下的周期检测精度已足够适用，在使用IHTDSL方法时建议选择γ＝0.5。

同样地，如果δ值保持不变，IHTFSL在处理更长的信号时具有更高的周期检测精度，这是因为增加信号长度可以有效减小第二类错误率。然而，IHTFSL使用固定的显著性水平，因此即使信号足够长，第一类错误率始终是固定不变的，如表2中所示，在δ＝2时，在信号长度足够长的情况下，IHTFSL的周期检测精度依然在一定水平上下波动。这种波动会随着δ值的增加而减小，因为δ值的增大降低了第一类错误率。

当信号长度固定时，增大δ并不一定能提高周期检测精度。例如，当信号长度足够长(l≥30000)时，周期检测精度随着δ的增大而增大，因为在这种情况下第二类错误率远远小于第一类错误率。然而，在信号长度较短(l≤20000)时，第二类错误率相对较大，此时的周期检测精度不仅仅受第一类错误率支配，而是两者共同影响，随着δ的增大，周期检测精度先增大后减小，并没有呈现出明显的上升趋势。周期检测精度在不同δ取值上的非递增趋势表明，根据不同情况动态选择合适的δ，即自适应平衡第一类和第二类错误，可以降低周期检测的误报率。

实验验证——轴承故障周期检测

轴承是旋转机械的关键部件。当轴承发生故障时，从故障轴承采集到的信号会呈现周期性特征，因此可以对信号进行周期分析来检测故障。本实验使用CWRU轴承实验数据来比较IHTDSL、IHTFSL轴承故障周期检测效果，采样频率为48kHz，用于驱动端轴承实验。实验中使用的测试故障轴承为62052RS JEM SKF深沟球轴承。轴承外圈故障直径为0.007英寸，该单点故障通过电火花加工产生。轴承具体工作参数如表3所示。轴承故障周期经计算约为9.3ms，即一个周期内的样本点约为446个。

表3测试轴承62052RS JEM SKF工作参数

表3(续)测试轴承62052RS JEM SKF工作参数

本案例研究从采集到的振动信号中随机抽取长度为l的子信号，其中l＝2500，3000，3500，…，6000。对每种长度随机抽取200条子信号来检测不同长度上IHTDSL和IHTFSL的周期检测精度。周期检测范围设置为[1，1200]，即K＝1200。每种方法的周期检测正确率(即满足

)如图8所示。

从图8可以看出，当待测信号长度较短时，所有方法的周期检测精度都比较低，主要由于短信号的背景噪声掩蔽效应较强，如果随机产生的非周期波峰具有与真实周期波峰相似的高度(甚至比真实周期波峰更高)，那么识别真实周期波峰几乎是不可能的，从而导致周期误报。然而，在这种情况下，本章提出的IHTDSL方法仍然优于传统方法。

随着信号长度逐渐增大，γ＝0.4和γ＝0.5时的IHTDSL方法的周期检测精度稳步上升，且明显优于其他方法。相比之下，IHTFSL的性能很大程度取决于δ的选择。采用δ＝3的IHTFSL精度最低，而当δ设置为30时，IHTFSL的精度得到了显著提高，说明简单地固定δ值并不能很好地适应具有不同噪声条件的信号。

IHTFSL的性能相对较差可能是因为所检测的信号可能不是严格周期性的，两个周期波峰之间的差异会受到周期波动的影响。因此，理论接受域太窄，不能覆盖真实周期波峰，导致了相当高的第一类错误率。这也可以解释为什么增大δ到30会大大提高周期检测的精度。这一结果表明，在假设检验中使用动态置信区间是十分必要的，因为在不同的应用背景下，手动确定合适的显著性水平相当困难。

本发明设计出能够对比并逐步排除局部最优值的统计方法，是降低轴承故障周期估计误诊率的重要思路和迫切需求。为了填补现有成果中对这一思路的研究空白，本技术将首先借用NRC的类似思路，设计增强抗噪声相关(EnNRC)函数来抵抗强背景噪声的掩蔽效应。在此基础上设计出一种迭代假设检验方法，逐步比较提出的EnNRC统计量的两个峰值。在迭代假设检验的每一步中动态计算接受区域，从而大大降低误报和漏报率。该方法通过迭代假设检验，动态地将备选最优值与其他局部最优值进行比较，最终排除局部最优的误导，消除故障周期误报和漏报，正确定位周期。

本发明提出了一种带有动态显著性水平的迭代假设检验方法，用于轴承单点故障信号的周期自动检测。首先提出了基于自相关函数设计的EnNRC函数用于提取信号特征。由于EnNRC特征信号波峰差的特殊统计性质，该统计量被作为假设检验的待测统计量，利用其统计性质特别设计原假设的接受域。为了充分克服周期波峰的误导效应，利用动态学习的显著性水平反复进行迭代假设检验，直到不再有明显的备选波峰。通过迭代假设检验，IHTDSL实现了第I类错误和第II类错误的平衡，并在信号足够长时消除了故障周期误报和漏报。

作为NRC的改进算法，基于EnNRC统计量设计的波峰差统计量和IHTDSL方法也同样适用于NRC算法，且由于自相关类算法统计量结构的相似性，通过简单适配则可将IHTDSL算法推广应用到这一类算法的改进。因此，本发明提出的IHTDSL具有一定的普适性，为自相关类特征提取算法的周期自动检测算法设计提供了理论支持和研究方向。

本领域技术人员知道，除了以纯计算机可读程序代码方式实现本发明提供的系统、装置及其各个模块以外，完全可以通过将方法步骤进行逻辑编程来使得本发明提供的系统、装置及其各个模块以逻辑门、开关、专用集成电路、可编程逻辑控制器以及嵌入式微控制器等的形式来实现相同程序。所以，本发明提供的系统、装置及其各个模块可以被认为是一种硬件部件，而对其内包括的用于实现各种程序的模块也可以视为硬件部件内的结构；也可以将用于实现各种功能的模块视为既可以是实现方法的软件程序又可以是硬件部件内的结构。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变化或修改，这并不影响本发明的实质内容。在不冲突的情况下，本申请的实施例和实施例中的特征可以任意相互组合。

Claims (10)

1.一种轴承故障周期自动检测方法，其特征在于，包括：

步骤1：通过传感器从故障轴承上收集振动信号；

步骤2：将振动信号进行划分，将奇、偶片段分别重组，拼合成两段子信号；

步骤3：对每段子信号采用NRC算法处理，加权求和得到EnNRC统计量；

步骤4：利用该统计量进一步构造波峰差统计量；

步骤5：构造基于动态显著性水平的缩减置信区间；

步骤6：从EnNRC统计量的最高峰开始，向之前的波峰构造波峰差统计量，并构建动态置信区间，检查区间内是否有其他波峰，若存在其他波峰，则从区间内的最高波峰开始下一次假设检验，一直迭代到区间内不存在其他波峰为止，此时的波峰为算法检测到的故障真实周期。

2.根据权利要求1所述的轴承故障周期自动检测方法，其特征在于，将收集的故障轴承运转产生的周期脉冲信号y(t)分解为真实故障信号x(t)和背景噪声∈(t)，则有：y(t)＝x(t)+∈(t)，其中，∈(t)～N(0，σ²)；

定义时间序列y＝[y(1)，y(2)，...，y(l)]^T为y(t)的离散观测值，l为样本总数；x＝[x(1)，x(2)，...，x(l)]^T，∈＝[∈(1)，∈(2)，...，∈(l)]^T；

则信号y表示为：y＝x+∈，∈～N(0，σ²I_l)，I_l为大小为l×l的单位矩阵；

设故障信号x(t)的周期为T₀，T₀＝p₀/f_s，其中，p₀＞1为一个周期内的样本数目，f_s为采样频率；

通过NRC算法将信号y划分为

段，第k个信号片段y_k＝[y((k-1)n+1)，…，y(kn)]，其中k＝1，2，…，m；n是每段信号中样本数目；

则EnNRC统计量表示为：

其中，i、j为序列号；若l％n≠0，则信号被划分为2m+1段；

奇数段的信号片段长度为：n₁＝l—mn，其中

偶数段的信号片段长度为：n₂＝n—n₁；

将奇数段信号重新拼合成新的子信号：

将偶数段信号重新拼合成新的子信号：

在y_o和y_e上分别构造NRC函数，得到：

其中，

EnNRC统计量为

和

的加权和，记作

表达式为：

其中，ω_o＝o_nn₁/l，ω_e＝e_nn₂/l。

3.根据权利要求2所述的轴承故障周期自动检测方法，其特征在于，EnNRC统计量的表达式为：

定义1％n＝0时y_j，1为空，y_j，2＝y_j，并且两个空向量的内积为0，对于所有i和j，

故对于任意l，EnNRC统计量统一为：

的表达式改写成矩阵形式：

其中，

是大小为l×l的矩阵：

其中，M_n是由O_n和E_n构成的块对角矩阵，

且：

在真实信号x和背景噪声∈上用同样方式划分信号并构造EnNRC统计量：

从而

改写为：

的均值和方差为：

的期望不大于真实信号x的平均能量

限据柯西-施瓦茨不等式：

其中，

当且仅当n∈N时等式成立；当l趋向于无穷时，

依概率收敛于

4.根据权利要求3所述的轴承故障周期自动检测方法，其特征在于，最高波峰出现在故障真实周期

及其倍数处的概率随着信号长度l→∞收敛到1，表达式为：

其中，

对任意n≤K及

随着l→∞，概率表达式为：

噪声项

对任意待检测波峰p和备选波峰q服从近似正态分布，表达式为：

当

时，所提出的假设检验统计量

与未知信号x有关；而对于任意p和q，波峰差

都是有界的，表达式为：

为故障的真实周期波峰；

为目标周期波峰，当且仅当q∈N时等号成立；

根据这一不等式，构造任意q值下的零假设的有界接受域：

其中，δ是控制接受域大小的参数；

构造任意q值下的零假设的缩减接受域为：

缩减接受域由以下公式得到，对所有p和q，有：

等价表示为：

当且仅当p％q＝0时等号成立，验证该不等式等同于验证不等式：

Tr(C_pC_q)≤Tr(C_qC_q)

当且仅当p％q＝0时等号成立；

的每个列向量都是周期为n的周期序列，而p％q＝0时，有：

因此：

所以当p％q＝0时，有：

Tr((C_p—C_q)C_q)＝Tr(-(C_p—C_q)D_q)＝0

不等式中等式成立的条件为p％q＝0，而p％q≠0时，得到：

Tr(C_pC_q)＜Tr(C_kC_q)＝Tr(C_qC_q)

其中，k是p和q的公倍数。

5.根据权利要求4所述的轴承故障周期自动检测方法，其特征在于，在接受域中存在多个显著波峰时，选择接受p值最大的

表达式为：

令

一直迭代到：

当

时，接受域

里不存在新的波峰

通过NRC算法中的噪声估计法对σ²进行估计，表达式为：

基于动态显著性水平设计迭代假设检验IHTDSL用于故障周期自动检测，IHTDSL的接受域

从故障信号中迭代学习，置信水平δ在每次迭代中根据下式动态估计：

其中，γ∈(0，1)，

为本次假设检验的待检测波峰；

终止条件简化为：

通过估计IHTDSL中的δ值来动态控制显著性水平，每次迭代中的自适应接受域都在第一类错误和第二类错误之间实现平衡，使两者都收敛于0，表现为故障周期的误判和漏判都在信号足够长时消失。

6.一种轴承故障周期自动检测系统，其特征在于，包括：

模块M1：通过传感器从故障轴承上收集振动信号；

模块M2：将振动信号进行划分，将奇、偶片段分别重组，拼合成两段子信号；

模块M3：对每段子信号采用NRC算法处理，加权求和得到EnNRC统计量；

模块M4：利用该统计量进一步构造波峰差统计量；

模块M5：构造基于动态显著性水平的缩减置信区间；

模块M6：从EnNRC统计量的最高峰开始，向之前的波峰构造波峰差统计量，并构建动态置信区间，检查区间内是否有其他波峰，若存在其他波峰，则从区间内的最高波峰开始下一次假设检验，一直迭代到区间内不存在其他波峰为止，此时的波峰为算法检测到的故障真实周期。

7.根据权利要求6所述的轴承故障周期自动检测系统，其特征在于，将收集的故障轴承运转产生的周期脉冲信号y(t)分解为真实故障信号x(t)和背景噪声∈(t)，则有：y(t)＝x(t)+∈(t)，其中，∈(t)～N(0，σ²)；

定义时间序列y＝[y(1)，y(2)，...，y(l)]^T为y(t)的离散观测值，l为样本总数；x＝[x(1)，x(2)，...，x(l)]^T，∈＝[∈(1)，∈(2)，...，∈(l)]^T；

则信号y表示为：y＝x+∈，∈～N(0，σ²I_l)，I_l为大小为l×l的单位矩阵；

设故障信号x(t)的周期为T₀，T₀＝p₀/f_s，其中，p₀＞1为一个周期内的样本数目，f_s为采样频率；

通过NRC算法将信号y划分为

段，第k个信号片段y_k＝[y((k-1)n+1)，…，y(kn)]，其中k＝1，2，…，m；n是每段信号中样本数目；

则EnNRC统计量表示为：

其中，i、j为序列号；若1％n≠0，则信号被划分为2m+1段；

奇数段的信号片段长度为：n₁＝l-mn，其中

偶数段的信号片段长度为：n₂＝n—n₁；

将奇数段信号重新拼合成新的子信号：

将偶数段信号重新拼合成新的子信号：

在y_o和y_e上分别构造NRC函数，得到：

其中，

EnNRC统计量为

和

的加权和，记作

表达式为：

其中，ω_o＝o_nn₁/l，ω_e＝e_nn₂/l。

8.根据权利要求7所述的轴承故障周期自动检测系统，其特征在于，EnNRC统计量的表达式为：

定义l％n＝0时y_j，1为空，y_j，2＝y_j，并且两个空向量的内积为0，对于所有i和j，

故对于任意l，EnNRC统计量统一为：

的表达式改写成矩阵形式：

其中，

是大小为l×l的矩阵：

其中，M_n是由O_n和E_n构成的块对角矩阵，

且：

在真实信号x和背景噪声∈上用同样方式划分信号并构造EnNRC统计量：

从而

改写为：

的均值和方差为：

的期望不大于真实信号x的平均能量

根据柯西-施瓦茨不等式：

其中，

当且仅当n∈N时等式成立；当l趋向于无穷时，

依概率收敛于

9.根据权利要求8所述的轴承故障周期自动检测系统，其特征在于，最高波峰出现在故障真实周期

及其倍数处的概率随着信号长度l→∞收敛到1，表达式为：

其中，

对任意n≤K及

随着l→∞，概率表达式为：

噪声项

对任意待检测波峰p和备选波峰q服从近似正态分布，表达式为：

当

时，所提出的假设检验统计量

与未知信号x有关；而对于任意p和q，波峰差

都是有界的，表达式为：

为故障的真实周期波峰；

为目标周期波峰，当且仅当q∈N时等号成立；

根据这一不等式，构造任意q值下的零假设的有界接受域：

其中，δ是控制接受域大小的参数；

构造任意q值下的零假设的缩减接受域为：

缩减接受域由以下公式得到，对所有p和q，有：

等价表示为：

当且仅当p％q＝0时等号成立，验证该不等式等同于验证不等式：

当且仅当p％q＝0时等号成立；

的每个列向量都是周期为n的周期序列，而p％q＝0时，有：

因此：

所以当p％q＝0时，有：

不等式中等式成立的条件为p％q＝0，而p％q≠0时，得到：

Tr(C_pC_q)＜Tr(C_kC_q)＝Tr(C_qC_q)

其中，k是p和q的公倍数。

10.根据权利要求9所述的轴承故障周期自动检测系统，其特征在于，在接受域中存在多个显著波峰时，选择接受p值最大的

表达式为：

令

一直迭代到：

当

时，接受域

里不存在新的波峰

通过NRC算法中的噪声估计法对σ²进行估计，表达式为：

基于动态显著性水平设计迭代假设检验IHTDSL用于故障周期自动检测，IHTDSL的接受域

从故障信号中迭代学习，置信水平δ在每次迭代中根据下式动态估计：

其中，γ∈(0，1)，

为本次假设检验的待检测波峰；

终止条件简化为：

通过估计IHTDSL中的δ值来动态控制显著性水平，每次迭代中的自适应接受域都在第一类错误和第二类错误之间实现平衡，使两者都收敛于0，表现为故障周期的误判和漏判都在信号足够长时消失。

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