CN114491831A - 一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹j积分方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，所述方法包括如下步骤：一、引入断裂相场模型的相场变量d，确定具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分表达式以及相应的有限元离散格式；二、建立含有弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格；三、调用断裂相场模型的计算子程序，采用牛顿‑拉普森方法求解断裂相场模型非线性控制方程；四、根据非均匀材料弥散裂纹J积分的有限元离散格式，基于有限元计算结果求解弥散裂纹尖端的特征量—应力强度因子K_I。本发明实现了对非均匀材料弥散裂纹尖端特征量的准确求解，弥补了传统断裂相场法无法准确刻画弥散裂纹尖端应力状态的不足。

Description

一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法

技术领域

本发明属于计算机模拟技术领域，涉及一种非均匀材料断裂问题求解方法，具体涉及一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法。

背景技术

非均匀材料(如功能梯度材料、复合材料等)兼具不同组分性能的优点，具有传统材料难以比拟的可设计性，在航空、航天等我国高端装备领域的应用愈加广泛。非均匀材料的断裂失效通常是初始损伤演化、裂纹形核以及裂纹失稳扩展等综合破坏效应的结果，然而现有断裂力学理论在描述它们的断裂失效行为时依然捉襟见肘甚至存在瓶颈。常见的断裂力学模型(如传统有限元法、扩展有限元法、单元删除法和内聚力法等)采用离散裂纹的描述方式，通过不连续的位移场来表征裂纹面特征，在模拟过程中需要追踪裂纹面拓扑。这些方法均以裂纹存在为前提，无法刻画材料的初始损伤演化和裂纹形核过程。断裂相场法是建立在连续损伤模型基础上的一种新的断裂力学模型，采用有限宽度的弥散区域来近似表征离散裂纹面。由于断裂相场法采用一个相场标量d表征全域材料的损伤状态且所有场变量均是全域连续的，该方法能够涵盖裂纹从无到有直至材料彻底断裂失效等一系列复杂物理现象，因此受到越来越多学者们的青睐。

断裂相场法具有两大特点：(1)通过引入裂纹表面密度γ(d,▽d)实现由相场序参量d表征的弥散裂纹代替传统的离散裂纹；(2)裂纹萌生及扩展演化过程由相场演化方程控制，而不需要额外的断裂准则。恰恰受限于以上两个特点，断裂相场法一方面无法准确捕捉裂纹尖端位置，因此难以对裂纹尖端特征量进行有效提取；另一方面相场演化方程对弥散裂纹扩展规律的影响机制并不清楚。其中，弥散裂纹尖端特征量的有效提取对于阐明相场演化方程对弥散裂纹扩展规律的影响机制至关重要。因此，提出一种能够有效提取弥散裂纹尖端特征量的计算方法对于断裂相场法的应用与发展具有十分重要的意义。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，通过引入相场相关变量，推导非均匀材料弥散裂纹的J积分表达式，理论证明弥散裂纹J积分的积分区域(尺寸和形状)无关性；基于有限元方法，对弥散裂纹J积分进行数值实现，对比传统断裂力学方法，验证弥散裂纹J积分的有效性，从而实现弥散裂纹尖端特征量的求解。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，包括如下步骤：

步骤一：引入断裂相场模型的相场变量d，推导非均匀材料弥散裂纹J积分满足积分区域无关性的充要条件，确定具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分表达式以及相应的有限元离散格式，其中：

具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分表达式为：

具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分的有限元离散格式为：

其中，q为光滑函数，σ_ij为应力张量，u_i为位移张量，ξ_j为相场应力，ψ_e为应变能，δ_ij为Kronecker函数(式中取i＝1)，

为对空间坐标x_i的偏导数，A为封闭曲线Γ包围的面积，N_e为积分区域内的单元数，m为每个单元内的积分点个数，|J|_p为某一积分点p的雅各比行列式，w_p为该积分点的权重，i,j＝1,2；

步骤二：借助有限元软件，建立含有弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格，对弥散裂纹尖端附近区域进行网格细化以满足有限元计算的收敛性要求，定义边界条件、载荷信息和材料属性信息等；

步骤三：针对步骤二建立的含有弥散裂纹的有限元模型，通过有限元软件调用断裂相场模型的计算子程序，采用牛顿-拉普森方法求解断裂相场模型非线性控制方程，输出载荷、位移、应力、应变和相场分布等信息；

步骤四：根据步骤一的非均匀材料弥散裂纹J积分的有限元离散格式，编写非均匀材料弥散裂纹J积分的计算程序；基于步骤三的有限元计算结果求解弥散裂纹尖端的特征量—应力强度因子K_I，其中：

应力强度因子K_I的计算公式如下：

其中，

为非均匀材料弥散裂纹J积分，E_tip和ν_tip分别为裂纹尖端处的杨氏模量和泊松比。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、本发明引入断裂相场模型的相场变量d，通过构造弥散裂纹尖端的区域守恒积分求解非均匀材料弥散裂纹尖端特征量(应力强度因子K_I)。相比于传统方法，本发明对于非均匀材料仍然具有积分区域无关性，实现了对非均匀材料弥散裂纹尖端特征量(应力强度因子K_I)的准确求解，弥补了传统断裂相场法无法准确刻画弥散裂纹尖端应力状态的不足。

2、通过改变模型信息、边界条件、载荷信息、材料属性信息等，本发明可以实现对不同材料在不同应力状态下的弥散裂纹尖端特征量(应力强度因子K_I)的求解。

3、本发明的方法适用于具有复杂材料属性的非均匀材料断裂问题，计算精度及效率高，基于通用有限元计算软件平台开发实现，通用性灵活性强。

附图说明

图1为基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法的流程框图；

图2为含单边裂纹受拉非均匀材料试样的几何形状、边界条件、载荷和材料属性设置示意图；

图3为含单边裂纹受拉非均匀材料试样的有限元网格示意图；

图4为采用断裂相场法模拟的非均匀材料试样的弥散裂纹形貌图；

图5为采用非均匀材料弥散裂纹J积分求解的应力强度因子与理论解、均匀材料弥散裂纹J积分计算结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

如图1所示，本发明提供了一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，获得国家自然科学基金(项目批准号：12002106)和机械结构强度与振动国家重点实验室(西安交通大学)开放课题(项目批准号：SV2021-KF-07)的支持。所述方法包括如下步骤：

步骤一：针对断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹模型，引入相场变量d，量化材料非均匀性和相场变量对J积分守恒性的影响。非均匀材料的基本材料属性(如杨氏模量、泊松比等)和相应的断裂相场法输入参数(特征长度参数、断裂能密度等)均是空间位置的函数，对空间坐标的导数一般不为0，因此，综合考虑这些因素对J积分守恒性的影响，推导具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分表达式，推导结果如下：

ψ＝ψ_e+ψ_f；

其中，

为弥散裂纹的能量-动量张量，Γ为包围着弥散裂纹尖端的任意一条封闭曲线，A为封闭曲线Γ包围的面积，n_j为封闭曲线Γ的外法线单位向量，ψ为系统自由能，ψ_e为应变能，ψ_f为断裂能，δ_ij为Kronecker函数(式中取i＝1)，σ_ij为应力张量，u_i为位移张量，ξ_j为相场应力，

为对空间坐标x_i的偏导数，g(d)为能量退化函数，C_ijkl(x)为材料的四阶刚度张量，ε_ij和ε_kl为应变张量，g_f(x)为断裂能密度(即形成单位面积的弥散裂纹所需的能量)，l_c(x)为长度尺度参数，ω_d为几何函数，c_ω为一个与几何函数相关的缩放系数，

为哈密顿微分算子，i,j,k,l＝1,2。

由于J积分的线积分形式不利于数值计算，一般需要将其转化为有限元中可实现的等效区域积分形式。基于散度定理，推导非均匀材料弥散裂纹J积分的等效区域积分表达式，推导结果如下：

其中，q为光滑函数(在裂纹尖端的取值为1，在A的边界Γ上为0)。

为了将相场断裂模型中的能量释放率与传统线弹性断裂力学相关联，重新定义有效能量-动量张量

非均匀材料具有积分区域无关性的等效区域积分

可定义为：

基于有限元思想，推导非均匀材料弥散裂纹J积分的有限元离散格式，推导结果如下：

其中，N_e为积分区域内的单元数；m为每个单元内的积分点个数；|J|_p为某一积分点p的雅各比行列式；w_p为该积分点的权重。

步骤二：借助有限元软件ABAQUS，建立含有弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格；为了确保计算精度，对弥散裂纹尖端附近区域进行网格细化；定义边界条件、载荷信息和材料属性信息等；生成包含单元、节点、边界条件、载荷、材料属性等模型信息的abaqus.inp文件。

步骤三：修改abaqus.inp文件，写入调用断裂相场模型UEL和UMAT子程序subroutine.for的命令行，将输入文件abaqus.inp及子程序文件subroutine.for提交至ABAQUS软件，并输入相应的命令进行求解计算。计算完成后，通过ABAQUS软件查看计算结果，输出载荷、位移、应力、应变和相场分布等信息，结果文件命名为data.out。

步骤四：通过MATLAB语言编写非均匀材料弥散裂纹J积分的计算程序，基于ABAQUS输出的结果信息计算弥散裂纹的J积分(即弥散裂纹尖端的能量释放率)。应力强度因子的计算公式如下：

其中，E_tip和ν_tip分别为裂纹尖端处的杨氏模量和泊松比。根据上式，可以分别求解平面应力和平面应变状态下非均匀材料弥散裂纹尖端的应力强度因子K_I。通过选取不同大小的积分区域，对比验证该弥散裂纹J积分方法的积分区域无关性，并且对比传统J积分计算结果验证其正确性。

为了说明本发明上述方案的性能，下面结合一个算例来进一步描述。

考虑一个处于平面应变状态下的非均匀材料断裂问题。如图2所示，一个方形板的侧边开有一个水平裂纹，裂纹尖端正好位于板的中心，并建立正交直角坐标系。板的宽度和高度分别为W＝1.0mm和H＝1.0mm。水平裂纹的长度a＝0.5mm。板的底部受到约束，并在顶部施加沿着x₂方向的位移载荷u＝1.0×10^-3mm。位移增量取为Δu＝1.0×10^-5mm。如图3所示，为了确保计算精度，对弥散裂纹尖端所在区域进行网格细化，细化区域的有效网格尺寸大约为0.0005mm。有限元模型总共包含20304个完全积分的四边形单元，20563个节点，共61689个自由度。采用一种氧化铝(Al₂O₃)/氧化锆(ZrO₂)陶瓷复合材料的功能梯度板，其材料属性及输入参数为：杨氏模量E₁＝380GPa，泊松比ν₁＝0.26，断裂韧性K_IC,1＝5.2MPa·m^{1 /2}，杨氏模量E₂＝210GPa，泊松比ν₂＝0.31，断裂韧性K_IC,2＝9.6MPa·m^1/2，特征长度参数l_c＝0.0025mm(其中，(·)₁和(·)₂分别表示氧化铝(x₁＝-W/2)和氧化锆(x₁＝W/2)的材料属性)。假设功能梯度板的杨氏模量E、泊松比ν、断裂韧性K_IC都沿着x₁＝-W/2到x₁＝W/2上以指数形式变化，即：

对于平面应变条件，相场断裂模型中的输入参数g_f(x₁)由下式确定：

图4显式了采用断裂相场法模拟的非均匀材料试样的弥散裂纹形貌图。图5显式了不同积分区域大小的弥散裂纹尖端应力强度因子K_I的计算结果，可以看出，当积分区域的尺寸r＞20l_c(即r＞0.05mm)时，本发明的非均匀材料弥散裂纹J积分方法的计算结果不随积分区域尺寸的改变而改变。结果表明，本发明的非均匀材料弥散裂纹J积分方法具有积分区域无关性。此外，现存的均匀材料弥散裂纹J积分方法的计算结果始终无法与理论解相吻合；相比之下，当积分区域的尺寸r＞20l_c(即r＞0.05mm)时，本发明的非均匀材料弥散裂纹J积分方法的计算结果与理论解具有非常好的一致性，对比验证了本发明上述方案的正确性。

以上算例验证了本发明上述技术方案的积分区域无关性和正确性。

Claims (3)

1.一种基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，其特征在于所述方法包括如下步骤：

步骤一：引入断裂相场模型的相场变量d，推导非均匀材料弥散裂纹J积分满足积分区域无关性的充要条件，确定具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分表达式以及相应的有限元离散格式；

步骤二：借助有限元软件，建立含有弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格，对弥散裂纹尖端附近区域进行网格细化以满足有限元计算的收敛性要求，定义边界条件、载荷信息和材料属性信息；

步骤三：针对步骤二建立的含有弥散裂纹的有限元模型，采用牛顿-拉普森方法求解断裂相场模型非线性控制方程，输出载荷、位移、应力、应变和相场分布信息；

步骤四：根据步骤一的非均匀材料弥散裂纹J积分的有限元离散格式，基于步骤三的有限元计算结果求解弥散裂纹尖端的特征量—应力强度因子K_I。

2.根据权利要求1所述的基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，其特征在于所述步骤一中，具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分表达式为：

具有积分区域无关性的非均匀材料弥散裂纹J积分的有限元离散格式为：

其中，q为光滑函数，σ_ij为应力张量，u_i为位移张量，ξ_j为相场应力，ψ_e为应变能，δ_ij为Kronecker函数且式中取i＝1，

为对空间坐标x_i的偏导数，A为封闭曲线Γ包围的面积，N_e为积分区域内的单元数，m为每个单元内的积分点个数，|J|_p为某一积分点p的雅各比行列式，w_p为该积分点的权重，i,j＝1,2。

3.根据权利要求1所述的基于断裂相场法的非均匀材料弥散裂纹J积分方法，其特征在于所述步骤四中，应力强度因子K_I的计算公式如下：

其中，

为非均匀材料弥散裂纹J积分，E_tip和ν_tip分别为裂纹尖端处的杨氏模量和泊松比。

Images