CN114444299B - 一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于空间引力波探测磁场重构技术领域，具体涉及一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，包括：卫星上的含磁部件分布在2个惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，组成一组磁偶极子，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，每个测试质量的电极笼外分别放置4个小型磁强计；根据预先建立的磁偶极子理论模型，获取磁场在待求测试质量位置处的真实磁场值和磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值；基于距离加权的多极展开方法，对各个磁强计重构误差进行距离加权，获得最优估计多极系数，得到待求测试质量位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值。

Description

一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法

技术领域

本发明属于空间引力波探测磁场重构技术领域，具体地说，涉及一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法。

背景技术

惯性传感器是空间引力波探测任务的核心载荷之一。航天器内测试质量周围磁场是造成惯性传感器总加速度噪声预算的主要因素之一。由于加工工艺等因素的限制，测试质量的剩余磁化强度M和磁化率χ为极小数值，但不严格为零，因此，磁场和磁场梯度会对测试质量产生附加作用力。为保证引力波的正常探测，环境磁场梯度必须控制在一定范围内。磁干扰引起的测试质量上的杂散力F由以下公式给出：

其中，μ₀为真空磁导率，4π×10^-7m kg s^-2A^-2；B为磁场值；

为磁场梯度；V为测试质量的体积；<…>表示平均。

测试质量的磁性(M和χ)可以通过地面实验测得，然而测试质量位置处的磁场环境(B和

)则需要仔细评估，并在任务执行期间，需要不断修正其他载荷的磁场影响。事实上，空间引力波任务中测试质量处的磁场分布需要结合磁场仿真分析和测试质量附近磁强计测量数据采用插值法进行磁场重构。星载磁传感器能够实时检测测试质量周围磁场分布变化用于磁场重构，但是，由于磁通门磁强计本身有剩磁，因此，磁传感器的数量不宜过多，安装位置不能离测试质量太近，这些限制制约了磁强计数据在磁场重构精度。

近年来，针对空间引力波探测的磁场重构方法主要分为两类：一类需要利用磁源模型先验信息的方法，如神经网络法；另一类是无需磁源模型先验信息的方法，包括距离加权法、泰勒展开法、多极展开法等。这些磁场重构方法中，神经网络法在面对不确定性的载荷材料磁性和复杂的星上电流变化时，由于依赖于航天器磁源模型的先验信息，其重构结果不具备很好的鲁棒性。而无需利用先验信息的距离加权法和泰勒展开法在磁强计数量较少的低阶情况下，只能对测试质量插值区域作粗糙的线性近似，无法对测试质量附近复杂的磁场结构进行很好的重构。而多极展开法在采用多个小型磁强计展开到高阶时，磁场仿真结果较好。但在磁强计数量较少且放置位置呈现几何对称性时，其结果也是线性插值，与距离加权法和泰勒展开法结果相同。综上所述，目前针对空间引力波探测的磁场重构在磁强计数量较少的条件下，重构方法的精度和鲁棒性较差，空间引力波探测少量磁强计下的磁场重构精度低。

发明内容

为解决现有技术存在的上述缺陷，本发明提出了一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，该方法包括：

卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，每个测试质量的电极笼外分别放置4个小型磁强计；

根据预先建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真得到磁场在待求测试质量位置处的真实磁场值和磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值，并作为对应的小型磁强计读取得到的对应真实磁场值；

基于距离加权的多极展开方法，充分利用得到的所有的小型磁强计读取的对应位置处的真实磁场值，对各个磁强计重构误差进行距离加权，获得最优估计多极系数，并根据该最优估计多极系数，得到待求测试质量位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构。

作为上述技术方案的改进之一，所述方法还包括：

根据得到的待求测试质量TM1位置处的真实磁场值和估计磁场值，得到二者的磁场重构误差：

其中，

为TM1位置处磁场模的平均相对百分误差；N为随机选取磁偶极子方向的实验仿真次数；B_i，e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值；B_i，r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值；

为TM1位置处磁场x分量的平均相对百分误差；B_i，x，e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值的x分量；B_i，x，r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值的x分量；ε_|B|，max为N次仿真实验中磁场模相对百分误差绝对值的最大值；

为N次仿真实验中磁场x分量相对百分误差绝对值的最大值；

并根据该磁场重构误差，评估重构后的磁场的质量。

作为上述技术方案的改进之一，所述卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，每个测试质量的电极笼外分别放置4个小型磁强计；其具体过程包括：

卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子；

建立球坐标系(x，y，z)，该球坐标系覆盖惯性传感器区域和惯性传感器区域外部，将上述组成的一组磁偶极子放在建立的球坐标系中，记录每个磁偶极子的位置和磁距，形成磁源数据T；

两个测试质量分别放在两个惯性传感器区域内，记录在当前坐标系下的两个测试质量TM1和TM2对应的坐标x_TM1和x_TM2；TM1放置在坐标系原点O；

在测试质量TM1的电极笼外放置4个小型磁强计，记为Mag 1～4；在测试质量TM2的电极笼外放置4个小型磁强计，记为Mag 5～8；

每个小型磁强计测量所在位置处，时刻t由磁源产生的真实磁场值。

作为上述技术方案的改进之一，所述根据预先建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真得到磁场在待求测试质量位置处的真实磁场值和磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值，并作为对应的小型磁强计读取得到的对应真实磁场值；其具体过程包括：

在初始t＝0时刻，随机选取服从均匀分布的磁偶极子方向；假设两个测试质量分别为待求测试质量TM1和另一个测试质量TM2；待求测试质量TM1位置处的坐标为x_TM1；磁强计坐标x_s(s＝1，…，8)；x_s是第s个磁强计的位置坐标；

建立磁偶极子理论模型：

其中，B_r(x，t)为真实磁场值；n_a＝(x-x_a)/|x-x_a|是第a个偶极子m_a到场点x方向的单位向量，n是磁偶极子的数目；μ₀为真空磁导率；x_a为第a个磁偶极子所在位置的坐标；m_a(t)为第a个磁偶极子的磁矩；

根据上述建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真获取磁场在待求测试质量TM1位置处的真实磁场值B_r(x_TM1，t)，以及磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值B_r(x_s)，并作为对应的小型磁强计读取得到的对应真实磁场值。

作为上述技术方案的改进之一，所述基于距离加权的多极展开方法，充分利用得到的所有的小型磁强计读取的对应位置处的真实磁场值，对各个磁强计重构误差进行距离加权，获得最优估计多极系数，并根据该最优估计多极系数，得到待求测试质量位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构；其具体过程包括：

根据多极展开法磁场估计模型：

其中，B_e(x，t)为估计磁场值；M_lm为l阶多极系数，为待求量；Y_lm(n)为m次球谐函数；

其中，

r≡|x|，n≡x/r (8)

其中，r^l为场点x在球坐标系下的模长；n为场点x在球坐标系下的方向向量；

根据磁强计的位置与TM1之间的距离r_i，计算距离加权权重a_s：

其中，n代表插值阶数，r_i是待求测试质量与指定的磁强计之间的距离；r_s是磁强计相对于测试质量中心的位置矢量；

根据下述距离加权均方误差模型，计算TM1附近和TM2附近共8个小型磁强计位置处的距离加权均方误差ε²(M_lm)；

其中，B_r(x_s，t)为根据磁偶极子理论模型计算的磁强计的真实磁场值；B_e(x_s，t)为根据多极展开法计算的磁强计的估计磁场值；磁强计坐标x_s；s＝1，…，8；x_s是第s个磁强计的位置坐标；

令

求解该线性方程组的最小二乘解，得到对M_lm(t)的最优估计多极系数，作为最优估计多极系数；

将上述基于距离加权的多极展开法磁场估计中的M_lm替换为上述得到的最优估计多极系数，再根据TM1位置处的坐标x_TM1，得到TM1位置处的估计磁场值B_e(x_TM1)；

此外，对上述基于距离加权的多极展开法磁场估计求偏导数，得到TM1位置处的估计磁场梯度值

根据得到的待求测试质量TM1位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构。

本发明与现有技术相比的有益效果是：

本发明的方法中，对于2个测试质量分别放置4个小型磁强计的磁场重构问题，采用使用全部8个磁强计读数信息的基于距离加权的多极展开法，相比于现有的仅使用1个测试质量附近4个磁强计读数的多极展开法，在计算重构误差时引入了距离加权，充分利用了全部磁强计读数信息，可提升敏感轴(即x轴方向)的磁场重构精度。

附图说明

图1是本发明的一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法的空间引力波探测磁场源空间分布图；

图2a是本发明的基于磁偶极子模型仿真得到的测试质量所在平面磁场模的理论值；

图2b是本发明的基于距离加权多极展开方法重构得到的测试质量所在平面磁场模的估计值；

图2c是本发明的基于磁偶极子模型仿真得到的测试质量所在平面磁场x分量的理论值；

图2d是本发明的基于距离加权多极展开方法重构得到的测试质量所在平面磁场x分量的估计值；

图3a是本发明的基于距离加权多极展开方法在测试质量所在平面的磁场模重构相对百分误差；

图3b是本发明的基于距离加权多极展开方法在测试质量所在平面的磁场x分量重构相对百分误差；

图3c是本发明的基于距离加权多极展开方法在测试质量所在平面的磁场y分量重构相对百分误差；

图3d是本发明的基于距离加权多极展开方法在测试质量所在平面的磁场z分量重构相对百分误差；

图4a是本发明的基于磁偶极子模型仿真得到的测试质量所在平面磁场梯度分量

的理论值；

图4b是本发明的基于距离加权多极展开方法重构得到的测试质量所在平面磁场梯度分量

的估计值；

图4c是本发明的基于距离加权多极展开方法在测试质量所在平面的磁场梯度分量

重构相对百分误差；

图5是DWME算法的重构误差与加权阶数的关系示意图；

图6a是DWME算法重构的平均相对百分误差与服从截断正态分布的磁偶极子方向的标准差之间的关系示意图

图6b是DWME算法重构的最大相对百分误差与服从截断正态分布的磁偶极子方向的标准差之间的关系示意图。

具体实施方式

现结合附图和实例对本发明作进一步的描述。

如图1所示，本发明提供了一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，针对空间引力波探测少量磁强计下的磁场重构精度低的技术问题，提出了一种基于距离加权的多极展开方法，充分利用测航天器中两个测试质量附近的全部磁强计读数信息，对于多极展开法中的各个磁强计重构误差进行距离加权，即：给予距离测试质量较远的磁强计以较小的重构误差权重，而距离测试质量较近的磁强计以较大的重构误差权重，该方法为少量磁强计情况下提升磁场重构精度提供了一种新的技术途径。

该方法包括：

卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，每个测试质量的电极笼外分别放置4个小型磁强计；

具体地，卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子；

建立球坐标系(x，y，z)，该球坐标系覆盖惯性传感器区域和惯性传感器区域外部，将上述组成的一组磁偶极子放在建立的球坐标系中，记录每个磁偶极子的位置和磁距，形成磁源数据T；

惯性传感器的两个测试质量放在惯性传感器区域内，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，记录在当前坐标系下的两个测试质量TM1和TM2对应的坐标x_TM1和x_TM2；TM1放置在坐标系原点O；

在测试质量TM1的电极笼外放置4个小型磁强计，记为Mag 1～4；在测试质量TM2的电极笼外放置4个小型磁强计，记为Mag 5～8；

每个小型磁强计测量所在位置处，时刻t由磁源产生的真实磁场值。

根据预先建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真获取磁场在待求测试质量位置处的真实磁场值和磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值，并作为对应的小型磁强计读取得到的真实磁场值；

具体地，在初始t＝0时刻，随机选取服从均匀分布的磁偶极子方向；假设两个测试质量分别为待求测试质量TM1和另一个测试质量TM2；待求测试质量TM1位置处的坐标为x_TM1；磁强计坐标x_s(s＝1，…，8)；x_s是第s个磁强计的位置坐标；

建立磁偶极子理论模型：

其中，B_r(x，t)为真实磁场值；n_a＝(x-x_a)/|x-x_a|是第a个偶极子m_a到场点x方向的单位向量，n是磁偶极子的数目；μ₀为真空磁导率，4π×10^-7m kg s^-2A^-2；x_a为第a个磁偶极子所在位置的坐标；m_a(t)为第a个磁偶极子的磁矩；

根据上述建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真获取磁场在待求测试质量TM1位置处的真实磁场值B_r(x_TM1，t)，以及磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值B_r(x_s)。

基于距离加权的多极展开方法，充分利用得到的所有的小型磁强计读取的对应位置处的真实磁场值，对各个磁强计重构误差进行距离加权，获得最优估计多极系数，并根据该最优估计多极系数，得到待求测试质量位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构。

具体地，根据多极展开法磁场估计模型：

其中，B_e(x，t)为估计磁场值；M_lm为l阶多极系数，为待求量；Y_lm(n)为m次球谐函数；

其中，

r≡|x|，n≡x/r (8)

其中，r^l为场点x在球坐标系下的模长；n为场点x在球坐标系下的方向向量；

根据磁强计的位置与TM1之间的距离r_i，计算距离加权权重a_s：

其中，n代表插值阶数，r_i是待求测试质量与指定的磁强计之间的距离；r_s是磁强计相对于测试质量中心的位置矢量；

根据下述距离加权均方误差模型，计算TM1附近和TM2附近共8个小型磁强计位置处的距离加权均方误差ε²(M_lm)；

其中，B_r(x_s，t)为根据磁偶极子理论模型计算的磁强计的真实磁场值；B_e(x_s，t)为根据多极展开法计算的磁强计的估计磁场值；磁强计坐标x_s；s＝1，…，8；x_s是第s个磁强计的位置坐标；

令

求解该线性方程组的最小二乘解，得到对M_lm(t)的最优估计多极系数，作为最优估计多极系数；

将上述基于距离加权的多极展开法磁场估计中的M_lm替换为上述得到的最优估计多极系数，再根据TM1位置处的坐标x_TM1，得到TM1位置处的估计磁场值B_e(x_TM1)；

此外，对上述基于距离加权的多极展开法磁场估计求偏导数，得到TM1位置处的估计磁场梯度值

根据得到的待求测试质量TM1位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构。

所述方法还包括：

根据得到的待求测试质量TM1位置处的真实磁场值和估计磁场值，得到二者的磁场重构误差：

其中，

为TM1位置处磁场模的平均相对百分误差；N为随机选取磁偶极子方向的实验仿真次数；B_i，e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值；B_i，r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值；

为TM1位置处磁场x分量的平均相对百分误差；B_i，x，e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值的x分量；B_i，x，r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值的x分量；ε_|B|，max为N次仿真实验中磁场模相对百分误差绝对值的最大值；

为N次仿真实验中磁场x分量相对百分误差绝对值的最大值；

并根据该磁场重构误差，评估重构后的磁场的质量。

实施例1.

1、模型设计

空间引力波探测航天器卫星平台中的磁源和磁强计分布如图1所示。卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，可以等效为一个或多个磁偶极子来处理，图1中的圆点代表磁偶极子圆点半径大小表示磁矩的大小。两个测试质量(TM)呈60°夹角，相距0.4m，图1中，正方体A和B分别表示TM1和TM2，其中，TM1放置在坐标系原点O.每个TM电极笼外分别放置4个小型磁强计(Magnetometer，记为Mag)用来测量所在位置处的磁场值B(B_x，B_y，B_z)；图1中正方体A处放置的四个三角形表示在TM1附近放置的磁强计Mag 1～4；正方体B处放置的四个三角形表示在TM2附近放置的小型磁强计Mag 5～8。

卫星上的含磁部件可以等效为一个或多个磁偶极子来处理，因而，航天器上的磁场可以模拟为一组磁偶极子产生的磁场，磁偶极子的位置和磁矩大小是已知的，但磁矩方向未知。根据磁偶极子理论模型，分布的磁偶极子在任一点处x、时刻t产生的磁场值B_r(x，t)，可以由下式给出：

其中，n_a＝(x-x_a)/|x-x_a|是第a个磁偶极子m_a到磁场内的场点x方向的单位向量，n是磁偶极子的数目；

相应地，磁场梯度场为

其中，δ_ij为克罗内克函数；x为所求位置的坐标；x_a为第a个磁偶极子所在位置的坐标；m_a为磁偶极子的磁矩；n_a＝(x-x_a)/|x-x_a|是第a个磁偶极子m_a到磁场内的场点x方向的单位向量；n_a，i为n_a的第i个分量(i∈{1，2，3})；n_a，j为n_a的第j个分量(j∈{1，2，3})；m_a，i为m_a的第i个分量(i∈{1，2，3})；m_a，j为m_a的第j个分量(j∈{1，2，3})；

2、重构算法

考虑到TM、磁强计和磁源之间的相对位置关系，拟采用基于距离加权的多极展开法(Distance Weighting Multipole Expansion，DWME)实现磁场重构，这一方法的细节如下：

由于航天器卫星平台中的TM附近部件的材料是不含磁的，因而该惯性传感器区域可以视为真空，于是，TM位置处的磁场具有零散度和零旋度，即：

由公式(4)，我们有

其中，

为梯度算子；ψ(x，t)是一个调和标量函数。公式(6)的解可以表示为正交级数的形式：

其中，

r≡|x|，n≡x/r (8)

其中，r和n分别为场点x在球坐标系下的模长和方向，其原点为TM的几何中心，M_lm和Y_lm分别为l阶和m次的多极系数和球谐函数；

由公式(5)和(7)，得到TM位置处的磁场估计值为

需要注意的是，有限的磁强计数目，会带来多极展开时的截断问题。假设(9)式在最大多极系数阶数l＝L处截断，则TM位置处的磁场的估计值可以被写为

式中待求解的多极系数M_lm的数目N_multipole(L)为

另一方面，若设磁强计的数量为N，每个磁强计可以提供3个维度(x，y，z)的磁场值读数信息，因而，多极展开的截断阶数需满足3·N≥L(L+2)。例如，多极系数展开到L＝2阶至少需要N＝3个磁强计，展开到L＝3阶至少需要N＝5个磁强计，而展开到L＝4阶至少需要N＝8个磁强计，以此类推。

在图1的磁源模型中，我们以TM1为例，对其位置处的磁场进行高精度重构。我们共有Mag1～8共8个磁强计，理论上满足展开到L＝4阶的条件，但这会导致Mag5～8的读数信息因为距离TM1过远而使得TM1处的重构精度大大降低。如果只利用TM1附近的4个Mag读数信息采用传统的多极展开法对其进行L＝2阶磁场重构，则TM2附近的4个Mag读数信息则被忽略。考虑到TM2附近4个Mag虽然距离TM1较远，但若读数信息如加以适当处理，仍可能有助于提升TM1位置处磁场插值精度，因而我们提出一种基于距离加权的多极展开法(DWME)进行磁场重构。

DWME算法选取最优多极系数估计使得重构结果与真实值之间的误差最小化。考虑到Mag1～4位于TM1附近，因而其读数信息更重要，对于重构误差的贡献应更大，故而给予较大权重；反之，Mag5～8的读数信息对于重构误差的贡献应更小，故而给予较小权重。DWME算法对于传统的多极展开法求解多极系数时的误差进行重新定义，使用如下距离加权均方误差ε²(M_lm)：

其中，a_s为距离加权系数，B_r是根据磁偶极子模型计算的真实磁场，B_e为磁场估计值，x_s是磁强计的位置坐标。一种直观的距离加权系数设计如公式(13)所示；

其中，n代表插值阶数，r_i是TM1与指定的第i个磁强计之间的距离；

为了使重构误差最小化，我们令

采用最小二乘法，得到对M_lm(t)的最优估计多极系数；

一旦方程组求解完毕，将公式(10)中的M_lm替换为上述得到的最优估计多极系数，得到TM位置处的磁场的估计值，可最终实现空间位置x处的磁场重构。此外，估计的磁场梯度可以通过对方程(10)求偏导数来实现：

空间引力波探测任务中少量磁强计条件下高精度磁场重构是亟待解决的科学和技术难题。本发明的方法提出基于距离加权的多极展开法通过在多极展开重构方法中对各个磁强计重构误差进行距离加权，使得在多极展开的最优多极系数求解中，距离测试质量较近的磁强计权重更大，距离测试质量较远的磁强计权重更小；

基于这种思想，每个测试质量TM处的磁场重构不再是根据其附近较近磁强计读数信息的单独重构，而是将两个测试质量及其附近的磁强计看作一个整体，从而充分利用全部磁强计读数信息，尤其是利用了距离测试质量较远的磁强计读数信息，提升磁场重构精度。

仿真试验与结果

1、算法流程

通过磁偶极子模型计算磁场真实值，基于TM1和TM2附近的8个小型磁强计的读数信息，采用DWME算法，计算TM1所在平面的磁场重构估计值。DWME算法的输入、输出及流程如下：

输入：TM1坐标x_TM1，磁强计坐标x_s(s＝1，...，8)，磁源数据T(位置和模长)，距离加权阶数n；

输出：TM1位置处的估计磁场值B_e(x_TM1)及磁场梯度值

TM1所在平面(z＝0)的真实磁场、估计磁场及误差图；

算法流程：

1)在初始t＝0时刻，随机选取服从均匀分布的磁偶极子方向；

2)计算：利用磁偶极子模型计算磁源数据T下产生的磁场在TM1位置处的磁场值B_r(x_TM1)和8个磁强计位置处的磁场值B_e(x_s)，作为真实值；

3)计算：利用磁偶极子模型计算8个磁强计位置x_s(x，y，z)处的磁场值

4)计算：根据磁强计的位置与TM1之间的距离，计算距离加权权重

5)计算：计算TM1和TM2附近共8个磁强计位置处的距离加权均方误差

6)求解：令

求解该线性方程组的最小二乘解；

7)重构：利用多极系数最优估计M_lm及输入参数x_TM1代入多极展开式(即前述中的磁偶极子估计模型)计算TM1位置磁场估计值B_e(x_TM1)，并求导得到梯度估计值

8)仿真：计算TM1所在平面任意点的磁场估计值，并绘制TM1所在平面(z＝0)的真实磁场和估计磁场，计算两者之间的误差。

2、重构实验

2.1磁场值重构

TM1所在平面(z＝0)的磁场重构结果如图2a-2d所示。左侧两幅图2a和2b为z＝0平面磁场模的真实值和重构值，右侧两幅图2c和2d为z＝0平面磁场敏感轴方向，即x分量的真实值和重构值。图2a-2d是为了说明重构结果与理论的仿真结果趋势接近，反映了重构效果好。

磁场的模|B|和三分量(B_x，B_y，B_z)的重构误差结果如图3a-3d所示。重构误差图中TM1附近呈现深蓝色，说明重构误差很小，验证了本方法的可行性。图3a-3d能够直观地显示算法的重构误差，特别是在敏感轴方向的测试质量附近，重构误差极低。

下表1给出了1000次仿真实验下，DWME算法与(不加权)直接使用8个磁强计的多极展开法(Multipole Expansion，ME)在TM1几何中心处的磁场重构误差对比，表1说明DWME算法具有较高的重构精度，尤其是敏感轴即磁场的x方向的精度相比ME算法更具优势。

表1 ME算法和DWME算法在TM1几何中心处的磁场重构误差

其中平均相对百分误差的定义为：

其中，

为TM1位置处磁场模的平均相对百分误差；N为随机选取磁偶极子方向的实验仿真次数；B_i，e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值；B_i，r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值；

为TM1位置处磁场x分量的平均相对百分误差；B_i，x，e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值的x分量；B_i，x，r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值的x分量；ε_|B|，max为N次仿真实验中磁场模相对百分误差绝对值的最大值；

为N次仿真实验中磁场x分量相对百分误差绝对值的最大值；

2.2磁场梯度值重构

在空间引力波探测磁场重构任务中，我们主要关心沿着敏感轴(x轴)方向的磁场分量B_x及磁场梯度值

图4a-4c展示了DWME算法对于沿着x方向磁场梯度

的重构结果，从4a-4c分别是其理论值、估计值和误差。图4a-4c是磁场梯度重构结果，展示了磁场梯度的第一个分量的理论值、估计值和估计误差。因为在引力波探测磁噪声分析中，不仅需要对磁场重构还需要对磁场梯度进行重构，属于为了满足任务需求而展示的结果。

3、算法鲁棒性

首先，随机选取一组磁偶极子的方向参数θ∈[0，π]和

来磁源模型(Magnetic source model，MSM)，记该模型为MSM-Test，然后采用不同的加权阶数的基于距离加权的多极展开法分别计算磁场重构的相对百分误差，最终得到磁场重构误差与加权阶数的关系图，如图5所示。

选取最优加权阶数，使得敏感轴方向的误差最小，如对于MSM-Test而言，图5说明最优加权阶数为n＝1.35。在实际的空间引力波探测磁场重构任务中，首先需要确定磁场重构所采用的最优模型，而卫星进入太空后的磁源相对应的磁偶极子方向与在地面上相比，通常不会发生过大变化，因此，假设磁偶极子的方向参数θ和

的变化分别服从[0，π]和[0，2π]上的截断正态分布，均值分别为MSM-Test中的磁偶极子方向参数θ₀和

对每个给定的标准差，分别使用DWME算法进行1000次仿真实验，得到DWME算法的重构误差与截断正态分布标准差的函数关系图，如图6所示。

DWME算法在服从截断正态分布的磁偶极子方向的变化磁源模型下，图6a中，当截断正态分布的标准差σ≤1时，敏感轴方向的重构平均相对百分误差可控制在1.7％以下，且随着标准差的增大，平均重构误差近似线性增大；图6b中，对于最大相对百分误差而言，当标准差σ≤1时，敏感轴方向重构的最大相对百分误差可控制在13％以下，验证了DWME算法对于变化的磁源模型数据的鲁棒性。

最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制。尽管参照实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (5)

1.一种基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，该方法包括：

卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，每个测试质量的电极笼外分别放置4个小型磁强计；

根据预先建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真得到磁场在待求测试质量位置处的真实磁场值和磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值，并作为对应的小型磁强计读取得到的对应真实磁场值；

基于距离加权的多极展开方法，充分利用得到的所有的小型磁强计读取的对应位置处的真实磁场值，对各个磁强计重构误差进行距离加权，获得最优估计多极系数，并根据该最优估计多极系数，得到待求测试质量位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构。

2.根据权利要求1所述的基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，其特征在于，所述方法还包括：

根据得到的待求测试质量TM1位置处的真实磁场值和估计磁场值，得到二者的磁场重构误差：

其中，

为TM1位置处磁场模的平均相对百分误差；N为随机选取磁偶极子方向的实验仿真次数；B_i,e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值；B_i,r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值；

为TM1位置处磁场x分量的平均相对百分误差；B_i,x,e为第i次仿真实验TM1位置处磁场估计值的x分量；B_i,x,r为第i次仿真实验TM1位置处磁场理论值的x分量；ε_|B|,max为N次仿真实验中磁场模相对百分误差绝对值的最大值；

为N次仿真实验中磁场x分量相对百分误差绝对值的最大值；

并根据该磁场重构误差，评估重构后的磁场的质量。

3.根据权利要求1所述的基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，其特征在于，所述卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，每个测试质量的电极笼外分别放置4个小型磁强计；其具体过程包括：

卫星上的含磁部件分布在惯性传感器区域外部，将卫星上的含磁部件等效为一个或多个磁偶极子，该一个或多个磁偶极子分布在各个位置处组成一组磁偶极子；

建立球坐标系(x,y,z)，该球坐标系覆盖惯性传感器区域和惯性传感器区域外部，将上述组成的一组磁偶极子放在建立的球坐标系中，记录每个磁偶极子的位置和磁距，形成磁源数据T；

两个测试质量分别放在两个惯性传感器区域内，2个惯性传感器分别包含一个测试质量，记录在当前坐标系下的两个测试质量TM1和TM2对应的坐标x_TM1和x_TM2；TM1放置在坐标系原点O；

在测试质量TM1的电极笼外放置4个小型磁强计，记为Mag 1～4；在测试质量TM2的电极笼外放置4个小型磁强计，记为Mag 5～8；

每个小型磁强计测量所在位置处，时刻t由磁源产生的真实磁场值。

4.根据权利要求3所述的基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，其特征在于，所述根据预先建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真得到磁场在待求测试质量位置处的真实磁场值和磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值，并作为对应的小型磁强计读取得到的对应真实磁场值；其具体过程包括：

在初始t＝0时刻，随机选取服从均匀分布的磁偶极子方向；假设两个测试质量分别为待求测试质量TM1和另一个测试质量TM2；待求测试质量TM1位置处的坐标为x_TM1；磁强计坐标x_s；s＝1,…,8；x_s是第s个磁强计的位置坐标；

建立磁偶极子理论模型：

其中，B_r(x,t)为真实磁场值；n_a＝(x-x_a)/|x-x_a|是第a个偶极子m_a到场点x方向的单位向量，n是磁偶极子的数目；μ₀为真空磁导率；x_a为第a个磁偶极子所在位置的坐标；m_a(t)为第a个磁偶极子的磁矩；

根据上述建立的磁偶极子理论模型，基于预先获取的磁源数据，通过仿真获取磁场在待求测试质量TM1位置处的真实磁场值B_r(x_TM1,t)，以及磁场在8个小型磁强计位置处的真实磁场值B_r(x_s)，并作为对应的小型磁强计读取得到的对应真实磁场值。

5.根据权利要求1所述的基于距离加权多极展开方法的磁场重构方法，其特征在于，所述基于距离加权的多极展开方法，充分利用得到的所有的小型磁强计读取的对应位置处的真实磁场值，对各个磁强计重构误差进行距离加权，获得最优估计多极系数，并根据该最优估计多极系数，得到待求测试质量位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构；其具体过程包括：

根据多极展开法磁场估计模型：

其中，B_e(x,t)为估计磁场值；M_lm为l阶多极系数，为待求量；Y_lm(n)为m次球谐函数；

其中，

r≡|x|,n≡x/r (8)

其中，r^l为场点x在球坐标系下的模长；n为场点x在球坐标系下的方向向量；

根据磁强计的位置与TM1之间的距离r_i，计算距离加权权重a_s：

其中，n代表插值阶数，r_i是待求测试质量与指定的磁强计之间的距离；r_s是磁强计相对于测试质量中心的位置矢量；

根据下述距离加权均方误差模型，计算TM1附近和TM2附近共8个小型磁强计位置处的距离加权均方误差ε²(M_lm)；

其中，B_r(x_s,t)为根据磁偶极子理论模型计算的磁强计的真实磁场值；B_e(x_s,t)为根据多极展开法计算的磁强计位置处的估计磁场值；磁强计坐标x_s；s＝1,…,8；x_s是第s个磁强计的位置坐标；

令

l＝1,…,L；m＝-l,…,l，L为最大多极系数阶数l截断处；求解线性方程组

的最小二乘解，得到对M_lm(t)的最优估计多极系数，作为最优估计多极系数；

将上述基于距离加权的多极展开法磁场估计中的M_lm替换为上述得到的最优估计多极系数，再根据TM1位置处的坐标x_TM1，得到TM1位置处的估计磁场值B_e(x_TM1)；

此外，对上述基于距离加权的多极展开法磁场估计求偏导数，得到TM1位置处的估计磁场梯度值

根据得到的待求测试质量TM1位置处的估计磁场值和对应的估计磁场梯度值，完成磁场重构。

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