CN114243748B - 基于线性矩阵不等式优化法的vsc并网稳定域构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于线性矩阵不等式优化法的VSC并网稳定域构建方法，其包括下列步骤：建立仅计及锁相环动态的VSC接入弱网系统的二阶数学模型；将二阶数学模型(A)中的三角函数泰勒展开到n阶；基于LMI优化求解优化问题求解；获得稳定域；改变VSC接入弱网系统的控制参数，获得不同控制参数下VSC接入弱网系统的稳定域边界，根据稳定域面积越大，系统暂态同步稳定性越强的特性，通过比较不同控制参数下稳定域面积的大小关系，定性的分析不同控制参数对VSC并网系统暂态同步稳定性的影响。

Description

基于线性矩阵不等式优化法的VSC并网稳定域构建方法

技术领域

本发明属于电力电子化电力系统暂态稳定性分析领域，针对锁相环同步的VSC接入弱网系统的暂态同步稳定问题，提出了一种构建其稳定域的方法。

背景技术

近年来，随着可再生能源发电的迅猛发展，电压源型变换器(voltage sourceconverter，VSC)作为可再生能源发电单元的并网接口在电力系统中扮演着越来越重要的角色^[2-3]。与传统的同步电机通过旋转的转子保持同步不同，VSC通常由锁相环(phaselocked loop，PLL)与交流电网保持同步，PLL的动态性能严重依赖于并网点的电压特性。然而，弱网条件下，并网点电压易受扰动，故而会恶化PLL的动态特性并引起失稳风险。另外，随着新能源发电所占比重的增大，为保证电网的安全可靠运行，防止发生大规模脱网事故，出台了相关国家标准对风光电源的故障穿越特性进行了明确规定，要求变换器具备电网故障耐受能力，在一定故障条件下维持功率连续性，不能任意闭锁。因而研究锁相环同步的VSC接入弱网系统的暂态同步稳定问题变的特别重要^[4-5]。

针对锁相环同步的VSC接入弱网系统的暂态同步稳定特性研究相对较少。在研究暂态同步稳定问题的少数文献中，所用的方法大致可分为三类。一是相轨迹法：文献[6-8]利用时域仿真的方式得到系统暂态过程的相轨迹，从而直观的判断系统是否暂态稳定。此外，文献[9-10]通过观察系统暂态过程中的轨迹发现，阻尼系数低是导致系统暂态失稳的原因。虽然相轨迹法能直观的展示系统暂态过程的轨迹，且分析结果可靠，但是该方法计算复杂度高，耗时，且不能提供有关系统稳定裕度的信息^[11-12]。

二是李亚普诺夫直接法：为克服时域仿真法的缺点，一些学者采用李雅普诺夫直接法研究系统的暂态稳定特性，文献[13-14]将PLL的动态方程转化为转子运动方程的形式，并忽略阻尼利用等面积定则从能量的角度揭示了弱网条件下VSC锁相环同步暂态失稳的机理。虽然该方法物理意义清晰，但是当PLL输出角度过大时，系统阻尼会变负，这就使得利用等面积定则分析得到结论较为乐观。为解决这一问题，文献 [15]将系统的能量函数限定于阻尼为正的区域，并利用LaSalle不变集定理得到了系统的稳定域。虽然文献 [15]提出的方法可以保证所得稳定域的有效性，但该方法将稳定域限定于阻尼为正的区域，因而保守性较强。此外，文献[16]利用平方和(Sum-of-Square，SOS)规划法得到了PLL动态方程的稳定域，但是该方法估计的稳定域也比较保守。

三是逆轨迹法：文献[13]提出，利用逆轨迹法可以刻画出系统真实稳定域的边界，但所刻画稳定域的边界无法用方程的形式描述，也就是说运用解析的方式判断系统的初始状态是否位于稳定域内是困难的，此外，该方法基本上是图形化的方法，因而对于高阶系统(超过3阶)，利用该方法刻画稳定域将变得非常困难，这也大大限制了该方法的运用范围。

参考文献

[1]Chesi G.Estimating the domain of attraction for non-polynomialsystems via LMI optimizations[J]. AUTOMATICA,2009,45(6):1536-1541.

[2]谢小荣,贺静波,毛航银,等.“双高”电力系统稳定性的新问题及分类探讨[J].中国电机工程学报,2021,41(02):461-475.

[3]尹睿,孙媛媛,王姗姗,等.双馈入VSC并网系统单输入单输出传递函数建模与稳定性分析 [J].中国电机工程学报,2021:1-14.

[4]张宇,蔡旭,张琛,等.并网变换器的暂态同步稳定性研究综述[J].中国电机工程学报,2021, 41(05):1687-1702.

[5]王旭斌,杜文娟,王海风.弱连接条件下并网VSC系统稳定性分析研究综述[J].中国电机工程学报,2018,38(06):1593-1604.

[6]M.G T,X.W,P.D,et al.An Efficient Reduced-Order Model for StudyingSynchronization Stability of Grid-Following Converters during Grid Faults[C].2019 20th Workshop on Control and Modeling for Power Electronics(COMPEL),2019:1-7.

[7]H.W,X.W.Transient Stability Impact of the Phase-Locked Loop onGrid-Connected Voltage Source Converters[C].2018International PowerElectronics Conference(IPEC-Niigata 2018-ECCE Asia), 2018:2673-2680.

[8]D.P,X.W,F.L,et al.Transient Stability Impact of Reactive PowerControl on Grid-Connected Converters[C].2019IEEE Energy Conversion Congressand Exposition(ECCE),2019:4311-4316.

[9]M.G T,X.W,P.D,et al.Systematic Approach for Transient StabilityEvaluation of Grid-Tied Converters during Power System Faults[C].2019IEEEEnergy Conversion Congress and Exposition (ECCE),2019:5191-5198.

[10]H.W,X.W.Design-Oriented Transient Stability Analysis of PLL-Synchronized Voltage-Source Converters[J].IEEE TRANSACTIONS ON POWERELECTRONICS,2020,35(4):3573-3589.

[11]李鹏飞,李霞林,王成山,等.中低压柔性直流配电系统稳定性分析模型与机理研究综述[J]. 电力自动化设备,2021,41(05):3-21.

[12]X.H,H.G,R.L,et al.Transient Stability Analysis and Enhancement ofRenewable Energy Conversion System During LVRT[J].IEEE Transactions onSustainable Energy,2020,11(3):1612-1623.

[13]Q.H,L.F,F.M,et al.Large Signal Synchronizing Instability of PLL-Based VSC Connected to Weak AC Grid[J].IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS,2019,34(4):3220-3229.

[14]张琛,蔡旭,李征.全功率变换风电机组的暂态稳定性分析[J].中国电机工程学报,2017, 37(14):4018-4026.

[15]X.F,J.S,M.H,et al.Large-Signal Stability of Grid-Forming andGrid-Following Controls in Voltage Source Converter:A Comparative Study[J].IEEE TRANSACTIONS ON POWER ELECTRONICS, 2021,36(7):7832-7840.

[16]Chen Z,Molinas M,Zheng L,et al.Synchronizing Stability Analysisand Region of Attraction Estimation of Grid-Feeding VSCs Using Sum-of-SquaresProgramming[J].Frontiers in Energy Research, 2020,8:56.

发明内容：

本发明的目的是公开一种构建VSC接入弱网系统稳定域的方法,利用LMI优化法^[1]，得到VSC接入弱网系统的李雅普诺夫函数和稳定域，进而根据稳定域，定性的分析不同控制参数对VSC并网系统暂态同步稳定性的影响。为实现上述目的，本发明提供了如下方案：

一种基于线性矩阵不等式优化法的VSC并网稳定域构建方法，其包括下列步骤：

步骤(1)对锁相环同步的VSC接入弱网系统进行简化，忽略系统暂态过程中的高频动态，建立仅计及锁相环动态的VSC接入弱网系统的二阶数学模型(A)：

式中x₁表示并网点电压相角和无穷大电网端电压相角的相角差，x₂表示积分电压∫V_tqdt，V_tq为并网点电压的q轴分量，k_p和k_i是PLL比例积分(PI)控制器的比例系数和积分系数，V_s为无穷大电网端电压幅值， X_g和R_g为并网点到无穷大电源间的等效电抗和等效电阻，I_tdref和I_tdref分别是d轴参考电流和q轴参考电流；将式(A)记作

其中x＝[x₁,x₂]^T；

步骤(2)在区域

内将锁相环同步的VSC接入弱网系统的二阶数学模型(A)中的三角函数泰勒展开到n阶，将展开后的多项式系统记作

其中x_1min与x_1max是与三角函数的泰勒展开阶数n一一对应的两个常数；

步骤(3)如果系统

的Lyapunov函数v(x)未知，则任意选择一个最高次幂为dv(大于等于2的正整数)的正定多项式函数作为系统

的Lyapunov函数，然后基于LMI优化求解优化问题(B)得到待优化的变量c和矩阵Q；如果系统

的Lyapunov函数v(x)已知，则直接基于已知的v(x求解优化问题 (B)得到待优化的变量c和矩阵Q；

式(B)中矩阵P+L(α)是p(x)的完全SMR矩阵，p(x)＝-[q₁(x)，

是v(x) 的对x的微分，q₁(x)是最高次幂为2k的多项式，k可以是任意正整数或0，q₂(x)是最高次幂为

的多项式，多项式q₁(x)和q₂(x)的系数可通过求解优化问题(B)得到，

表示(n-1)/2向上取整； Q＝diag(Q₁,Q₂)，Q₁和Q₂分别是q₁(x)和q₂(x)的SMR矩阵；trace(Q₁)表示矩阵Q₁的迹，约束中的trace(Q₁)＝1 是为了对(B)中的变量进行归一化；

定义多项式的基向量：如果对于任意最高次幂不大于m的多项式h(x)(m是正整数)，都存在m+1行的向量h满足：h(x)＝h^Tb_pol(x,m)，则称b_pol(x,m)为最高幂次不大于m的多项式h(x)的基向量；

定义SMR矩阵：对于最高次幂小于等于2m的多项式h(x)，如果有对称矩阵H满足：f(x)＝b_pol(x,m)^TH b_pol(x,m)，则称H为h(x)关于b_pol(x,m)的SMR矩阵；其中b_pol(x,m)是最高幂次不大于d的多项式的基向量；

定义完全SMR矩阵：对于最高次幂小于等于2m的多项式h(x)；如果有对称矩阵H和L(α)满足 h(x)＝b_pol(x,m)^T(H+L(α))b_pol(x,m),则称矩阵H+L(α)为h(x)的完全SMR矩阵，其中α是任意常数；

步骤(4)固定步骤(3)中优化得到的c和矩阵Q，然后基于LMI优化求解优化问题(C)以优化系统

的Lyapunov函数v(x)

式中Λ是v(x)的SMR矩阵，trace(Λ)表示矩阵Λ的迹；

步骤(5)反复进行步骤(3)与步骤(4)，直到求解优化问题(B)所得的c与求解优化问题(C)所得的trace(Λ) 之间的比值trace(Λ)/c无明显变化，结束迭代；此时的v(x)即为系统

最终的Lyapunov函数，

即为

的稳定域；

步骤(6)将ψ的边界记作

并求

的最小值λ，如果λ>c，说明

则

的Lyapunov 函数为v(x)/c，其为

否则，说明

此时系统性的缩小Ω_α，直到Ω_α恰好包含于ψ，即

的Lyapunov函数为v(x)/λ，其稳定域为

步骤(7)改变VSC接入弱网系统的控制参数I_tdref、I_tdref、k_p和k_i，获得不同控制参数下VSC接入弱网系统的稳定域边界，根据稳定域面积越大，系统暂态同步稳定性越强的特性，通过比较不同控制参数下稳定域面积的大小关系，定性的分析不同控制参数对VSC并网系统暂态同步稳定性的影响。

本发明的技术效果如下：

1)对VSC接入弱网系统进行合理简化。保留了PLL的动态特性，忽略了响应速度较快的

电流环的动态，建立了VSC接入弱网系统的降阶数学模型。极大的降低了弱网条件下VSC锁相环同步暂态稳定分析的复杂度。

2)对于VSC接入弱网系统中由PLL动态引入的三角函数非线性，本发明提供了一种新的

处理思路——泰勒展开，并通过刻画展开后的多项式系统与原非线性系统的相轨迹对该处理方式的合理性进行了分析。

3)运用本发明所公开的LMI优化法可以得到VSC接入弱网系统保守性较低的稳定域，能够为系统参数设计提供更有意义的指导。

4)运用本发明所公开的LMI优化法可以得到不同电流参考值和锁相环控制参数下VSC接入弱网系统的稳定域，可以更加直观地分析不同电路参数和控制参数对VSC接入弱网系统暂态同步稳定性的影响。

5)运用本发明所公开的LMI优化法可以高效快速的计算系统遭受接地短路故障后的临界切除时间，从而为VSC并网线路继电保护的整定起一定的参考作用。

附图说明：

图1VSC接入弱网系统的拓扑结构

图2VSC接入弱网系统等值电路模型和向量图，(a)是VSC接入弱网系统等值电路模型；(b)是VSC接入弱网系统向量图

图3VSC并网系统的全阶开关模型和降阶数学模型仿真结果对比图，(a)是工况a1)的仿真结果；(b) 是工况a2)的仿真结果

图4不同展开阶数的三角函数与其泰勒展开，(a)是正弦函数与其泰勒展开；(b)是余弦函数与其泰勒展开

图5原非线性系统和展开后的非线性系统相轨迹的比较

图6李雅普诺夫函数取不同度(多项式的最高次幂)时VSC接入弱网系统的稳定域

图7利用稳定域对VSC接入弱网系统暂态分析示意图

图8运用LMI优化法、基于LaSalle不变集定理的能量函数法和平方和规划法得到的VSC接入弱网系统的稳定域的比较。

图9不同参考电流下VSC接入弱网系统的稳定域的示意图和电磁暂态仿真结果。

图10不同锁相环控制参数下VSC接入弱网系统的稳定域的示意图和电磁暂态仿真结果。

具体实施方式：

下面结合附图和实施例对本发明进行说明。

(1)VSC接入弱网系统的降阶数学模型

VSC接入弱网系统的拓扑结构如附图1所示。E、V_t和V_s分别表示VSC出口电压、并网电压和无穷大电网电压；C为直流侧母线电容，李雅普诺夫函数和C_f为交流侧LC滤波电感和电容，Z_g等于Z_g1加Z_g2，表示并网点至无穷大电源之间的等效阻抗，其阻抗大小可用于表征电网强弱程度。VSC通过对并网点电压 V_t进行锁相，实现与交流电网保持同步。PLL的典型结构如图1红色虚线框所示，PLL的输入为并网点电压q轴分量V_tq，锁相环输出相角θ_pll以电网频率对应的角速度ω_s作为参考轴，ω_pll为锁相环输出角速度；ω₀为额定角速度，k_p和k_i分别是PLL比例积分(PI)控制器的比例和积分系数。I_tdref和I_tqref分别为电流环d、 q轴电流参考值，I_td和I_tq分别为VSC注入电网的d、q轴电流分量。本发明建模采用的坐标系统包含2个参考坐标系：1)电网公共基准坐标系—DQ同步旋转坐标系，电网电压矢量方向定向D轴；2)PLL的参考坐标系—dq旋转坐标系，V_t的锁相电压V_tpll定向d轴。附图2(b)的左边和右边分别呈现了稳态和暂态时2 参考坐标系与V_t,V_s间的关系。两坐标系间的转换关系如式(1)所示。

式中：x_td和x_tq分别是d,q坐标系下的变量；x_tD和x_tQ分别是D,Q坐标系下的变量。

在DQ坐标系下，根据附图2(a)所示的VSC接入弱网系统电路等值模型，并网点电压可表示为：

式中V_tD,V_tQ,I_tD,I_tQ分别是并网点电压和注入电流的D轴分量和Q轴分量。

由PLL的工作原理可知，V_tq驱动PLL转速和相位的调节，因而利用(1)将(2)变换到dq坐标系下，可得V_tq如式(3)所示：

V_tq＝R_gI_tqref-X_gI_tdref+V_s sinθ_pll (3)

根据附图1中PLL的控制框图，θ_pll可表示如下：

θ_pll＝-∫(k_pV_tq+k_i∫V_tqdt+ω₀-ω_g)dt (4)

本发明忽略电网的频率动态，故而ω_g＝ω₀。令状态变量x₁＝θ_pll，x₂＝∫V_tqdt(积分电压)，结合(3)和(4)可得：

令ΔU＝X_gI_tdref-R_gI_tqref，系统(5)的平衡点为x_s1＝(x_s11,x_s12)＝(arcsin(ΔU/V_s),0)。作变量代换(x₁,x₂)→ (x₁,x₂)+(x_s11,x_s21)，将(x_s11,x_s21)平移到坐标原点，(5)式变为：

式(6)即为VSC接入弱网系统的二阶数学模型。

为了验证二阶数学模型(6)的有效性，在PSCAD/EMPDC平台中构建了VSC接入弱网系统的二阶模型和VSC接入弱网系统全阶的开关模型。系统参数如表1所示。选取如下2种工况进行仿真：(3s前系统运行参数和表1一致，此时系统的稳定平衡点记作x_s1)

表1 VSC接入弱网系统仿真模型参数

a1)3s时电网侧发生严重三相短路故障(故障点与并网点间的等效阻抗为0.05+0.5jpu)，故障点电压幅值跌落到0.075pu，相位与无穷大母线电压相位保持一致。根据电网规范，d轴参考电流由0.7pu阶跃到0pu，q轴参考电流由0pu阶跃到1pu，将此时系统的稳定平衡点记作x_s3。仿真结果如附图3(a)所示。

a2)3s时电网侧发生严重三相短路故障(故障点与并网点间的等效阻抗为0.05+0.5jpu)，故障点电压幅值跌落到0.1pu，相位与无穷大母线电压相位保持一致。d轴参考电流由0.7pu阶跃到0pu，q轴参考电流由0pu阶跃到1pu，将此时系统的稳定平衡点记作x_s2。17s时，故障点电压进一步跌落到0.075pu。

仿真结果如附图3(b)所示。

从附图3(a)和3(b)可以看到，即使系统暂态失稳，本文推导的降阶数学模型与开关模型也有较好的拟合度。证明了该降阶数学模型能够较好地反映VSC并网系统的暂态特性。

(2)VSC接入弱网系统的稳定域

利用LMI优化法可以得到多项式系统的稳定域，但本发明采用的数学模型中包含三角函数。为应用 LMI优化法，本文利用泰勒展开将其转化为多项式。不同阶数的泰勒展开式对原非线性的拟合效果如附图 4(a),4(b)所示。由附图4(a),4(b)可以看出，展开到8阶后，在区间[-π,π]内泰勒展开式与原函数几乎重合。考虑到VSC接入弱网系统暂态稳定时，PLL输出相角偏离平衡点的角度一般不超过π，因而，本文将数学模型(7)中的三角函数展开到8阶，其表达式如(9)所示，记作

下面首先将给出构建

稳定域的步骤^[1]。

步骤(1)如果系统

的Lyapunov函数v(x)未知，则任意选择一个最高次幂为dv(大于等于2的正整数)的正定多项式函数作为系统

的Lyapunov函数，然后基于LMI优化求解优化问题(B)得到待优化的变量c和矩阵Q。如果系统

的Lyapunov函数v(x)已知，则直接基于已知的v(x求解优化问题 (B)得到待优化的变量c和矩阵Q。

式(B)中矩阵P+L(α)是p(x)的完全SMR矩阵，p(x)＝-[q₁(x)，

为v(x)的对x的微分，q₁(x)是最高次幂为2k的多项式，k可以是任意正整数或0，q₂(x)是最高次幂为

的多项式，多项式q₁(x)和q₂(x)的系数可通过求解优化问题(B)得到，

表示(n-1)/2向上取整； Q＝diag(Q₁,Q₂)，Q₁和Q₂分别是q₁(x)和q₂(x)的SMR矩阵；trace(Q₁)表示矩阵Q₁的迹，约束中的trace(Q₁)＝1 是为了对(B)中的变量进行归一化。多项式函数的SMR矩阵和完全SMR矩阵的定义如下：多项式函数的SMR矩阵和完全SMR矩阵的求解方法可见文献[1]。

多项式的基向量：如果对于任意最高次幂不大于m的多项式h(x)(m是正整数)，都存在m+1行的向量 h满足：h(x)＝h^Tb_pol(x,m)，则称b_pol(x,m)为最高幂次不大于m的多项式h(x)的基向量。

SMR矩阵：对于最高次幂小于等于2m的多项式h(x)，如果有对称矩阵H满足：f(x)＝b_pol(x,m)^TH b_pol(x,m)，则称H为h(x)关于b_pol(x,m)的SMR矩阵。其中b_pol(x,m)是最高幂次不大于d的多项式的基向量。

完全SMR矩阵：对于最高次幂小于等于2m的多项式函数h(x)。如果有对称矩阵H和L(α)满足 h(x)＝b_pol(x,m)^T(H+L(α))b_pol(x,m),则称矩阵H+L(α)为h(x)的完全SMR矩阵，其中α是任意常数。

步骤(2)固定步骤(3)中优化得到的c和矩阵Q，然后基于LMI优化求解优化问题(C)以优化系统

的Lyapunov函数v(x)

式中Λ是v(x)的SMR矩阵，trace(Λ)表示矩阵Λ的迹；其它变量的含义与优化问题(B)中对应变量的含义一致。

步骤(3)反复进行步骤(3)与步骤(4)，直到求解优化问题(B)所得的c与求解优化问题(C)所得的trace(Λ) 之间的比值trace(Λ)/c无明显变化，结束迭代。此时的v(x)即为系统

最终的Lyapunov函数，

即为

的稳定域。

附图5展示了数学模型(6)与数学模型(9)在区域

内的相轨迹，从图中可以看出只要初始状态和运行轨迹都位于ψ内，则数学模型(6)与数学模型(9)的运行轨迹高度一致。也就是说，如果

是

稳定域的子集，则Ω_α也是

的子集。因而可通过步骤如下计算VSC接入弱网系统的稳定域：

步骤1：利用LMI优化法计算

的稳定域：

将ψ的边界记作

步骤2：求出

的最小值λ。如果λ>c，说明

则

的稳定域为Ω_α。否则，说明Ω_α在某些方向上超出了ψ，此时

的稳定域为

式(9)中x_s1＝arcsin((X_sI_tdref-R_sI_tqref)/V_s)。

(3)运用LMI优化法得到的VSC并网系统的稳定域的验证

VSC接入弱网系统的参数分别取李雅普诺夫函数的最高次幂为2，4，6，利用算法2计算系统的稳定域，将其画于图6。由图6可知，增加李雅普诺夫函数的最高次幂在一定程度上可以降低稳定域的保守性，例如李雅普诺夫函数的度的度从2增加到4，稳定域显著增大。但李雅普诺夫函数的度并非越大越好，例如李雅普诺夫函数的度的最高次幂从4增加到6，虽然稳定域在某些方向上有所扩大，但总的来说减小了。此外，为验证所得稳定域的正确性，本文利用逆轨迹法刻画出了系统的稳定域边界，如图6黑色实线所示。从图6中可以看出，本文得到的稳定域在系统真实的稳定域内，这说明本文构建的稳定域是正确的。此外为进一步验证本发明构建的稳定域的正确性，本发明利用LMI优化法构建系统的稳定域，并对工况a1)与 a2)进行分析。

对于工况a1)，扰动前系统运行于x_s1。t＝3s时，故障点发生三相对称短路故障后，系统的平衡点为x_s3，其稳定域为Ω₃，如附图7红圈所示。显然x_s1位于Ω₃外，系统可能暂态失稳。PSCAD/EMTDC仿真结果失稳。对于工况a2)，t＝3s时，故障点电压跌落到0.1pu，此时系统的平衡点为x_s2，其稳定域为Ω₂，如附图7蓝圈所示。显然x_s1位于Ω₂内，因而系统一定可以由x_s1稳定的过渡到x_s2，t＝17s时，故障点电压跌落到0.075pu。x_s2位于Ω₃内，因而系统可以稳定的由x_s2过渡到x_s3，PSCAD/EMTDC仿真结果与理论分析一致。通过工况a1)和a2)的分析在次说明了本发明利用LMI优化法得到的稳定域的正确性。

对于本发明所分析的系统，现有可得到其稳定域的方法主要有文献[15]运用的基于LaSalle不变集定理的能量函数法和文献[16]运用的平方和规划法。接下来本发明将分别利用这三种方法构建系统的稳定域，并做比较。为便于系统稳定域的刻画和对比分析，现定义图2(a)中t<3s、t＝3～17s，及t>17s三种工况下的平衡点分别为x_0,0、x_1,0和x_2,0。

在文献[15]中，基于LaSalle不变集定理构建的能量函数对时间的偏导只在θ_pll∈(-π/2,π/2)时负定，故在其刻画的稳定域中，θ_pll限定于(-π/2,π/2)。虽然保证了所构建稳定域的有效性，但增加了所构建稳定域的保守性。附图8(a)对比了本文所提方法及文献[15]方法针对平衡点x0,0的稳定域的刻画结果，从图中可以看出本文所提方法在降低保守性方面具有显著优势。

此外，为了与平方和规划法进行比较。本发明分别运用LMI优化法(李雅普诺夫函数的度取4)和平方和规划法法(李雅普诺夫函数的度也取4)刻画了平衡点x_s1、x_s2和x_s3的稳定域，并画于图8(b),(c),(d)。从图中可以看出，利用LMI优化法刻画的稳定域更大。

(4)控制参数对VSC接入弱网系统稳定域边界的影响

图9(a)和9(b)在相同的等效阻抗和锁相环参数的情况下，构建了不同d轴参考电流和q轴参考电流的 VSC接入弱网系统的稳定域。结果显示，随着d轴参考电流的减小和q轴参考电流的增大，VSC接入弱网系统的稳定域逐渐增大；图9(c)和9(d)通过电磁暂态仿真验证了随着d轴参考电流的减小和q轴参考电流的增大，VSC接入弱网系统的暂态稳定性增强。图10(a)和10(b)在相同的等效阻抗和参考电流的情况下，构建了不同锁相环控制参数k_p和k_i的VSC接入弱网系统的稳定域。结果显示，随着k_i的减小和k_p的增大， VSC接入弱网系统的稳定域逐渐增大；图10(c)和10(d)通过电磁暂态仿真验证了随着k_i的减小和k_p的增大， VSC接入弱网系统的暂态稳定性增强。

以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (1)

1.一种基于线性矩阵不等式优化法的VSC并网稳定域构建方法，其包括下列步骤：

步骤(1)对锁相环同步的VSC接入弱网系统进行简化，忽略系统暂态过程中的高频动态，建立仅计及锁相环动态的VSC接入弱网系统的二阶数学模型(A)：

式中x₁表示并网点电压相角和无穷大电网端电压相角的相角差，x₂表示积分电压∫V_tqdt，V_tq为并网点电压的q轴分量，k_p和k_i是PLL比例积分(PI)控制器的比例系数和积分系数，V_s为无穷大电网端电压幅值，X_g和R_g为并网点到无穷大电源间的等效电抗和等效电阻，I_tdref和I_tqref分别是d轴参考电流和q轴参考电流；将式(A)记作

其中x＝[x₁,x₂]^T；

步骤(2)在区域

内将锁相环同步的VSC接入弱网系统的二阶数学模型(A)中的三角函数泰勒展开到n阶，将展开后的多项式系统记作

其中x_1min与x_1max是与三角函数的泰勒展开阶数n一一对应的两个常数；

步骤(3)如果系统

的Lyapunov函数v(x)未知，则任意选择一个最高次幂为dv的正定多项式函数作为系统

的Lyapunov函数，dv为大于等于2的正整数；然后基于LMI优化求解优化问题(B)得到待优化的变量c和矩阵Q；如果系统

的Lyapunov函数v(x)已知，则直接基于已知的v(x)求解优化问题(B)得到待优化的变量c和矩阵Q；

式(B)中矩阵P+L(α)是p(x)的完全SMR矩阵，

是v(x)的对x的微分，q₁(x)是最高次幂为2k的多项式，k可以是任意正整数或0，q₂(x)是最高次幂为

的多项式，多项式q₁(x)和q₂(x)的系数可通过求解优化问题(B)得到，

表示(n-1)/2向上取整；Q＝diag(Q₁,Q₂)，Q₁和Q₂分别是q₁(x)和q₂(x)的SMR矩阵；trace(Q₁)表示矩阵Q₁的迹，约束中的trace(Q₁)＝1是为了对(B)中的变量进行归一化；

定义多项式的基向量：如果对于任意最高次幂不大于m的多项式h(x)，m是正整数，都存在m+1行的向量h满足：h(x)＝h^Tb_pol(x,m)，则称b_pol(x,m)为最高幂次不大于m的多项式h(x)的基向量；

定义SMR矩阵：对于最高次幂小于等于2m的多项式h(x)，如果有对称矩阵H满足：f(x)＝b_pol(x,m)^THb_pol(x,m)，则称H为h(x)关于b_pol(x,m)的SMR矩阵；其中b_pol(x,m)是最高幂次不大于d的多项式的基向量；

定义完全SMR矩阵：对于最高次幂小于等于2m的多项式h(x)；如果有对称矩阵H和L(α)满足h(x)＝b_pol(x,m)^T(H+L(α))b_pol(x,m),则称矩阵H+L(α)为h(x)的完全SMR矩阵，其中α是任意常数；

步骤(4)固定步骤(3)中优化得到的c和矩阵Q，然后基于LMI优化求解优化问题(C)以优化系统

的Lyapunov函数v(x)

式中Λ是v(x)的SMR矩阵，trace(Λ)表示矩阵Λ的迹；

步骤(5)反复进行步骤(3)与步骤(4)，直到求解优化问题(B)所得的c与求解优化问题(C)所得的trace(Λ)之间的比值trace(Λ)/c无明显变化，结束迭代；此时的v(x)即为系统

最终的Lyapunov函数，

即为

的稳定域；

步骤(6)将ψ的边界记作

并求

的最小值λ，如果λ>c，说明

则

的Lyapunov函数为v(x)/c，其为

否则，说明

此时系统性的缩小Ω_α，直到Ω_α恰好包含于ψ，即

的Lyapunov函数为v(x)/λ，其稳定域为

步骤(7)改变VSC接入弱网系统的控制参数I_tdref和I_tqref、k_p和k_i，获得不同控制参数下VSC接入弱网系统的稳定域边界，根据稳定域面积越大，系统暂态同步稳定性越强的特性，通过比较不同控制参数下稳定域面积的大小关系，定性的分析不同控制参数对VSC并网系统暂态同步稳定性的影响。

Images