CN114236813A - 基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了基于光矢量分解合成及惠更斯‑菲涅尔的矢量衍射算法，包括如下步骤：对沿x方向偏振的入射光，其传播到探测面上任意一点(x,y)，将x方向的电场强度Ex分解为s光Es和p光Ep，入射光传播到探测面Es不改变方向，Ep改变方向；对改变方向的Ep和不改变方向的Es重新进行矢量合成，得到x，y和z方向的分量E’x、E’y、E’z；将分量E’x、E’y、E’z的表达式带入惠更斯‑菲涅尔衍射公式得到矢量的惠更斯‑菲涅尔衍射。本发明获得的矢量的惠更斯‑菲涅尔衍射和Richard‑Wolf矢量衍射公式进行模拟对比可知，二者差别很小，仅在高数值孔径下有细微的差别，且本算法理论原理简单明了、计算方便。
Description
技术领域
本发明涉及物理光学中矢量衍射技术领域，尤其涉及基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法。
背景技术
在一般成像领域，标量衍射理论是一种很好的近似，但是对于高数值孔径(NA)物镜成像，就必须考虑光的矢量特性。例如光刻机所用的物镜，为了提高分辨率，其数值孔径一般都比较高，在此情况下分析其聚焦光斑大小及光强分布就不能只用标量衍射理论近似，而必须采用矢量衍射分析。此外，当入射光不是自然偏振光，而是线偏振、径向偏振或者椭圆偏振，其经过高数值孔径后光强分布也与自然光不一样，也必须采用矢量衍射分析。传统的矢量衍射采用Richard-Wolf矢量衍射公式计算[1][2]。传统的Richard-Wolf矢量衍射可由下面公式表示：
由上式可知，其计算x、y和z方向的电矢量是对极坐标进行积分，其物理含义并不明显，并且并未显式的表达不同z位置的光强分布，仅表示物镜焦平面上x、y和z分量的光强分布。Richard-Wolf矢量衍射是基于平面子波的叠加，其理论基础是平面波的角谱理论，其物理含义并不直观，并且是对极坐标进行积分，对于圆对称光学成像系统，其计算比较方便，但是对于非圆对称光学系统，其计算并不方便。
发明内容
为了解决上述技术问题，本发明提出了基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，物理含义明确，计算简单，可以很方便的计算包括物镜焦平面在内的任意z轴位置的x、y和z分量的光强分布。
为了达到上述目的，本发明的技术方案如下：
基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，包括如下步骤：
对沿x方向偏振的入射光，其传播到探测面上任意一点(x,y)，可以将入射面x方向的电场强度Ex分解为s光Es和p光Ep，考虑入射光由入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面上任意一点(x,y)，Es不改变方向，Ep改变方向，所述探测面为透镜的焦平面或任意z距离的平面；
对改变方向的Ep和不改变方向的Es重新进行矢量合成，可以得到x，y和z方向的分量E’x、E’y、E’z；
将分量E’x、E’y、E’z的表达式带入惠更斯-菲涅尔衍射公式可以得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射。
优选地，沿x方向偏振的入射光，从入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面上任意一点(x,y)上的x、y和z方向的偏振强度可以表示为：
优选地，将所述从入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面上任意一点(x,y)上的x、y和z方向的偏振强度代入惠更斯-菲涅尔原理得到的标量衍射公式，可以得到x、y和z方向的矢量衍射公式：
其中，m代表x、y或者z分量。
优选地，将所述公式(4)中相位项exp(jkr01)展开并保留二次项，可以得到矢量菲涅尔衍射公式：
优选地，对于傍轴近似，可以认为z≈r01，因此幅度系数
可以用1/z2代替，得到近似1：
优选地，如果考虑公式(1)(2)(3)的傍轴近似，所述公式(1),(2),(3)中的r01可以用z近似，因此得到近似2：
E′x(x,y,z；ξ,η)＝Ex(ξ,η) (7)
E′y(x,y,z；ξ,η)＝0 (8)
E′z(x,y,z；ξ,η)＝Ex(ξ,η)[-x-ξ)/z] (9)
将公式(7),(8),(9)代入所述公式(4)中，可以得到矢量惠更斯-菲涅尔衍射近似2，由此近似可知，入射光偏振为x偏振，探测面上占主导的仍然是x方向偏振，其次为z方向，而y方向偏振量最少，几乎为0。
优选地，当入射面有透镜或者物镜时，将透镜表达式代入所述公式(4)即可，所述透镜表达式如下：
优选地，所述偏振的入射光包括任意偏振方向的线偏振入射光，径向偏振光，和圆偏振或者椭圆偏振入射光。
基于上述技术方案，本发明的有益效果是：本发明提出了基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，物理含义简单明了，并且是用笛卡尔坐标系进行积分，可以很方便的计算包括物镜焦平面在内的任意z位置的探测平面上的x，y和z分量的光强分布，可以很方便的分析高数值孔径下焦点偏移问题。本发明的核心物理含义为光矢量的分解与合成，然后对合成后探测面上的x，y及z方向的光矢量套用经典的惠更斯-菲涅尔原理，得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射，是标量惠更斯-菲涅尔原理对矢量的直接推广，物理含义简单明了，计算方便。经典的Richard-Wolf矢量衍射，是基于平面波的角谱理论，物理含义并不直观，对于非对称光学系统计算并不方便，并且并未显式的表达不同z位置的光强分布，仅表示物镜焦平面上x，y和z分量的光强分布。对不同数值孔径(NA)的物镜进行计算对比，本发明提出的矢量惠更斯-菲涅尔衍射与Richard-Wolf矢量衍射结果基本一致，仅在高数值孔径(NA)下有细微的差别。本发明提出的矢量惠更斯-菲涅尔衍射是基于球面子波的叠加，其与Richard-Wolf矢量衍射所采用的平面子波的叠加谁更精确仍然是一个值得探讨的问题。当然，二者的差别也是极小的。
附图说明
图1为x方向偏振的入射光传播到探测面的电场强度Ex的矢量分解；
图2为ξ-η平面和rxy-r01平面的矢量分解；
图3为本发明矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对比(NA＝0.5):左图为x方向总光强分布，右图为y方向总光强分布；
图4为本发明矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对比(NA＝0.87):左图为x方向总光强分布，右图为y方向总光强分布；
图5为本发明矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对比(NA＝0.97):左图为x方向总光强分布，右图为y方向总光强分布；
图6为本发明矢量惠更斯-菲涅尔衍射不同NA(即不同出射角α)下x、y和z分量光强分布；
图7为本发明矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对比(NA＝0.5、0.87和0.97):对数等高线。
具体实施方式
本发明提出了一种基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔原理的矢量衍射理论及计算方法，物理含义明确，计算简单。
对沿x方向偏振的入射光，其传播到探测面(例如透镜的焦平面)上任意一点(x,y)，可以将x方向的电场强度Ex分解为s光Es和p光Ep，入射光传播到探测面Es不改变方向，Ep改变方向(如说明书附图1所示)。对改变方向的Ep和不改变方向的Es重新进行矢量合成(如说明书附图1和图2所示)，可以得到x、y和z方向的分量E’x、E’y、E’z。从入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面(例如透镜或物镜焦平面，或者任意z距离的平面)上任意一点(x,y)上的x、y和z方向的偏振强度可以表示为(各字母含义见说明书附图1和图2)：
其中，ξ-η代表入射面坐标系，x-y代表探测面坐标系。Ex(ξ,η)代表入射面上点(ξ,η)沿x方向上的电矢量，Es和Ep代表光矢量Ex的s分量和p分量(见附图1)。r01为光传播方向矢量，rxy为光传播方向矢量r01在入射面ξ-η上的投影(见附图2)，E′x(x,y,z；ξ,η)、E′y(x,y,z；ξ,η)和E′z(x,y,z；ξ,η)表示由入射面上任意一点(ξ,η)的光矢量传播到位于z位置的探测面x-y上的任意一点(x,y)的光矢量在x、y和z方向的分量。角度β为Ex与rxy的夹角，角度θ为Ez与r01的夹角(见附图2)。
将探测面上x，y和z方向的偏振强度表达式(1),(2),(3)代入惠更斯-菲涅尔原理得到的标量衍射公式，可以得到x，y和z方向的矢量衍射公式(可以称之为矢量惠更斯-菲涅尔衍射)：
其中，m代表x、y或者z分量。
将公式(4)中相位项exp(jkr01)展开并保留二次项，可以得到矢量菲涅尔衍射公式：
当探测面相对于入射光阑很远，或者数值孔径(NA)较小时，矢量菲涅尔衍射公式(5)与矢量惠更斯-菲涅尔公式计算结果相差很小。
对于傍轴近似，可以认为z≈r01，因此幅度系数
可以用1/z2代替，得到近似1：
如果考虑公式(1)(2)(3)的傍轴近似，所述的公式(1),(2),(3)中的r01可以用z近似，因此得到近似2：
E′x(x,y,z；ξ,η)＝Ex(ξ,η) (7)
E′y(x,y,z；ξ,η)＝0 (8)
E′z(x,y,z；ξ,η)＝Ex(ξ,η)[-(x-ξ/z] (9)
将公式(7),(8),(9)代入公式(4)可以得到矢量惠更斯-菲涅尔衍射近似2。由此近似可知，入射光偏振为x偏振，探测面上占主导的仍然是x方向偏振，其次为z方向，而y方向偏振量最少，几乎为0。
当入射面有透镜或者物镜时，只需要将透镜表达式代入公式(4)即可，透镜表达式如下：
偏振的入射光包括任意偏振方向的线偏振入射光，径向偏振光，圆偏振或者椭圆偏振入射光。对于任意偏振方向的线偏振入射光，只需要将线偏光矢量分解为x和y方向的线偏矢量，然后再应用权利要求2和权利要求3所述的方法即可。对于圆偏振或者椭圆偏振入射光，类似的，也只需要将圆偏振或者椭圆偏振光矢量分解为x和y方向的线偏矢量(但是x和y方向偏振矢量有一个相位差)，然后再应用权利要求2和权利要求3所述的方法即可。
本发明的核心物理含义为光矢量的分解与合成，然后对合成后探测面上的x、y及z方向的光矢量套用经典的惠更斯-菲涅尔原理，得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射，是标量惠更斯-菲涅尔原理对矢量的直接推广，物理含义简单明了，计算方便。经典的Richard-Wolf矢量衍射，是基于平面波的角谱理论，物理含义并不直观，对于非对称光学系统计算并不方便。
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细描述。对比不同数值孔径(NA)下矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射x、y方向总光强分布，以及x、y和z方向光强分布。
实施例1
本实施例考虑NA＝0.5(α＝30°)的物镜，考虑入射光电矢量为x方向的线偏振光，物镜焦平面上的x和y总光强分布见附图3。其中，实线为Richard-Wolf矢量衍射结果(公式(11)),虚线为矢量惠更斯-菲涅尔衍射结果(公式(4))。可见，矢量惠更斯-菲涅尔衍射结果与Richard-Wolf矢量衍射结果在x和y方向光强分布几乎完全重合。附图6第一行(α＝30°)显示了矢量惠更斯-菲涅尔衍射x，y和z分量的光强分布。附图7第一行(α＝30°)显示了矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对数等高线对比图。本发明的核心物理含义为光矢量的分解与合成，然后对合成后探测面上的x，y及z方向的光矢量套用经典的惠更斯-菲涅尔原理，得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射，是标量惠更斯-菲涅尔原理对矢量的直接推广，物理含义简单明了，计算方便。经典的Richard-Wolf矢量衍射，是基于平面波的角谱理论，物理含义并不直观，对于非对称光学系统计算并不方便。
实施例2
本实施例考虑NA＝0.87(α＝60°)的物镜，考虑入射光电矢量为x方向的线偏振光，物镜焦平面上的x和y总光强分布见附图4。其中，实线为Richard-Wolf矢量衍射结果(公式(11)),虚线为矢量惠更斯-菲涅尔衍射结果(公式(4))。可见，矢量惠更斯-菲涅尔衍射结果与Richard-Wolf矢量衍射结果在x和y方向光强分布几乎完全重合。附图6第二行(α＝60°)显示了矢量惠更斯-菲涅尔衍射x，y和z分量的光强分布。附图7第二行(α＝60°)显示了矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对数等高线对比图。本发明的核心物理含义为光矢量的分解与合成，然后对合成后探测面上的x，y和z方向的光矢量套用经典的惠更斯-菲涅尔原理，得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射，是标量惠更斯-菲涅尔原理对矢量的直接推广，物理含义简单明了，计算方便。经典的Richard-Wolf矢量衍射，是基于平面波的角谱理论，物理含义并不直观，对于非对称光学系统计算并不方便。
实施例3
本实施例考虑NA＝0.97(α＝75°)的物镜，考虑入射光电矢量为x方向的线偏振光，物镜焦平面上的x和y总光强分布见附图5。其中，实线为Richard-Wolf矢量衍射结果(公式(11)),虚线为矢量惠更斯-菲涅尔衍射结果(公式(4))。可见，矢量惠更斯-菲涅尔衍射结果与Richard-Wolf矢量衍射结果在x方向光强分布几乎完全重合，在y方向光强分布中心部分几乎完全重合，仅在第一个次峰部分有细微差别。附图6第三行(α＝75°)显示了矢量惠更斯-菲涅尔衍射x，y和z分量的光强分布。附图7第三行(α＝75°)显示了矢量惠更斯-菲涅尔衍射和Richard-Wolf矢量衍射对数等高线对比图。本发明的核心物理含义为光矢量的分解与合成，然后对合成后探测面上的x，y及z方向的光矢量套用经典的惠更斯-菲涅尔原理，得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射，是标量惠更斯-菲涅尔原理对矢量的直接推广，物理含义简单明了，计算方便。经典的Richard-Wolf矢量衍射，是基于平面波的角谱理论，物理含义并不直观，对于非对称光学系统计算并不方便。
由图6所示的矢量惠更斯-菲涅尔衍射计算得到的光矢量的x，y和z分量的光强分布可以看到，x分量有一个主峰，y分量有4个花瓣状主峰，而z分量有2个主峰。由光矢量的分解与合成是很容易看出这些特征的。这与Richard-Wolf矢量衍射结果是一致的。因为矢量惠更斯-菲涅尔衍射与Richard-Wolf矢量衍射结果差别是很小的，只有从对数尺度才能看出一定差别。附图7对比了物镜不同NA下二者的对数等高线图。
由附图3-5，附图6以及附图7可以看出，物镜数值孔径(NA)越大，光斑大小越小，也就是说，分辨率越高。此外，对于高数值孔径(NA)的成像系统，入射光矢量沿x方向偏振，则y方向的分辨率高于x方向分辨率。
对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形式实现本发明。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内。
Claims (8)
1.基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，包括如下步骤：
对沿x方向偏振的入射光，其传播到探测面上任意一点(x,y)，可以将入射面x方向的电场强度Ex分解为s光Es和p光Ep，考虑入射光由入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面上任意一点(x,y)，Es不改变方向，Ep改变方向，所述探测面为透镜的焦平面或任意z距离的平面；
对改变方向的Ep和不改变方向的Es重新进行矢量合成，可以得到x，y和z方向的分量E’x、E’y、E’z；
将分量E’x、E’y、E’z的表达式带入惠更斯-菲涅尔衍射公式可以得到矢量的惠更斯-菲涅尔衍射。
2.根据权利要求1所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，沿x方向偏振的入射光，从入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面上任意一点(x,y)上的x、y和z方向的偏振强度可以表示为：
3.根据权利要求2所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，将所述从入射面上任意一点(ξ,η)传播到探测面上任意一点(x,y)上的x、y和z方向的偏振强度代入惠更斯-菲涅尔原理得到的标量衍射公式，可以得到x、y和z方向的矢量衍射公式：
其中，m代表x、y或者z分量。
4.根据权利要求3所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，将所述公式(4)中相位项exp(jkr01)展开并保留二次项，可以得到矢量菲涅尔衍射公式：
5.根据权利要求3所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，对于傍轴近似，可以认为z≈r01，因此幅度系数
可以用1/z2代替，得到近似1：
6.根据权利要求3所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，如果考虑公式(1)(2)(3)的傍轴近似，所述公式(1),(2),(3)中的r01可以用z近似，因此得到近似2：
E′x(x,y,z；ξ,η)＝Ex(ξ,η) (7)
E′y(x,y,z；ξ,η)＝0 (8)
E′z(x,y,z；ξ,η)＝Ex(ξ,η)[-(x-ξ)/z] (9)
将公式(7),(8),(9)代入所述公式(4)中，可以得到矢量惠更斯-菲涅尔衍射近似2，由此近似可知，入射光偏振为x偏振，探测面上占主导的仍然是x方向偏振，其次为z方向，而y方向偏振量最少，几乎为0。
7.根据权利要求3所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，当入射面有透镜或者物镜时，将透镜表达式代入所述公式(4)即可，所述透镜表达式如下：
8.根据权利要求1所述的基于光矢量分解合成及惠更斯-菲涅尔的矢量衍射算法，其特征在于，所述偏振的入射光包括任意偏振方向的线偏振入射光，径向偏振光，和圆偏振或者椭圆偏振入射光。
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