CN114036678B - 一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，它针对卫星姿态控制系统长时间无人值守和缺乏维护下的退化失效问题，提出了一种基于飞轮可靠性建模预测的控制动态调节自主延寿方法。首先，建立飞轮的退化随机过程模型；其次，基于飞轮的退化随机过程模型建立飞轮可靠性评估模型；然后，联立卫星姿态动力学方程、飞轮退化随机过程模型和飞轮可靠性评估模型建立扩张飞轮退化‑姿态耦合动力学模型；最后，设计模型预测控制框架下的卫星姿态和飞轮退化所对应的权重系数的动态调节策略。本发明实现控制性能与使用寿命间的权衡，其原理和计算过程简单易懂，容易实现工程化应用，其产生的航天器在轨自主延寿效果具有较大的经济和社会效益。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，它针对卫星姿态控制系统长时间无人值守和缺乏维护下的退化失效问题，研究建立了一种基于飞轮可靠性建模预测的控制动态调节自主延寿方法，属于航天器姿态控制技术领域。
背景技术
飞轮是卫星姿态控制系统中常用的执行机构，在干扰和故障影响下，一方面要物理实现控制作用对卫星姿态的精准调整，另一方面需保证自身在恶劣环境及持续工作载荷下的寿命指标。由于受到恶劣环境及持续工作载荷的影响，占比44％的执行机构故障是最严重最频繁的航天器姿态控制系统故障。2013年，美国国家航空航天局研制的价值6亿美元的开普勒望远镜因四个飞轮的两个发生故障最终无法修复而被迫停止服役。由此可见，将作为薄弱环节的飞轮可靠性动态建模预测结果用于控制优化而形成自主延寿姿态控制方法，不仅能最直接有效地提高姿态控制系统使用寿命，还可缝合“执行机构可靠性分析与控制设计割裂研究”的缺口，拓宽可靠性学科的应用场景，具有重要理论意义和工程价值。
美国在上世纪就已大力开展外太空环境机械电子器件基于退化失效机理研究和退化数据信息融合的可靠性建模和寿命预测以应对复杂结构和复杂环境带来的故障频发问题。同时，2007年美国宇航局启动了“自愈飞行控制”的研究计划，旨在增强飞行控制系统的“自愈”能力。2012年，美国国家基金委启动了“故障自愈系统”的研究计划，旨在扩大自愈控制技术的应用范围。然而，我国对于航天器的自主健康维护研究还相对薄弱，未形成故障预测与健康管理的系统化理论体系和应用平台。虽然现有大量研究针对航天器执行机构开展了可靠性建模分析，但大都停留在单纯的量化分析和地面设计层面，未探讨对在轨姿态控制的影响及可能的自主维护措施。
传统控制系统的执行机构维护过程是被动的，即在执行机构故障下系统性能不能满足时，或者达到预定维护时间时才采取相应维护措施；而延寿控制则是一种主动管理执行机构健康的方法，是在执行机构出现退化或微小故障时，通过改变控制作用或者控制器结构、参数来自主延长系统的工作时间，提高设备的可用性。然而，使用寿命的提高必然伴随着一定的控制性能的牺牲，因此两者之间的最优权衡是某些控制系统完成规定任务的必然要求。控制性能与使用寿命之间的权衡是困难，相应涉及的研究工作也比较少见。文献《Amodeling framework for deteriorating control system and predictivemaintenance of actuators》根据基于实时退化量的剩余寿命估计有针对性地调节线性二次型控制器参数来减小控制作用，进而缓解执行机构压力达到延寿的目的。文献《A noveldegradation modeling and prognostic framework for closed-Loop systems withdegrading actuator》提出了假设系统动态模型中某一参数随时间退化的隐退化建模方法，并通过调整PID控制器的比例系数，给出了一种延长使用寿命的方法。然而，上述方法在退化建模过程中未考虑控制器参数的调节与退化程度的关联性，且没有给出控制器参数或控制目标调节量的量化方法。
综上所述，一方面目前国内还未有相关文献和专利研究卫星的自主延寿姿态控制方法，另一方面现有方法仍存在理论和应用局限，亟需发展更具有前瞻性、工程适用性的卫星自主延寿姿态控制方法。本发明将主要围绕卫星的飞轮可靠性建模和姿态控制优化问题展开，进而基于剩余寿命预测的控制动态调节技术提出一种能够延长卫星在轨使用寿命的姿态控制方法，并用案例验证方法的可行性。
发明内容
本发明解决的技术问题是：针对卫星姿态控制系统长时间无人值守和缺乏维护下的退化失效问题，提供一种全新的模型预测控制框架下的基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，采用一套基于飞轮寿命预测的权重更新策略调整飞轮退化权重以获得合适的控制作用实现卫星姿态控制性能和飞轮退化之间的动态权衡，完成基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，提高卫星使用寿命和空间资产效益。
本发明的技术解决方案为：一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，建立融入飞轮退化动态的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型，在此基础上设计模型预测控制框架下的权重动态调节策略，根据寿命预测结果调整飞轮退化权重以获得合适的控制作用实现卫星姿态控制性能和飞轮退化之间的权衡，完成基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，具体实现步骤如下：
第一步，建立飞轮的退化随机过程模型。以常用的飞轮润滑剂剩余量、电流或轴温作为性能退化表征量，性能退化表征量退化形式服从非线性耦合维纳过程，且性能退化速率与控制作用或系统状态相关，利用加速退化试验中描述模型参数和工作载荷间关系的加速模型，建立性能退化速率与控制作用间的关系。一般地，卫星姿态动力学模型可近似转化为如下线性系统形式：
式中，表示在t时刻的卫星状态变量，/>为作用在系统上的控制输入，/> 为外部干扰，/>为输出变量，为一定维数的各类矩阵。
不失一般性，以常用的飞轮润滑剂剩余量、电流或轴温作为性能退化表征量，且其退化形式服从非线性维纳过程，非线性维纳过程可表示为：
式中，为初始退化量，σ为扩散系数，B(t)为标准布朗运动，σB(t)即表示退化过程的随机动态特性；非线性部分/>描述了飞轮确定性的退化轨迹，且表示性能退化速率。
飞轮的性能退化速率与控制作用或卫星状态相关。利用加速退化试验中描述模型参数和工作载荷间关系的加速模型，以阿伦尼斯模型为例建立性能退化速率μ(t,x(t),u(t))与控制作用u(t)间的关系：
μ(t,x(t),u(t))＝μ0exp(α|u(t)|), (3)
式中，μ0和α均为未知参数，可通过试验或在轨运行数据估计。若控制作用为0，则μ(t)＝μ0，因此μ0指无控制作用时的基准退化速率。式(3)意味着当飞轮处于工作状态时，其性能退化会被加速，α为放大因子。
综上，以非线性耦合维纳过程模型描述飞轮的性能退化过程，其一般形式可表示为：
式中，
在退化数据拟合和退化过程跟踪方面，如果参数估计准确，式(2)和式(4)理论上具有近乎相同的效果。然而，若不考虑退化速率与控制作用或系统状态的耦合效应，则难以从定量的方式管理飞轮的运行健康状态。函数μ(τ,x(t),u(t))中x(t)和u(t)可被认为是工作载荷的来源。显然，μ(τ,x(t),u(t))的具体形式依赖于实际背景，应由相关的物理定性分析和数据定量建模确定。
第二步，基于第一步建立的飞轮的退化随机过程模型，建立飞轮的可靠性评估模型。当飞轮的性能退化量超过规定失效阈值时，飞轮发生失效。失效阈值可由工程经验、历史数据或相关试验获得。进一步，失效阈值可能是随机的，而基于多个飞轮失效数据的均值和方差的统计特性可作为失效阈值的近似估计。于是，飞轮在时间t的可靠度可定义为飞轮退化在时间t内未超过失效阈值/>的概率，可表示为：
式中，Φ(·)为标准正态分布函数。当给定当前时刻tj的性能退化测量值/> 条件可靠度Rj(t)可通过简单的时间尺度转换和阈值代换得到，可表示为：
若飞轮退化过程是单调增加的，那么式(5)和(6)能被简化为
第三步，基于第一步建立的飞轮的退化随机过程模型和第二步建立的飞轮可靠性评估模型，建立扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型。卫星的姿态运动是指卫星绕自身质心的转动运动，其姿态动力学方程可由刚体的动量矩定理导出。本发明采用零动量飞轮三轴姿态稳定系统作为卫星的执行机构，因此其在滚转、俯仰和偏航三轴上的姿态运动是相互解耦的。以俯仰轴姿态运动为例，其动力学方程为：
式中，Jx、Jy、Jz分别为卫星三轴转动惯量，θ(t)为卫星俯仰角，υ为卫星轨道运行速率，Tr(t)为飞轮输出力矩，dy(t)为卫星所受环境干扰在俯仰轴上的分量。
为方便分析与设计控制律，将姿态动力学方程转化为状态空间形式，令x1(t)＝θ(t)，u(t)＝Tr(t)，于是有：
由于飞轮退化与状态或控制作用相关，因此可考虑将式(4)融入姿态动力学模型(10)形成俯仰角的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型，可表示为：
式中，除了将俯仰角y(t)作为控制输出变量外，也将Ψ(t)或R(t)作为输出变量，两个输出变量间的跟踪精度动态调节可实现飞轮控制性能与寿命间的权衡。
第四步，基于第二步建立的飞轮可靠性评估模型和第三步建立的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型，设计模型预测控制框架下的权重动态调节策略，完成基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法。模型预测控制基于三个步骤“预测系统未来动态、求解优化问题、解的第一个元素作用于系统”和一个机制“滚动时域、重复进行”获得最优控制律。针对本发明，将(11)写为离散化形式后，姿态控制的模型预测控制框架由以下混合目标函数和约束构成：
满足：
Δu(k+i)＝0,Nc≤i≤Np,
式(12)和(13)中，相关的变量均为离散形式，k,i∈Z+，k表示第tk＝kΔt时刻，同理k+i表示第tk+i＝(k+i)Δt时刻，Δt为离散采样间隔；y(k+i)和Ψ(k+i)为预测的俯仰角和飞轮退化量；Np和Nc为预测时域和控制时域；umin和umax为预测控制律u(k+i)的下界和上界；Δumin和Δumax为控制律增量Δu(k+i)的下界和上界；ymin(k+i)和ymax(k+i)为俯仰角y(k+i)的下界和上界；ΨU(k+i)为飞轮退化量Ψ(k+i)的上界；ry(k+i)和rΨ(k+i)分别为期望的俯仰角和飞轮退化量；wy,i(k)和wΨ,i(k)为俯仰角和飞轮退化跟踪精度的权重系数，其值可随时间变化；sy和sΨ为俯仰角和飞轮退化的尺度因子；u(k+i)为预测控制律，定义为：
u(k+i)＝ui,i＝0,1,…,Nc-1, (14)
式中，形成了优化问题(12)和(13)的独立变量，可行解表示为最优控制序列/>其中第一个元素/>将被作用于卫星姿态控制系统的飞轮上。优化问题可基于序贯二次规划法或启发式算法进行求解。
由于只有一个控制变量，俯仰角和飞轮退化两个输出变量的跟踪精度可由其对应的权重系数进行动态调节，主要目标在于实现在俯仰角误差可接受的范围内尽可能延缓飞轮退化从而延长系统使用寿命。从实际角度看，由于保证俯仰角的稳定性和准确性是根本的控制目标，因此对俯仰角的控制应始终处于较高的优先级。然而，随着飞轮可靠性的降低，控制器向飞轮传递的控制指令的幅值会逐渐增大，从而使得姿态控制始终具有较高的稳态性能。如果规定任务时间可被达成，则增大的控制律是针对控制系统内在要求的合理响应。然而，若因飞轮故障而无法完成规定任务时间，则延长其寿命是必要的，因此在无法维修的情况下控制飞轮退化是实现这一目标的最佳方法。显然，在飞轮退化权重为零的情况下，如果控制动作过大，飞轮可能会出现退化过快的情况。因此，若飞轮退化的权重开始从零增加，控制律的幅值将在一定程度上受到限制，这将自动缓解飞轮的使用应力，从而减缓飞轮退化。
本发明给出如下权值的动态调节方法：
a)在控制任务的初始阶段(k＝0)，飞轮退化跟踪精度的权重设置为0并在预测时域中保持不变，即wΨ,i(0)＝0(i＝1,2,…,Np)；卫星俯仰角跟踪精度的权重设置为1并在预测时域中保持不变，即wy,i(0)＝1(i＝1,2,…,Np)；
b)随着飞轮退化，令俯仰角跟踪精度的权重保持不变，而飞轮退化跟踪精度的权重根据以下规则进行变动：
式中，ρ为增长因子，δ为调节系数，wΨ,max为飞轮退化跟踪精度的最大权重。调节系数δ由下式计算：
式中，Treq,k＝Treq-tk为剩余任务时间，Treq为初始规定的任务时间，tk＝kΔt，Δt为采样间隔，寿命预测值，可通过下式计算：
式中，Rk(t)为在时间tk的条件可靠性模型，参考式(6)或(8)。式(17)为随机剩余寿命变量的分位数，意味着飞轮可靠性不应低于给定的阈值Rmin。
根据式(15)和(16)，当退化跟踪精度的权重会被降低从而增加卫星俯仰角的跟踪精度；相反地，飞轮退化跟踪精度的权重会被增加以延缓飞轮退化。此外，若调节系数在每个采样点都被计算，计算复杂度可能过高且权重调节频率可能过快。因此，调节系数的计算区间或权重调节的区间在实际运行环境中应被适当延长，一般可设置为采样间隔的整数倍。
本发明与现有技术相比的优点在于：本发明针对卫星姿态控制系统长时间无人值守和缺乏维护下的退化失效问题，提出了一种可以自主延长卫星在轨使用寿命的方法，方法融合姿控系统动力学模型和飞轮退化模型形成扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型，并通过模型预测控制的权重系数动态调节卫星姿态和飞轮退化的跟踪精度，从而实现控制性能与使用寿命间的权衡。此外，通过扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型，研究者可探索设计考虑寿命因素的更先进的控制器。所提出的方法原理和计算过程简单易懂，容易实现工程化应用，可望有效延长航天器的使用寿命，产生较大的经济和社会效益。
附图说明
图1为本发明一种基于飞轮可靠性动态的卫星自主延寿姿态控制方法的设计流程图；
图2为考虑动态调节和不考虑动态调节下的俯仰角变化曲线图；
图3为考虑动态调节和不考虑动态调节下的飞轮可靠度变化曲线图；
图4为不同飞轮退化参考轨迹设置对控制效果的影响比对图；
图5为不同飞轮退化最大权重设置对控制效果的影响比对图；
图6为不同飞轮退化增长因子设置对控制效果的影响比对图。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明进行详细说明。
如图1所示，本发明涉及一种基于飞轮可靠性动态的卫星自主延寿姿态控制方法，主要以结构简单、控制精度高、无污染的飞轮为执行机构研究对象。第一步，以飞轮润滑剂剩余量、电流或轴温作为性能退化表征量，性能退化表征量的退化形式服从非线性耦合维纳过程，且性能退化速率与飞轮控制作用或姿态控制系统状态相关，利用加速退化试验中描述退化模型参数和工作载荷间关系的加速模型，建立性能退化速率与控制作用或姿态控制系统状态间的关系，建立飞轮的退化随机过程模型；第二步，飞轮在特定时间的可靠度定义为飞轮退化量值在该时间内未超过规定失效阈值的概率，基于第一步建立的飞轮退化随机过程模型和可靠度定义，建立飞轮的可靠性评估模型；第三步，将第一步建立的飞轮退化随机过程模型写为微分形式，得到飞轮的退化动态模型，并将退化动态模型和第二步建立的飞轮可靠性评估模型融入卫星俯仰轴姿态动力学模型，建立俯仰轴的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型；第四步，基于第二步建立的飞轮可靠性评估模型获得飞轮寿命预测结果，并基于第三步建立的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型设计具有飞轮退化和俯仰角混合目标函数及相应约束的模型预测控制框架，进而根据飞轮剩余寿命预测结果，设计模型预测控制框架下的权重动态调节策略得到飞轮退化的时变权重，从而完成基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法。本发明融合姿控系统动力学模型和飞轮退化模型形成扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型，并通过模型预测控制的权重系数动态调节卫星姿态和飞轮退化的跟踪精度，从而能够简单方便地实现控制性能与使用寿命间的权衡。
具体实施步骤如下：
第一步，建立飞轮的退化随机过程模型。令飞轮的退化过程可描述为：
式中，基准退化速率μ0，扩散系数σ，放大因子α可通过历史退化数据和在线可测退化数据结合贝叶斯参数估计方法得到。
第二步，建立飞轮的可靠性评估模型。本实施例假设飞轮退化单调增加，飞轮的可靠性评估模型为：
第三步，建立卫星俯仰轴的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型。本实施例的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型表示为：
第四步，设计模型预测控制框架下的动态调节策略。首先，模型参数和初始状态的数值设置见表1，表1中的数值设置仅用于说明动态调节策略的有效性。
表1模型参数和初始状态
通过本实施例公开的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法给出的控制效果与不考虑使用寿命要求的模型预测控制方法给出的控制效果进行对比，说明本发明的优点。
a)验证本实施例的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法能够使得系统的使用寿命得到有效延长，但伴随一定的控制性能损失。
图2-3给出了动态调节和无动态调节对应的姿态控制效果图和飞轮可靠度变化曲线图。由图2可知，本实施例在动态调节下的使用寿命从无动态调节的92.7秒延长至101秒，但控制性能在某些时间段被牺牲，如时间段[43.5s,47.8s]。对应于图2，图3的飞轮可靠性在动态调节下有所提高。
b)验证本实施例的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法的控制效果受飞轮退化参考轨迹的影响较大，建议使用来自同类型飞轮的历史退化数据设计参考轨迹。
图4展示了不同的飞轮退化参考轨迹对控制效果的影响。一般地，希望飞轮退化尽可能低，因此用于比较的参考轨迹被设置为原有的0.8，0.6，0.2倍。尽管飞轮退化参考轨迹变低，但延寿效果的提升并不明显，但控制性能损失却较为明显。因此，建议使用来自同类型飞轮的历史退化数据构建飞轮退化的参考轨迹。
c)验证本实施例的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法的控制效果受飞轮退化最大权重和权重增长因子的影响较大，因此飞轮退化最大权重不超过姿态角权重，且飞轮退化权重增长因子一般可设置为飞轮退化最大权重的0.1倍。
图5-6展示了飞轮退化最大权重和权重增长因子对控制效果的影响。由图5可知，随着飞轮退化最大权重的增加，延寿效果有所提升，且控制性能损失不明显，但出于控制性能考虑，飞轮退化最大权重不超过姿态角权重以避免不可预料的失控；由图6可看出，过小的权重增长因子无法实现使用寿命的有效延长，而过大的权重增长因子则造成较差的控制性能，建议权重增长因子一般设置为最大权重的0.1倍。
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。
Claims (5)
1.一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，其特征在于，包括以下步骤：
第一步，以飞轮润滑剂剩余量、电流或轴温作为性能退化表征量，性能退化表征量的退化形式服从非线性耦合维纳过程，且性能退化速率与飞轮控制作用或姿态控制系统状态相关，利用加速退化试验中描述退化模型参数和工作载荷间关系的加速模型，建立性能退化速率与控制作用或姿态控制系统状态间的关系，建立飞轮的退化随机过程模型；
第二步，飞轮在特定时间的可靠度定义为飞轮退化量值在该时间内未超过规定失效阈值的概率，基于第一步建立的飞轮退化随机过程模型和可靠度定义，建立飞轮的可靠性评估模型；
第三步，将第一步建立的飞轮退化随机过程模型写为微分形式，得到飞轮的退化动态模型，并将退化动态模型和第二步建立的飞轮可靠性评估模型融入卫星俯仰轴姿态动力学模型，建立俯仰轴的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型；
第四步，基于第二步建立的飞轮可靠性评估模型获得飞轮寿命预测结果，并基于第三步建立的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型设计具有飞轮退化和俯仰角混合目标函数及相应约束的模型预测控制框架，进而根据飞轮寿命预测结果，设计模型预测控制框架下的权重动态调节策略，从而完成基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法。
2.根据权利要求1所述的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，其特征在于：所述第一步中，建立飞轮的退化随机过程模型如下：
式中，Ψ(t)的退化形式服从随时间t变化的非线性耦合维纳过程，物理意义表示飞轮润滑剂剩余量、电流或轴温的性能退化量值，为初始性能退化量值；σ为扩散系数，B(t)为标准布朗运动，σb(t)即表示退化过程的随机动态特性；非线性部分/>描述了飞轮确定性的退化轨迹，而/>表示与控制作用/>或卫星状态/>耦合的性能退化速率；μ(t，x(t)，u(t))的具体表达式为μ(t，x(t)，u(t))＝μ0exp(α|u(t)|)，μ0exp(α|u(t)|)为描述性能退化速率和控制作用间关系的加速模型，μ0为基准退化速率，α为放大因子，μ0和α的值可通过载荷试验或在轨运行数据估计。
3.根据权利要求1所述的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，其特征在于：所述第二步建立飞轮的可靠性评估模型R(t)如下：
式中，t为时间， 为失效阈值/>失效阈值可由工程经验、历史数据或相关试验获得；Φ(·)为标准正态分布函数，当给定当前时刻tj的性能退化测量值时，条件可靠度Rj(t)通过简单的时间尺度转换和阈值代换得到，表示为：
若飞轮退化过程是单调递增的，式(2)简化为：
式(3)简化为：
4.根据权利要求1所述的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，其特征在于：所述第三步中，建立卫星俯仰轴的扩张飞轮退化-姿态耦合动力学模型如下：
式中，Jx、Jy、Jz分别为卫星三轴转动惯量；卫星俯仰角x1(t)、俯仰角速率x2(t)和飞轮平均性能退化量x3(t)为控制状态变量；u(t)为飞轮输出力矩，υ为卫星轨道运行速率，dy(t)为卫星所受环境干扰在俯仰轴上的分量；俯仰角y(t)、飞轮退化量值Ψ(t)和飞轮可靠度R(t)为控制输出变量。
5.根据权利要求4所述的一种基于飞轮单元可靠性动态的卫星控制动态调节延寿方法，其特征在于：所述第四步中，设计模型预测控制框架下的权重动态调节策略如下：
将式(6)写为离散化形式后，首先设计卫星姿态控制的模型预测控制框架为：
满足约束：
式(7)和(8)中，相关的变量均为离散形式，k，i∈Z+，k表示第tk＝kΔt时刻，同理k+i表示第tk+i＝(k+i)Δt时刻，Δt为离散采样间隔；y(k+i)和Ψ(k+i)为预测的俯仰角和飞轮退化量；Np和Nc为预测时域和控制时域；umin和umax为预测控制律u(k+i)的下界和上界；Δumin和Δumax为控制律增量Δu(k+i)的下界和上界；ymin(k+i)和ymax(k+i)为俯仰角y(k+i)的下界和上界；ΨU(k+i)为飞轮退化量Ψ(k+i)的上界；ry(k+i)和rΨ(k+i)分别为期望的俯仰角和飞轮退化量；wy，i(k)和wΨ，i(k)为俯仰角和飞轮退化跟踪精度的权重系数，其值可随时间变化；sy和sΨ为俯仰角和飞轮退化的尺度因子；u(k+i)为预测控制律，定义为：
u(k+i)＝ui，i＝0，1，…，Nc-1， (9)
式中，u0，u1，…，形成优化问题(7)和(8)的独立变量，可行解表示为最优控制序列其中第一个元素/>每被作用于卫星姿态控制系统的飞轮上；
在模型预测控制框架(7)-(9)下，所设计的权重动态调节策略如下：
a)在控制任务的初始阶段，即k＝0，飞轮退化跟踪精度的权重设置为0并在预测时域中保持不变，即wΨ，i(0)＝0；卫星俯仰角跟踪精度的权重设置为1并在预测时域中保持不变，即wy，i(0)＝1，i＝1，2，…，Np；
b)随着飞轮退化，令俯仰角跟踪精度的权重保持不变，而飞轮退化跟踪精度的权重根据以下规则进行变动：
式中，ρ为增长因子，δ为调节系数，wΨ，max为飞轮退化跟踪精度的最大权重，调节系数δ由下式计算：
式中，Treq，k＝Treq-tk为剩余任务时间，Treq为初始规定的任务时间，tk＝kΔt，Δt为采样间隔，寿命预测值，通过下式计算：
式中，Rmin为飞轮可靠度的最低要求值；Rk(t)为在时间tk的条件可靠性模型，计算方式参考式(3)或(5)。
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| 基于性能退化的动量轮可靠性建模与评估;金光;刘强;;数学的实践与认识;20090808(15);全文 * |
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