CN113992327A - 基于素数分解的无损近似分存恢复方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于素数分解的无损近似分存恢复方法及系统，在分存阶段，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；基于获取的素数，划分含有秘密信息的数值区间，获取分存区间；基于素数及分存区间，获取多素数分存多项式；处理多素数分存多项式，获取秘密信息的分存信息。在恢复阶段，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；基于获取的素数，划分含有秘密信息的数值区间，获取分存区间；基于素数及分存区间，获取多素数插值多项式；基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。本发明能够在任意整数范围内分解素数，同时分存门限实现完整意义上的分存，并且提高了素数分存的安全性。

Description

基于素数分解的无损近似分存恢复方法及系统

技术领域

本发明属信息安全领域，涉及一种基于素数分解的无损近似分存恢复方法及系统。

背景技术

秘密共享是将秘密信息拆分成一系列分发信息，并通过部分分发信息恢复出秘密信息的技术。分存是将秘密共享应用于图像、音频及视频等多媒体的技术方法，可为重要多媒体提供安全级别较高的保护，目前应用最为广泛的图像分存。

图像分存中应用较为广泛的是基于Shamir拉格朗日插值公式(Shamir,A.,How toshare a secret.COMMUNICATIONS OF THE ACM,1979.22(11):p.612-613.)的秘密共享模型的秘密分存方法(Thien CC,Lin JC.Secret image sharing[J]Computers&Graphics,2002,26(5):765-770.)。

经典的Shamir-(k,n)门限方案的模数p限定为素数，而计算机中分存的秘密信息通常借助一定长度的二进制进行存储，若直接采用Shamir-(k,n)门限方案，则必然涉及到秘密信息所在区间与素数p不匹配的问题，从而会导致重构秘密信息的精度损失或秘密信息膨胀。Xuehu Yan等人给出一种变通的方法(Yan,X.,et al.,Secret image sharingwith separate shadow authentication ability.Signal Processing:ImageCommunication,2020.82:p.115721.)，针对图像，该方法将p设置为257，反复生成分存多项式的高次项系数直到所有分发像素都落入[0,256)范围内。该方法可实现256灰度级图像的无损分存，但需要反复尝试生成满足条件的高次系数，因此计算代价较大。将模p运算转换为GF(2^m)域多项式的运算(Yang,C.,et al.,Improvements of image sharing withsteganography and authentication.Journal of Systems and Software,2007.80(7):p.1070-1076.)，可在一定程度上缓解精度损失或分存模数浪费的问题，然而该方法引入GF(2^m)域高昂的多项式运算，使得计算代价较大。即使通过打表法可以在一定程度上缓解运算代价，却增加了存储空间。同样为解决GF(p)下图像分存方案的缺点，Yu等人于2020年基于模256下可逆矩阵提出了一种无损的秘密图像分存方案(Yu,L.,et al.,Lossless andEfficient Secret Image Sharing Based on Matrix Theory Modulo 256.Mathematics(Basel),2020.8(6):p.1018.)。其核心思想是将Shamir秘密分存方案里的分存公式写成矩阵运算的形式，然后用随机生成验证的方法生成n×k维矩阵，要求该矩阵的任意k维子阵都是模256下可逆矩阵，再利用该矩阵进行秘密的分存。但该方案没有给出计算所需的n×k维矩阵的高效方法，同时矩阵求逆运算采用了非常低效的伴随矩阵计算方法，而且所提出的方法仅能应用于n＝k+1或n＝k，导致该方案适用面较窄。

除了拉格朗日插值公式分存模型的图像分存方案，还有基于其他底层模型的图像分存方案，例如：基于中国剩余定理的图像分存方案(Shyu SJ,Chen YR.Threshold SecretImage Sharing by Chinese Remainder Theorem[C]//2008IEEE Asia-Pacific ServicesComputing Conference.Taiwan,Yilan:IEEE,2008:1332-1337.)，然而，基于中国剩余定理的秘密共享模型需要选择n个素数，并且满足任意k个素数乘积大于任意k-1个素数乘积，导致基于中国剩余定理的图像分存方案，模数选择十分困难。基于矢量空间的秘密共享模型的图像分存方法(Chen CC,Fu WY.A Geometry-Based Secret Image Sharing Approach[J].Journal of Information Science and Engineering,2008,24(5):1567-1577.)，主体思路是构造包含秘密信息的k维空间点，然后分发n个穿过该点的不重合超平面作为分发信息，通过收集任意不少于k个分发信息来重构k维空间点。然而，如何构造属于整数集合的n个包含秘密信息的不重合超平面且满足任意k个平面可求出重合点，至今都没有较好的解决方法。基于可逆元胞自动机的图像分存方案(Wu,X.and W.Sun,Secret image sharingscheme with authentication and remedy abilities based on cellular automataand discrete wavelet transform.Journal of systems and software,2013.86(4):p.1068-1088.)，然而可逆元胞自动机的分存模型并不是真正意义的(k,n)门限秘密共享方案，它需要k份编号连续的分发信息才能恢复秘密信息。

因此上述所提出的各种分存模型在实际应用中都存在各种局限性，即使应用较好地拉格朗日分存模型也不能以较小的计算代价解决落入任意整数区间范围内的秘密信息的(k,n)分存问题。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术缺陷，提供一种基于素数分解的无损近似分存恢复方法及系统，可实现任意整数范围内秘密信息的近似分存和精确重构。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种基于素数分解的无损近似分存方法，包括：

对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式；

对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息。

进一步，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数，具体为：

秘密信息为s，含有秘密信息的数值区间为[a,b)，秘密信息s与含有秘密信息的数值区间[a,b)的关系为：s∈[a,b)，其中b＞a；

记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中λ为大于0的整数，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，g＞1；

所述基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间，具体为：基于所获取的素数构造递增数列，由递增数列对含有秘密信息的数值区间进行划分，得到与若干个素数对应的分存区间；

递增函数由公式(1)所示：

根据公式(1)，素数p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记秘密信息s所属的分存区间

进一步，基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式，具体为：

多素数分存多项式f(x)如公式(2)所示：

其中，

为[0,p_j)范围内的随机整数，同时为分存多项式第j个子式里xⁱ的系数，p_j为所获取若干个素数的某一个值；i∈[1,k-1]，j∈[0,g-1]，输入分存门限(k，n)，2≤k≤n；n为在[1,p_min)中任取两两不等的整数的个数，n个两两不等的整数记为参与值τ₀,τ₁,…,τ_n-1，p_min为p₀,p₁,…,p_g-1中最小的素数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息，具体为：

将x＝τ₀,τ₁,…,τ_n-1依次带入公式(2)，根据秘密信息S所落入的分存区间

从公式(2)中选择对应的子式，将秘密信息S分存成n个分存信息(τ₀,f(τ₀)),(τ₁,f(τ₁)),…,(τ_n-1,f(τ_n-1))，记为(τ₀,f₀),(τ₁,f₁),…,(τ_n-1,f_n-1)，且分存值f₀,f₁,…,f_n-1均属于

进一步，秘密信息为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

一种基于素数分解的无损近似分存系统，包括：

素数获取模块，所述素数获取模块对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

数值区间划分模块，所述数值区间划分模块基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

获取模块，所述获取模块基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式；

多项式处理模块，所述多项式处理模块对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息。

一种基于素数分解的无损近似恢复方法，包括：

对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间；

基于所获取的素数及分存区间，获取多素数插值多项式；

基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。

进一步，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数，具体为：

记待获取的秘密信息为S，含有秘密信息的数值区间为[a,b)，秘密信息S与含有秘密信息的数值区间[a,b)的关系为：s∈[a,b)，其中，b＞a；

记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,…,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中λ为大于0的整数，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，g＞1；

基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间，具体为：基于所获取的素数构造递增数列，由递增数列对含有秘密信息的数值区间进行划分，得到与若干个素数对应的分存区间；

递增函数为：

由递增函数得到，素数p₀,p₁,…,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记S所属的分存区间

进一步，输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间，具体为：记θ个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；

记

为

落入区间δ₀,δ₁,...,δ_g-1数量，初始化

按公式(3)统计

输入门限(k,n)，按公式(4)从所有的

中找到最大落入区间数量

和其所对应的分存区间

若

则恢复失败退出；

其中

2≤k≤n；n为在[1,p_min)中任取n个两两不等的整数的个数，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，t表示在n份分存信息中选取的个数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式，具体为：

将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；构造多素数插值多项式f(x)如公式(5)所示：

其中

表示x在mod p下的乘法逆元；

基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息，具体为：

根据

和多素数插值多项式，选取选择正确的子式，代入

并取多素数插值多项式f(x)的变量x＝0，获取分存的秘密信息s。

进一步，秘密信息为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

一种基于素数分解的无损近似恢复系统，包括：

第一处理模块，所述第一处理模块对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

划分模块，所述划分模块基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

第二处理模块，所述第二处理模块用于输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间；

第一获取模块，所述第一获取模块基于所获取的素数及分存区间，获取多素数插值多项式；

第二获取模块，所述第二获取模块基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明通过对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数，克服了GF(p)下基于拉格朗日插值公式的分存模型的数据范围必须为一个素数的缺陷，将数据范围扩展为任意整数范围，而且不会产生精度损失或者存储空间扩展的问题。同时可以对数据范围为任意整数的秘密信息进行近似分存及无损精确恢复。针对GF(2^m)下基于拉格朗日插值公式的分存模型，本发明克服了含有秘密信息的数值区间必须为2^m形式的缺陷，将数据范围扩展为任意整数范围。而且不涉及GF(2^m)域下复杂的多项式运算，计算效率较高。而且不需要额外存储表格用于加速求逆计算，因此占用存储空间较低。

进一步的，本发明将含有秘密信息的数值区间分解为若干个素数，数据范围λ有多种拆分方式，每一种拆分方式对应多种素数序列排列方式，每一种排列方式对应一套分存公式和恢复公式。因此本发明为分存提供更高的安全性。

进一步的，本发明相对于基于模256下可逆矩阵的无损秘密图像分存方案所基于的分存模型(Yu,L.,et al.,Lossless and Efficient Secret Image Sharing Based onMatrix Theory Modulo 256.Mathematics(Basel),2020.8(6):p.1018.)，本发明的分存门限不再局限于(n,n)和(n,n-1)，实现了完整意义上的(k,n)分存。而且本发明不涉及筛法生成矩阵的过程，不需要计算伴随矩阵来进行矩阵的求逆运算，所以计算过程更加稳定高效。

进一步的，在本发明的恢复阶段，如果某个分存信息的取值与其他分存信息的取值属于不同的区间(区间由数据范围λ的素数分解方式决定)，那么可以直接判定该份分存信息有误，或者存在作弊行为。该特性可以提供额外的发现作弊者的方式。

进一步的，本发明具有近似分存的特征，分存阶段产生的若干份分存信息的取值都属于相同区间，因此每份分存信息形成的数字媒体(图像、音频以及由图像和音频构成的视频等)都在一定程度上保存有原始数字媒体的纹理特征或音色特征，而只有足够多的分存信息通过正确的方式才能成功恢复出精确的原始数字媒体，从而可给客户提供不同质量的服务，在高清数字多媒体版权保护上有重要的应用价值。

附图说明

图1为本发明实施例所提出的基于素数分解的无损近似分存方法框图；

图2为本发明实施例所提出的基于素数分解的无损近似恢复方法框图；

图3为本发明实施例：秘密图像，为1920×980分辨率的8阶灰度图像summer-time-gray；

图4为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用单个像素作为秘密值的(3,4)门限分存及恢复图像；

图5为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用连续2个像素作为秘密值的(2,3)门限分存及恢复图像；

图6为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用连续3个像素作为秘密值的(2,3)门限分存图像；

图7为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用4个连续比特作为秘密值的(2,2)门限分存及恢复图像；

图8为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用6个连续比特作为秘密值的(2,3)门限分存及恢复图像；

图9为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用连续12个连续比特作为秘密值的(2,4)门限分存图像；

图10为本发明实施例：秘密音频波形图，单通道，采样位数为8位，采样率为48kHz；

图11为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用单个采样值作为秘密值的(3,4)门限分存与恢复音频；

图12为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续2个采样值作为秘密值的(2,3)门限分存与恢复音频；

图13为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续3个采样值作为秘密值的(2,3)门限分存与恢复音频；

图14为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续4比特采样值作为秘密值的(2,2)门限分存与恢复音频；

图15为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续6比特采样值作为秘密值的(2,3)门限分存与恢复音频；

图16为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续12比特采样值作为秘密值的(2,4)门限分存与恢复音频；

图17为本发明实施例所提出的基于素数分解的无损近似分存系统框图；

图18为本发明实施例所提出的基于素数分解的无损近似恢复系统框图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。

因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

应注意到：相似的标号和字母在下面的附图中表示类似项，因此，一旦某一项在一个附图中被定义，则在随后的附图中不需要对其进行进一步定义和解释。

在本发明实施例的描述中，需要说明的是，若出现术语“上”、“下”、“水平”、“内”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，或者是该发明产品使用时惯常摆放的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，术语“第一”、“第二”等仅用于区分描述，而不能理解为指示或暗示相对重要性。

此外，若出现术语“水平”，并不表示要求部件绝对水平，而是可以稍微倾斜。如“水平”仅仅是指其方向相对“竖直”而言更加水平，并不是表示该结构一定要完全水平，而是可以稍微倾斜。

在本发明实施例的描述中，还需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，若出现术语“设置”、“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

实施方式1：

参见图1，本发明公布了一种基于素数分解的无损近似分存方法，包括：

S101，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数。

秘密信息为S，含有秘密信息的数值区间为[a,b)，秘密信息s与含有秘密信息的数值区间[a,b)的关系为：s∈[a,b)，其中，b＞a；记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中λ为大于0的整数，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，g＞1；例如：输入秘密信息s＝183，输入区间范围[120,240)，则b＝240,a＝120,λ＝b-a＝240-120＝120；将λ＝120分解为120＝79+41，即p₀＝79,p₁＝41，g＝2。

S102，基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间。

基于所获取的素数构造递增数列，由递增数列对含有秘密信息的数值区间进行划分，得到与若干个素数对应的分存区间；递增函数由公式(1)所示：

根据公式(1)，素数p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

例如：按公式(1)由p₀＝79,p₁＝41构造递增数列S₁＝p₀+S₀＝79+120＝199,S₂＝p₀+p₁+S₀＝79+41+120＝240，并记S₀＝a＝120；由S₀＝120,S₁＝199,S₂＝240可将区间[120,240)划分为2个分存区间：δ₀＝[120,199),δ₁＝[199,240),由s＝183知：s＝183所属的区间为

S103，基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式。

多素数分存多项式f(x)如公式(2)所示：

其中，

为[0,p_j)范围内的随机整数，同时为分存多项式第j个子式里xⁱ的系数，p_j为所获取若干个素数的某一个值；i∈[1,k-1]，j∈[0,g-1]，输入分存门限(k，n)，2≤k≤n；n为在[1,p_min)中任取两两不等的整数的个数，n个两两不等的整数记为参与值τ₀,τ₁,…,τ_n-1，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

例如：输入分存门限k＝3,n＝5，按公式(2)构造多素数(3,5)分存多项式。

S104，对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息。

将x＝τ₀,τ₁,…,τ_n-1依次带入公式(2)，根据秘密信息s所落入的分存区间

从公式(2)中选择对应的子式，将秘密信息s分存成n个分存信息(τ₀,f(τ₀)),(τ₁,f(τ₁)),…,(τ_n-1,f(τ_n-1))，记为(τ₀,f₀),(τ₁,f₁),...,(τ_n-1,f_n-1)，且分存值f₀,f₁,...,f_n-1均属于

例如：p₀,p₁中最小的素数为p₁＝41，从[1,41)中任取n＝5个两两不等的整数，记为τ₀＝2,τ₁＝5,τ₂＝8,τ₃＝11,τ₄＝14，将x＝2,5,8,11,14依次带入公式(2)，根据秘密信息s＝183∈[120,199)，从公式(2)中选择第0个子式，计算得到：

f(τ₀)＝f(2)＝((183-120+60×2+70×2²)mod79)+120＝188

f(τ₁)＝f(5)＝((183-120+60×5+70×5²)mod79)+120＝179

f(τ₂)＝f(8)＝((183-120+60×8+70×8²)mod79)+120＝166

f(τ₃)＝f(11)＝((183-120+60×11+70×11²)mod79)+120＝149

f(τ₄)＝f(14)＝((183-120+60×14+70×14²)mod79)+120＝128

于是秘密信息s＝183被分存成n＝5个分存信息：(τ₀,f₀)＝(2,188)，(τ₁,f₁)＝(5,179)，(τ₂,f₂)＝(8,166)，(τ₃,f₃)＝(11,149)，(τ₄,f₄)＝(14,128)。

参见图2，本发明公布了一种基于素数分解的无损近似恢复方法，包括：

S201，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数。

记待获取的秘密信息为s，含有秘密信息的数值区间为[a,b)，秘密信息s与含有秘密信息的数值区间[a,b)的关系为：

s∈[a，b)

其中b＞a；记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中λ为大于0的整数，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，g＞1；例如：输入秘密信息s的下限和上限a＝120,b＝240，记λ＝240-120＝120，将λ＝120分解为g＝2个素数p₀＝79,p₁＝41且满足120＝79+41。

S202，基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间。

基于所获取的素数构造递增数列，由递增数列对含有秘密信息的数值区间进行划分，得到与若干个素数对应的分存区间；

递增函数为：

由递增函数得到，素数p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

例如：λ＝120分解为g＝2个素数p₀＝79,p₁＝41且满足120＝79+41，通过递增函数由p₀＝79,p₁＝41构造递增数列S₁＝p₀+S₀＝79+120＝199，S₂＝p₀+p₁+S₀＝79+41+120＝240，并记S₀＝a＝120。

S203，输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间。

记θ个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；记

为

落入区间δ₀,δ₁,...,δ_g-1数量，初始化

按公式(3)统计

例如：由S₀＝120,S₁＝199,S₂＝240可将区间[120,240)划分为2个分存区间：δ₀＝[120,199),δ₁＝[199,240)，记θ＝5个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ＝5个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；记

为

落入区间δ₀,δ₁数量，初始化

按公式(3)统计

由于

因此

S204，基于所获取的素数及分存区间，获取多素数插值多项式。

输入门限(k,n)，按公式(4)从所有的

中找到最大落入区间数量

和其所对应的分存区间

若

则恢复失败退出；

其中

2≤k≤n；n为在[1,p_min)中任取n个两两不等的整数的个数，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，t表示在n份分存信息中选取的个数；k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量。例如：输入约定的门限k＝3,n＝5，按式(4)从

中找到最大落入区间数量

和其对应的分存区间

因此

且t≥k。

将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；构造多素数插值多项式f(x)如公式(5)所示：

其中

表示x在mod p下的乘法逆元；例如：将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t＝3个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；按式(5)构造f(x)多素数插值多项式，其中

表示x在mod p下的乘法逆元；

S205，基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。

根据

和多素数插值多项式，选取选择正确的子式，代入

并取多素数插值多项式f(x)的变量x＝0，获取分存的秘密信息s。例如：根据

从多素数插值多项式中选择第0个子式，代入

并取x＝0，可获取分存的秘密信息s＝183。

其中:

秘密信息可以为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也可以为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

实施方式2：

一种基于素数分解的无损近似分存方法，包括以下步骤：

第1步：记秘密信息s∈[a,b)，其中b＞a；记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中：λ＞0，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，要求a＝0,g＞1；例如：输入秘密信息s＝40，输入区间范围[30,155)，则b＝155,a＝30,λ＝b-a＝155-30＝125；将λ＝125分解为125＝23+31+71，即p₀＝23,p₁＝31,p₂＝71，g＝3。

第2步：按公式(1)由p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g可将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

例如：按公式(1)由p₀＝23,p₁＝31,p₂＝71构造递增数列S₁＝p₀+S₀＝23+30＝53,S₂＝p₀+p₁+S₀＝23+31+30＝84,S₃＝p₀+p₁+p₂+S₀＝23+31+71+30＝155并记S₀＝a＝30；由S₀＝30,S₁＝53,S₂＝84,S₃＝155可将区间[30,155)划分为3个分存区间：δ₀＝[30,53),δ₁＝[53,84),δ₂＝[84,155)，因此s＝40所属于的区间为

第3步：按公式(2)构造多素数(k,n)分存多项式f(x)，其中

为[0,p_j)范围内的随机整数，为分存多项式第j个子式里xⁱ的系数，i∈[1,k-1]，j∈[0,g-1]；k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量，n为在[1,p_min)中任取两两不等的整数的个数；

例如：输入分存门限k＝4,n＝6，按公式(2)构造多素数(4,6)分存多项式。

第4步：记p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数为p_min，从[1,p_min)中任取n个两两不等的整数，记为参与值τ₀,τ₁,…,τ_n-1，将x＝τ₀,τ₁,…,τ_n-1依次带入公式(2)，根据秘密信息s实际所落入的分存区间

从公式(2)中选择对应的子式，将s分存成n个分存信息(τ₀,f(τ₀)),(τ₁,f(τ₁)),…,(τ_n-1,f(τ_n-1))，记为(τ₀,f₀),(τ₁,f₁),…,(τ_n-1,f_n-1)，并且分存值f₀,f₁,...,f_n-1均属于

例如：p₀,p₁,p₂中最小的素数为p₀＝23，从[1,23)中任取n＝6个两两不等的整数，记为τ₀＝2,τ₁＝5,τ₂＝8,τ₃＝11,τ₄＝14,τ₅＝17，将x＝2,5,8,11,14,17依次带入公式(2)，根据秘密信息s＝40∈[30,53)，从公式(2)中选择第0个子式，计算得到:

f(τ₀)＝f(2)＝(40-30+11×2+19×2²+2×2³)mod23+30＝39

f(τ₁)＝f(5)＝(40-30+11×5+19×5²+2×5³)mod23+30＝38

f(τ₂)＝f(8)＝(40-30+11×8+19×8²+2×8³)mod23+30＝45

f(τ₃)＝f(11)＝(40-30+11×11+19×11²+2×11³)mod23+30＝39

f(τ₄)＝f(14)＝(40-30+11×14+19×14²+2×14³)mod23+30＝45

f(τ₅)＝f(17)＝(40-30+11×17+19×17²+2×17³)mod23+30＝42

于是由公式(2)，秘密信息s＝40被分存成n＝6个分存信息：(τ₀,f₀)＝(2,39)，(τ₁,f₁)＝(5,38)，(τ₂,f₂)＝(8,45)，(τ₃,f₃)＝(11,39)，(τ₄,f₄)＝(14,45)，(τ₅,f₅)＝(17,42)。

一种基于素数分解的无损近似恢复方法，包括以下步骤：

第1步：输入秘密信息s∈[a,b)的下限上限a,b，记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中：λ＞0，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，要求a＝0,g＞1；例如：输入秘密信息s的下限上限a＝30,b＝155，记λ＝155-30＝125，将λ＝125分解为g＝3个素数p₀＝23,p₁＝31,p₂＝71且满足125＝23+31+71。

递增函数为：

由递增函数得到，素数p₀,p₁,…,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,…,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,…,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),…,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

例如：λ＝125分解为g＝3个素数p₀＝23,p₁＝31,p₂＝71且满足125＝23+31+71，通过递增函数由p₀＝23,p₁＝31,p₂＝71构造递增数列S₁＝p₀+S₀＝23+30＝53，S₂＝p₀+p₁+S₀＝23+31+30＝84，S₃＝p₀+p₁+p₂+S₀＝23+31+71+30＝155，并记S₀＝a＝120。

第2步：由S₀,S₁,S₂,...,S_g可将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g),记θ个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；记

为

落入区间δ₀,δ₁,...,δ_g-1数量，初始化

按公式(3)统计

例如：由S₀＝30,S₁＝53,S₂＝84,S₃＝155可将区间[30,155)划分为3个分存区间：δ₀＝[30,53),δ₁＝[53,84)，δ₂＝[84,155)，记θ＝5个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ＝5个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；记

为

落入区间δ₀,δ₁,δ₂数量，初始化

按公式(3)统计

由于

因此

第3步：输入约定的门限(k,n)，按公式(4)从所有的

中找到最大落入区间数量

和其所对应的分存区间

若

则恢复失败退出，其中

n为在[1,p_min)中任取n个两两不等的整数的个数，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

例如：输入约定的门限k＝4,n＝6，按公式(4)从

中找到最大落入区间数量

和其对应的分存区间

记

且t≥k。

第4步：将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；按公式(5)构造f(x)多素数插值多项式，其中

表示x在mod p下的乘法逆元；

例如：将

之中

落入

的分存信息记为

中

对应为t＝4个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；按公式(5)构造f(x)多素数插值多项式，其中

表示x在mod p下的乘法逆元；

第5步：根据

从公式(5)中选择正确的子式，代入

并取x＝0，可获取分存的秘密信息s。例如：根据

从公式(5)式中选择第0个子式，代入

并取x＝0，可获取分存的秘密信息s＝40。

其中：

秘密信息可以为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也可以为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

实施方式3：

一种基于素数分解的无损近似分存方法，包括以下步骤：

第1步：记秘密信息s∈[a,b)，其中b＞a；记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中：λ＞0，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，要求a＝0,g＞1；例如：输入秘密信息s＝240，输入区间范围[130,243)，则b＝243,a＝130,λ＝b-a＝243-130＝113；将λ＝113分解为113＝67+29+17，即p₀＝67,p₁＝29,p₂＝17，g＝3。

第2步：按公式(1)由p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g可将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

例如：按公式(1)由p₀＝67,p₁＝29,p₂＝17构造递增数列S₁＝p₀+S₀＝67+130＝197,S₂＝p₀+p₁+S₀＝67+29+130＝226,S₃＝p₀+p₁+p₂+S₀＝67+29+17+130＝243并记S₀＝a＝130；由S₀＝130,S₁＝197,S₂＝226,S₃＝243可将区间[130,243)划分为3个分存区间：δ₀＝[130,197),δ₁＝[197,226),δ₂＝[226,243)记s＝240所属于的区间为

第3步：按公式(2)构造多素数(k,n)分存多项式f(x)，其中

为[0,p_j)范围内的随机整数，为分存多项式第j个子式里xⁱ的系数，i∈[1,k-1]，j∈[0,g-1]，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量，n为在[1,p_min)中任取两两不等的整数的个数；

例如：输入分存门限k＝4,n＝6，按公式(2)构造多素数(4,6)分存多项式。

第4步：记p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数为p_min，从[1,p_min)中任取n个两两不等的整数，记为参与值τ₀,τ₁,…,τ..._n-1，将x＝τ₀,τ₁,…,τ_n-1依次带入公式(2)，根据秘密信息s实际所落入的分存区间

从公式(2)中选择对应的子式，将s分存成n个分存信息(τ₀,f(τ₀)),(τ₁,f(τ₁)),…,(τ_n-1,f(τ_n-1))，记为(τ₀,f₀),(τ₁,f₁),...,(τ_n-1,f_n-1)，并且分存值f₀,f₁,...,f_n-1均属于

例如：p₀,p₁,p₂中最小的素数为p₂＝17，从[1,17)中任取n＝6个两两不等的整数，记为τ₀＝2,τ₁＝6,τ₂＝9,τ₃＝11,τ₄＝14,τ₅＝16，将x＝2,6,9,11,14,16依次带入公式(2)，根据秘密信息s＝240∈[226,243)，式(2)中选择第2个子式，计算得：

f(τ₀)＝f(2)＝(240-226+3×2+14×2²+7×2³)mod17+226＝239

f(τ₁)＝f(6)＝(240-226+3×6+14×6²+7×6³)mod17+226＝234

f(τ₂)＝f(9)＝(240-226+3×9+14×9²+7×9³)mod17+226＝231

f(τ₃)＝f(11)＝(240-226+3×11+14×11²+7×11³)mod17+226＝234

f(τ₄)＝f(14)＝(240-226+3×14+14×14²+7×14³)mod17+226＝236

f(τ₅)＝f(16)＝(240-226+3×16+14×16²+7×16³)mod17+226＝227

于是由公式(2)，秘密信息s＝240被分存成n＝6个分存信息：(τ₀,f₀)＝(2,239)，(τ₁,f₁)＝(6,234)，(τ₂,f₂)＝(9,231)，(τ₃,f₃)＝(11,234)，(τ₄,f₄)＝(14,236)，(τ₅,f₅)＝(16,227)。

一种基于素数分解的无损近似恢复方法，包括以下步骤：

第1步：输入秘密信息s∈[a,b)的下限上限a,b，记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,...,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+...+p_g-1，其中：λ＞0，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，要求a＝0,g＞1；例如：输入秘密信息s的下限上限a＝130,b＝243，记λ＝243-130＝113，将λ＝113分解为g＝3个素数p₀＝67,p₁＝29,p₂＝17且满足113＝67+29+17。

递增函数为：

由递增函数得到，素数p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,…,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

例如：λ＝113分解为g＝3个素数p₀＝67,p₁＝29,p₂＝17且满足113＝67+29+17，通过递增函数由p₀＝67,p₁＝29,p₂＝17构造递增数列S₁＝p₀+S₀＝67+130＝197，S₂＝p₀+p₁+S₀＝67+29+130＝226，S₃＝p₀+p₁+p₂+S₀＝67+29+17+130＝243，并记S₀＝a＝130。

第2步：由S₀,S₁,S₂,...,S_g可将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g),记θ个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；记

为

落入区间δ₀,δ_1,...,δ_g-1数量，初始化

按公式(3)统计

例如：由S₀＝130,S₁＝197,S₂＝226,S₃＝243可将区间[130,243)划分为3个分存区间：δ₀＝[130,197),δ₁＝[197,226)，δ₂＝[226,243)记θ＝5个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ＝5个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；记

为

落入区间δ₀,δ₁,δ₂数量，初始化

按公式(3)统计

由于

因此

第3步：输入约定的门限(k,n)，按公式(4)从所有的

中找到最大落入区间数量

和其所对应的分存区间

若

则恢复失败退出，其中

n为在[1,p_min)中任取n个两两不等的整数的个数，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

例如：输入约定的门限k＝4,n＝6，按公式(4)从

中找到最大落入区间数量

和其对应的分存区间

记

且t≥k。

第4步：将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；按公式(5)构造f(x)多素数插值多项式，其中

表示x在mod p下的乘法逆元；

例如：将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t＝4个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；按公式(5)构造f(x)多素数插值多项式，其中

表示x在mod p下的乘法逆元；

第5步：根据

从公式(5)中选择正确的子式，代入

并取x＝0，可获取分存的秘密信息s。例如：根据

从公式(5)中选择第2个子式，代入

并取x＝0，可获取分存的秘密信息s＝240。

其中：

秘密信息可以为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也可以为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

以下结合附图对本发明实施方式进行进一步的说明：

参见图3：图3为本发明实施例：秘密图像，为1920×980分辨率的8阶灰度图像summer-time-gray；参见图4：图4为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用单个像素作为秘密值的(3,4)门限分存及恢复图像，其中：选取素数取值为p₀＝163,p₁＝23,p₂＝59,p₃＝11，素数和为163+23+59+11＝256；(a)到(d)是分存图像；(e)是由(a)、(b)、(c)恢复出的秘密图像，(f)是由(b)、(c)、(d)恢复出的秘密图像；(e)和(f)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，峰值信噪比PSNR＝∞dB，密图完整恢复；参见图5：图5为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用连续2个像素作为秘密值的(2,3)门限分存及恢复图像，其中：选取素数取值为p₀＝9473,p₁＝28211,p₂＝1549,p₃＝25307,p₄＝563,p₅＝433，素数和为9473+28211+1549+25307+563+433＝65536；(a)到(c)是分存图像；(d)是由(b)、(c)恢复出的秘密图像；(d)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，峰值信噪比PSNR＝∞dB，密图完整恢复；参见图6：图6为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用连续3个像素作为秘密值的(2,3)门限分存图像，其中：选取素数取值为p₀＝13843421,p₁＝1600321,p₂＝1285481,p₃＝16741,p₄＝6689,p₅＝12791,p₆＝2081,p₇＝3919,p₈＝5273,p₉＝499，素数和为：13843421+1600321+1285481+16741+6689+12791+2081+3919+5273+499＝16777216；(a)到(c)是分存图像；(d)是由(a)、(b)恢复出的秘密图像；(d)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，峰值信噪比PSNR＝∞dB，密图完整恢复；参见图7：图7为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用4个连续比特作为秘密值的(2,2)门限分存及恢复图像，其中：选取素数取值为p₀＝5,p₁＝11，素数和为5+11＝16；(a)到(b)是分存图像；(c)是由(a)、(b)恢复出的秘密图像；(c)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，峰值信噪比PSNR＝∞dB，密图完整恢复；参见图8：图8为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用6个连续比特作为秘密值的(2,3)门限分存及恢复图像，其中：选取素数取值为p₀＝19,p₁＝17,p₂＝17,p₃＝11，素数和为19+17+17+11＝64；(a)到(c)是分存图像；(d)是由(a)、(c)恢复出的秘密图像；(d)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，峰值信噪比PSNR＝∞dB，密图完整恢复；参见图9：图9为本发明实施例，以图3为秘密图像且采用连续12个连续比特作为秘密值的(2,4)门限分存图像，其中：选取素数取值为p₀＝733,p₁＝2833,p₂＝457,p₃＝73，素数和为733+2833+457+73＝4096；(a)到(d)是分存图像；(e)是由(a)、(b)恢复出的秘密图像，(f)是由(c)、(d)恢复出的秘密图像；(e)和(f)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，峰值信噪比PSNR＝∞dB，密图完整恢复；

参见图10：图10为本发明实施例：秘密音频波形图，单通道，采样位数为8位，采样率为48kHz；参见图11：图11为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用单个采样值作为秘密值的(3,4)门限分存与恢复音频，其中：选取素数取值为p₀＝163,p₁＝23,p₂＝59,p₃＝11，素数和为163+23+59+11＝256；(a)到(d)是分存音频；(e)是(a)的局部音频；(f)是由(a)、(b)、(c)恢复出的秘密音频；(f)相对于图10的归一化互相关系数NC＝1，均方差MSE＝0，秘密音频完整恢复；参见图12：图12为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续2个采样值作为秘密值的(2,3)门限分存与恢复音频，其中：选取素数取值为p₀＝9473,p₁＝28211,p₂＝1549,p₃＝25307,p₄＝563,p₅＝433，素数和为9473+28211+1549+25307+563+433＝65536；(a)到(c)是分存音频；(d)是(a)的局部音频；(e)是由(a)、(b)恢复出的秘密音频，(f)是由(b)、(c)恢复出的秘密音频；(e)和(f)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，均方差MSE＝0，秘密音频完整恢复；参见图13：图13为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续3个采样值作为秘密值的(2,3)门限分存与恢复音频，其中：选取素数取值为：

p₀＝13843421,p₁＝1600321,p₂＝1285481,p₃＝16741,p₄＝6689,p₅＝12791,p₆＝2081,p₇＝3919,p₈＝5273,p₉＝499，素数和为：

13843421+1600321+1285481+16741+6689+12791+2081+3919+5273+499＝16777216；(a)到(c)是分存音频；(d)是(a)的局部音频；(e)是由(a)、(b)恢复出的秘密音频，(f)是由(a)、(c)恢复出的秘密音频；(e)和(f)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，均方差MSE＝0，秘密音频完整恢复；参见图14：图14为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续4比特采样值作为秘密值的(2,2)门限分存与恢复音频，其中：选取素数取值为p₀＝5,p₁＝11，素数和5+11＝16；(a)到(b)是分存音频；(c)是(a)的局部音频；(d)是由(a)、(b)恢复出的秘密音频；(d)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，均方差MSE＝0，秘密音频完整恢复；参见图15：图15为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续6比特采样值作为秘密值的(2,3)门限分存与恢复音频，其中：选取素数取值为p₀＝19,p₁＝17,p₂＝17,p₃＝11，素数和19+17+17+11＝64；(a)到(c)是分存音频；(d)是(a)的局部音频；(e)是由(a)、(b)恢复出的秘密音频，(f)是由(b)、(c)恢复出的秘密音频；(e)和(f)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，均方差MSE＝0，秘密音频完整恢复；参见图16：图16为本发明实施例，以图10对应的音频为秘密音频且采用连续12比特采样值作为秘密值的(2,4)门限分存与恢复音频，其中：选取素数取值为p₀＝733,p₁＝2833,p₂＝457,p₃＝73，素数和为733+2833+457+73＝4096，(a)到(d)是分存音频；(e)是(a)的局部音频；(f)是由(a)、(b)恢复出的秘密音频；(f)相对于图3的归一化互相关系数NC＝1，均方差MSE＝0，秘密音频完整恢复。

参见图17，本发明提出了一种基于素数分解的无损近似分存系统，包括：

素数获取模块，所述素数获取模块对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

数值区间划分模块，所述数值区间划分模块基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

获取模块，所述获取模块基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式；

多项式处理模块，所述多项式处理模块对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息。

参见图18，本发明提出了一种基于素数分解的无损近似恢复系统，包括：

第一处理模块，所述第一处理模块对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

划分模块，所述划分模块基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

第二处理模块，所述第二处理模块用于输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间；

第一获取模块，所述第一获取模块基于所获取的素数及分存区间，获取多素数插值多项式；

第二获取模块，所述第二获取模块基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。

以上仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于素数分解的无损近似分存方法，其特征在于，包括：

对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式；

对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息。

2.根据权利要求1所述的基于素数分解的无损近似分存方法，其特征在于，所述对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数，具体为：

秘密信息为s，含有秘密信息的数值区间为[a,b)，秘密信息s与含有秘密信息的数值区间[a,b)的关系为：s∈[a,b)，其中b＞a；

记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,…,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中λ为大于0的整数，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，g＞1；

所述基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间，具体为：基于所获取的素数构造递增数列，由递增数列对含有秘密信息的数值区间进行划分，得到与若干个素数对应的分存区间；

递增函数由公式(1)所示：

根据公式(1)，素数p₀,p₁,…,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,…,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,…,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),…,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记秘密信息s所属的分存区间

3.根据权利要求2所述的基于素数分解的无损近似分存方法，其特征在于，所述基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式，具体为：

多素数分存多项式f(x)如公式(2)所示：

其中，

为[0,p_j)范围内的随机整数，同时为分存多项式第j个子式里xⁱ的系数，p_j为所获取若干个素数的某一个值；i∈[1,k-1]，j∈[0,g-1]，输入分存门限(k，n)，2≤k≤n；n为在[1,p_min)中任取两两不等的整数的个数，n个两两不等的整数记为参与值τ₀,τ₁,…,τ_n-1，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

所述对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息，具体为：

将x＝τ₀,τ₁,…,τ_n-1依次带入公式(2)，根据秘密信息s所落入的分存区间

从公式(2)中选择对应的子式，将秘密信息s分存成n个分存信息(τ₀,f(τ₀))，(τ₁,f(τ₁))，…，(τ_n-1,f(τ_n-1))，记为(τ₀,f₀),(τ₁,f₁),…,(τ_n-1,f_n-1)，且分存值f₀,f₁,…,f_n-1均属于

4.一种基于素数分解的无损近似分存系统，其特征在于，包括：

素数获取模块，所述素数获取模块对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

数值区间划分模块，所述数值区间划分模块基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

获取模块，所述获取模块基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式；

多项式处理模块，所述多项式处理模块对多素数分存多项式进行处理，获取秘密信息的分存信息。

5.一种基于素数分解的无损近似恢复方法，其特征在于，包括：

对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间；

基于所获取的素数及分存区间，获取多素数插值多项式；

基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。

6.根据权利要求5所述的基于素数分解的无损近似恢复方法，其特征在于，对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数，具体为：

记待获取的秘密信息为s，含有秘密信息的数值区间为[a,b)，秘密信息s与含有秘密信息的数值区间[a,b)的关系为：s∈[a,b)，其中，b＞a；

记λ＝b-a，将λ分解为g个素数p₀,p₁,…,p_g-1且满足λ＝p₀+p₁+…+p_g-1，其中λ为大于0的整数，g≥1且0≤a＜b，当a＝0时，g＞1；

所述基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间，具体为：基于所获取的素数构造递增数列，由递增数列对含有秘密信息的数值区间进行划分，得到与若干个素数对应的分存区间；

递增函数为：

由递增函数得到，素数p₀,p₁,...,p_g-1构造递增数列S₁,S₂,...,S_g，并记S₀＝a；由S₀,S₁,S₂,...,S_g将区间[a,b)划分为g个分存区间:δ₀＝[S₀,S₁),δ₁＝[S₁,S₂),...,δ_g-1＝[S_g-1,S_g)，记s所属的分存区间

7.根据权利要求6所述的基于素数分解的无损近似恢复方法，其特征在于，输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间，具体为：记θ个两两不等参与恢复的分存信息

其中

对应为θ个参与恢复的分存信息中的第θ-1个分存信息；

记

为

落入区间δ₀,δ₁,...,δ_g-1数量，初始化

按公式(3)统计

输入门限(k,n)，按公式(4)从所有的

中找到最大落入区间数量

和其所对应的分存区间

若

则恢复失败退出；

其中

n为在[1,p_min)中任取n个两两不等的整数的个数，p_min为p₀,p₁,...,p_g-1中最小的素数，t表示在n份分存信息中选取的个数，k为恢复秘密信息时所需的最少分存信息数量；

所述基于所获取的素数及分存区间，获取多素数分存多项式，具体为：

将

之中

落入

的分存信息记为

其中

对应为t个参与恢复的分存信息中的第t-1个分存信息；构造多素数插值多项式f(x)如公式(5)所示：

其中

表示x在modp下的乘法逆元；

所述基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息，具体为：

根据

和多素数插值多项式，选取选择正确的子式，代入

并取多素数插值多项式f(x)的变量x＝0，获取分存的秘密信息s。

8.根据权利要求1所述的基于素数分解的无损近似分存方法，其特征在于，所述秘密信息为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

9.根据权利要求5所述的基于素数分解的无损近似恢复方法，其特征在于，所述秘密信息为图像像素的一部分或若干个像素的组合，也为音频采样值的一部分或若干个音频采样值的组合，从而用于图像、音频以及由图像音频复合在一起的视频分存。

10.一种基于素数分解的无损近似恢复系统，其特征在于，包括：

第一处理模块，所述第一处理模块对含有秘密信息的数值区间进行处理，获取若干个素数；

划分模块，所述划分模块基于所获取的若干个素数，对含有秘密信息的数值区间进行划分，获取与若干个素数对应的分存区间；

第二处理模块，所述第二处理模块用于输入分存信息，由分存信息所在的区间获取秘密信息所在的分存区间；

第一获取模块，所述第一获取模块基于所获取的素数及分存区间，获取多素数插值多项式；

第二获取模块，所述第二获取模块基于多素数插值多项式和筛选出的分存信息，获取秘密信息。

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