CN113935240A - 基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，向生成器输入随机噪声，将随机噪声依次经重塑、全连接层映射、反卷积后，最后得到生成器生成地震样本；判别器对生成器生成地震样本进行判断，输出判断结果；对判断结果进行验证，确定判断结果的有效性；判别器以Wasserstein范数定义的损失函数判断人造地震动数据的网络训练效果。WGAN具有学习时变特性的能力，可直接生成非平稳的随机信号，使时变包络也具有随机性，因此生成的地震波更贴近天然地震波。生成式对抗网络为生成非平稳信号提供了新的思路，也可以运用到其他工程时变信号，如脉动风时程曲线、轨道不平顺等人工样本的生成。

Description

基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法

技术领域

本发明涉及地震波模拟的技术领域，尤其涉及基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法。

背景技术

在地震工程学中，人工地震波的模拟一直是各国学者关注的重点和热点问题。在以往的研究中，先后提出了自回归法、三角级数法等方法来生成人工地震波。

近年来，深度学习在全球范围内带来了各个技术领域的深层次革命。在游戏博弈领域，由Deepmind公司开发的围棋人工智能软件以绝对的优势战胜了人类顶尖棋手。以此为标志，深度学习理论引起了全球范围各工业领域的广泛关注。生成式对抗网络(Generative Adversarial Networks，GAN)是加拿大蒙特利尔大学的IanJ.Goodfellow于2014年提出，被业界誉为近年来人工智能领域最具前景的突破，已被广泛应用于图像生成、风格迁移、数据增强、文本生成、动作行为预测等领域。生成式对抗网络是一种无监督式学习的算法，主要由一个生成器和一个判别器构成。生成器的目的是提取数据分布，生成足够真实的数据去“欺骗”判别器，而判别器的目的是评估输入的数据属于真实数据和生成数据的概率。生成器和判别器相互博弈，最终达到纳什均衡，在此情况下，生成器学习到了真实数据的分布，并具有了生成足够真实数据的能力。

经典的GAN在训练中存在生成结果质量不佳，训练不稳定，模式崩溃(modecollapse)等问题。为了解决上述问题，许多学者都对GAN进行了改进，如网络结构优化、损失函数优化、训练方法的优化等。2016年Alec Radford等在文献中提出了基于深度卷积的生成式对抗网络(Deep Convolutional Generative Adversarial Networks，DCGAN)，该网络对生成器和判别器的网络结构进行了优化，用反卷积与卷积网络来构建生成器和判别器网络，利用卷积网络强大的特征提取能力来提高生成数据的质量，缓解GAN训练的不稳定问题。2017年Arjovsky等在文献中提出了基于Wasserstein范数的生成式对抗网络(Wasserstein GAN，WGAN)，该网络保持了DCGAN的卷积结构，同时优化了损失函数，用Wasserstein范数替代GAN中使用的Jensen-Shannon(JS)散度来定义损失函数，在保持生成结果质量的同时解决了GAN训练不稳定和模式崩溃的问题，确保了生成样本的多样性。

人工地震波模拟与生成过程的数学本质是一个特征提取和对特征进行模拟生成的过程，这可以利用GAN技术进行解决。在传统的生成方法中，一般需要人为定义一个数学模型，然后通过数值拟合来确定模型参数，这种数学模型的建立往往具有一定的人为主观性。相比于传统方法，深度学习技术的优点在于，深度学习是完全基于数据的特征提取技术，更能客观地的反映数据的真实分布。深度卷积的局部感知野技术更具有非凡的特征提取能力，它能够学习大量输入与输出之间的映射关系，而不需要任何预先给定的数学模型；而Wasserstein范数具有连续性和平滑性，能够更好地衡量优化两种概率分布的差异。由于同时兼具上述两种优点，WGAN已成为深度学习领域炙手可热的技术，被广泛应用于图像生成、图像修复、图像去噪等领域。因此，本文拟将WGAN应用于人工地震波的生成研究。就目前而言，作者尚未发现国内外有相关研究工作的报导。本文的工作将有益于地震波等工程领域的时程信号的数值模拟生成的人工智能化研究。

发明内容

本发明的目的是为了解决背景技术中提及的问题，提供一种基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法。

为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：

基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，包括以下步骤：

S1、向生成器输入随机噪声，将随机噪声依次经重塑、全连接层映射、反卷积后，最后得到生成器生成地震样本；

S2、判别器对生成器生成地震样本进行判断，输出判断结果；

S3、对判断结果进行验证，确定判断结果的有效性；

判别器以Wasserstein范数定义的损失函数判断人造地震动数据的网络训练效果。

为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：

Wasserstein范数定义的损失函数为：

其中，W(P_r,P_g)为损失函数，P_r为真实地震样本的分布，P_g为生成器生成地震样本的分布，参数θ为P_r、P_g这两个分布之间的距离，x、y为联合分布γ中采样得到的真实样本和生成样本，

为在所有可能的联合分布γ中能够对这个期望值E_(x,y)～γ[||x-y||]取到的下界，该下界即为Wasserstein范数；

从上述推导可知，当两个分布P_r，P_g离得很远，完全没有重合或者重合程度小到可以忽略时，Wasserstein范数仍然能够提供有意义的梯度，鉴于式(1)无法直接计算，通过Kantorovich-Rubinstein的对偶性，得到式(1)的替代式，如下所示

式中||f||_L≤K表示K-Lipschitz条件，即连续函数f的定义域内任意两个元素x₁和x₂，都需满足条件|f(x₁)-f(x₂)|≤K|x₁-x₂|，使连续函数f在定义域内的导函数值不得大于K值，为了满足||f||_L≤K这个条件，WGAN限制了判别器网络中参数，使其都不得超过[-c,c]这个范围，此时输入数据x的导函数值不会超过某个范围，一定存在某个常数K满足||f||_L≤K的限制；

基于Wasserstein范数的目标函数可定义为

式中，E[·]为函数的期望，D为判别器，G为生成器，D(x)为判别器评价真实数据为真的概率，D(G(z))为判别器评价生成数据为假的概率，

为目标函数，由于目标函数内没有log函数，因此判别器目标函数的大小指示网络训练的进程，当距离越小，表示网络训练的越好。

S1中生成地震样本的具体步骤为：向生成器输入矢量长度为400的随机噪声，首先，将这一随机噪声重塑成1×1×400的三维矩阵，并通过全连接层映射为5×5×960大小的三维矩阵，然后，神经网络利用反卷积技术，将上一层的特征信息，逐渐减少特征通道数，而增加数据尺寸的大小，最后得到20×20×15三维矩阵，将此数据进行重新排列成一维数组，即得到所需生成的长度为6000的生成器生成地震样本。

S2中，将生成器生成地震样本输入判别器中，判别器对生成器生成地震样本进行逐层卷积操作，特征通道数逐渐增加，而每个特征的数据尺寸逐渐减小，对经多次卷积操作并完成特征提取后的数据，重新排列成一维数组，再将其输入softmax判别层，以实现其“真”和“假”的判别。

S3中，对判断结果进行验证的具体方法为：

采用小波变换，分别得到天然地震波和生成器生成地震样本的时变功率谱，小波变换中的小波，即为母小波或小波母函数，对母小波进行平移与伸缩，得到对应的小波基函数：

式中b为平移因子，a为尺度因子，ψ(·)为母小波，将上述一系列的小波基函数叠加起来，即得到对于任意函数x(t)∈L²(R)的连续小波变换，定义如式(5)，其中，L²(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间；W_t(a,b)也称为小波变换系数，其中*为复共轭：

可得到基于小波变换估计的功率谱：

式中，M为所取样本的个数，fi为过程x(t)的第i个样本，Δf为小波频带的宽度，H(f)为传递函数，如式(7)：

H(f)＝ψ(a2πf)e^-i2πfb (7)

为了验证天然地震波和生成器生成地震样本之间的吻合性，对以下特征进行对比：

1)时域检验

时变功率谱的表征能量在时间和频率分布上有以下的边缘特性：

式中，x(t)为地震动加速度时程，对上述式(7)进行时间积分，即可得t时刻的累积能量：

随着时间的增长，t时刻的累积能量也随之增大，最后将得到一条以t为自变量，E(t)为因变量的增函数曲线，定量地得到时变功率谱在时域上的变化特性；

2)频域检验

对于地震动加速度时程x(t)，其平均功率谱定义如下式：

式中，T为地震动加速度时程x(t)的持续时间，S_xx(f)表示傅里叶变换得到的地震动加速度时程平稳过程的功率谱：

由上式，将地震动时程的时变功率谱在时间上积分后对持时取均值，得到退化后的地震动平稳过程的功率谱，将样本地震波时变功率谱和生成的地震波时变功率谱进行上述数据处理，并对同一频率上的退化功率谱取平均，即可得到对应条件下的平均功率谱；对样本波时变功率谱和生成波时变功率谱进行平均化，得到两个平均时变功率谱，将上述时变功率谱的任一时间点t做“切片”，得到t时刻的功率谱，若生成器生成地震样本正确，同一时间切片上的功率谱应当基本一致。

本发明具有以下优点：

传统人工生成地震波的方法一般先生成平稳随机信号，再乘以一个确定的时变包络曲线，而WGAN具有学习时变特性的能力，可直接生成非平稳的随机信号，使时变包络也具有随机性，因此生成的地震波更贴近天然地震波。生成式对抗网络为生成非平稳信号提供了新的思路，也可以运用到其他工程时变信号，如脉动风时程曲线、轨道不平顺等人工样本的生成。

针对人工生成地震波的问题，本发明通过利用对抗神经网络强大的特征提取和数据生成的能力，训练了特定条件的地震波生成器。同时，本发明利用小波变换得到相应的时变功率谱，分别从时域、频域及对应时刻上功率谱进行对比分析，结果能较好地吻合，证明了使用生成式对抗网络生成地震波的可能性。

附图说明

图1是本发明生成对抗式网络的示意图；

图2是单层隐层结构的示意图；

图3是判别器网络示意图

图4是生成器网络示意图

图5是R_JB和R_rup的关系图

图6是人工地震波图；

图7是平均功率谱图；

图8是地震动加速度能量累积曲线图；

图9是算例1在5s,10s,12s,15s,20s,30s时的样本波功率谱与生成波功率谱图；

图10是算例2在5s,10s,12s,15s,20s,30s时的样本波功率谱与生成波功率谱图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例作进一步详细描述。

本实施例的基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，包括以下步骤：

S1、向生成器输入随机噪声，将随机噪声依次经重塑、全连接层映射、反卷积后，最后得到生成器生成地震样本；

S2、判别器对生成器生成地震样本进行判断，输出判断结果；

S3、对判断结果进行验证，确定判断结果的有效性；

判别器以Wasserstein范数定义的损失函数判断人造地震动数据的网络训练效果。

Wasserstein范数定义的损失函数为：

其中，W(P_r,P_g)为损失函数，P_r为真实地震样本的分布，P_g为生成器生成地震样本的分布，参数θ为P_r、P_g这两个分布之间的距离，x、y为联合分布γ中采样得到的真实样本和生成样本，

为在所有可能的联合分布γ中能够对这个期望值E_(x,y)～γ[||x-y||]取到的下界，该下界即为Wasserstein范数；

从上述推导可知，当两个分布P_r，P_g离得很远，完全没有重合或者重合程度小到可以忽略时，Wasserstein范数仍然能够提供有意义的梯度，鉴于式(1)无法直接计算，通过Kantorovich-Rubinstein的对偶性，得到式(1)的替代式，如下所示

式中||f||_L≤K表示K-Lipschitz条件，即连续函数f的定义域内任意两个元素x₁和x₂，都需满足条件|f(x₁)-f(x₂)|≤K|x₁-x₂|，使连续函数f在定义域内的导函数值不得大于K值，为了满足||f||_L≤K这个条件，WGAN限制了判别器网络中参数，使其都不得超过[-c,c]这个范围，此时输入数据x的导函数值不会超过某个范围，一定存在某个常数K满足||f||_L≤K的限制；

基于Wasserstein范数的目标函数可定义为

式中，E[·]为函数的期望，D为判别器，G为生成器，D(x)为判别器评价真实数据为真的概率，D(G(z))为判别器评价生成数据为假的概率，

为目标函数，由于目标函数内没有log函数，因此判别器目标函数的大小指示网络训练的进程，当距离越小，表示网络训练的越好。

S1中生成地震样本的具体步骤为：向生成器输入矢量长度为400的随机噪声，首先，将这一随机噪声重塑成1×1×400的三维矩阵，并通过全连接层映射为5×5×960大小的三维矩阵，然后，神经网络利用反卷积技术，将上一层的特征信息，逐渐减少特征通道数，而增加数据尺寸的大小，最后得到20×20×15三维矩阵，将此数据进行重新排列成一维数组，即得到所需生成的长度为6000的生成器生成地震样本。

S2中，将生成器生成地震样本输入判别器中，判别器对生成器生成地震样本进行逐层卷积操作，特征通道数逐渐增加，而每个特征的数据尺寸逐渐减小，对经多次卷积操作并完成特征提取后的数据，重新排列成一维数组，再将其输入softmax判别层，以实现其“真”和“假”的判别。

S3中，对判断结果进行验证的具体方法为：

采用小波变换，分别得到天然地震波和生成器生成地震样本的时变功率谱，小波变换中的小波，即为母小波或小波母函数，对母小波进行平移与伸缩，得到对应的小波基函数：

式中b为平移因子，a为尺度因子，ψ(·)为母小波，将上述一系列的小波基函数叠加起来，即得到对于任意函数x(t)∈L²(R)的连续小波变换，如式(5)，其中*为复共轭：

可得到基于小波变换估计的功率谱：

式中，M为所取样本的个数，fi为过程x(t)的第i个样本，Δf为小波频带的宽度，H(f)为传递函数，如式(7)：

H(f)＝ψ(a2πf)e^-i2πfb (7)

为了验证天然地震波和生成器生成地震样本之间的吻合性，对以下特征进行对比：

1)时域检验

时变功率谱的表征能量在时间和频率分布上有以下的边缘特性：

式中，x(t)为地震动加速度时程，对上述式(7)进行时间积分，即可得t时刻的累积能量：

随着时间的增长，t时刻的累积能量也随之增大，最后将得到一条以t为自变量，E(t)为因变量的增函数曲线，定量地得到时变功率谱在时域上的变化特性；

2)频域检验

对于地震动加速度时程x(t)，其平均功率谱定义如下式：

式中，T为地震动加速度时程x(t)的持续时间，S_xx(f)表示傅里叶变换得到的地震动加速度时程平稳过程的功率谱：

由上式，将地震动时程的时变功率谱在时间上积分后对持时取均值，得到退化后的地震动平稳过程的功率谱，将样本地震波时变功率谱和生成的地震波时变功率谱进行上述数据处理，并对同一频率上的退化功率谱取平均，即可得到对应条件下的平均功率谱；对样本波时变功率谱和生成波时变功率谱进行平均化，得到两个平均时变功率谱，将上述时变功率谱的任一时间点t做“切片”，得到t时刻的功率谱，若生成器生成地震样本正确，同一时间切片上的功率谱应当基本一致。

在DCGAN中，判别器采用卷积技术，以实现对真实数据和生成数据的特征提取，这一过程与一般的卷积神经网络(Convolutional Neural Network,CNN)是一致的。卷积技术可以实现高维数据的低维特征提取。对于输入的m×m的原始数据，通过a×a的卷积核进行卷积计算，在保持特征信息不丢失的前提下将原有矩阵压缩成n×n的矩阵。卷积核是卷积层的参数矩阵，与输入数据的不同区域进行矩阵乘积，得到对应区域的特征数据。卷积核遍历数据的所有区域，得到所有区域的特征数据，输出特征矩阵。

卷积计算可以用一个矩阵计算表示：

式中，N、M分别为输入和输出矩阵重新排列的一维列向量，C为a×a大小卷积核的稀疏矩阵，

为卷积运算，b为偏置项。

在生成器中，由于需要利用一维噪声数据生成所需要的样本数据，并还原其数据特征，则需采用反卷积(转置卷积)技术。反卷积技术是卷积技术的逆过程，是将低维特征映射到高维数据，同时保证数据位置间的连接关系，是卷积过程的反向传播。通过反卷积计算并不能完全还原卷积之前的矩阵，只能从大小上进行还原，但是反卷积计算的本质还是卷积计算，只是在进行卷积核遍历输入数据的计算之前，会进行一个矩阵补0的操作，从而使得输出的矩阵与指定输出矩阵的大小相同。若用一个矩阵计算表示，则可表示为：

式中，C^T为卷积核稀疏矩阵的转置矩阵，其他各项参数意义同卷积计算。

生成器与判别器的每一隐层中，通常在卷积/反卷积层后连接BN层。一般神经网络在开始训练前参数会进行初始化，使参数零均值化，因此开始时的拟合y＝Wx+b，基本都是过原点附近的。但是需要拟合的数据不一定是零均值的，且不同的数据可能分布也不同，甚至每一个隐层输出的数据分布可能也不同。因此网络需要经过多次学习才能逐步达到数据的拟合，即收敛的比较慢。如果我们对输入数据先作归一化操作，就可以加快学习速度，稳定训练。BN层是一种常用于卷积层后面使参数归一化方法，对数据做如下的预处理：

式中x为输入的数据，y为处理后输出的数据，E(x)为数据x的期望，Var(x)为数据x的方差，γ、β为可学习的重构参数，且γ＝Var(x)，β＝E(x)。经过变换后，数据分布x先变成了期望为0方差为1的正态分布

该步强行进行了归一化以提高训练速度，但会破坏原有数据的分布。因此引入重构参数再次进行变换，恢复原有数据的分布。BN层的两重变换可以起到帮助网络的收敛，稳定学习等作用。

本实施例采用完全对称的生成器与判别器，且生成器与判别器各有4层的隐层，每一层隐层内部依次进行反卷积/卷积、批标准化、激活函数、防止过拟合(dropout)等4个操作，如图2所示。

地震动为一维输入信号，在本发明研究中，取地震波的采样点为6000个，即其为长度等于6000的一维数组。

对于判别器而言，其结构与传统的深度卷积网络类似。本发明定义4次卷积，以挖掘出数据隐藏的特征。如图3所示，输入样本经过逐层卷积操作，特征通道数逐渐增加，而每个特征的数据尺寸逐渐减小。在本发明的研究中，4个卷积层的特征通道数分别为15、60、240和960，而对应的特征数据尺寸分别为20×20、20×20、10×10和5×5。特征通道数的逐层增加，代表着网络对输入数据的特征提取越充分。对经多次卷积操作并完成特征提取后的数据，将其重新排列成一维数组，即图3所示的扁平化操作，再将其输入softmax判别层，以实现其“真”和“假”的判别。

在本发明中，生成器则采用与判别器完全对称的结构，如图4所示。生成器的输入矢量采用长度为400的随机噪声。首先，将这一随机噪声重塑成1×1×400的三维矩阵，并通过全连接层映射为5×5×960大小的三维矩阵。然后，神经网络利用反卷积技术，将上一层的特征信息，逐渐减少特征通道数，而增加数据尺寸的大小。这一过程与判别器的卷积过程是完全对称的，最后得到20×20×15三维矩阵，将此数据进行重新排列成一维数组，即得到所需生成的长度为6000的人造地震动数据。

本发明以太平洋地震工程研究中心的PEER(Pacific Earthquake EngineeringResearch Center)地面运动数据库中的NGA-West2地震动数据库内的数据进行具体分析。

NGA-West2地震动数据库包含在活跃构造条件下的全球浅层地壳地震中记录的大量地震动。该数据库包括不同的距离度量，各种站点特征，地震源数据等。

在抗震设计中，往往按照建筑场地类别和设计地震分组选用实际地震记录和人工模拟的加速度时程曲线，因此地震选波应从地震动的影响要素(震级，震中距，场地因素，持续时间)等方面进行选择。PEER地震波库中对于上述影响要素分别采用magnitude，R_JB、R_rup，Vs30和D5-95(s)参数来进行定义。其中，R_JB和R_rup参数均为断层源距的距离指标，如图5所示；Vs30表示30米深度土层的剪切波速，可以用于对场地类型的划分，基于Vs30定义的场地分类如表1所示。D5-95(s)表示达到5％～95％ARIAS地震强度的地震动持续时间。

表1基于Vs30定义的场地分类

在本发明的算例研究中，将分别对C类场地和D类场地的地震波进行基于生成式对抗网络的模拟生成研究，具体的地震参数选择如表2所示。在两个算例中，除了场地条件不一样外，其余参数均相同。

表2地震波参数

在生成式对抗网络的数据集中，所有数据应具有相同长度。因此本发明从上述样本数据中选取了6000个采样点，总记录长度为60s的记录。不足60s的记录，将会在末尾段补0。最终算例1共有108条地震波作为样本输入，算例2共有95条地震波作为样本输入。

本发明通过WGAN得到了算例1和算例2的人工地震波样本，图6中分别给出了3条具有代表性的地震动时程曲线。可以看出，由WGAN生成的人工地震波较好地模拟了天然地震波的非平稳特性。

功率谱拟合结果：

1、平均功率谱

通过式(11)可以得到频域上的平均功率谱，如图7所示。对比生成地震波的平均功率谱与样本地震波的平均功率谱，可以发现WGAN很好地学习了天然地震波的平均功率谱特性，生成的人工地震波的平均功率谱与学习的样本数据的平均功率谱吻合良好。

2、能量累积曲线

按式(10)计算可得到时变功率谱的能量累积曲线，如图8所示。对比样本地震波的能量值与生成地震波的能量值，可以发现WGAN也很好的学习到了天然地震波在时域上的能量特性，生成波与学习的样本波的能量累积曲线吻合良好。

3、时变功率谱

时变功率谱对应时间的“切片”的功率谱拟合如图9和图10所示。可以发现，在不同时点上，生成地震波的瞬时功率谱与天然样本波的瞬时功率谱吻合良好，表明WGAN能很好地对地震波的频域特性进行挖掘，并通过生成器进行模拟再现。

结论：

针对人工生成地震波的问题，本发明通过利用对抗神经网络强大的特征提取和数据生成的能力，训练了特定条件的地震波生成器。同时，本发明利用小波变换得到相应的时变功率谱，分别从时域、频域及对应时刻上功率谱进行对比分析，结果能较好地吻合，证明了使用生成式对抗网络生成地震波的可能性。

传统人工生成地震波的方法一般先生成平稳随机信号，再乘以一个确定的时变包络曲线，而WGAN具有学习时变特性的能力，可直接生成非平稳的随机信号，使时变包络也具有随机性，因此生成的地震波更贴近天然地震波。生成式对抗网络为生成非平稳信号提供了新的思路，也可以运用到其他工程时变信号，如脉动风时程曲线、轨道不平顺等人工样本的生成。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，包括以下步骤：

S1、向生成器输入随机噪声，将随机噪声依次经重塑、全连接层映射、反卷积后，最后得到生成器生成地震样本；

S2、判别器对生成器生成地震样本进行判断，输出判断结果；

S3、对判断结果进行验证，确定判断结果的有效性；

其特征是：

判别器以Wasserstein范数定义的损失函数判断人造地震动数据的网络训练效果。

2.根据权利要求1所述的基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，其特征是：Wasserstein范数定义的损失函数为：

其中，W(P_r,P_g)为损失函数，P_r为真实地震样本的分布，P_g为生成器生成地震样本的分布，参数θ为P_r、P_g这两个分布之间的距离，x、y为联合分布γ中采样得到的真实样本和生成样本，

为在所有可能的联合分布γ中能够对这个期望值E_(x,y)～γ[||x-y||]取到的下界，该下界即为Wasserstein范数；

从上述推导可知，当两个分布P_r，P_g离得很远，完全没有重合或者重合程度小到可以忽略时，Wasserstein范数仍然能够提供有意义的梯度，鉴于式(1)无法直接计算，通过Kantorovich-Rubinstein的对偶性，得到式(1)的替代式，如下所示

式中||f||_L≤K表示K-Lipschitz条件，即连续函数f的定义域内任意两个元素x₁和x₂，都需满足条件|f(x₁)-f(x₂)|≤K|x₁-x₂|，使连续函数f在定义域内的导函数值不得大于K值，为了满足||f||_L≤K这个条件，WGAN限制了判别器网络中参数，使其都不得超过[-c,c]这个范围，此时输入数据x的导函数值不会超过某个范围，一定存在某个常数K满足||f||_L≤K的限制；

基于Wasserstein范数的目标函数可定义为

式中，E[·]为函数的期望，D为判别器，G为生成器，D(x)为判别器评价真实数据为真的概率，D(G(z))为判别器评价生成数据为假的概率，

为目标函数，由于目标函数内没有log函数，因此判别器目标函数的大小指示网络训练的进程，当距离越小，表示网络训练的越好。

3.根据权利要求1所述的基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，其特征是：S1中生成地震样本的具体步骤为：向生成器输入矢量长度为400的随机噪声，首先，将这一随机噪声重塑成1×1×400的三维矩阵，并通过全连接层映射为5×5×960大小的三维矩阵，然后，神经网络利用反卷积技术，将上一层的特征信息，逐渐减少特征通道数，而增加数据尺寸的大小，最后得到20×20×15三维矩阵，将此数据进行重新排列成一维数组，即得到所需生成的长度为6000的生成器生成地震样本。

4.根据权利要求1所述的基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，其特征是：S2中，将生成器生成地震样本输入判别器中，判别器对生成器生成地震样本进行逐层卷积操作，特征通道数逐渐增加，而每个特征的数据尺寸逐渐减小，对经多次卷积操作并完成特征提取后的数据，重新排列成一维数组，再将其输入softmax判别层，以实现其“真”和“假”的判别。

5.根据权利要求1所述的基于生成式对抗网络算法的人工地震波模拟方法，其特征是：S3中，对判断结果进行验证的具体方法为：

采用小波变换，分别得到天然地震波和生成器生成地震样本的时变功率谱，小波变换中的小波，即为母小波或小波母函数，对母小波进行平移与伸缩，得到对应的小波基函数：

式中b为平移因子，a为尺度因子，ψ(·)为母小波，将上述一系列的小波基函数叠加起来，即得到对于任意函数x(t)∈L²(R)的连续小波变换，定义如式(5)，其中，L²(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间；W_t(a,b)也称为小波变换系数，其中*为复共轭：

可得到基于小波变换估计的功率谱：

式中，M为所取样本的个数，fi为过程x(t)的第i个样本，Δf为小波频带的宽度，H(f)为传递函数，如式(7)：

H(f)＝ψ(a2πf)e^-i2πfb (7)

为了验证天然地震波和生成器生成地震样本之间的吻合性，对以下特征进行对比：

1)时域检验

时变功率谱的表征能量在时间和频率分布上有以下的边缘特性：

式中，x(t)为地震动加速度时程，对上述式(7)进行时间积分，即可得t时刻的累积能量：

随着时间的增长，t时刻的累积能量也随之增大，最后将得到一条以t为自变量，E(t)为因变量的增函数曲线，定量地得到时变功率谱在时域上的变化特性；

2)频域检验

对于地震动加速度时程x(t)，其平均功率谱定义如下式：

式中，T为地震动加速度时程x(t)的持续时间，S_xx(f)表示傅里叶变换得到的地震动加速度时程平稳过程的功率谱：

由上式，将地震动时程的时变功率谱在时间上积分后对持时取均值，得到退化后的地震动平稳过程的功率谱，将样本地震波时变功率谱和生成的地震波时变功率谱进行上述数据处理，并对同一频率上的退化功率谱取平均，即可得到对应条件下的平均功率谱；对样本波时变功率谱和生成波时变功率谱进行平均化，得到两个平均时变功率谱，将上述时变功率谱的任一时间点t做“切片”，得到t时刻的功率谱，若生成器生成地震样本正确，同一时间切片上的功率谱应当基本一致。

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