CN113935164A - 一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法 - Google Patents

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CN113935164A CN202111188173.7A CN202111188173A CN113935164A CN 113935164 A CN113935164 A CN 113935164A CN 202111188173 A CN202111188173 A CN 202111188173A CN 113935164 A CN113935164 A CN 113935164A
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李彤阳
王鲁杰
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汤华国
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Abstract

本发明涉及一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法，该方法包括以下步骤：⑴设定金属材料晶格长度本构方程；⑵获取具有不同晶格长度金属材料的真实应力—应变数据；⑶确定在参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的线性表达式；⑷拟合所述步骤⑶中本构方程的线性表达式中斜率和截距的数值，即应变强化指数n和硬化系数的自然对数值lnB，并通过指数运算得到硬化系数B的数值；⑸拟合在非参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的晶格长度敏感系数C 1：⑹判定所构建本构方程的拟合精度。本发明方法简单、易于实现，解决了现有金属材料本构模型中缺少考虑微观晶格长度的问题，可为金属材料在变形、接触、切削、摩擦等领域的研究提供依据。

Description

一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法
技术领域
本发明涉及金属材料动态力学技术领域，尤其涉及一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法。
背景技术
金属材料的力学特性对机械零部件的可靠性和使用寿命具有关键性的作用，为了提高金属材料的使用寿命，进一步研究其动态力学特性，特别是塑性变形阶段的本构特性具有重要意义。在材料变形、接触、切削、摩擦等领域，金属材料的动态力学特性是其重要的理论基础，也是进行宏观有限元仿真的必要条件。
由于Johnson-Cook本构模型考虑了温度及应变率的影响，目前已被广泛地应用于金属材料的动态力学特性分析中。研究人员在Johnson-Cook本构模型基础上，进一步提高多项式的拟合阶数，使得材料本构方程的拟合精度进一步提高。此外，进一步考虑温度与应变率的耦合关系的Zerilli–Armstrong模型也被提出。
目前，金属材料的本构模型已有十余种，但大多考虑了服役条件下的温度和应变率等外部因素对其动态力学特性的影响。越来越多的研究发现，材料自身的微观结构，如晶格长度等，对金属材料塑性变形阶段的动态力学特性同样有着不可忽视的影响。因此，进一步在本构模型中考虑晶格长度对其动态力学特性的影响是十分重要的。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种法简单、易于实现的考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法。
为解决上述问题，本发明所述的一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法，包括以下步骤：
⑴将考虑金属材料晶格长度本构方程的形式设定为应变硬化项
Figure 551953DEST_PATH_IMAGE001
与晶格长度硬化项
Figure 263557DEST_PATH_IMAGE002
相乘，具体表达式如下：
Figure 253378DEST_PATH_IMAGE003
，
式中：σ t 为材料的真实应力，单位GPa；A为参考晶格长度下材料的弹性极限应力，单位GPa；B为硬化系数，单位GPa；ε t 为真实应变，无量纲；n为应变强化指数，无量纲；C 1为晶格长度敏感系数，无量纲；d为晶格长度，单位nm；d 0为参考晶格长度，单位nm；
⑵获取具有不同晶格长度金属材料的真实应力—应变数据；
⑶确定在参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的线性表达式为：
Figure 392236DEST_PATH_IMAGE004
；
⑷拟合所述步骤⑶中本构方程的线性表达式中斜率和截距的数值，即应变强化指数n和硬化系数的自然对数值lnB，并通过指数运算得到硬化系数B的数值；
⑸拟合在非参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的晶格长度敏感系数C 1；
⑹判定所构建本构方程的拟合精度：
当相关系数R > 0.99，平均绝对相对误差AARE < 5%时，即判定达到拟合精度；
若所构建的本构方程未达到拟合精度要求，则将应变硬化项
Figure 37981DEST_PATH_IMAGE001
转变为高阶多项形式
Figure 287696DEST_PATH_IMAGE005
，本构方程变形为
Figure 335287DEST_PATH_IMAGE006
，式中：B i 为新引入材料常数，单位GPa，其中i = 0, 1,……, k；并重复步骤⑶~步骤⑸，直至满足拟合精度。
所述步骤⑵中获取具有不同晶格长度金属材料的真实应力—应变数据的方法是指先建立具有不同晶格长度的金属材料微观几何模型，然后采用分子动力学模拟方法，并根据转化公式将计算得到的工程应力
Figure 645045DEST_PATH_IMAGE007
与工程应变
Figure 778086DEST_PATH_IMAGE008
转化为真实应力
Figure 831493DEST_PATH_IMAGE009
应变与真实应变
Figure 671273DEST_PATH_IMAGE010
；所述转化公式如下：
Figure 208391DEST_PATH_IMAGE011
；
Figure 500832DEST_PATH_IMAGE012
。
所述步骤⑸中获取晶格长度敏感系数C 1的方法是指先将所述步骤⑷得到的应变强化指数n和硬化系数B带入所述步骤⑴的本构方程，得到关于
Figure 420246DEST_PATH_IMAGE013
与
Figure 114533DEST_PATH_IMAGE014
的线性方程：
Figure 828411DEST_PATH_IMAGE015
；然后通过所述步骤⑵中的多组非参考晶格长度下真实应力—应变数据，求取线性方程中对应的斜率值，并求所有斜率值的平均数即得。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
1、本发明是一种基于分子动力学方法针对具有不同晶格长度的几何模型，并开展动态力学性能模拟，得到应力—应变数据，从而在理论上建立了金属材料微观晶格长度与宏观动态力学性能的具体函数表达式，解决了现有金属材料本构模型中缺少考虑微观晶格长度的问题，可为金属材料在变形、接触、切削、摩擦等领域的研究提供依据。
2、本发明方法简单、易于实现。
附图说明
下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。
图1为本发明经分子动力学模拟得到的工程应力—应变曲线图。
图2为本发明工程应力—应变数据转变为真实应力—应变曲线图。
图3为本发明参考晶格长度10 nm下的拉伸真实应力—应变曲线图。
图4为本发明采用方程（1）的拟合结果与模拟结果的对比。
图5为本发明采用高阶多项式的拟合结果与模拟结果的对比。
具体实施方式
一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法，包括以下步骤：
⑴将考虑金属材料晶格长度本构方程的形式设定为应变硬化项
Figure 873727DEST_PATH_IMAGE001
与晶格长度硬化项
Figure 331253DEST_PATH_IMAGE002
相乘，具体表达式如下：
Figure 942363DEST_PATH_IMAGE003
………………………………（1）
式中：σ t 为材料的真实应力，单位GPa；A为参考晶格长度下材料的弹性极限应力，单位GPa；B为硬化系数，单位GPa；ε t 为真实应变，无量纲；n为应变强化指数，无量纲；C 1为晶格长度敏感系数，无量纲；d为晶格长度，单位nm；d 0为参考晶格长度，单位nm。
⑵获取具有不同晶格长度金属材料的真实应力—应变数据。具体过程如下：
先建立具有不同晶格长度的金属材料微观几何模型，然后采用分子动力学模拟方法，并根据转化公式将计算得到的工程应力
Figure 30405DEST_PATH_IMAGE007
与工程应变
Figure 359755DEST_PATH_IMAGE008
转化为真实应力
Figure 558655DEST_PATH_IMAGE009
应变与真实应变
Figure 24272DEST_PATH_IMAGE010
；转化公式如下：
Figure 283215DEST_PATH_IMAGE011
……………………………………………（2）
Figure 99861DEST_PATH_IMAGE012
………………………………………………（3）
⑶确定在参考晶格长度下步骤⑴中本构方程的线性表达式为：
Figure 836873DEST_PATH_IMAGE004
……………………………………（4）
在参考晶格长度下，步骤⑴中晶格长度硬化项退化为1，本构方程表达式仅含有应变硬化项
Figure 422575DEST_PATH_IMAGE001
。同时，根据步骤⑵给出参考晶格长度下材料的弹性极限应力A，并将A移动到表达式的左边，两端取自然对数，得到关于lnε t 与ln(σ t -A)的线性方程。
⑷利用在参考晶格长度下真实应力—应变数据，通过最小二乘法，拟合步骤⑶中本构方程的线性表达式中斜率和截距的数值，即应变强化指数n和硬化系数的自然对数值lnB，并通过指数运算得到硬化系数B的数值。
⑸拟合在非参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的晶格长度敏感系数C 1。具体过程如下：
获取晶格长度敏感系数C 1的方法是指先将步骤⑷得到的应变强化指数n和硬化系数B带入步骤⑴的本构方程，通过移项和取对数运算，得到关于
Figure 852419DEST_PATH_IMAGE013
与
Figure 890782DEST_PATH_IMAGE014
的线性方程：
Figure 431485DEST_PATH_IMAGE015
…………………………………………（5）
然后通过步骤⑵中的多组非参考晶格长度下真实应力—应变数据，求取线性方程中对应的斜率值，并求所有斜率值的平均数即得。
从步骤⑶~步骤⑸得到了考虑晶格长度的金属材料本构方程中全部的待定参数。
⑹判定所构建本构方程的拟合精度：
采用统计学参数，相关系数R和平均绝对相对误差AARE，评价考虑晶格长度的金属材料本构方程的拟合精度。
当相关系数R > 0.99，平均绝对相对误差AARE < 5%时，即判定达到拟合精度。
若所构建的本构方程未达到拟合精度要求，则将应变硬化项
Figure 74956DEST_PATH_IMAGE001
转变为高阶多项形式
Figure 472439DEST_PATH_IMAGE016
，本构方程变形为
Figure 201361DEST_PATH_IMAGE006
……………………………（6）式中：B i 为新引入材料常数，单位GPa，其中i = 0, 1,……, k；并重复步骤⑶~步骤⑸，直至满足拟合精度。
【工作原理】首先，建立金属材料不同晶格长度的几何模型；然后，利用分子动力学方法开展特定工况下的几何模型拉伸或压缩模拟。根据模拟结果，建立考虑金属材料晶格长度的本构方程，通过解耦分析方法，求解在参考晶格长度下本构方程中的相关参数，并以此为基础，进一步求解在非参考晶格长度下本构方程中的相关系数，并采用相关系数和平均绝对相对误差等统计学参数评估所拟合方程的拟合精度。
实施例 多晶纯铁材料的拉伸动态特性方程的拟合过程，包括以下步骤：
⑴按方程（1）设定多晶纯铁材料晶格长度本构方程。
⑵获取具有不同晶格长度多晶纯铁材料的真实应力—应变数据。具体过程如下：
利用ATOMSK软件建立具有不用晶格长度的纯铁原子几何模型，并采LAMMPS软件开展拉伸过程的模拟，得到塑性变形阶段的工程应力—应变数据，如图1所示。通过方程（2）与方程（3），将工程应力—应变数据转化为真实应力—应变数据，如图2所示。
⑶对方程（1）进行解耦，分别得到应变硬化项
Figure 342492DEST_PATH_IMAGE017
和晶格长度硬化项
Figure 840470DEST_PATH_IMAGE018
，并根据图3给出参考晶格长度10 nm下的拉伸强度4.1448 GPa。
Figure 408854DEST_PATH_IMAGE019
………… （7）
Figure 625072DEST_PATH_IMAGE020
……………（8）
⑷将方程（7）适当变形，并两端取自然对数，得到关于真实应力—应变的线性方程（9）：
Figure 569894DEST_PATH_IMAGE021
……………………（9）
利用在参考晶格长度10 nm下的应力—应变数据，通过最小二乘法，拟合得到线性方程（9）中的应变强化指数n和硬化系数的自然对数值分别为2.2536和7.3803，并通过指数运算，得到硬化系数B的值为1604.2。
⑸将求解得到的应变强化指数n和硬化系数B带入到方程（1）中，并通过适当变形，得到线性方程（10）：
Figure 922378DEST_PATH_IMAGE022
…………………（10）
通过多组非参考晶格长度（12 nm、8 nm、6.0 nm 以及5.0 nm）下真实应力—应变数据，求取方程（10）中晶格长度敏感系数C 1的值。在不同晶格长度下拟合方程（10）中的斜率，并求其平均值，得到线性方程（10）中晶格长度敏感系数C 1的值为0.3454，则不同晶格长度下纯铁材料的拉伸本构方程表达式为：
Figure 927243DEST_PATH_IMAGE023
……………（11）
⑹判定所构建本构方程的拟合精度：
通过方程（11）预测的真实应力—应变数据与仿真数据的对比，如图4所示。采用统计学参数，相关系数R和平均绝对相对误差AARE，计算得到不同晶格长度下表达式（11）的拟合精度结果如表1所示。根据拟合精度判定标准（R > 0.99，AARE < 5%）可知，表达式（11）的拟合精度较低，未满足使用要求。因此，需要将应变硬化项转变为高阶多项形式，重新进行拟合计算。
表1 不同晶格长度下公式(11)的拟合精度结果
Figure 365178DEST_PATH_IMAGE024
将应变硬化项转变为关于真实应变的三阶多项式,则方程（1）转化为方程（12）的形式，并重复步骤⑸利用最小二乘法得到应变强化项中的待定参数，B 0 = 0.5428，B 1 =121.366，B 2 = 993.396，B 3 = -15724。
Figure 785795DEST_PATH_IMAGE025
……………（12）
重复步骤⑸~⑹，构建线性方程，求解晶格长度敏感系数C 1。通过多组非参考晶格长度（12.0 nm、8.0 nm、6.0 nm、5.0 nm）下的真实应力—应变数据，得到晶格长度敏感系数C 1的值为0.3162。最终得到不同晶格长度下纯铁材料的拉伸本构方程表达式为：
Figure 320682DEST_PATH_IMAGE026
…（13）
通过方程（13）预测的真实应力—应变数据与仿真数据的对比，如图5所示。再次利用统计参数，相关系数R和平均绝对相对误差AARE，计算得到不同晶格长度下表达式（13）的拟合精度结果如表2所示。根据拟合精度判定标准（R > 0.99，AARE < 5%）可知，表达式（13）的拟合精度较高，满足使用要求。
表2 不同晶格长度下公式(13)的拟合精度结果
Figure 168552DEST_PATH_IMAGE027
应该理解，这里讨论的实施例和实施方案只是为了说明，对熟悉该领域的人可以提出各种改进和变化，这些改进和变化将包括在本申请的精神实质和范围以及所附的权利要求范围内。

Claims (3)

1.一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法，包括以下步骤：
⑴将考虑金属材料晶格长度本构方程的形式设定为应变硬化项
Figure DEST_PATH_IMAGE001
与晶格长度硬化项
Figure 530876DEST_PATH_IMAGE002
相乘，具体表达式如下：
Figure 310613DEST_PATH_IMAGE003
，
式中：σ t 为材料的真实应力，单位GPa；A为参考晶格长度下材料的弹性极限应力，单位GPa；B为硬化系数，单位GPa；ε t 为真实应变，无量纲；n为应变强化指数，无量纲；C 1为晶格长度敏感系数，无量纲；d为晶格长度，单位nm；d 0为参考晶格长度，单位nm；
⑵获取具有不同晶格长度金属材料的真实应力—应变数据；
⑶确定在参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的线性表达式为：
Figure 643505DEST_PATH_IMAGE004
；
⑷拟合所述步骤⑶中本构方程的线性表达式中斜率和截距的数值，即应变强化指数n和硬化系数的自然对数值lnB，并通过指数运算得到硬化系数B的数值；
⑸拟合在非参考晶格长度下所述步骤⑴中本构方程的晶格长度敏感系数C 1；
⑹判定所构建本构方程的拟合精度：
当相关系数R > 0.99，平均绝对相对误差AARE < 5%时，即判定达到拟合精度；
若所构建的本构方程未达到拟合精度要求，则将应变硬化项
Figure 457878DEST_PATH_IMAGE001
转变为高阶多项形式
Figure DEST_PATH_IMAGE005
，本构方程变形为
Figure 218023DEST_PATH_IMAGE006
，式中：B i 为新引入材料常数，单位GPa，其中i = 0, 1,……, k；并重复步骤⑶~步骤⑸，直至满足拟合精度。
2.如权利要求1所述的一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法，其特征在于：所述步骤⑵中获取具有不同晶格长度金属材料的真实应力—应变数据的方法是指先建立具有不同晶格长度的金属材料微观几何模型，然后采用分子动力学模拟方法，并根据转化公式将计算得到的工程应力
Figure DEST_PATH_IMAGE007
与工程应变
Figure 422740DEST_PATH_IMAGE008
转化为真实应力
Figure 621640DEST_PATH_IMAGE009
应变与真实应变
Figure DEST_PATH_IMAGE010
；所述转化公式如下：
Figure 228202DEST_PATH_IMAGE011
；
Figure DEST_PATH_IMAGE012
。
3.如权利要求1所述的一种考虑晶格长度的金属材料本构方程拟合方法，其特征在于：所述步骤⑸中获取晶格长度敏感系数C 1的方法是指先将所述步骤⑷得到的应变强化指数n和硬化系数B带入所述步骤⑴的本构方程，得到关于
Figure 159248DEST_PATH_IMAGE013
与
Figure DEST_PATH_IMAGE014
的线性方程：
Figure 851261DEST_PATH_IMAGE015
；然后通过所述步骤⑵中的多组非参考晶格长度下真实应力—应变数据，求取线性方程中对应的斜率值，并求所有斜率值的平均数即得。
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