CN113901544A - 梁结构中波的空间分离与约束控制方法 - Google Patents

Abstract

梁结构中波的空间分离与约束控制方法，步骤1，根据有限长、线弹性欧拉‑伯努利梁的频散关系，建立局部耦合刚度‑阻尼元件的欧拉‑伯努利梁动力学方程，根据简支‑简支、简支‑固支、简支‑自由以及简支‑线弹性组合边界条件，求解简谐激励下的梁的受迫振动响应；步骤2，根据步骤1，获得实现结构波空间分离与约束控制的充要条件，确定弹簧刚度和阻尼参数随梁结构参数、激励频率以及耦合位置的变化规律；步骤3，根据步骤1和2，选取合适的弹簧刚度和阻尼参数，得到实现结构波空间分离与约束控制的梁的动力学响应，求得梁振动幅值、空间相位以及能量密度的时‑空分布特征。本发明实现梁结构的局部保护、振动的被动控制以及能量定向转移和回收。

Description

梁结构中波的空间分离与约束控制方法

技术领域

本发明涉及梁结构中波的空间分离与约束控制方法。具体涉及利用梁结构的参数以及设计与结构耦合的刚度-阻尼元件的参数，实现行波和驻波的空间分离与约束方法。

背景技术

工程中常见的悬索桥、机械转轴、悬臂梁和压力容器壳体等结构，常常会涉及到各类结构振动问题。其中，与之相关的经典案例之一是位于英国泰晤士河的千禧桥的共振。桥梁专家通过增加横向刚度、安装调谐质量和粘滞阻尼器等加固措施，使得千禧桥重新开放。可见，在振动抑制、调节和隔离等方面，弹簧-阻尼器发挥着至关重要的作用。

1992年，A.J.Hull研究了一端固定、另一端耦合阻尼器的非频散弹性杆的振动问题。通过调节阻尼系数使其与杆件末端的阻抗匹配，系统的特征值与模态消失，同时驻波转变为行波，以简谐激励形式输入的能量被阻尼器无反射地完全耗散。2015年，A.Blanchard等提出了在非频散弹性弦内部耦合粘弹性支撑或者动力吸振器，通过设计弹簧刚度和阻尼系数，可以使行波与驻波在耦合位置两侧发生空间分离，将振动能量以驻波形式约束控制在弦的某一子区域。然而，在诸如欧拉-伯努利梁的频散介质中，不同波数的结构波按照不同的波速传播，还没有公开的理论和技术方法，实现梁结构中波的空间分离与约束控制。

发明内容

本发明要克服现有技术的上述缺点，针对频散连续体结构，提出了结构波空间分离与振动局部约束的协同控制方法。

实现本发明的技术方案和路径为：提出结构波空间分离与约束控制的刚度-阻尼元件参数设计方法，将刚度-阻尼元件耦合在结构上，建立系统频散关系。利用结构边界条件，逆向设计刚度-阻尼参数，使其与结构的参数和边界条件、激励频率以及耦合位置形成特定的关系。

以线弹性欧拉-伯努利梁为例，具体的设计步骤为：

步骤1，根据频散关系以及边界条件，求解局部耦合刚度-阻尼元件的欧拉-伯努利梁的受迫振动响应；

考虑长度为L的线弹性欧拉-伯努利梁，沿其轴向的坐标用x表示，其横向振动位移用v(x,t)表示；梁的质量密度为ρ，杨氏模量为E，横截面积为A，转动惯量为I；在位置x＝x_a处耦合刚度-阻尼元件，即弹簧和阻尼器；弹簧刚度和阻尼系数分别用κ和σ表示；系统运动控制方程为

频散关系满足

式中，γ和Ω分别表示波数和频率；

假定简谐激励的频率和幅值分别为Ω和F，对于一端简支并施加简谐激励，另外一端施加线弹性约束的欧拉-伯努利梁，其边界条件满足

v₁(0,τ)＝Fe^jΩt,v_1,xx(0,t)＝0,EIv_2,xx(L,t)＝-k_rv_2,x(L,t),EIv_2,xxx(L,t)＝k_tv₂(L,t) (3)

式中，右边界的平移弹簧和扭转弹簧的刚度分别为k_t和k_r；耦合位置的位移连续条件和力平衡条件分别为

利用分离变量法求解系统的响应，假设受迫振动的稳态解满足

v_i(x,t)＝V_i(x)e^jΩt,i＝1,2 (5)

将方程(5)代入方程(3)和(4)，可得梁振动幅值的边界问题

式中，'代表对x求导；欧拉-伯努利梁的稳态解可写作

对于n＝1,2,3,4，将方程(7)代入方程(6)，可推导各复系数D_1n和D_2n的表达式

式中，刚度系数是

函数f_1n、f_2n、f、g_1n、g_2n和g(n＝1,...,4)的准确表达式与梁的结构参数、弹簧刚度-阻尼参数以及激励频率相关；特别地，通过调节弹簧刚度k_t和k_r实现各类理想的边界条件：1)简支：k_t＝+∞，k_r＝0；2)固支：k_t＝+∞，k_r＝+∞；3)自由：k_t＝0，k_r＝0；将方程(7)和(8)代入方程(5)可以得到系统的耦合振动响应的解析表达式；

步骤2，根据结构波空间分离与约束控制的充要条件，逆向设计局部耦合的弹簧刚度与阻尼系数，确定刚度和阻尼参数随梁结构参数、激励频率以及耦合位置的变化规律；

实现结构波的空间分离与约束控制的充要条件，要求能达到以简谐激励形式输入的能量，在梁的局部区域以行波形态传播，无反射地透过刚度-阻尼元件，然后能量被约束在另一个互补的子区域，并在该区域以驻波形态振动；

在单频激励条件下，位于刚度-阻尼元件两侧的子空间区域具有相同的波数，以保证空间中纯粹的行波与驻波可以共存；系统达到稳定之后，输入的能量被阻尼元件完全耗散，以维持系统的平衡；

为了实现结构波在刚度-阻尼元件位置的左侧子域为行波、右侧为驻波，设计弹簧的刚度和阻尼的参数，使其左侧区域的左行波分量被动力学元件吸收并抵消，即D₁₁＝0；由方程(8a)可得

D₁₂+D₁₃+D₁₄＝F (9)

求解方程(9)能够得到一组复刚度系数

记作

方程(10)是简支的线弹性欧拉-伯努利梁，实现结构波的空间分离与振动局部约束的必要条件；为了保证行波与驻波的空间分离在物理上是可实现的，弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*都取正值；通过化简方程(10)可以得到两组相互独立的实数方程，在结构的其它参数已知的情况下，可以求得满足结构波分离条件的弹簧刚度κ^*与阻尼系数σ^*；

步骤3，选取合适的刚度和阻尼参数，计算得到实现结构波空间分离与约束控制的梁的振动响应；

步骤2中的计算结果给出两组解，即弹簧刚度κ^*与阻尼系数σ^*；将方程(10)代入方程(7)和方程(8)，可以得到梁振动的幅值；再将方程(7)代入方程(5)，可以得到梁的时域横向位移响应；相应地，梁的转角θ、弯矩M、剪切力Q、动能密度dE_k以及势能密度dE_p可以通过下面公式计算得到：

结构波的空间分离与约束控制方法，包括：步骤1，根据有限长、线弹性欧拉-伯努利梁的频散关系，建立局部耦合刚度-阻尼元件的欧拉-伯努利梁动力学方程，根据简支-简支、简支-固支、简支-自由以及简支-线弹性组合边界条件，求解简谐激励下的梁的受迫振动响应；步骤2，根据步骤1，获得实现结构波空间分离与约束控制的充要条件，确定弹簧刚度和阻尼参数随梁结构参数、激励频率以及耦合位置的变化规律；步骤3，根据步骤1和2，选取合适的弹簧刚度和阻尼参数，得到实现结构波空间分离与约束控制的梁的动力学响应，求得梁振动幅值、空间相位以及能量密度的时-空分布特征。

与现有技术相比，本发明的显著优点为：

提出了一种实现梁结构中波传播的空间分离与约束控制的方法，即通过刚度-阻尼元件的参数设计，在梁结构中实现了行波与驻波的共存，以及结构波分离与振动局部约束的协同控制。此结构振动控制方法能够实现频散结构的局部保护，并且具有能量定向转移和回收的功能和优点。

附图说明

图1是局部耦合刚度-阻尼元件的简支-线弹性欧拉-伯努利梁结构示意图。

图2(a)～图2(b)是在对数坐标系下，实现简支-线弹性梁中结构波的空间分离与约束控制的弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*取值范围。图2(a)是弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*随激励频率Ω的变化规律；图2(b)弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*随耦合位置x_a的变化规律。

图3是按照图2选取的特定参数组合条件下，简支-线弹性梁的受迫振动响应。图3(a)是单位周期内不同时刻的位移；图3(b)是空间相位；图3(c)是归一化的动能密度时空演变；图3(d)是归一化的势能密度时空演变。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明的技术方案。

结构波的空间分离与约束控制方法，通过逆向设计与结构耦合的弹簧元件的刚度和阻尼系数，实现结构波的空间区域分离和振动局部约束的动力学响应形态；具体实施步骤包括：

步骤1，根据频散关系以及边界条件，求解局部耦合刚度-阻尼元件的欧拉-伯努利梁的受迫振动响应。

如附图1所示，在本例中，首先获得欧拉-伯努利梁的结构参数，假设梁的长度为L＝1m，横截面宽度为b＝0.01m，横截面厚度为h＝0.05m，横截面面积为A＝5×10^-4m²，截面转动惯量为

质量密度为ρ＝8000kg/m³，杨氏模量为E＝200GPa，泊松比为μ＝0.30。选取左边界简谐激励的幅值为F＝0.01m，激励频率为Ω＝2.2672×10⁴rad/s。

在上述参数已知的情况下，梁的振动响应可由方程(5)、方程(7)和方程(8)确定。一般情况下，方程(10)并不必然成立，即右边界的平移弹簧刚度k_t和扭转弹簧k_r，以及弹簧刚度κ和阻尼系数σ，并不满足结构波的空间分离与约束控制条件。

步骤2，根据结构波空间分离与约束控制的充要条件，逆向设计局部耦合的弹簧刚度与阻尼系数，确定刚度和阻尼参数随梁结构参数、激励频率以及耦合位置的变化规律。

当参数选择满足方程(10)时，可以实现结构波的空间分离与约束控制。选取线弹性右边界的平移弹簧刚度为k_t＝4.17×10⁷N/m，扭转弹簧刚度为k_r＝4.17×10⁷N/m，刚度-阻尼元件的耦合位置为x_a＝0.40m。根据方程(10)，可求得弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*的取值范围，如附图2(a)和2(b)所示。

步骤3，选取合适的刚度和阻尼参数，计算得到实现结构波空间分离与约束控制的梁的振动响应。

根据步骤1和步骤2获得的结果，选取一组特定的弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*，实现欧拉-伯努利梁结构波空间分离与振动局部约束的协同控制。

对于简支-线弹性梁，弹簧刚度和阻尼参数的设计准则为κ*＝2.22×10⁸N/m和σ*＝3.01×10³N/m，梁振动位移、空间相位、动能密度和势能密度如附图3(a)-3(d)所示。

上述示例中，若排除频散关系引起的倏逝波分量，行波区域的振动位移幅值为常量，空间相位呈线性变化；驻波区域的结构波是驻波形态，存在位移节点，空间相位是分段连续的常数。动能密度与势能密度的时空演化规律，验证了结构波空间分离与约束控制方法的可行性。

本说明书实施案例所述的内容仅仅是对发明构思实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施案例所陈述的具体形式和参数，本发明的保护范围也及于铁木辛柯梁、变截面多跨梁和空间梁等梁结构的等同技术手段。

Claims (2)

1.结构波的空间分离与约束控制方法，其特征在于：通过逆向设计与结构耦合的弹簧元件的刚度和阻尼系数，实现结构波的空间区域分离和振动局部约束的动力学响应形态；具体实施步骤包括：

步骤1，根据频散关系以及边界条件，求解局部耦合刚度-阻尼元件的欧拉-伯努利梁的受迫振动响应；

考虑长度为L的线弹性欧拉-伯努利梁，沿其轴向的坐标用x表示，其横向振动位移用v(x,t)表示；梁的质量密度为ρ，杨氏模量为E，横截面积为A，转动惯量为I；在位置x＝x_a处耦合刚度-阻尼元件，即弹簧和阻尼器；弹簧刚度和阻尼系数分别用κ和σ表示；系统运动控制方程为

频散关系满足

式中，γ和Ω分别表示波数和频率；

假定简谐激励的频率和幅值分别为Ω和F，对于一端简支并施加简谐激励，另外一端施加线弹性约束的欧拉-伯努利梁，其边界条件满足

v₁(0,τ)＝Fe^jΩt,v_1,xx(0,t)＝0,EIv_2,xx(L,t)＝-k_rv_2,x(L,t),EIv_2,xxx(L,t)＝k_tv₂(L,t) (3)

式中，右边界的平移弹簧和扭转弹簧的刚度分别为k_t和k_r；耦合位置的位移连续条件和力平衡条件分别为

利用分离变量法求解系统的响应，假设受迫振动的稳态解满足

v_i(x,t)＝V_i(x)e^jΩt,i＝1,2 (5)

将方程(5)代入方程(3)和(4)，可得梁振动幅值的边界问题

式中，'代表对x求导；欧拉-伯努利梁的稳态解可写作

对于n＝1,2,3,4，将方程(7)代入方程(6)，可推导各复系数D_1n和D_2n的表达式

式中，刚度系数是

函数f_1n、f_2n、f、g_1n、g_2n和g(n＝1,...,4)的准确表达式与梁的结构参数、弹簧刚度-阻尼参数以及激励频率相关；特别地，通过调节弹簧刚度k_t和k_r实现各类理想的边界条件：1)简支：k_t＝+∞，k_r＝0；2)固支：k_t＝+∞，k_r＝+∞；3)自由：k_t＝0，k_r＝0；将方程(7)和(8)代入方程(5)可以得到系统的耦合振动响应的解析表达式；

步骤2，根据结构波空间分离与约束控制的充要条件，逆向设计局部耦合的弹簧刚度与阻尼系数，确定刚度和阻尼参数随梁结构参数、激励频率以及耦合位置的变化规律；

实现结构波的空间分离与约束控制的充要条件，要求能达到以简谐激励形式输入的能量，在梁的局部区域以行波形态传播，无反射地透过刚度-阻尼元件，然后能量被约束在另一个互补的子区域，并在该区域以驻波形态振动；

在单频激励条件下，位于刚度-阻尼元件两侧的子空间区域具有相同的波数，以保证空间中纯粹的行波与驻波可以共存；系统达到稳定之后，输入的能量被阻尼元件完全耗散，以维持系统的平衡；

为了实现结构波在刚度-阻尼元件位置的左侧子域为行波、右侧为驻波，设计弹簧的刚度和阻尼的参数，使其左侧区域的左行波分量被动力学元件吸收并抵消，即D₁₁＝0；由方程(8a) 可得

D₁₂+D₁₃+D₁₄＝F (9)

求解方程(9)能够得到一组复刚度系数

记作

方程(10)是简支的线弹性欧拉-伯努利梁，实现结构波的空间分离与振动局部约束的必要条件；为了保证行波与驻波的空间分离在物理上是可实现的，弹簧刚度κ^*和阻尼系数σ^*都取正值；通过化简方程(10)可以得到两组相互独立的实数方程，在结构的其它参数已知的情况下，可以求得满足结构波分离条件的弹簧刚度κ^*与阻尼系数σ^*；

步骤3，选取合适的刚度和阻尼参数，计算得到实现结构波空间分离与约束控制的梁的振动响应；

步骤2中的计算结果给出两组解，即弹簧刚度κ^*与阻尼系数σ^*；将方程(10)代入方程(7)和方程(8)，可以得到梁振动的幅值；再将方程(7)代入方程(5)，可以得到梁的时域横向位移响应；相应地，梁的转角θ、弯矩M、剪切力Q、动能密度dE_k以及势能密度dE_p可以通过下面公式计算得到：

2.如权利要求1所述的梁结构中波的空间分离与约束控制方法，该方法可以实现频散介质中结构波空间分离与振动局部约束的协同控制。

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