CN113885354A - 一种基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法，步骤如下：建立模型的状态空间方程；求解观测器增益；上下界的迭代计算。相较于原有通过坐标变换法设计区间观测器方法变换矩阵不总是存在这一问题，本发明创新性地在机动目标的多转弯率模型的区间观测上应用中心对称多面体以放松传统区间观测器设计过程的限制，表达形式更为直观并且计算更加简单，同时考虑更为一般的情况，即：系统的模态转移概率矩阵部分未知的情况从而使得结果具有一定的普适性。

Description

一种基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法

技术领域

本发明涉及一种基于中心对称多面体的机动目标坐标区间估计方法。

背景技术

随着社会的发展和生产力水平的提高，控制学科在工业生产和各种工程应用中扮演着越来越重要的角色，尤其是在飞行器控制领域。将各种控制算法应用到真实飞行器之前，需要在软件所建模型中进行仿真实验，不断调整各种参数从而实现更精准的控制。对机动目标来说，建立相应的机动模型可很好地描述其运动坐标等特征，而单一模型由于其自身的局限性，与实际的运动模型相差很大，采用多个模型才能真实反映机动目标的运动状态，因此一种基于不同转弯率的多模型建模方式被提出。该模型可以看做是马尔科夫跳跃系统的一个应用，根据一定的切换概率在各模型间随机跳跃，其中切换概率由模态转移概率矩阵决定。然而在工程应用中往往难以保证转移概率矩阵信息全部可用的理想条件，因此研究转移概率部分已知能够更加贴合实际情况。

根据所建立的模型对机动目标进行状态估计需要考虑到外界噪声等因素的干扰，一般情况下这种干扰都是幅值有界的，因此估计的状态值也应在一个区间内，这要比估计单个状态值更加有实际意义。传统区间观测器要求动态误差系统的状态矩阵是Metzler和Hurwitz的，从而保证动态误差系统的非负性和渐近稳定性，但在大部分情况下，设计的观测器增益很难同时满足这两个条件，因此一些研究人员考虑通过坐标变化的方式使得条件成立，但这种变换矩阵却不总是存在。近年来，作为另外一种可以估计不确定系统状态的方法，集员估计法放宽了传统区间观测器的限制，其中中心对称多面体由于其表达形式直观且计算简单，可以利用其来设计机动目标的状态观测器。

发明内容

针对机动目标的多转弯率模型并不总能通过坐标变换法获得估计区间这一问题，本发明提供一种基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法。

为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法，包括以下步骤：

S1.建立多转弯率的飞行器运动坐标的状态空间模型：

S1.1建立离散时间下的运动学方程描述：

v_x(k+1)＝cos(w_iT_s)v_x(k)-sin(w_iT_s)v_y(k)+T_sv₁(k)

v_y(k+1)＝sin(w_iT_s)v_x(k)+cos(w_iT_s)v_y(k)+T_sv₂(k)

其中s_x为X轴上的位移分量，v_x为X轴上的速度分量，s_y为Y轴上的位移分量，v_y为Y轴上的速度分量，ω为转弯率，T_s为采样时间间隔，v₁和v₂建模为高斯白噪声。

定义机动目标的状态向量x＝[s_xv_xs_yv_y]^T，扰动向量为v＝[v₁v₂]^T，由上述运动学方程可以得到：

x(k+1)＝A_ix(k)+DiV(k)

其中T表示转置，A_i和D_i为与w_i相关的系统矩阵。

考虑系统的测量输出，假设只有系统的位置可以作为测量输出，系统的状态空间可写成如下形式：

其中y为系统的测量输出向量，A_i,C_i和D_i为系统的参数矩阵，表达式如下：

S1.2建立系统的模态转移矩阵。考虑部分转移概率已知的情况，将转移概率矩阵表示为：

其中π_ij表示系统由模态i跳向模态j的概率，S为系统模态数目，“未知”表示转移概率完全未知，定义

更进一步表示

显然有m+n＝S，其中

表示转移概率矩阵第i行第m个已知的元素的索引位置，

表示转移概率矩阵第i行第n个未知的元素的索引位置,

S2.对S1获得的模型(1)使用龙伯格观测器，获得动态误差系统：

对模型(1)使用龙伯格观测器，考虑如下观测器：

其中

是状态估计向量，L_i(i＝1,2,…,S)是需要设计的观测器增益矩阵。

定义估计误差为:

从而得到动态误差系统：

e_k+1＝(A_i-L_iC_i)e_k+D_iV_k (4)

S3.基于李雅普诺夫第二方法，针对S2获得的动态误差系统求取观测器增益矩阵：

设计的观测器增益矩阵需要使得动态误差系统满足两个条件：

(ⅰ)动态误差系统(4)是随机稳定的，即在v_k＝0的情况下，初始值e₀和r₀任意给定,

成立；

(ⅱ)在零初始条件下，对于所有不为0的v_k，给定扰动抑制指标γ>0，使得系统(4)满足

设计的观测器增益矩阵

其中Q_i和F_i需要满足以下的线性矩阵不等式条件，使用优化工具箱进行计算可求得具体数值：

对于

考虑两种情况，即:

情况1：

情况2：

其中

Ω_i＝Q_iA_i-F_iC_i，j＝1,2,…,S,φ为空集，Q_i为4×4的实矩阵，P_i为对称正定矩阵，F_i为4×2的实矩阵。

S4.使用S3获得的观测器增益矩阵建立基于中心对称多面体的区间观测的迭代计算过程：

根据具体的转移概率矩阵求解矩阵不等式(5)或矩阵不等式(6)，获得可获得一组{L_i}的可行解，即观测器增益，则观测状态的上下界由下式给出：

其中

为x_k的估计值，由S2中的式(2)计算可得，H_k为4×m的实矩阵，其计算过程由下式给出：

H_k+1＝[(A_i-L_iC_i)H_kD_iV] (8)

其中H₀，V为已知的矩阵，通过式(8)进行迭代计算可得到H_k。

本发明的有益效果：相较于原有通过坐标变换法设计区间观测器方法变换矩阵不总是存在这一问题，本发明创新性地在机动目标的多转弯率模型的区间观测上应用中心对称多面体以放松传统区间观测器设计过程的限制，表达形式更为直观并且计算更加简单，同时考虑更为一般的情况，即：系统的模态转移概率矩阵部分未知的情况从而使得结果具有一定的普适性。

附图说明

图1为基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法流程图；

图2为机动目标的运动坐标系统，其中(s_x,s_y)为机动目标的二维位置，v_m为机动目标的速度，单位为米每秒，v_x为X轴上的速度分量，v_y为Y轴上的速度分量，ω为转弯率，单位为弧度每秒，ω>0表示右转，ω<0表示左转，G为飞行器重心；

图3为实施一例机动目标的切换信号图；

图4为实施一例机动目标在X轴上位移的状态曲线图，s_x为X轴上的位移分量；

图5为实施一例机动目标在Y轴上位移的状态曲线图，s_y为Y轴上的位移分量；

图6为实施一例机动目标在二维平面上的轨迹曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明，基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法流程如图1所示。

S1.建立多转弯率的机动目标运动坐标的状态空间模型，包括以下步骤：

S1.1如图2所示，建立离散时间下的运动学方程描述如下：

v_x(k+1)＝cos(w_iT_s)v_x(k)-sin(w_iT_s)v_y(k)+T_sv₁(k)

v_y(k+1)＝sin(w_iT_s)v_x(k)+cos(w_iT_s)v_y(k)+T_sv₂(k)

其中s_x为x轴上的位移分量，v_x为x轴上的速度分量，s_y为y轴上的位移分量，v_y为y轴上的速度分量，ω为转弯率，T_s为采样时间间隔，v₁和v₂建模为高斯白噪声。

定义机动目标的状态向量x＝[s_xv_xs_yv_y]^T，扰动向量为v＝[v₁v₂]^T，由上述运动学方程可以得到：

x(k+1)＝A_ix(k)+D_iV(k)

其中T表示转置，A_i和D_i为与w_i相关的系统矩阵。

考虑系统的测量输出，假设只有系统的位置可以作为测量输出，系统的状态空间可写成如下形式：

其中y为系统的测量输出向量，A_i,C_i和D_i为系统的参数矩阵，表达式如下：

S1.2建立系统的模态转移矩阵。考虑实际系统转移概率信息难以全部获取，因此研究部分转移概率已知的情况更加有意义，将转移概率矩阵表示为：

其中π_ij表示系统由模态i跳向模态j的概率，S为系统模态数目，未知表示转移概率完全未知，定义

更进一步表示

显然有m+n＝S，其中

表示转移概率矩阵第i行第m个已知的元素的索引位置，

表示转移概率矩阵第i行第n个未知的元素的索引位置,

S2.对S1获得的状态空间模型(1)使用龙伯格观测器，获得动态误差系统，步骤如下：

对模型(1)使用龙伯格观测器，考虑如下观测器：

其中

是状态估计向量，L_i(i∈S)是需要设计的观测器增益矩阵。

定义估计误差为:

从而得到动态误差系统：

e_k+1＝(A_i-L_iC_i)e_k+D_iV_k (4)

S3.基于李雅普诺夫第二方法，针对S2获得的动态误差系统(4)获得观测器增益矩阵：

设计的观测器增益矩阵

其中Q_i和F_i需要满足以下的线性矩阵不等式条件，使用MATLAB自带工具箱进行计算可求得具体数值：

对于

考虑两种情况，即:

(i)

(ii)

其中

Ω_i＝Q_iA_i-F_iC_i，j＝1,2,…,S,φ为空集，Q_i为4×4的实矩阵，P_i为对称正定矩阵，F_i为4×2的实矩阵。

所述的基于李雅普诺夫第二方法的龙伯格观测器的增益矩阵具体获得过程为：

设计的观测器增益矩阵需要使得动态误差系统满足两个条件：

(ⅰ)动态误差系统(4)是随机稳定的，即在v_k＝0的情况下，初始值e₀和r₀任意给定,

成立；(ⅱ)在零初始条件下，对于所有不为0的v_k，给定一个参数γ>0，使得系统(4)满足

首先进行相关符号的说明：T表示矩阵转置，*表示对称矩阵的对称项。

选取李雅普诺夫函数，P_i为对称正定矩阵(i∈[1,S])：

首先考虑随机稳定性，即v_k＝0：

情况1：

时

令Φ_i＝(A_i-L_iC_i)^T∑_j∈Sπ_ijP_j(A_i-L_iC_i)-P_i，可知只要Φ_i<0，即有E[ΔV(e_k)]<0，对Φ_i<0使用Schur补引理可以获得：

定义矩阵Γ＝diag(Q_i,…,Q_i,I)，其中共S个Q_i，对矩阵不等式(6)两端分别乘以Γ和Γ^T，可以得到：

定义矩阵F_i＝Q_iL_i，使用不等式-QP^-1Q^T≤-Q-Q^T+P，将矩阵不等式(7)中含有矩阵的逆的项放缩成原矩阵，同时定义

Ω_i＝Q_iA_i-F_iC_i。

可以得到：

可以看到矩阵不等式(9)保证了矩阵不等式(8)的成立。

情况2：

时

令

可知只要Φ_i<0，有 E[ΔV(e_k)]<0，对Φ_i继续改写：

令

可知若

则Φ_i<0，由上面的定义

对

使用Schur补引理，可以得到：

定义矩阵Ψ＝diag(Q_i,…,Q_i,I)，其中共m+1个Q_i，对矩阵不等式(10)两端分别乘以Ψ和Ψ^T，定义F_i＝Q_iL_i，

Ω_i＝A_iA_i-F_iC_i,采用与矩阵不等式(7)—矩阵不等式(9)相同的处理方式，可以得到：

接下来考虑扰动抑制指标γ，定义

A_ei＝A_i-L_iC_i，建立如下性能表达式：

情况1：

时

令

可知若Θ_i<0，则式(12)小于零由此可以得到

对Θ_i<0使用Schur补引理，可以得到：

定义矩阵ζ＝diag(Q_i,…,Q_i,I)，其中共S个Q_i，对矩阵不等式(13)两端分别乘以ζ和ζ^T，定义F_i＝Q_iL_i，

Ω_i＝Q_iA_i-F_iC_i，采用与矩阵不等式(7)—矩阵不等式 (9)相同的处理方式，可以得到：

由此推导出矩阵不等式(5)，由矩阵不等式的相关知识可知，若矩阵不等式(5)成立，则矩阵不等式(9)同样成立。

情况2：

时

对上面定义的Θ_i继续进行处理：

定义

只需要保证Ξ_i<0，便可得到Θ_i<0。对Ξ_i<0使用Schur补引理，可以得到：

定义矩阵Π＝diag(Q_i,…,Q_i,I)，其中共m+1个Q_i，对矩阵不等式(14)两端分别乘以Π和Π^T，定义F_i＝Q_iL_i，

Ω_i＝Q_iA_i-F_iC_i，采用与矩阵不等式(7)—矩阵不等式 (9)相同的处理方式，可以得到：

由此得到矩阵不等式(6)，同样可知若矩阵不等式(6)成立，则矩阵不等式(11)也成立。

S4.使用S3获得的观测器增益矩阵建立基于中心对称多面体的区间观测的迭代计算过程：

根据具体的转移概率矩阵求解矩阵不等式(5)或矩阵不等式(6)，获得可获得一组{L_i}的可行解，即观测器增益，则观测状态的上下界由下式给出：

其中

为x_k的估计值，由S2中的式(2)计算可得，H_k为4×m的实矩阵，其计算过程由下式给出：

H_k+1＝[(A_i-L_iC_i)H_kD_iV] (16)

其中H₀，V为已知的矩阵，通过式(16)进行迭代计算可得到H_k。

所述迭代计算过程的具体过程为：

首先给出中心对称多面体的一些性质介绍，n维空间中m阶中心对称多面体用

表示，其中，

为闵科夫斯基和，p∈Rⁿ是一个常向量，是多面体的中心，H∈R^n×m是形状矩阵，为了简化符号，用Z＝<p,H>来描述。

在运算方面，中心对称多面体主要有三条性质：(ⅰ)

(ⅱ)L⊙<p,H>＝<Lp,LH>,其中⊙为线性映射；(ⅲ)

是一个对角阵，对角元素

后面证明过程会直接用到这三条性质，不再赘述。

假定初始状态向量满足

并且考虑扰动一般都是有界的，因此假设

是合理的，p₀和

是已知的向量，根据中心对称多面体定义，可写作x₀∈χ₀＝<p₀,H₀>， v_k∈<0,V>,形状矩阵H₀是对角矩阵，对角元素为向量

各分量的数值，形状矩阵V与H₀计算方式相同。

给定

由

知，

又因为V_k∈<0,V>，由式(4)可知，e_k∈ε_k＝<0,H_k>。

由

可以得到：

又因为e_k+1＝(A_i-L_iC_i)e_k+D_iV_k，有：

即：

H_k+1＝[(A_i-L_iC_i)H_kD_iV]

根据中心对称多面体的第三条性质可以获得观测区间的具体表达式(15)。

接下来进行实验仿真验证。

基于机动目标的多转弯率模型，为了使所建模型更加贴合实际运动状况，需将机动目标的左转，右转以及常速度模型考虑在内。考虑机动目标有三个运动模态，分别用模态1、模态2，模态3来表示，其中模态1表示常速度模型，即w＝0rad/s，模态2表示w＝0.5rad/s，模态3表示w＝-0.5rad/s，采用时间间隔Ts＝1s。

得到各个系统矩阵：

D_i和C_i矩阵如S1.1中所述，带入T_s＝1s即可。

机动目标在实际运动中大概率保持直线运动，因此将转移概率矩阵设定为：

在γ＝5时，获取一组{L_i}的可行解：

L₁＝[2.037848866230010,0.050205354154207； 1.037872357606985,0.050179882884014； -0.050205354153995,2.037848866229944； -0.050179882883801,1.037872357607013]

L₂＝[1.940225412299717,-0.243588746442597；0.863068210320293,0.467635806320287； 0.243588746442823,1.940225412299911； -0.467635806320009,0.863068210320384]

L₃＝[1.884935350989264,0.454872133078732； 0.967597108807933,-0.273731537185062； -0.454872133078226,1.884935350989029； 0.273731537185490,0.967597108807905]

将获取的观测器增益矩阵带入区间计算过程，机动目标的初始状态设为x(0)＝[10；2；0；-2]，估计值的初始值设为与真实值相同即

形状矩阵 H₀＝diag(1,1,1,1)。扰动分量v₁(k)和v₂(k)均设为均值为零，标准差为0.3的高斯白噪声。统计理论认为，满足高斯分布的统计量取值在(μ-3σ,μ+3σ)以外的取值概率不到0.3％，几乎不可能发生，其中μ为均值，σ为标准差。因此实际工程中认为统计量只在该范围内取值是合理的，所以形状矩阵设为V＝0.9diag(1,1)，并且将系统的初始模态设为模态1。将本发明应用到机动目标的运动坐标系统中，切换信号如图3所示，图4图5表示位移坐标的区间估计结果，图6表示运动轨迹的区间估计结果，其中实线表示状态真实值，虚线表示估计值的上下界。可以看到本发明很好地将状态的真实值包含在上下区间内，本发明实现了基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法。

以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于中心对称多面体的机动目标运动坐标区间估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1.建立多转弯率的飞行器运动坐标的状态空间模型；

S1.1建立离散时间下的运动学方程描述：

v_x(k+1)＝cos(w_iT_s)v_x(k)-sin(w_iT_s)v_y(k)+T_sv₁(k)

v_y(k+1)＝sin(w_iT_s)v_x(k)+cos(w_iT_s)v_y(k)+T_sv₂(k)

其中s_x为X轴上的位移分量，v_x为X轴上的速度分量，s_y为Y轴上的位移分量，v_y为Y轴上的速度分量，ω为转弯率，T_s为采样时间间隔，v₁和v₂建模为高斯白噪声；

定义机动目标的状态向量x＝[s_x v_x s_y v_y]^T，扰动向量为v＝[v₁ v₂]^T，由上述运动学方程得到：

x(k+1)＝A_ix(k)+D_iV(k)

其中T表示转置，A_i和D_i为与w_i相关的系统矩阵；

考虑系统的测量输出，假设只有系统的位置作为测量输出，系统的状态空间模型写成如下形式：

其中y为系统的测量输出向量，A_i，C_i和D_i为系统的参数矩阵，表达式如下：

S1.2建立系统的模态转移矩阵；考虑部分转移概率已知的情况，将转移概率矩阵表示为：

其中π_ij表示系统由模态i跳向模态j的概率，S为系统模态数目，“未知”表示转移概率完全未知，定义

更进一步表示

显然有m+n＝S，其中

表示转移概率矩阵第i行第m个已知的元素的索引位置，

表示转移概率矩阵第i行第n个未知的元素的索引位置，

S2.对S1获得的状态空间模型使用龙伯格观测器，获得动态误差系统；

对状态空间模型使用龙伯格观测器，考虑如下观测器：

其中

是状态估计向量，L_i(i＝1，2，...，S)是需要设计的观测器增益矩阵；

定义估计误差为：

从而得到动态误差系统：

e_k+1＝(A_i-L_iC_i)e_k+D_iV_k (4)

S3.基于李雅普诺夫第二方法，针对S2获得的动态误差系统求取观测器增益矩阵；

设计的观测器增益矩阵需要使得动态误差系统满足两个条件：

(i)动态误差系统(4)是随机稳定的，即在v_k＝0的情况下，初始值e₀和r₀任意给定.

成立；

(ii)在零初始条件下，对于所有不为0的v_k，给定扰动抑制指标γ＞0，使得系统(4)满足

设计的观测器增益矩阵

其中Q_i和F_i需要满足以下的线性矩阵不等式条件，使用优化工具箱进行计算可求得具体数值：

对于

考虑两种情况，即：

情况1：

情况2：

其中

Ω_i＝Q_iA_i-F_iC_i，j＝1，2，...，S，φ为空集，Q_i为4×4的实矩阵，P_i为对称正定矩阵，F_i为4×2的实矩阵；

S4.使用S3获得的观测器增益矩阵建立基于中心对称多面体的区间观测的迭代计算过程；

根据具体的转移概率矩阵求解矩阵不等式(5)或矩阵不等式(6)，可获得一组{L_i}的可行解，即观测器增益，则观测状态的上下界由下式给出：

其中

为x_k的估计值，由S2中的式(2)计算可得，H_k为4×m的实矩阵，其计算过程由下式给出：

H_k+1＝[(A_i-L_iC_i)H_kD_iV] (8)

其中H₀、V为已知的矩阵，通过式(8)进行迭代计算得到H_k。

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