CN113806845B - 一种基于pod插值的非平稳风场高效模拟方法 - Google Patents

一种基于pod插值的非平稳风场高效模拟方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，涉及脉动风速时程模拟技术领域，其技术方案要点：S1、基于给定的风速演化功率谱密度函数S(ω,t)，定义时间‑频率插值点
Figure DDA0003266225510000011
S2、基于给定的自演化功率谱密度函数和相干函数，计算时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure DDA0003266225510000012
S3、分解时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure DDA0003266225510000013
获得相应的分解后谱矩阵
Figure DDA0003266225510000014
S4、通过本征正交分解(POD)解耦
Figure DDA0003266225510000015
S5、通过插值主坐标
Figure DDA0003266225510000016
获得
Figure DDA0003266225510000017
通过插值特征向量
Figure DDA0003266225510000018
获得
Figure DDA0003266225510000019
S6、基于谱表示法基本模拟公式，采用快速傅里叶变换(FFT)生成模拟样本xj(t)。本发明能够解决非平稳风场模拟中时间和频率点数多导致需要进行Cholesky分解的次数多，计算量大，需要的电脑储存空间大的问题，可满足模拟的精度且能提高模拟效率。

Description

一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法
技术领域
本发明涉及脉动风速时程模拟技术领域，更具体地说，它涉及一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法。
背景技术
在对大跨度桥梁、高层建筑等结构的风振响应分析中，由于需要考虑结构非线性和气动非线性，传统的频域分析方法已不能满足要求，需要采用非线性响应时程分析法。在非线性时程分析中，模拟结构所受的脉动风场是一个重要的环节。
在众多模拟方法中，谱表示法的形式简单且具有严密的理论推导，是风场模拟最常用的方法之一。为了提高多点风场的模拟效率，该方法常与快速傅里叶变换(FFT)技术相结合。然而对于非平稳脉动风场的模拟，为了引入FFT，需要先对时频耦合的函数进行解耦，目前已有包括本征正交分解(POD)、小波分解、非负矩阵分解等处理手段，但是解耦计算量会随着模拟点数的增多而急剧增大。此外，若所模拟风场的相干函数具有时变特性，那么还需要大量的谱矩阵分解计算，这使得非平稳风场的模拟效率进一步大打折扣。
因此需要提出一种更为高效的非平稳风场谱表示模拟方法，以解决上述问题。
发明内容
本发明的目的是为了解决上述技术问题，提供一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，本发明的方法能够解决非平稳风场模拟中时间和频率点数多导致需要进行Cholesky分解的次数多，计算量大，需要的电脑储存空间大的问题，本发明的方法用极少量的时间-频率插值点代替原始时间-频率点，不仅能够满足模拟的精度也能提高模拟效率。
本发明的上述技术目的是通过以下技术方案得以实现的：一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，具体包括以下步骤：
S1、基于给定的风速演化功率谱密度函数S(ω,t)，定义时间-频率插值点
Figure BDA0003266225490000021
S2、基于给定的自演化功率谱密度函数和相干函数，计算时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000022
S3、分解时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000023
获得相应的分解后谱矩阵
Figure BDA0003266225490000024
S4、通过本征正交分解(POD)解耦
Figure BDA0003266225490000025
S5、通过插值主坐标
Figure BDA0003266225490000026
获得
Figure BDA0003266225490000027
通过插值特征向量
Figure BDA0003266225490000028
获得
Figure BDA0003266225490000029
S6、基于谱表示法基本模拟公式，采用快速傅里叶变换(FFT)生成模拟样本xj(t)。
进一步地，步骤S1的具体方法为：
(1)沿时间方向的插值点采用均匀分布，将区间[0,T0]均匀分割，确定时间插值点坐标为：
Figure BDA00032662254900000210
其中，T0为演化功率谱密度总时长；
Figure BDA0003266225490000031
为时间插值点数且
Figure BDA0003266225490000032
M是目标演化功率谱及模拟时程的时间点数；
(2)采用一种可调四次多项式来描述非均匀分布的频率插值点，即非均匀频率插值点坐标为：
Figure BDA0003266225490000033
其中，ω1和ωu分别是第一个频率点和最后一个频率点；κ是调节非均匀分布的参数，当κ＝0.25时，表示均匀分布；
Figure BDA0003266225490000034
是频率插值点数且
Figure BDA0003266225490000035
N是目标演化功率谱的频率点数。
进一步地，步骤S2的具体方法为：时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000036
由下式(3)求得：
Figure BDA0003266225490000037
其中，Sjj(ω,t)是第j点的自演化功率谱密度函数；Sjk(ω,t)是第j点和第k点的互演化功率谱密度函数；γjk(ω,t)是第j点和第k点的相干函数。
进一步地，步骤S3的具体方法为：
在每一个时频插值点处对演化功率谱密度矩阵进行Cholesky分解可得，分解公式如下：
Figure BDA0003266225490000038
此过程总共需要
Figure BDA0003266225490000039
次Cholesky分解操作，求得的分解后谱矩阵
Figure BDA0003266225490000041
是下三角矩阵，可表示为：
Figure BDA0003266225490000042
进一步地，步骤S4的具体方法为：对于
Figure BDA0003266225490000043
的每一个下三角元素，即
Figure BDA0003266225490000044
分别进行如下的POD解耦：
1)将所有时频插值点处的
Figure BDA0003266225490000045
取值表示为一个确定的常数矩阵：
Figure BDA0003266225490000046
并将该常数矩阵的每一列看作一个列向量，使用POD找到一组最优标准正交基
Figure BDA0003266225490000047
使得列向量的投影最大化，且这组正交基通过特征向量分解来确定：
Figure BDA0003266225490000048
其中，
Figure BDA0003266225490000049
R为时间平均的频率相关矩阵；Φq是第q个特征向量；λq是第q个特征值；
2)然后，列向量在特征向量上的投影，即主坐标计算为：
Figure BDA00032662254900000410
其中，aq是第q个投影向量；然后，将特征值按降序排列，选取特征值更小的少量模态，近似重构L为：
Figure BDA0003266225490000051
其中，NR为所选低阶项的个数；
3)
Figure BDA0003266225490000052
近似表示为几个低阶特征向量与对应主坐标的乘积之和，将常数矩阵表达的重构式还原为函数形式，即：
Figure BDA0003266225490000053
其中，
Figure BDA0003266225490000054
为主坐标；
Figure BDA0003266225490000055
为特征向量。
进一步地，步骤S5的具体方法为：
1)基于插值点处的
Figure BDA0003266225490000056
和
Figure BDA0003266225490000057
采用插值技术，近似求得其他时频坐标处的
Figure BDA0003266225490000058
和
Figure BDA0003266225490000059
2)然后可近似重构出在原始时间和频率坐标处的Hjk(ω,t)，即
Figure BDA00032662254900000510
进一步地，步骤S6的具体方法为：
1)基于谱表示方法，任意随机过程的模拟公式为：
Figure BDA00032662254900000511
其中，t是时间坐标；ωl是第l个频率点；Δω是频率间隔；e是指数函数；i是虚数单位；φkl是一组随机相位角，对于具体的样本为确定量；Re表示获取复数的实部；
2)将解耦表达式代入上式(12)中并进行数学等价变化得：
Figure BDA00032662254900000512
3)然后，采用FFT技术对模拟公式(12)中的三角函数求和项进行计算，快速地生成多点风场样本。
综上所述，本发明具有以下有益效果：
1、本发明的方法能够解决非平稳风场模拟中时间和频率点数多导致需要进行Cholesky分解的次数多，计算量大，需要的电脑储存空间大的问题；
2、采用本发明的方法模拟非平稳随机风场，通过少量的插值点来代替原始时间-频率点，不需要传统方法中的在每个时间-频率点处进行Cholesky分解，而且仅对时频插值点处的函数进行解耦，从而能够大大减少了计算量，提高了模拟效率；
3、本发明的方法可为大跨度结构，如桥梁、屋盖等抗风设计的时程分析提供输入的风荷载时程。
附图说明
图1是本发明实施例中的流程图；
图2是本发明实施例中模拟风速的相关函数验证曲线图；
图3是本发明实施例中模拟风速的演化功率谱密度函数验证曲线图；
图4是本发明实施例中不同模拟点数对应的耗时曲线图。
具体实施方式
以下结合附图1-4对本发明作进一步详细说明。
实施例：本发明的技术方案提供一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，如图1所示，具体包括以下步骤：
S1、基于给定的风速演化功率谱密度函数S(ω,t)，定义时间-频率插值点
Figure BDA0003266225490000071
具体方法为：
(1)由于目标演化功率谱随时间变化缓慢，则沿时间方向的插值点采用均匀分布，将区间[0,T0]均匀分割，可以容易地确定时间插值点坐标为：
Figure BDA0003266225490000072
其中，T0为演化功率谱密度总时长；
Figure BDA0003266225490000073
为时间插值点数且
Figure BDA0003266225490000074
M是目标演化功率谱及模拟时程的时间点数；
(2)考虑到目标演化功率谱在低频处随频率变化剧烈，而在高频处变化缓慢，则采用一种可调四次多项式来描述非均匀分布的频率插值点，即非均匀频率插值点坐标为：
Figure BDA0003266225490000075
其中，ω1和ωu分别是第一个频率点和最后一个频率点；κ是调节非均匀分布的参数，当κ＝0.25时，表示均匀分布；
Figure BDA00032662254900000710
是频率插值点数且
Figure BDA0003266225490000076
N是目标演化功率谱的频率点数。
S2、基于给定的自演化功率谱密度函数和相干函数，计算时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000077
具体方法为：时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000078
由下式(3)求得：
Figure BDA0003266225490000079
Figure BDA0003266225490000081
其中，Sjj(ω,t)是第j点的自演化功率谱密度函数；Sjk(ω,t)是第j点和第k点的互演化功率谱密度函数；γjk(ω,t)是第j点和第k点的相干函数。
S3、分解时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000082
获得相应的分解后谱矩阵
Figure BDA0003266225490000083
具体方法为：
在每一个时频插值点处对演化功率谱密度矩阵进行Cholesky分解可得，分解公式如下：
Figure BDA0003266225490000084
此过程总共需要
Figure BDA0003266225490000085
次Cholesky分解操作，求得的分解后谱矩阵
Figure BDA0003266225490000086
是下三角矩阵，可表示为：
Figure BDA0003266225490000087
S4、通过本征正交分解(POD)解耦
Figure BDA0003266225490000088
具体方法为：对于
Figure BDA0003266225490000089
的每一个下三角元素，即
Figure BDA00032662254900000810
分别进行如下的POD解耦：
1)将所有时频插值点处的
Figure BDA00032662254900000811
取值表示为一个确定的常数矩阵：
Figure BDA00032662254900000812
并将该常数矩阵的每一列看作一个列向量，使用POD找到一组最优标准正交基
Figure BDA0003266225490000091
使得列向量的投影最大化，且这组正交基通过特征向量分解来确定：
Figure BDA0003266225490000092
其中，
Figure BDA0003266225490000093
R为时间平均的频率相关矩阵；Φq是第q个特征向量；λq是第q个特征值；
2)然后，列向量在特征向量上的投影，即主坐标计算为：
Figure BDA0003266225490000094
其中，aq是第q个投影向量；然后，将特征值按降序排列，选取特征值更小的少量模态，近似重构L为：
Figure BDA0003266225490000095
其中，NR为所选低阶项的个数；
3)
Figure BDA0003266225490000096
近似表示为几个低阶特征向量与对应主坐标的乘积之和，将常数矩阵表达的重构式还原为函数形式，即：
Figure BDA0003266225490000097
其中，
Figure BDA0003266225490000098
为主坐标；
Figure BDA0003266225490000099
为特征向量。
S5、通过插值主坐标
Figure BDA00032662254900000910
获得
Figure BDA00032662254900000911
通过插值特征向量
Figure BDA00032662254900000912
获得
Figure BDA00032662254900000913
S5的具体方法为：
1)基于插值点处的
Figure BDA00032662254900000914
和
Figure BDA00032662254900000915
采用插值技术，近似求得其他时频坐标处的
Figure BDA00032662254900000916
和
Figure BDA00032662254900000917
2)然后可近似重构出在原始时间和频率坐标处的Hjk(ω,t)，即
Figure BDA0003266225490000101
在上述步骤S5的步骤1)和步骤2的计算中，POD仅仅被执行于插值点上，而插值技术也只对少量时间函数和频率函数使用。因此，所提方法比现有的时频解耦方法更高效。
S6、基于谱表示法基本模拟公式，采用快速傅里叶变换(FFT)生成模拟样本xj(t)，具体方法为：
1)基于谱表示方法，任意随机过程的模拟公式为：
Figure BDA0003266225490000102
其中，t是时间坐标；ωl是第l个频率点；Δω是频率间隔；e是指数函数；i是虚数单位；φkl是一组随机相位角，对于具体的样本为确定量；Re表示获取复数的实部；
2)将解耦表达式代入上式(12)中并进行数学等价变化得：
Figure BDA0003266225490000103
3)该模拟公式(12)中的三角函数求和项即可采用FFT技术进行计算，从而快速地生成多点风场样本。
以下以模拟一个水平分布的非平稳风场为例对本发明的方法进行进一步说明：
(1)模拟点为沿着960m水平直线均匀分布的100个点，它们的高度均为60m。
(2)假定各点的自演化功率谱密度函数为：
Figure BDA0003266225490000111
u*(zj,t)＝kU(zj,t)/ln(zj/z0) (15)
Figure BDA0003266225490000112
其中，zj是第j点的高度，u*(zj,t)是剪切波速，k＝0.4，z0＝0.01m为地面粗糙长度。U(zj,t)是在高度zj处的平均风速，被定义为：
U(zj,t)＝d(t)U(zj) (17)
Figure BDA0003266225490000113
其中，U(zj)为平均风速取U(zj)＝40m/s，d(t)为时间调制函数，参数取值为tmax＝β0/λ,tmax＝600,β0＝4。
考虑随时间变化的相干函数，取为：
Figure BDA0003266225490000114
其中，xj是第j点的水平坐标，Cx＝7。
(3)基于上述定义的风速演化功率谱密度函数，确定时间-频率插值点
Figure BDA0003266225490000115
各点坐标为
Figure BDA0003266225490000116
Figure BDA0003266225490000117
其中，ωu取πrad/s，ω1取0.0031rad/s，T0取2048s，
Figure BDA0003266225490000118
取20，
Figure BDA0003266225490000119
取15，κ取0.8。
(4)根据上述定义的自演化功率谱与相干函数，即可以确定互演化功率谱密度函数，从而得到时频插值点处的演化功率谱矩阵
Figure BDA0003266225490000121
即：
Figure BDA0003266225490000122
Figure BDA0003266225490000123
(5)在每一个时频插值点处对演化功率谱密度矩阵
Figure BDA0003266225490000124
进行Cholesky分解，获得相应的分解后谱矩阵
Figure BDA0003266225490000125
Figure BDA0003266225490000126
Figure BDA0003266225490000127
(6)对于
Figure BDA0003266225490000128
的每一个下三角元素即
Figure BDA0003266225490000129
Figure BDA00032662254900001210
分别进行POD解耦可得：
Figure BDA00032662254900001211
其中，
Figure BDA00032662254900001212
为主坐标；
Figure BDA00032662254900001213
为特征向量；NR取4。
(7)基于插值点处的
Figure BDA00032662254900001214
和
Figure BDA00032662254900001215
采用插值技术，可近似求得其他时频坐标处的
Figure BDA00032662254900001216
和
Figure BDA00032662254900001217
(8)随机生成在[0,2π]范围内均匀分布的随机相位角φjk，带入上述结果到以下模拟公式并借助FFT生成各点的风速时程：
Figure BDA00032662254900001218
其中，N为频率步数，取1024，Δω＝ωu/N为频率增量，ωl＝lΔω为频率点坐标。
通过上述模拟方法，模拟出风场中100个点的脉动风速时程。通过改变随机相位角，模拟2000组这样的风场，并对其自演化功率谱、自相关函数和互相关函数与定义的相应目标值进行比对。图2和图3分别给出了模拟风速的相关函数与演化功率谱密度函数的验证结果，由图可知，模拟值与目标值保持一致，从而可以说明模拟方法的合理性。
进一步，改变风场中模拟点的数目分别为：
50，100，150，200，250，300，350，400，450，500，统计每一种工况下模拟一个风场样本所需要的耗时。图4展示了相应的统计结果，可以看到模拟方法的计算效率相当高，对于500个模拟点的风场模拟也仅仅耗时200秒左右。
在本发明的上述实施例中，本发明的方法能够解决非平稳风场模拟中时间和频率点数多导致需要进行Cholesky分解的次数多，计算量大，需要的电脑储存空间大的问题；此外，采用本发明的方法模拟非平稳随机风场，不需要传统方法中的在每个时间-频率点处进行Cholesky分解，仅用少量的插值点来代替原始时间-频率点，从而能够大大减少了计算量，提高了模拟效率；同时，本发明的方法可为大跨度结构，如桥梁、屋盖等抗风设计的时程分析提供输入的风荷载时程。
本具体实施例仅仅是对本发明的解释，其并不是对本发明的限制，本领域技术人员在阅读完本说明书后可以根据需要对本实施例做出没有创造性贡献的修改，但只要在本发明的权利要求范围内都受到专利法的保护。

Claims (6)

1.一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，其特征是：具体包括以下步骤：
S1、基于给定的风速演化功率谱密度函数S(ω,t)，定义时间-频率插值点
Figure FDA0003639665690000011
S2、基于给定的自演化功率谱密度函数和相干函数，计算时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure FDA0003639665690000012
S3、分解时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure FDA0003639665690000013
获得相应的分解后谱矩阵
Figure FDA0003639665690000014
S4、通过本征正交分解解耦
Figure FDA0003639665690000015
矩阵中的每一个非零元素
Figure FDA0003639665690000016
获得分解后的主坐标
Figure FDA0003639665690000017
和特征向量
Figure FDA0003639665690000018
S5、通过插值主坐标
Figure FDA0003639665690000019
获得
Figure FDA00036396656900000110
通过插值特征向量
Figure FDA00036396656900000111
获得
Figure FDA00036396656900000112
S6、基于谱表示法基本模拟公式，采用快速傅里叶变换生成模拟样本xj(t)；
步骤S4的具体方法为：对于
Figure FDA00036396656900000113
的每一个下三角元素，即
Figure FDA00036396656900000114
分别进行如下的POD解耦：
1)将所有时频插值点处的
Figure FDA00036396656900000115
取值表示为一个确定的常数矩阵：
Figure FDA00036396656900000116
其中，
Figure FDA00036396656900000117
和
Figure FDA00036396656900000118
分别是时间插值点数和频率插值点数；将该常数矩阵的每一列看作一个列向量，使用POD找到一组最优标准正交基
Figure FDA00036396656900000119
使得列向量的投影最大化，且这组正交基通过特征向量分解来确定：
Figure FDA00036396656900000120
其中，
Figure FDA00036396656900000121
R为时间平均的频率相关矩阵；Φq是第q个特征向量；λq是第q个特征值；
2)然后，列向量在特征向量上的投影，即主坐标计算为：
Figure FDA00036396656900000122
其中，aq是第q个投影向量；然后，将特征值按降序排列，选取特征值更小的少量模态，近似重构L为：
Figure FDA00036396656900000123
其中，NR为所选低阶项的个数；
3)
Figure FDA0003639665690000021
近似表示为几个低阶特征向量与对应主坐标的乘积之和，将常数矩阵表达的重构式还原为函数形式，即：
Figure FDA0003639665690000022
其中，
Figure FDA0003639665690000023
为主坐标；
Figure FDA0003639665690000024
为特征向量。
2.根据权利要求1所述的一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，其特征是：步骤S1的具体方法为：
(1)沿时间方向的插值点采用均匀分布，将区间[0,T0]均匀分割，确定时间插值点坐标为：
Figure FDA0003639665690000025
其中，T0为演化功率谱密度总时长；
Figure FDA0003639665690000026
为时间插值点数且
Figure FDA0003639665690000027
M是目标演化功率谱及模拟时程的时间点数；
(2)采用一种可调四次多项式来描述非均匀分布的频率插值点，即非均匀频率插值点坐标为：
Figure FDA0003639665690000028
其中，ω1和ωu分别是第一个频率点和最后一个频率点；κ是调节非均匀分布的参数，当κ＝0.25时，表示均匀分布；
Figure FDA0003639665690000029
是频率插值点数且
Figure FDA00036396656900000210
N是目标演化功率谱的频率点数。
3.根据权利要求1所述的一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，其特征是：步骤S2的具体方法为：时频插值点处的演化功率谱密度矩阵
Figure FDA00036396656900000211
由下式(3)求得：
Figure FDA00036396656900000212
其中，Sjj(ω,t)是第j点的自演化功率谱密度函数；Sjk(ω,t)是第j点和第k点的互演化功率谱密度函数；γjk(ω,t)是第j点和第k点的相干函数。
4.根据权利要求1所述的一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，其特征是：步骤S3的具体方法为：
在每一个时频插值点处对演化功率谱密度矩阵进行Cholesky分解可得，分解公式如下：
Figure FDA00036396656900000213
其中，
Figure FDA0003639665690000031
和
Figure FDA0003639665690000032
分别是时间插值点数和频率插值点数；此过程总共需要
Figure FDA0003639665690000033
次Cholesky分解操作，求得的分解后谱矩阵
Figure FDA0003639665690000034
是下三角矩阵，可表示为：
Figure FDA0003639665690000035
5.根据权利要求1所述的一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，其特征是：步骤S5的具体方法为：
1)基于插值点处的
Figure FDA0003639665690000036
和
Figure FDA0003639665690000037
采用插值技术，近似求得其他时频坐标处的
Figure FDA0003639665690000038
和
Figure FDA0003639665690000039
2)然后可近似重构出在原始时间和频率坐标处的Hjk(ω,t)，即
Figure FDA00036396656900000310
6.根据权利要求1所述的一种基于POD插值的非平稳风场高效模拟方法，其特征是：步骤S6的具体方法为：
1)基于谱表示方法，任意随机过程的模拟公式为：
Figure FDA00036396656900000311
其中，t是时间坐标；ωl是第l个频率点；Δω是频率间隔；N是目标演化功率谱的频率点数；e是指数函数；i是虚数单位；φkl是一组随机相位角，对于具体的样本为确定量；Re表示获取复数的实部；
2)将解耦表达式代入上式(12)中并进行数学等价变化得：
Figure FDA00036396656900000312
其中NR为POD分解选取的近似项数目；
3)然后，采用FFT技术对模拟公式(13)中的三角函数求和项进行计算，快速地生成多点风场样本。
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