CN113792858B - 耦合神经网络有界同步及其分布式控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了耦合神经网络有界同步及其分布式控制方法，属于信息技术领域。本发明通过结合事件触发机制研究了非线性耦合神经网络在分布式脉冲控制器下的的有界同步问题。本发明考虑到耦合神经网络中可能出现的干扰，设计了一类基于事件触发机制的分布式脉冲控制器，并且使用伯努利随机变量来描述了不同信道之间存在的随机不确定性。本发明通过李雅普诺夫稳定性定理、平均脉冲间隔的概念、矩阵测度方法和参数变分法，得到了在不同情形下实现耦合神经网络的有界同步的各类条件。本发明基于给定的事件触发条件和相关数学方法对事件触发情况中可能出现的Zeno行为进行了排除。

Description

耦合神经网络有界同步及其分布式控制方法

技术领域

本发明涉及一种复杂网络同步技术，属于信息技术领域。

背景技术

近年来，由于复杂网络在各个领域的广泛应用，研究复杂网络成为一个值得关注的课题。其中，神经网络作为一种有效的动力学模型在估计数据和学习算法中发挥了重要的作用。神经网络模型通过模拟不同神经元之间的信息传输，建立起类似神经结构的系统，从而在图像识别、安全通信等领域内发挥作用。

同步现象作为复杂网络的一类基本的集群动力学现象，主要是通过调节系统内部参数或施加外部控制来使网络中的系统行为一致。到目前为止，同步现象已经成为复杂网络研究中不可或缺的内容。同时，学者对于不同类型的同步现象也进行的大量的研究，如有界同步、滞后同步、完全同步、相位同步、聚类同步等。

在上述几种同步方法中，有界同步作为一种特殊的同步，一般由参数失配、外部扰动等因素引起，因此系统只能在有限范围内实现同步目标。现实中的工业过程或是具体的机械设备常常存在有某些干扰因素，如噪声干扰等。对于神经网络而言也同样存在干扰，例如图像识别中存在的状态扰动，安全通信中信息信号与恢复信号之间的误差等等。因此，现实中的系统往往难以实现完全同步而只能达成有界同步。

复杂网络很多情况下在仅靠自身难以达成同步的状况下，可以采取施加外部控制的策略。过去几十年中，许多实现同步的有效策略已经被提出，例如牵制控制、脉冲控制、分布式控制、间歇控制等。在这其中，脉冲控制作为一种瞬时高效的控制手段能够在保持低功耗的同时进行有效控制，而分布式控制使得当前节点的状态信息受其邻居节点的影响。此外，不同于一般的时间触发机制，事件触发机制是一种依赖于系统本身状态的控制策略，可以有效减少冗余信息的传递。因此，可以将上述控制策略联合使用以达到同步目标。

据我们所知，在考虑随机不确定性的情况下，耦合神经网络在基于事件触发机制的分布式脉冲控制器下实现同步的问题是很少被讨论的。而为了模拟现实网络中不同信道之间的随机不确定性，考虑这类干扰情况又是很有必要的。因此，理论分析的复杂性和实际应用的重要性激励我们研究这项工作。

发明内容

本发明需要解决的技术问题与需要达到的目标：

(1)本发明通过结合事件触发机制研究了非线性耦合神经网络在分布式脉冲控制器下的的有界同步问题。

(2)本发明考虑到耦合神经网络中可能出现的干扰，设计了一类基于事件触发机制的分布式脉冲控制器，并且使用伯努利随机变量来描述了不同信道之间存在的随机不确定性。

(3)本发明通过李雅普诺夫稳定性定理、平均脉冲间隔的概念、矩阵测度方法和参数变分法，得到了在不同情形下实现耦合神经网络的有界同步的各类条件。

(4)本发明基于给定的事件触发条件和相关数学方法对事件触发情况中可能出现的Zeno行为进行了排除。

本发明的技术方案：

耦合神经网络有界同步及其分布式控制方法，步骤如下：

步骤一：考虑一类非线性的神经网络并为其设定目标神经网络，此时目标神经网络可以视为领导，而其他神经网络可视为其跟随者。首先考虑如下具有非线性和混合时变时滞的耦合神经网络模型

其中：是节点的状态向量，是节点内部状态分量；是神经网络的连接权值矩阵，则代表时滞连接矩阵；是神经元的外部输入向量，是外部输入状态分量；f_k(·):Rⁿ→Rⁿ,k＝1,2表示神经元的激活函数，其中有 正常数σ₁表示耦合神经网络的耦合强度；γ表示耦合神经网络的内部耦合矩阵，为了不失一般性，本发明假设γ为单位矩阵；τ₁(t),τ₂(t)各自表示系统时变时滞，状态耦合时变时滞，存在0≤τ₁(t)≤τ₁,0≤τ₂(t)≤τ₂，并定义最大时滞为τ＝max{τ₁(t),τ₂(t)}；矩阵G＝(g_ij)_N×N是基于耦合神经网络拓扑结构的外部耦合矩阵，并且矩阵G,满足耗散条件，即满足此外如果在第i个神经网络与第j个神经网络之间存在连接，则有g_ij＝g_ji>0，否则g_ij＝0；u_i(t)是控制器，我们将会在之后详细设计它。

确认领导节点：由于本申请中耦合神经网络保持了领导跟随的形式，因此需要提前设定一个目标神经网络作为领导。在本申请中，确认如下形式的领导模型为：

其中：是该神经网络的状态向量，sⁿ(t)是目标神经网络内部状态分量，A,B是该神经网络的连接权值矩阵，C是该神经网络的时滞连接权值矩阵；本申请中的所有神经网络都可以看作目标神经网络(2)的追随者。

定义1：为了获得更加准确的结果，本文引入了矩阵测度方法，设存在矩阵 定义矩阵测度μ_q(M)如下

其中：I是一个n维单位向量，||·||_q,q＝1,2,∞表示不同形式的诱导范数。

步骤二：通过传感器获得各节点的状态信息，可以得到误差向量e_i(t)＝x_i(t)-s(t)的状态信息从而得到如下具有非线性和多重时滞的误差耦合神经网络：

也可简写为：

其中：误差状态向量是误差状态分量；激活函数

通过对所述耦合神经网络模型的处理，从而可以将不同神经网络之间同步问题转换为一个误差耦合神经网络全局稳定性问题方便后续处理。

步骤三：为了实现神经网络(1)与目标神经网络(2)之间的网络同步，基于事件触发机制设计如下分布式脉冲控制器：

其中：ρ₁,ρ₂,q_i表示控制强度；Γ＝(γ_ij)_N×N,L＝(l_ij)_N×N表示分布式控制器的耦合矩阵；δ(·)表示狄拉克函数；对于脉冲信号，我们假设这时间序列是严格单调递增；z_i(t)表示耦合神经网络中不同信道之间的随机不确定性；此外对于目标神经网络(2)的状态向量的诱导范数，存在约束：||Z(t)||_q≤z,其中z是一个正常数；伯努利随机变量d_ij(t)表示干扰出现的概率并满足以下概率分布：

Prob{d_ij(t)＝1}＝d_ij,Prob{d_ij9t)＝0}＝1-d_ij,

其中：d_ij(t)取值为0或1分别表示干扰消失和出现；d_ij表示d_ij(t)的数学期望值，矩阵

同时，基于事件触发机制设计如下触发条件：

其中：t_k-1,t_k分别为当前以及下次脉冲触发时刻；事件触发函数η(t)＝||ζ(t)||_q-k||e(t)||_q,测量误差当网络处在触发时刻时测量误差会被重置为0重新使得触发函数恢复为η(t)≤0状态

考虑神经网络(1)与目标神经网络(2)，误差耦合神经网络初始状态可以定义为通过上面的讨论，我们可以进一步得到如下具有混合时变时滞、非线性特征的被控误差耦合神经网络模型：

其中，表示函数φ_i(t)属于从[-τ,0]到的连续函数集合；是触发时刻t_k前无限趋近于t_k的某个时刻；是是触发时刻t_k后无限趋近于t_k的某个时刻；

为了方便理论推导，上式可以简写为：

其中：我们假设误差状态向量e_i(t)是右连续的，即存在

定义2：在耦合神经网络中，当且仅当对于任意初始状态和存在正参数使得如下不等式成立

则我们就说神经网络(1)与目标神经网络(2)是有界同步的。

下面，我们将讨论具有混合时滞和非线性的耦合神经网络(1)在随机不确定下的有界同步条件。所有的数学表述都是基于李雅普诺夫稳定性定理、平均脉冲间隔、矩阵测度方法和参数变分法。本发明利用所设计的分布式脉冲控制器(4)获得神经网络(1)和目标神经网络(2)之间有界同步的充分条件。此外，本发明利用设计的触发条件实现了对于Zeno行为的消除。

步骤四：首先对Zeno行为进行消除，利用矩阵测度方法构建如下李雅普诺夫函数：

对于区间可以得出V^*(t)的Dini导数D⁺V^*(t)，即：

其中：

基于线性化方法以及矩阵测度方法的性质，存在正常数ω₁,ω₂,可以使得下列不等式成立：

根据扩展比较引理，建立如下比较系统：

其中V^*(t)≤v(t),ε是大于零的任意值，并且根据参数变分法可得下式：

其中：柯西矩阵可由线性系统得到。考虑到测量误差在每个触发时刻满足||ζ(t_k)||_q＝0，将柯西矩阵代入等式(12)，计算可得：

对于ξ₁+ξ₂+ξ₃>0和t∈[t_k,t_k+1]，假设存在下式：

接下来证明不等式(14)在t∈[t_k,t_k+1]条件下成立，值的注意的是，即使不等式在t∈[t_k,t_k+1]条件下不成立，也存在t^*∈[t_k,t_k+1]使得不等式在0<t<t^*条件下成立。将不等式(14)代入等式(13)中可得：

使得上式中ε→0，从而对于t∈[t_k,t_k+1]，存在进一步结果为：

根据事件触发条件(6)，(15)式可以改写为：

其中：此时最小脉冲间隔大于零，由此可以得出结论，在本申请中所设计的事件触发条件基础上，Zeno行为可以被有效排除。

步骤五：利用矩阵测度方法构建如下李雅普诺夫函数：

V(t)＝||Pe(t)||_q,

其中P是一个常正定矩阵。

对于根据分布式控制器的定义，可以得出

其中：

另一方面，对于沿着被控误差耦合神经网络(8)的轨迹对V(t)求导，可以得到

其中：o(∈)是∈的高阶无穷小；

根据已知条件与扩展比较引理，可以得到满足下列脉冲系统的函数v(t)：

其中：ε是大于零的任意值并且函数v(t)≥V(t)。之后，根据参数变分法，v(t)可以计算得：

其中：W(t,s)是根据线性脉冲系统所得的柯西矩，对于区间t∈[t₀,t₁)计算可得：

将柯西矩阵W(t,s)代入等式(19)，可以计算得到：

其中：

利用上述参数考虑：情形1、当α₁>α₂+α₃时，定义分别计算g(0⁺),g(+∞)和导数g′(λ)，计算结果为 以上结果表明，g(λ)在区间(0,+∞)内单调递增，并且在该区间内只有一个唯一解。

对于λ>0,-α₁+α₂+α₃<0,-τ≤t≤0，存在下式：

接下来证明不等式(21)在t>0条件下成立，值的注意的是，即使不等式在t>0条件下不成立，也存在t^*>0使得不等式在0<t<t^*条件下成立。

将不等式(21)代入不等式(20)，可以得出下式：

使得上式中ε→0，从而对于t∈[t₀,t₁)，存在进一步结果为：

因此，对于t∈[t₁,t₂)，计算可得：

对于t∈[t₂,t₃)，计算可得：

对于t∈[t_k,t_k+1)，计算可得：

考虑存在参数大于最大脉冲间隔,得到下式：

这表明被控误差耦合神经网络(8)会在同步误差界范围内实现指数同步，同步误差界可以写为：

因此，在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以以的收敛速度最终实现有界同步。

情形2、当α₁<α₂+α₃,α₁<0时，定义h(λ^*)＝λ^*-α₁+α₂+α₃。分别计算h(0⁺),h(+∞)和导数h′(λ^*)，计算结果为h(0⁺)＝-α₁+α₂+α₃>0,h(-∞)<0,h′(λ^*)＝1>0。以上结果表明，h(λ^*)在区间(-∞,0)内单调递增，并且在该区间内只有一个唯一解。

对于λ^*<0,-α₁+α₂+α₃>0,-τ≤t≤0，存在下式：

接下来证明不等式(24)在t>0条件下成立，值的注意的是，即使不等式在t>0条件下不成立，也存在t^*>0使得不等式在0<t<t^*条件下成立。

将不等式(24)代入不等式(20)，可以得出下式：

使得上式中ε→0，从而对于t∈[t₀,t₁)，存在进一步结果为：

通过类似情形1的数学方法，得到：

这表明被控误差耦合神经网络(8)会在同步误差界范围内实现指数同步，同步误差界可以写为：

因此，在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以以的收敛速度最终实现有界同步。

结论：

对于脉冲效应假定存在参数

(1)当满足下列情形时

α₁>α₂+α₃,

η(t)≤0

也就是说，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下以的收敛速度最终实现有界同步，其中同步误差界可以表示为：

(1)当满足下列情形时

α₁<α₂+α₃,α₁<0

η(t)≤0

也就是说，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下以的收敛速度最终实现有界同步，其中同步误差界可以表示为：

通过搭建网络模型并利用此网络模型进行数值仿真，来验证目标神经网络与其他神经网络之间的同步效果。具体步骤如下具体实施方式。

本发明的有益效果：

(1)充分考虑了耦合神经网络内不同神经网络的信号传输延迟与存在于不同信道之间的随机不确定性，构建了一类具有包含系统时变时滞和一般耦合时变时滞的非线性耦合神经网络模型并实现其有界同步；

(2)不同于通常的时间触发控制器，本发明设计了一类基于事件触发机制的分布式脉冲控制器，反馈被控对象的误差状态信息，同时利用伯努利随机变量描述了控制中存在的随机不确定性，从而可以在减少了冗余信息的传递下实现有效控制；

(3)基于李雅普诺夫稳定性定理、平均脉冲间隔的概念和一些线性化方法，利用不具有非负性的矩阵测度方法给出了更加准确的耦合神经网络有界同步的判定条件，并针对不同类型比较系统的建立通过参数变分法给出了对应情形下有界同步的指数收敛速度和同步误差界；

(4)考虑了事件触发机制中存在的Zeno行为，本发明通过构建事件触发条件、建立时滞脉冲比较系统，对其进行了有效的消除。

附图说明

图1耦合神经网络结构图。

图2目标神经网络相图。

图3脉冲时间序列图。

图4耦合神经网络误差状态演化曲线及同步误差界。

具体实施方式

下面我们将构建一个具体的数值仿真实例来证明此发明的有效性。

步骤1：确定耦合神经网络模型如下：

其中：

选取激活函数为f₁(u)＝f₂(u)＝tanh(u)。

确定目标神经网络模型如下：

其中：

为了验证本发明的正确性，选取6个神经网络组成的耦合神经网络如图1其中数字1，2，3，4，5，6表示6个神经网络，而具体的被控对象的选择方案是在耦合神经网络运行时，依据脉冲触发条件产生脉冲，并将控制器中的误差反馈信息作用在耦合神经网络上。而图2显示设定的目标神经网络。

步骤2：根据已知，选取耦合矩阵B＝[-2,1,1,0,0,0；1,-2,1,0,0,0；1,1,-3,1,0,0；0,0,1,-3,1,1；0,0,0,1,-2,1；0,0,0,1,1,-2]。此外基于事件触发机制产生的脉冲序列如图3所示。

步骤3：搭建耦合神经网络(1)的Simulink模型，得到仿真结果，并通过定义神经网络同步误差E(t)＝||e(t)||₂，得到图4，其表示任意两个神经网络之间的误差在同步误差界范围内，即实现了有界同步。从图4可以看出，由于随机不确定性的存在，耦合神经网络不能实现完全同步，但是在分布式脉冲控制器的作用下，能够将这些状态误差控制在一定范围内。

Claims (1)

1.耦合神经网络有界同步及其分布式控制方法，其特征在于，步骤如下：

步骤一：考虑一类非线性的神经网络并为其设定目标神经网络，此时目标神经网络视为领导，其他神经网络视为目标神经网络的跟随者；首先考虑如下具有非线性和混合时变时滞的耦合神经网络模型：

其中：是节点状态向量，是节点内部状态分量；是神经网络的连接权值矩阵，则代表时滞连接矩阵；是神经元的外部输入向量，是外部输入状态分量；f_k(·)：Rⁿ→Rⁿ，k＝1，2表示神经元的激活函数，其中有

正常数σ₁表示耦合神经网络的耦合强度；Υ表示耦合神经网络的内部耦合矩阵，设Υ为单位矩阵；τ₁(t)，τ₂(t)各自表示系统时变时滞，状态耦合时变时滞，存在0≤τ₁(t)≤τ₁，0≤τ₂(t)≤τ₂，并定义最大时滞为τ＝max{τ₁(t)，τ₂(t)}；矩阵G＝(g_ij)_N×N是基于耦合神经网络拓扑结构的外部耦合矩阵，并且矩阵G满足耗散条件，即满足此外当在第i个神经网络与第j个神经网络之间存在连接时，则有g_ij＝g_ji＞0，否则g_ij＝0；u_i(t)是控制器；

确认领导节点：确认如下形式的领导模型为：

其中：是该神经网络的状态向量，sⁿ(t)是目标神经网络内部状态分量，i＝1，2，…，N，A，B，是该神经网络的连接权值矩阵，C是该神经网络的时滞连接权值矩阵；所有神经网络都看作目标神经网络(2)的追随者；

定义1：引入矩阵测度方法，设存在矩阵定义矩阵测度μ_q(M)为

其中：I是一个n维单位向量，||·||_q，q＝1，2，∞表示不同形式的诱导范数；

步骤二：通过传感器获得各节点的状态信息，得到误差向量e_i(t)＝x_i(t)-s(t)的状态信息，从而得到如下具有非线性和多重时滞的误差耦合神经网络：

简写为：

其中：误差状态向量 是误差状态分量；激活函数 通过对所述耦合神经网络模型的处理，从而将不同神经网络之间同步问题转换为一个误差耦合神经网络全局稳定性问题；

步骤三：为了实现神经网络(1)与目标神经网络(2)之间的网络同步，基于事件触发机制设计如下分布式脉冲控制器：

其中：ρ₁，ρ₂，q_i表示控制强度；Γ＝(γ_ij)_N×N，L＝(l_ij)_N×N表示分布式控制器的耦合矩阵；δ(·)表示狄拉克函数；对于脉冲信号，设这时间序列ζ＝{t₀，t₁，…}是严格单调递增；z_i(t)表示耦合神经网络中不同信道之间的随机不确定性；此外对于目标神经网络(2)的状态向量的诱导范数，存在约束：||Z(t)||_q≤z，其中z是一个正常数；

伯努利随机变量d_ij(t)表示干扰出现的概率并满足以下概率分布：

Prob{d_ij(t)＝1}＝d_ij，Prob{d_ij(t)＝0}＝1-d_ij，

其中：d_ij(t)取值为0或1分别表示干扰消失和出现；d_ij表示d_ij(t)的期望值，矩阵

同时，基于事件触发机制设计如下触发条件：

其中：t_k-1，t_k分别为当前以及下次脉冲触发时刻；事件触发函数η(t)＝||ζ(t)||_q-k||e(t)||_q，测量误差当网络处在触发时刻时测量误差会被重置为0重新使得触发函数恢复为η(t)≤0状态；

考虑神经网络(1)与目标神经网络(2)，误差耦合神经网络初始状态定义为： 进一步得到如下具有混合时变时滞、非线性特征的被控误差耦合神经网络模型：

其中，表示函数φ_i(t)属于从[-τ，0]到的连续函数集合；是触发时刻t_k前无限趋近于t_k的某个时刻；是是触发时刻t_k后无限趋近于t_k的某个时刻；

为了方便理论推导，上式简写为：

其中：设误差状态向量e_i(t)是右连续的，即存在

定义2：在耦合神经网络中，当且仅当对于任意初始状态和存在正参数使得如下不等式成立：

则定为神经网络(1)与目标神经网络(2)是有界同步的；

以下是讨论具有混合时滞和非线性的耦合神经网络(1)在随机不确定下的有界同步条件；利用所设计的分布式脉冲控制器(4)获得神经网络(1)和目标神经网络(2)之间有界同步的充分条件；

步骤四：首先对Zeno行为进行消除，利用矩阵测度方法构建如下李雅普诺夫函数：

对于区间可以得出V^*(t)的Dini导数D⁺V^*(t)，即：

其中：

基于线性化方法以及矩阵测度方法的性质，存在正常数ω₁，ω₂，可以使得下列不等式成立：

根据扩展比较引理，建立如下比较系统：

其中V^*(t)≤v(t)，ε是大于零的任意值，并且根据参数变分法可得下式：

其中：柯西矩阵可由线性系统得到；考虑到测量误差在每个触发时刻满足||ζ(t_k)||_q＝0，将柯西矩阵代入等式(12)，计算可得：

对于ξ₁+ξ₂+ξ₃＞0和t∈[t_k，t_k+1]，设存在下式：

接下来证明不等式(14)在t∈[t_k，t_k+1]条件下成立，值的注意的是，即使不等式在t∈[t_k，t_k+1]条件下不成立，也存在t^*∈[t_k，t_k+1]使得不等式在0＜t＜t^*条件下成立；将不等式(14)代入等式(13)中可得：

使得上式中ε→0，从而对于t∈[t_k，t_k+1]，存在进一步结果为：

根据事件触发条件(6)，(15)式改写为：

其中：此时最小脉冲间隔大于零，由此可以得出结论，在本申请中所设计的事件触发条件基础上，Zeno行为被排除；

步骤五：利用矩阵测度方法构建如下李雅普诺夫函数：

V(t)＝llPe(t)||_q，

其中P是一个常正定矩阵；

对于t＝t_k，根据分布式控制器的定义，可以得出：

其中：

另一方面，对于t∈[t_k-1，t_k)，沿着被控误差耦合神经网络(8)的轨迹对V(t)求导，得到

其中：o(∈)是∈的高阶无穷小；

根据已知条件与扩展比较引理，得到满足下列脉冲系统的函数v(t)：

其中：ε是大于零的任意值并且函数v(t)≥V(t)；之后，根据参数变分法，v(t)可以计算得：

v(t)＝W(t，0)v(0)+∫₀ ^tW(t，s){α₂v(t-τ₁(t))+α₃v(t-τ₂(t))+ε}ds， (19)

其中：W(t，s)是根据线性脉冲系统所得的柯西矩，对于区间t∈[t₀，t₁)计算可得：

将柯西矩阵W(t，s)代入等式(19)，可以计算得到：

其中：

利用上述参数考虑：

情形1、当α₁＞α₂+α₃时，定义分别计算g(0⁺)，g(+∞)和导数g′(λ)，计算结果为 以上结果表明，g(λ)在区间(0，+∞)内单调递增，并且在该区间内只有一个唯一解；

对于λ＞0，-α₁+α₂+α₃＜0，-τ≤t≤0，存在下式：

接下来证明不等式(21)在t＞0条件下成立，值的注意的是，即使不等式在t＞0条件下不成立，也存在t^*＞0使得不等式在0＜t＜t^*条件下成立；

将不等式(21)代入不等式(20)，可以得出下式：

使得上式中ε→0，从而对于t∈[t₀，t₁)，存在进一步结果为：

因此，对于t∈[t₁，t₂)，计算可得：

对于t∈[t₂，t₃)，计算可得：

对于t∈[t_k，t_k+1)，计算可得：

考虑存在参数大于最大脉冲间隔，得到下式：

这表明被控误差耦合神经网络(8)会在同步误差界范围内实现指数同步，同步误差界可以写为：

因此，在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间以的收敛速度最终实现有界同步；

情形2、当α₁＜α₂+α₃，α₁＜0时，定义h(λ^*)＝λ^*-α₁+α₂+α₃；分别计算h(0⁺)，h(+∞)和导数h′(λ^*)，计算结果为h(0⁺)＝-α₁+α₂+α₃＞0，h(-∞)＜0，h′(λ^*)＝1＞0；以上结果表明，h(λ^*)在区间(-∞，0)内单调递增，并且在该区间内只有一个唯一解；

对于λ^*＜0，-α₁+α₂+α₃＞0，-τ≤t≤0，存在下式：

接下来证明不等式(24)在t＞0条件下成立，值的注意的是，即使不等式在t＞0条件下不成立，也存在t^*＞0使得不等式在0＜t＜t^*条件下成立；

将不等式(24)代入不等式(20)，得出下式：

使得上式中ε→0，从而对于t∈[t₀，t₁)，存在进一步结果为：

通过与情形1相同的方法，得到：

这表明被控误差耦合神经网络(8)会在同步误差界范围内实现指数同步，同步误差界写为：

因此，在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以以的收敛速度最终实现有界同步；

对于脉冲效应设存在参数

(1)当满足下列情形时

α₁＞α₂+α₃，

η(t)≤0

也就是说，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下以的收敛速度最终实现有界同步，其中同步误差界可以表示为：

(1)当满足下列情形时

α₁＜α₂+α₃，α₁＜0

η(t)≤0

也就是说，耦合神经网络(1)与目标神经网络(2)之间可以在事件触发分布式脉冲控制器(5)的作用下以的收敛速度最终实现有界同步，其中同步误差界可以表示为：