CN113779844B

CN113779844B - 一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法

Info

Publication number: CN113779844B
Application number: CN202111089918.4A
Authority: CN
Inventors: 王永亮; 张晴
Original assignee: Individual
Current assignee: China University of Mining and Technology Beijing CUMTB
Priority date: 2021-09-17
Filing date: 2021-09-17
Publication date: 2022-07-12
Anticipated expiration: 2041-09-17
Also published as: CN113779844A

Abstract

本申请公开了一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，包括：建立含裂纹损伤曲梁坐标系，建立含多裂纹损伤曲梁中裂纹的截面惯性矩模型和截面面积模型；建立含多裂纹损伤曲梁的弹性屈曲控制方程，基于给定的有限元网格，得到网格下的有限元解；通过超收敛拼片恢复法，计算得到屈曲模态超收敛解，再通过Rayleigh商计算得到屈曲荷载超收敛解；对屈曲模态有限元解进行误差估计处理，得到相对误差值，输出目标值，或重复上述步骤优化处理。本申请可以得到更加精确的屈曲模态解和屈曲荷载解；适用于不同边界条件、不同裂纹数量、不同裂纹分布情况下的含裂纹损伤曲梁弹性屈曲问题。

Description

一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法

技术领域

本申请属于建筑结构力学领域，具体涉及一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法。

背景技术

曲线在土木、机械、船舶、航空航天等工程中具有普遍的应用，研究曲线结构的抗震与直线结构不同，它的力学特性复杂，分析起来更加困难。杆系结构的损伤问题广泛存在于工程实际中，工程杆系结构大多带裂纹工作，裂纹损伤的存在会改变整个结构的力学性能，影响结构的安全性和适用性。研究含多裂纹损伤梁构件的动力特性、准确预测屈曲承载力可以有效地保障结构在全生命周期内安全使用。曲线形梁构件由于几何形态复杂，容易诱发弹性屈曲失稳，精确评估各类曲线梁线型、不同曲梁夹角下深梁、浅梁的屈曲荷载成为结构灾害分析的重要依据。曲梁中裂纹损伤的存在增加准确预测屈曲失稳承载能力的难度，理论模型、解析方法等往往难以有效分析。准确预测不同裂纹损伤位置、大小、数目工况下屈曲荷载承载力以及分析裂纹损伤对屈曲失稳的影响机理，成为理论研究和工程实践的需求。现有技术中的有限元法被发展和应用于求解含裂纹损伤曲梁的弹性屈曲荷载和屈曲模态，但解答精度依赖于网格划分质量，解答因网格划分难免引入误差。

常规有限单元法使用的误差估计一般通过事先提供的上下限来分析计算误差，但是理论分析的困难使得这种方法无法满足设定精度的误差分析，且计算的误差范围与实际误差限通常相差较大，生成网格的技术也较为复杂。目前的有限元方法往往要借助经验的判断和定性的分析，精心地设计网格尺寸和阶次，如需要调整网格划分，需要重新计算分析网格参数，较为繁杂。即使这样，对于有限元结果，也只能得到一个相对合理但精度难以满足的解答。

发明内容

本申请提出了一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，基于裂纹损伤惯性矩、面积，建立弹性屈曲控制方程，采用常规有限元法求得当前网格下的有限元解，进一步使用超收敛拼片恢复法得到超收敛解，通过能量模形式下的误差估计，不断提高求解精度，最终得到满足误差要求的解答。

为实现上述目的，本申请提供了如下方案：

一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，包括如下步骤：

构建曲梁的截面惯性矩模型和截面面积模型，基于所述截面惯性矩模型和所述截面面积模型建立所述曲梁的弹性屈曲控制方程；

基于所述弹性屈曲控制方程和给定的有限元网格，获得网格下的屈曲模态有限元解；

基于超收敛拼片恢复法和所述屈曲模态有限元解，获得屈曲模态超收敛解，基于所述屈曲模态超收敛解，通过Rayleigh商计算得到屈曲荷载超收敛解；

基于所述屈曲模态超收敛解，对所述屈曲模态有限元解进行误差估计处理，得到所述屈曲模态有限元解的相对误差值，当所述相对误差值小于等于所述预设误差值时，所述屈曲模态超收敛解即为目标屈曲模态解，所述屈曲荷载超收敛解即为目标屈曲荷载解，完成所述曲梁的弹性屈曲求解。

可选的，所述建立所述曲梁的截面惯性矩模型和所述截面面积模型的方法包括：

建立含裂纹损伤的曲梁坐标系，基于所述曲梁坐标系，采用裂纹截面损伤缺陷比拟法，建立裂纹截面损伤模型，所述裂纹截面损伤模型用于表征裂纹深度；

基于所述裂纹截面损伤模型，建立所述截面惯性矩模型和所述截面面积模型。

可选的，所述裂纹截面损伤模型为：

α为表征裂纹损伤深度的截面损伤率，α＝0表示梁截面完整无损伤，h_c为裂纹绝对深度，h表示曲梁高度。

可选的，所述截面惯性矩模型为：

I_c表示考虑裂纹损伤的横截面惯性矩，b表示曲梁厚度；

所述截面面积模型为：

A_c＝bh(1-α)

A_c表示考虑裂纹损伤的截面面积。

可选的，获得所述网格下的屈曲模态有限元解的方法包括：

基于所述弹性屈曲控制方程，建立特征值方程，所述特征值方程采用屈曲荷载和屈曲模态函数向量表示；

基于所述特征值方程和给定的有限元网格，建立线性矩阵特征值方程；

基于所述线性矩阵特征值方程，采用逆幂迭代法得到所述网格下的屈曲模态有限元解。

可选的，所述屈曲模态超收敛解w^*为：

w^*(x)＝Pa

其中，P为给定函数向量；a为待定系数向量。

可选的，得到所述屈曲模态有限元解的相对误差值的方法包括：基于所述屈曲模态超收敛解，对所述屈曲模态有限元解进行能量模形式下的误差估计处理，得到所述相对误差值。

可选的，当所述相对误差值大于等于所述预设误差值时，采用单元均匀细分加密的h型网格自适应方式调整所述弹性屈曲控制方程。

可选的，当所述相对误差值大于预设误差值时，调整所述弹性屈曲控制方程，重复求解所述屈曲模态超收敛解和所述屈曲荷载超收敛解。

本申请的有益效果为：

本申请公开了一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，在常规有限元解的基础上，引入超收敛拼片恢复法，得到了比常规有限元解更加精确的屈曲模态解和屈曲荷载解；通过建立误差估计分析，评判求解精度，可以不断提高计算精度，进而得到符合精度要求的求解过程。本申请适用于不同边界条件、不同裂纹数量、不同裂纹分布情况下的含裂纹Timoshenko曲梁弹性屈曲问题，具有广泛的适用性。

附图说明

为了更清楚地说明本申请的技术方案，下面对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本申请实施例中一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法的流程示意图；

图2为本申请实施例中建立的含多裂纹损伤曲梁坐标系示意图。

具体实施方式

下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

为使本申请的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本申请作进一步详细的说明。

如图1所示，为本申请实施例一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法的流程示意图。

S1.在含多裂纹损伤曲梁坐标系下，建立含多裂纹损伤曲梁中裂纹的截面惯性矩模型和截面面积模型。

如图2所述，为本实施例建立的含多裂纹损伤曲梁坐标系，其中，含多裂纹损伤曲梁中性轴坐标为s，坐标系为xyz，其中x、y为含多裂纹损伤曲梁平面内坐标，x沿轴线切向，y沿轴线法向，z垂直于轴线所在平面。面内位移为：沿x轴位移振幅u、沿y轴位移振幅v和绕z轴的转角振幅Ψ_z。记曲梁曲率半径为R(s)，截面剪切刚度修正系数为κ，截面面积为A(s)，对z轴惯性矩为I(s)，长度为l，含多裂纹损伤曲梁高度为h，含多裂纹损伤曲梁厚度为b。记材料弹性模量为E，剪切模量为G，泊松比为v，密度为ρ。

本实施例采用裂纹截面损伤缺陷比拟方法，裂纹处截面损伤模型定义为：

式中，α为表征裂纹损伤深度(大小)的截面损伤率，α＝0表示含多裂纹损伤曲梁截面完整无损伤。β表征裂纹损伤所在截面位置；h_c、l_c分别为裂纹绝对深度和所在中心轴坐标值。根据裂纹截面损伤率，对含多裂纹损伤曲梁截面的横截面惯性矩、面积进行弱化处理：

A_c＝bh(1-α) (4)

式中，I_c表示考虑裂纹损伤的横截面惯性矩，A_c表示考虑裂纹损伤的截面面积。b表示含多裂纹损伤曲梁厚度，h表示含多裂纹损伤曲梁高度；

进一步的，由于本申请中微裂纹的截面损伤宽度δ_c非常小(或不考虑裂纹宽度)。为了控制裂纹宽度δ_c而不至于影响自适应分析结果的精度，文中将δ_c设置为：

δ_c＝0.01×Tol (5)

式中，Tol为弹性屈曲解答的预设误差限。

S2.采用常规的有限元法和逆幂迭代法求解当前网格下的有限元解。

基于S1，本实施例建立常规的含多裂纹损伤曲梁面内弹性屈曲微分控制方程为：

式中，P(x)为轴向压力函数，λ为自振屈曲荷载；u＝(w,ψ_z)^T为对应的屈曲模态位移函数向量，λ、u分别对应于特征值、特征向量。在本实施例中，将(λ,u)合称为特征对,κ为截面剪切刚度修正系数；

上述弹性屈曲控制方程式(6)可记为如下矩阵形式的特征值方程：

Lu＝λRu (7)

式中，L、R为相应的微分算子矩阵。

对于求解特征值方程式(7)，基于给定的有限元网格，常规有限元建立如下线性矩阵特征值方程：

KD＝λMD (8)

式中：D为屈曲模态向量的有限元解；K和M分别为静力刚度矩阵和一致质量矩阵。采用逆幂迭代法求解特征对，公式如下：

其中，K_a＝K-λ，μ是泊松比，sgn是符号函数(x＜0,sgn(x)＝-1,x＝0,sgn(x)＝0,x＞0,sgn(x)＝1)，i是循环指数，当达到以下条件时，循环停止:

|μ_i+1-μ_i|＜Tol and max|D_i+1-D_i|＜Tol (10)

即得当前网格下的有限元解(λ^h,u^h)。网格下的有限元解将在随后的S4步骤中与S3得到的超收敛解进行比较得到误差估计值。

S3.计算屈曲模态超收敛解和屈曲荷载超收敛解。

有限元计算存在相比当前网格解答具有更高收敛阶的超收敛点，利用超收敛点结合单元拼片、高阶形函数插值技术，可以提高当前有限元解的精度，得到全域的超收敛解。

本实施例对于圆弧曲梁的弹性屈曲问题，求得当前网格下屈曲模态(位移)的有限元解后，利用有限元后处理超收敛拼片恢复方法，将超收敛计算单元以及它邻近单元进行组合拼片，将这些单元中的有限元节点位移值进行高阶形函数插值，形函数多项式阶数增加，运用拉格朗日插值技术，令阶次p＝n-1，则拉格朗日插值多项式

x为节点的相对坐标，x₁＝-1，x₂＝1，则其形函数为：

且满足：

通过以上方法技术即可得到屈曲模态的超收敛解：

w^*(x)＝Pa (14)

式中：P为给定函数向量；a为待定系数向量。随后，利用屈曲模态解答并通过Rayleigh商计算可以获得自振屈曲荷载超收敛解值ω^*。

其中，a()、b()为应变能和动能内积。最终得到超收敛解(ω^*,w^*)。超收敛解将在S4步骤中与S2得到的有限元解进行比较得到误差估计值。

S4.误差估计，得到目标值，或优化处理。

在本实施例中引入屈曲模态超收敛解，目的是可对当前网格下屈曲模态有限元解进行能量模形式下的误差估计，如下式：

式中：ξ为相对误差值；n_e为进行拼片的单元数目；e^*＝w^*-w^h；||e^*||为能量范数。

设定预设误差值为1，利用屈曲模态误差估计，如果ξ≤1，则屈曲模态超收敛解和屈曲荷载超收敛解即为目标解。如果ξ>1，则对网格进行优化处理来降低和控制屈曲模态的误差，达到预设的解答精度。本实施例采用单元均匀细分加密的h型网格自适应方式来对网格进一步细分，增加模型自由度、降低单元上解答的误差，将相应的单元细分为均匀的子单元，在子单元中插入一些内部节点：

h_new＝ξ^-1/mh_old (17)

其中，h_new为子单元的长度，h_old为前一子单元的原始长度。在更新的有限元网格下，返回S2-S3步骤进行循环计算和误差估计，直到获得一套充分优化的网格和满足误差限的解答。

以上所述的实施例仅是对本申请优选方式进行的描述，并非对本申请的范围进行限定，在不脱离本申请设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本申请的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本申请权利要求书确定的保护范围内。

Claims

1.一种含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，包括如下步骤：

构建含多裂纹损伤曲梁的截面惯性矩模型和截面面积模型，基于所述截面惯性矩模型和所述截面面积模型建立所述含多裂纹损伤曲梁的弹性屈曲控制方程，其中所述含多裂纹损伤曲梁的弹性屈曲控制方程为：

式中，P(s)为轴向压力函数，λ为自振屈曲荷载；u＝(w,ψ_z)^T为对应的屈曲模态位移函数向量，Ψ_z为绕z轴的转角振幅，λ、u分别对应于特征值、特征向量，(λ,u)为特征对，E为材料弹性模量，I(s)为对z轴惯性矩，G为剪切模量，κ为截面剪切刚度修正系数，A(s)为截面面积，s为含多裂纹损伤曲梁中性轴坐标；

基于所述屈曲模态超收敛解，对所述屈曲模态有限元解进行误差估计处理，得到所述屈曲模态有限元解的相对误差值，当所述相对误差值小于等于预设误差值时，所述屈曲模态超收敛解即为目标屈曲模态解，所述屈曲荷载超收敛解即为目标屈曲荷载解，完成所述含多裂纹损伤曲梁的弹性屈曲求解。

2.根据权利要求1所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，所述构建含多裂纹损伤曲梁的截面惯性矩模型和所述截面面积模型的过程中包括：

建立含多裂纹损伤曲梁坐标系，基于所述含多裂纹损伤曲梁坐标系，采用裂纹截面损伤缺陷比拟法，建立裂纹截面损伤模型，所述裂纹截面损伤模型用于表征裂纹深度；

3.根据权利要求2所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，所述裂纹截面损伤模型为：

α为表征裂纹损伤深度的截面损伤率，α＝0表示梁截面完整无损伤，h_c为裂纹绝对深度，h表示含多裂纹损伤曲梁高度。

4.根据权利要求3所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，

所述截面惯性矩模型为：

I_c表示考虑裂纹损伤的横截面惯性矩，b表示含多裂纹损伤曲梁厚度；

所述截面面积模型为：

A_c＝bh(1-α)

A_c表示考虑裂纹损伤的截面面积。

5.根据权利要求2所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，获得所述网格下的屈曲模态有限元解的方法包括：

6.根据权利要求5所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，所述屈曲模态超收敛解w^*为：

w^*(x)＝Pa

其中，P为给定函数向量；a为待定系数向量。

7.根据权利要求6所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，得到所述屈曲模态有限元解的相对误差值的方法包括：基于所述屈曲模态超收敛解，对所述屈曲模态有限元解进行能量模形式下的误差估计处理，得到所述相对误差值。

8.根据权利要求7所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，当所述相对误差值大于等于预设误差值时，采用单元均匀细分加密的h型网格自适应方式调整所述弹性屈曲控制方程。

9.根据权利要求1所述的含多裂纹损伤曲梁弹性屈曲的自适应求解方法，其特征在于，当相对误差值大于预设误差值时，调整所述弹性屈曲控制方程，重复求解所述屈曲模态超收敛解和所述屈曲荷载超收敛解。