CN113723877B - 一种基于二阶函数分解法的库存决策方法及系统 - Google Patents

一种基于二阶函数分解法的库存决策方法及系统 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于二阶函数分解法的库存决策方法及系统，其方法包括：步骤S1：对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为S；步骤S2：对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示；步骤S3：利用二阶函数分解法，分别求解S和获取库存决策方法。本发明提供的方法揭示了供给策略的新层次结构，为了使得库存的决策达到最优化，本发明开发了多项式时间算法来获得最佳策略，为企业创造良好的口碑与经济效应。

Description

一种基于二阶函数分解法的库存决策方法及系统
技术领域
本发明涉及多级供应链领域，具体涉及一种基于二阶函数分解法的库存决策方法及系统。
背景技术
由于电子商务和竞争的快速发展，以服务时间为目标从而固定履行时间窗口对客户订单进行报价在日常生活的实践中越来越受欢迎。例如亚马逊的Prime会员可享受百万件商品免费两日送达，超过一千万件商品免费一日送达且没有最低消费要求。该公司开始为其Prime会员提供超过三百万件超过三十五美元符合条件的订单进行免费当日送货服务，以及杂货的两小时免费送货服务，包括在选定城市的一些新鲜食品和农产品。只有做到库存时刻充足才能够满足顾客的需求从而提高顾客对企业的满意度，顾客的满意度提高可以在一定程度上有效提高企业的知名度，因此如何确定库存决策成了企业亟待解决的问题。
发明内容
为了解决上述技术问题，本发明提供一种基于二阶函数分解法的库存决策方法及系统。
本发明技术解决方案为：一种基于二阶函数分解法的库存决策方法，包括：
步骤S1：对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为Si,t(zi)，其中，t为周期且t＝1,…,T；zi表示任意周期开始时的积压状态；
步骤S2：对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示：/>
其中，ziii和uiii分别是需求实现之后，但在库存催交和分配决策之前的积压和库存状态；
步骤S3：利用二阶函数分解法，分别求解Si,t(zi)和获取库存决策方法。
本发明与现有技术相比，具有以下优点：
本发明公开了一种基于二阶函数分解法的库存决策方法，基于二阶函数分解的算法，进行最优的库存决策且允许两个不同的顺序属性，表明最优决策可通过比较两个顺序属性下状态变量的相对顺序来进行。利用基于二阶函数分解方法的属性为以服务时间为目标的分散系统设计了一种协调机制，包括诱导惩罚和诱导补偿。基于二阶函数分解算法的属性还可以用于其他具有以服务时间为目标特性的业务问题。例如，在大规模定制中，卖家通常会先收到消费者订单，然后再制作最终产品。为及时服务消费者，基于二阶函数分解算法的属性可供卖家高效、恰当地为半成品做出订购和加急决策，也可以用于直播电商，现在Tiktok等平台比较常见，可以做厂商库存决策，设置最大销售量等等。
由于在每个周期以及每个阶段的库存订购决策可以相互独立地做出，并且阶级基准库存策略对于每个阶段都是最优的，其中阶级基准库存水平是积压状态的显式函数。供给策略对于库存紧急调货和分配是最佳的，其中供给水平也是是库存和积压状态的显式函数。一般来说，优先对库存进行紧急调货然后进行分配库存，以将积压的总量减少到供给水平，并始终在较低的阶级第一次紧急调货库存，并在较早的到期日第一次解决积压库存。本发明提供的方法揭示了供给策略的新层次结构，尽管策略参数与状态相关，但由于依赖关系的显式表达，为了使得库存的决策达到最优化，开发了多项式时间算法来获得最佳策略，为企业创造良好的口碑与经济效应。
附图说明
图1为本发明实施例中一种基于二阶函数分解法的库存决策方法的流程图；
图2为本发明实施例中一种基于二阶函数分解法的库存决策系统的结构框图。
具体实施方式
本发明提供了一种基于二阶函数分解法的库存决策方法，该方法揭示了供给策略的新层次结构，为了使得库存的决策达到最优化，本发明开发了多项式时间算法来获得最佳策略，为企业创造良好的口碑与经济效应。
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，以下通过具体实施，并结合附图，对本发明进一步详细说明。
实施例一
如图1所示，本发明实施例提供的一种基于二阶函数分解法的库存决策方法，包括下述步骤：
步骤S1：对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为Si,t(zi)，其中，t为周期且t＝1，...，T；zi表示任意周期开始时的积压状态；
步骤S2：对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示：/>
其中，ziii和uiii分别是需求实现之后，但在库存催交和分配决策之前的积压和库存状态；
步骤S3：利用二阶函数分解法，分别求解Si，t(zi)和获取库存决策方法。
本发明针对多级供应链系统中如何进行常规订货和紧急调货问题进行最优化处理，对系统状态使用阶级状态进行刻画，在每个时期，一个与积压状态相关的阶级基准库存策略对于每个阶段都是最优的，即每个阶级基础库存水平仅取决于积压状态zi。
在一个实施例中，上述步骤S1：对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为Si，t(zi)，其中，t为周期t＝1，...，T；zi为积压状态，具体包括：
公式(1)中τ≥1，并且当τ＝0时给定Si，t(zi)＝si，-1，t；si，j，t表示阶级基准存货水平；表示周期开始时的积压状态；
公式(1)表示在第i个阶段尽可能将阶级库存水平提高至Si，t(zi)，如果当下第i阶段的阶级库存水平低于Si，t(zi)，则选择从第i+1阶段订货，使得库存水平尽可能趋近Si，t(zi)；如果当下第i阶段的阶级库存水平高于Si，t(zi)，则不进行订货。
在一个实施例中，上述步骤S2：对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示：/>具体包括：
在需求出现后，企业还有一次机会，利用紧急调货从上游调取产品用来满足需求，这时要求企业必须采取就近原则，从更近的上游调货，当某个上游没货后，才向更上游订货，上游调取的货都必须立马用于满足需求，此时的决策是考虑应该满足多少需求，等价而言，就是决策在该时期结束的时，留下多少需求没有被满足，此时的这个决策值是y，定义-y表示当期周期结束时的剩余积压订单，需满足/>成立，/>是当期周期已完成的积压订单工作量；
则是公式(2)最小化问题的最优解；由y的定义可知/>是在周期t时剩余积压库存的最优数量；
为了使得两层的分层分配决策对于每个时期的库存紧急调货和分配决策最优，在状态(ziii，uiii)下，在周期t＝1，...，T中的分配水平由下述公式(3)所示：
公式(3)中τ≥1，并且当τ＝0时给定其中当j＝0，…，τ时，Rj，t(uiii)如下述公式(4)所示：
其中，i使用在右上标来区分同一时期不同事件之后的状态，i为观察每个周期开始时的系统状态，ii为基于观察到的系统状态同时为N个阶段做出订购决策，iii为新需求实现；而i使用在右下标表示处于的第i阶段；iv为库存紧急调货和分配决策是根据当前状态做出的，并且紧急调货库存立即到达第1阶段；v为在周期结束时，j+1类积压转移到j类，其中j＝0，…，τ-1(-1类未完成的积压留在-1类中)，然后收取费用；目标是在规划范围内最小化总折现预期成本；
ui和zi表示任意周期开始时的阶级库存和积压状态， 表示第i阶段的阶级库存水平，/>xk表示在t周期阶段k的库存水平；
其中/>表示为j类别的总积压水平，定义/>在(-∞，0]，
wk为第k类别的积压库存量；/>表示第i阶段的阶级库存水平；
zii和uii分别是订购决策后的积压和库存状态；zii＝zi和uii＝ui+q；q表示订购决策；
ziii和uiii分别是需求实现之后但在库存催交和分配决策之前的积压和库存状态；ziii＝zii-de和uiii＝uii-de；d表示已经实现的需求；e是一个所有元素都为1的向量；
φi，j，t表示定量供应水平，其中i＝0，...，N；j＝0，...，τ。
在一个实施例中，上述步骤S3：利用二阶函数分解法，分别求解Si，t(zi)和获取库存决策方法，具体包括：
步骤S31：求解Si，t(zi)和须满足下述约束条件：
对于单位持有成本需满足h1＞…＞hN＞hN+1≡0；表明在终端周期T+1内，没有新的需求出现那么意味着所有的剩余库存将被清除，任何在周期τ需要新实现的需求不能迟于周期t+τ，且有j个类别的积压订单(j＝0，...，τ)，还剩余j个周期到它们的到期日，而任何未在到期日之前完成的积压订单都被归类到-1类别中，且类别τ收集每个时期需新实现的需求，因此每个周期的开始或者结束时是没有积压的；
对于单位紧急调货成本需满足其中i＝2，...，N，且
对于单位惩罚成本满足b-1≥…≥bτ-1≥bτ≡0，表明如果发生延迟交货应向顾客支付实际的罚金，且允许在需求实现后的单位成本为其中ci表示单位订购成本，将库存从任何上游阶段i紧急调货到阶段1，其中/>是从与阶段i到阶段1按单位序列订购相比，从阶段i紧急调货的单位成本；
步骤S32：利用基于二次函数分解的方法，推导下述分量函数ft和gt以及决策参数，进而决定最优决策；其中，ft和gt都为分量函数表示为公式(5)、(6)和(2)，它以反向方式运行，计算从周期T到周期1的参数；
本发明实施例提出了一个多项式时间算法，称为基于二次函数分解的方法，用于推导分量函数和策略参数，进而完全决定最优策略。该算法是通过利用凸性和基于二次函数分解方法中值函数ft和gt的性质开发的，ft和gt都为分量函数表示为下述公式(5)、(6)、(2)，它以反向方式运行；计算从周期T到周期1的参数；
为了简化算法的复杂度分析，采用状态截断法：假设对于每个分量函数，其变量必须位于可行域[M1，M2]中，其中M1≤M2且M≡M2-M1，通过常规订购或紧急调货库存来满足需求；
gt((zii，uii)-de)＝gt(ziii，uiii) (6)
其中，Gt如公式(7)所示，hi表示一个单位的持有成本；在t周期，t＝1，...，T，Dt表示随机需求；α表示贴现因子且α∈(0，1]；ci表示一个单位的订购成本；bj表示每个周期的单位惩罚成本，其中b-1代表因延迟交货而导致的客户满意度损失，并且当j＞1时bj表示客户愿意提早交货，/>pi表示库存从任何上游阶段i紧急调货到需求实现后的阶段1的单位成本，/>
在每个周期t，其中t＝T，...，1，从ft+1的分量函数中依次推导出gt的分量函数，并且根据gt的分量函数更新ft的分量函数，公式(8)在末端周期持有，其中满足公式(9)～(11)；
ηi，j，T+1(v)≡0，i＝1，…，N和j＝0，…，τ-1 (11)
其中，在周期t＝1，…，T+1，公式(5)、(6)、(2)分别是凸的且是基于二阶函数分解的函数；存在分量函数和ηi，j，t，其中i＝1，...，N；j＝-1，...，τ-1，从而得到下述公式(12)：
同样，也存在分量函数和ζi，j，t，其中i＝1，...，N；j＝-1，...，τ，从而得到公式(13)：
其中，如果τ＝0并且p2＞bT，那么ft和gt是基于一阶可分解，则式(12)中的ηi，j，t不再存在，当时，函数ζi，j，t成为关于/>单变量函数；
由gt的基于二阶函数分解的性质和zii＝zi，将公式(5)进行问题最小化，得到下述公式(14)：
其中i＝1，...，N，函数如公式(15)所示：
其中，包含决策变量和积压状态zi对于任何k≠i且与/>无关；因此每个阶段i的订购决策可以通过求解/>得出，对于每个阶段，库存订购决策/>仅仅根据zi和/>得出，即/>与在这个序列系统N阶段的订购决策没有联系；
当gt在中是凸的，当/>在/>中是线性的情况下它迫使Ui，t在/>中是凸的；
定义每个阶段i＝1，...，N，阶级基准存货水平si，j，t的目标在于完成被积压的j类别的订单，其中j＝-1，...，τ-1，因此得到下述公式(16)：
其中，如果存在多个极小值，在si，j，t中选择最小的；如果决策变量v在区域 中，那么参数si，j，t是Ui，t(v，zi)的无约束全局最优值。
在每个周期，一个与积压状态相关的阶级基准库存策略对于每个阶段的订购决策是最优的。当τ＝0时，阶级基准库存水平可以简化为常数参数，因为函数 在公式(15)中消失。阶段i的最优阶级库存水平是当目标是完成j类积压订单时，将使用候选阶级基准库存水平si，j，t。对于τ≥1，如果目标是耗尽j-1类的积压产品，而没有完成j类的积压产品，那么也可以将最优阶级库存水平同步到/>最优阶级基准库存水平由积压状态所在的范围决定。
在时期t的订购决策之后，库存紧急调货和分配决策可以通过公式(2)中的最小化问题做出；由于ft+1是基于二阶函数分解的，这个最小化问题可以重新表示为公式(17)：
对于每个积压类别j，其中j＝0，...，τ，对于i＝0，...，N使用i+1阶段的本地库存来定义供给水平φi，j，t目标如公式(18)所示：
如果公式(18)中存在多个极小值，选择最小的一个，其中，设和/> 当Gt在公式(7)中是凸的，则参数φi，j，t是公式(7)中y的无约束全局最优解，当时成立；
步骤S33：由步骤S32可知，上述公式中si，j，t和φi，j，t为未知参数，为了求解si，j，t和φi，j，t，进行如下步骤：
根据ft+1的分量函数，计算φi，j，t如公式(18)所示：
其中，φi，j，t表示定量供应水平，其中i＝0，...，N；j＝0，...，τ；η表示分量函数，且分量函数中i＝1，...，N；k＝1，…，K；t＝1，...，T；v表示决策变量且u表示分量函数且与一个阶级的库存水平相关联；其中N表示库存系统中的阶级；T表示周期；对于每个阶段i，τ表示参数；
步骤S34：更新分量函数其中j＝-1，...，τ；更新分量函数/>其中i＝1，…，N和更新分量函数ζi，j，t(v)，其中i＝1，...，N且j＝0，...，τ；由此可得下述公式(13)：
其中，ζ表示为分量函数；u和z表示分量函数且与一个阶级库存水平相关联；
步骤S35：当i＝1，...，N和j＝-1，...，τ-1，si，j，t如公式(16)所示：
si，j，t是Ui，t(v，zi)的无约束全局最优；0 V v表示为max{0，v}；其中Ui，t(v，zi)如下下述公式(19)所示：
步骤S36：更新分量函数其中j＝-1，...，τ-1；更新分量函数/>其中i＝1，...，N；更新分量函数ηi，j，t(v)其中i＝1，...，N且j＝0，...，τ-1；
步骤S37：根据周期t＝T，...，1，重复步骤S33～S36。
本发明公开的一种基于二阶函数分解法的库存决策方法，开发了一个多项式时间算法来计算库存最优策略，发现了一个基于二阶函数分解的算法进行最优的库存决策且允许两个不同的顺序属性，表明最优决策应通过比较两个顺序属性下状态变量的相对顺序来进行。还可以应用基于二阶函数分解方法的属性为以服务时间为目标的分散系统设计了一种协调机制，包括诱导惩罚和诱导补偿。基于二阶函数分解算法的属性还可以用于其他具有以服务时间为目标特性的业务问题。例如，在大规模定制中，卖家通常会先收到消费者订单，然后再制作最终产品。为及时服务消费者，基于二阶函数分解算法的属性可供卖家高效、恰当地为半成品做出订购和加急决策，也可以用于直播电商，现在Tiktok等平台比较常见，可以做厂商库存决策，设置最大销售量等等。
由于在每个周期以及每个阶段的库存订购决策可以相互独立地做出，并且阶级基准库存策略对于每个阶段都是最优的，其中阶级基准库存水平是积压状态的显式函数。供给策略对于库存紧急调货和分配是最佳的，其中供给水平也是是库存和积压状态的显式函数。一般来说，优先对库存进行紧急调货然后进行分配库存，以将积压的总量减少到供给水平，并始终在较低的阶级第一次紧急调货库存，并在较早的到期日第一次解决积压库存。本发明揭示了供给策略的新层次结构，尽管策略参数与状态相关，但由于依赖关系的显式表达，为了使得库存的决策达到最优化，本发明提供的多项式时间算法来获得最佳策略，为企业创造良好的口碑与经济效应。
实施例二
如图2所示，本发明实施例提供了一种基于二阶函数分解法的库存决策系统，包括下述模块：
确定阶级基准库存决策模块21，用于对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为Si，t(zi)，其中，t为周期t＝1，...，T；zi为积压状态；
确定最优紧急调货决策模块22，用于对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品用来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示：/>
求解阶级基准库存决策和最优紧急调货决策模块23，用于利用二阶函数分解法，分别求解Si，t(zi)和获取库存决策方法。
提供以上实施例仅仅是为了描述本发明的目的，而并非要限制本发明的范围。本发明的范围由所附权利要求限定。不脱离本发明的精神和原理而做出的各种等同替换和修改，均应涵盖在本发明的范围之内。

Claims (3)

1.一种基于二阶函数分解法的库存决策方法，其特征在于，包括：
步骤S1：对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为Si,t(zi)，其中，t为周期且t＝1，…,T；zi表示任意周期开始时的积压状态，具体包括：
公式(1)中τ≥1，并且当τ＝0时给定Si,t(zi)＝si,-1,t；si,j,t表示阶级基准存货水平；表示周期开始时的积压状态；
公式(1)表示在第i个阶段尽可能将阶级库存水平提高至Si,t(zi)，如果当下第i阶段的阶级库存水平低于Si,t(zi)，则选择从第i+1阶段订货，使得库存水平尽可能趋近Si,t(zi)；如果当下第i阶段的阶级库存水平高于Si,t(zi)，则不进行订货；
步骤S2：对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示：/>
其中，ziii和uiii分别是需求实现之后，但在库存催交和分配决策之前的积压和库存状态，具体包括：
定义-y表示当期周期结束时的剩余积压订单，需满足/>成立，是当期周期已完成的积压订单工作量；
则是公式(2)最小化问题的最优解；由y的定义可知/>是在周期t时剩余积压库存的最优数量；
为了使得两层的分层分配决策对于每个时期的库存紧急调货和分配决策最优，在状态(ziii,uiii)下，在周期t＝1,…,T中的分配水平由下述公式(3)所示，其中，T表示周期：
公式(3)中τ≥1，并且当τ＝0时给定其中当j＝0,…,τ时，Rj,t(uiii)如下述公式(4)所示：
其中，i使用在右上标来区分同一时期不同事件之后的状态，i为观察每个周期开始时的系统状态，ii为基于观察到的系统状态同时为N个阶段做出订购决策，iii为新需求实现；而i使用在右下标表示处于的第i阶段；
ui和zi表示任意周期开始时的阶级库存和积压状态， 表示第i阶段的阶级库存水平，/>xk表示在t周期阶段k的库存水平；
其中/>表示为j类别的总积压水平，定义/>在(-∞，0]，
wk为第k类别的积压库存量；/>表示第i阶段的阶级库存水平；
zii和uii分别是订购决策后的积压和库存状态；zii＝zi和uii＝ui+q；q表示订购决策；
ziii和uiii分别是需求实现之后但在库存催交和分配决策之前的积压和库存状态；ziii＝zii-de和uiii＝uii-de；d表示已经实现的需求；e是一个所有元素都为1的向量；
φi,j,t表示定量供应水平，其中i＝0,…,N；j＝0,…,τ；
步骤S3：利用二阶函数分解法，分别求解Si，t(zi)和获取库存决策方法。
2.根据权利要求1所述的基于二阶函数分解法的库存决策方法，其特征在于，所述步骤S3：利用二阶函数分解法，分别求解S和获取库存决策方法，具体包括：
步骤S31：求解S和须满足下述约束条件：
对于单位持有成本需满足h1>…>hN>hN+1≡0；表明在终端周期T+1内，没有新的需求出现那么意味着所有的剩余库存将被清除，任何在周期τ需要新实现的需求不能迟于周期t+τ,且有j个类别的积压订单(j＝0,…,τ)，还剩余j个周期到它们的到期日，而任何未在到期日之前完成的积压订单都被归类到-1类别中,且类别τ收集每个时期需新实现的需求，因此每个周期的开始或者结束时是没有积压的；
对于单位紧急调货成本需满足其中i＝2,…,N，且/>
对于单位惩罚成本满足b-1≥…≥bτ-1≥bτ≡0，表明如果发生延迟交货应向顾客支付实际的罚金，且允许在需求实现后的单位成本为其中ci表示单位订购成本，将库存从任何上游阶段i紧急调货到阶段1，其中/>是从与阶段i到阶段1按单位序列订购相比，从阶段i紧急调货的单位成本；
步骤S32：利用基于二次函数分解的方法，推导下述分量函数ft和gt以及决策参数，进而决定最优决策，其中，ft和gt都为分量函数表示为公式(5)、(6)和(2)，它以反向方式运行,计算从周期T到周期1的参数；
假设对于每个分量函数，其变量必须位于可行域[M1,M2]中，其中M1≤M2且M≡M2-M1，通过常规订购或紧急调货库存来满足需求；
gt((Zii,uii)-de)＝gt(ziii,uiii) (6)
其中，Gt如公式(7)所示，hi表示一个单位的持有成本；在t周期，t＝1,…,T，Dt表示随机需求；α表示贴现因子且α∈(0,1]；ci表示一个单位的订购成本；bj表示每个周期的单位惩罚成本，其中b-1代表因延迟交货而导致的客户满意度损失,并且当h>1时bj表示客户愿意提早交货，/>pi表示库存从任何上游阶段i紧急调货到需求实现后的阶段1的单位成本，/>在每个周期j，其中t＝T,…,1,从ft+1的分量函数中依次推导出gt的分量函数，并且根据gt的分量函数更新ft的分量函数，公式(8)在末端周期持有，其中满足公式(9)～(11)；
ηi,j,T+1(v)≡0,i＝1,…,N和j＝0,…,τ-1 (11)
其中，在周期j＝1,…,T+1,公式(5)、(6)、(2)分别是凸的且是基于二阶函数分解的函数；存在分量函数和ηi,j,t，其中i＝1,…,N；j＝-1,…,τ-1,从而得到下述公式(12)：
同样，也存在分量函数和ζi,j,t，其中i＝1,…,N；j＝-1,…,τ,从而得到公式(13)：
其中，如果τ＝0并且p2>bT，那么ft和gt是基于一阶可分解，则式(12)中的ηi,j,t不再存在，当时，函数ζi，j，t成为关于/>单变量函数；
由gt的基于二阶函数分解的性质和zii＝zi,将公式(5)进行问题最小化，得到下述公式(14)：
其中i＝1，…，N,函数如公式(15)所示：
其中，包含决策变量和积压状态zi对于任何k≠i且与/>无关；因此每个阶段i的订购决策可以通过求解/>得出,对于每个阶段，库存订购决策/>仅仅根据zi和/>得出，即/>与在这个序列系统N阶段的订购决策没有联系；
当gt在中是凸的，当/>在/>中是线性的情况下它迫使Ui，t在/>中是凸的；
定义每个阶段i＝1，…，N，阶级基准存货水平si，j，t的目标在于完成被积压的j类别的订单，其中j＝-1，…，τ-1，因此得到下述公式(16)：
其中，如果存在多个极小值，在si,j,t中选择最小的；如果决策变量v在区域 中，那么参数si，j，t是Ui，t(v，zi)的无约束全局最优值；
在时期t的订购决策之后，库存紧急调货和分配决策可以通过公式(2)中的最小化问题做出；由于ft+1是基于二阶函数分解的，这个最小化问题可以重新表示为公式(17)：
对于每个积压类别j,其中j＝0，…，τ,对于i＝0,…,N使用i+1阶段的本地库存来定义供给水平φi,j,t目标如公式(18)所示：
如果公式(18)中存在多个极小值，选择最小的一个，其中，设和/> 当Gt在公式(7)中是凸的，则参数φi,j,t是公式(7)中y的无约束全局最优解，当/> 时成立；
步骤S33：由步骤S32可知，上述公式中si,j，t和φi，j，t为未知参数，为了求解si,j,t和φi，j，t，进行如下步骤：
根据ft+1的分量函数，计算φi,j,t如公式(18)所示：
其中，φi，j，t表示定量供应水平，其中i＝0，…，N；j＝0，…，τ；η表示分量函数，且分量函数中i＝1，…，N；k＝1，…，K；t＝1，…，T；v表示决策变量且u表示分量函数且与一个阶级的库存水平相关联；其中N表示库存系统中的阶级；T表示周期；对于每个阶段i，τ表示参数；
步骤S34：更新分量函数其中j＝-1，…，τ；更新分量函数/>其中i＝1，…,N和更新分量函数ζi，j，t(v)，其中i＝1，…，N且j＝0，…,τ；由此可得下述公式(13)：
其中，ζ表示为分量函数；u和z表示分量函数且与一个阶级库存水平相关联；
步骤S35：当i＝1，…，N和j＝-1，…，τ-1，si，j，t如公式(16)所示：
si，j，t是Ui，t(v，zi)的无约束全局最优；0∨v表示为max{0,v}；其中Ui,t(v,zi)如下下述公式(19)所示：
步骤S36：更新分量函数其中j＝-1,…,τ-1；更新分量函数/>其中i＝1,…,N；更新分量函数ηi,j,t(v)其中i＝1,…,N且j＝0,…,τ-1；
步骤S37：根据周期t＝T,…,1，重复步骤S33～S36。
3.一种基于二阶函数分解法的库存决策系统，其特征在于，包括下述模块：
确定阶级基准库存决策模块，用于对于常规订货，确定在第i阶段的阶级基准库存的决策为Si,t(zi)，其中，t为周期且t＝1,…,T；zi表示任意周期开始时的积压状态，具体包括：
公式(1)中τ≥1，并且当τ＝0时给定Si,t(zi)＝si,-1,t；si,j,t表示阶级基准存货水平；表示周期开始时的积压状态；
公式(1)表示在第i个阶段尽可能将阶级库存水平提高至Si,t(zi)，如果当下第i阶段的阶级库存水平低于Si,t(zi)，则选择从第i+1阶段订货，使得库存水平尽可能趋近Si,t(zi)；如果当下第i阶段的阶级库存水平高于Si,t(zi)，则不进行订货；
确定最优紧急调货决策模块，用于对于紧急调货，为降低系统运作成本，利用紧急调货从上游调取产品用来满足需求，设定最优的紧急调货决策用表示：/>具体包括：
定义-y表示当期周期结束时的剩余积压订单，需满足/>成立，是当期周期已完成的积压订单工作量；
则是公式(2)最小化问题的最优解；由y的定义可知/>是在周期t时剩余积压库存的最优数量；
为了使得两层的分层分配决策对于每个时期的库存紧急调货和分配决策最优，在状态(ziii,uiii)下，在周期t＝1,…,T中的分配水平由下述公式(3)所示，其中，T表示周期：
公式(3)中τ≥1，并且当τ＝0时给定其中当j＝0,…,τ时，Rj,t(uiii)如下述公式(4)所示：
其中，i使用在右上标来区分同一时期不同事件之后的状态，i为观察每个周期开始时的系统状态，ii为基于观察到的系统状态同时为N个阶段做出订购决策，iii为新需求实现；而i使用在右下标表示处于的第i阶段；
ui和zi表示任意周期开始时的阶级库存和积压状态， 表示第i阶段的阶级库存水平，/>xk表示在t周期阶段k的库存水平；
其中/>表示为j类别的总积压水平，定义/>在(-∞，0]，
wk为第k类别的积压库存量；/>表示第i阶段的阶级库存水平；
zii和uii分别是订购决策后的积压和库存状态；zii＝zi和uii＝ui+q；q表示订购决策；
ziii和uiii分别是需求实现之后但在库存催交和分配决策之前的积压和库存状态；ziii＝zii-de和uiii＝uii-de；d表示已经实现的需求；e是一个所有元素都为1的向量；
φi,j,t表示定量供应水平，其中i＝0，…，N；j＝0，…，τ；
求解阶级基准库存决策和最优紧急调货决策模块，用于利用二阶函数分解法，分别求解Si，t(zi)和获取库存决策方法。
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