CN113721159A - 一种面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，属于电池技术领域，包括以下步骤：S1：对恒流充电过程进行电压分段，以得到若干随机局部充电片段；S2：提取出每个随机充电片段下的电量增量ΔQ，得到恒流充电过程的电量增量序列，作为估计电池健康状态的特征数据；S3：对于提取出的电量增量序列，对其不同的统计学特性与电池健康状态的相关性进行分析，选取与高相关性的统计学特征作为健康因子；S4：使用稀疏高斯过程回归方法进行电池健康状态估计。不同于其他方法中需要对不同的充电片段分别建立不同的估计模型，本发明仅需建立单个估计模型，就可利用任意随机局部充电片段实现电池健康状态的在线估计，且提高了估计的准确性。
Description
技术领域
本发明属于电池技术领域，涉及一种面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法。
背景技术
电池技术的快速发展促进了电动交通工具的蓬勃发展，使得电动车辆(EVs)被大规模应用。中国和欧洲各国政府出台了一系列政策促进电动车辆产业的发展，并分别计划在2030年前有800万辆和300万辆电动车辆上路。电动汽车产销量不断增长的同时，也暴露了一系列未解决的关键技术问题，导致安全事故频发、消费者恐慌以及电池系统能效低下。为了保证电动汽车的健康可持续发展，迫切需要解决电池安全监测、容量残值评估、预测运维等问题，而这些问题的解决深度依赖于电池健康状态(State of health,SOH)的准确估计。
电池健康状态的提出是为了量化电池的老化程度。现有的研究表明，电池老化主要是由于电池内部发生不可逆的电化学反应导致的，其直观的现象是电池内阻的增加和容量的减少。当前，已提出了许多用于计算电池内阻的方法，如电化学阻抗谱(EIS)、混合脉冲功率表征(HPPC)和基于等效电路模型的参数识别(ECMs)。然而，针对电池容量，由于实际应用中不会出现电池满充电、满放电的过程，无法对电池容量进行直接测量。由于电池容量受温度、电流倍率、老化程度和历史老化路径综合影响，使得电池容量的准确估计更具挑战性，吸引了许多研究者对其展开研究。本发明同时研究了基于容量的电池健康状态估计方法。在这一方案中，电池健康状态被定义为实际容量与额定容量的比值，故新电池的健康状态为100％。对于应用于车辆的电池，当其健康状态将为80％时将其视为到达寿命终点(EOL)。在车辆动力电池寿命已尽时，希望将其进行二次利用，在此情况下也需要对其进行健康状态评估。
一般而言，有三类方法用于估计电池健康状态。第一类是直接计算法，通过捕获电池工作过程中接近满充和满放的数据，由此根据定义计算电池实际容量。另一种改进方法是在较大的电池SOC变化(△SOC)过程中测量累计电量(Q)，并通过Q/△SOC得到实际容量。然而，该方法前提是基于电压修正，获得高精度的SOC估计。此外，通过一系列的正交实验，可以建立一个用于直接计算不同温度、不同电流倍率、不同放电深度(DOD)下电池容量退化的半经验模型。
第二类是基于模型的方法，主要基于等效电路模型和电化学模型。在等效电路模型中，电池容量可以被视为模型的一个参数或状态，因此利用成熟的最小二乘法和卡尔曼滤波算法可以实现容量的在线估计。在电池电化学模型中，电池容量可以从相关的电化学参数中推导得到。然而，由于复杂的操作条件和耦合的退化机制，难以在电池生命周期建立一个准确的电池模型。
第三类是数据驱动方法，将电池健康状态的估计视为典型的回归问题。诸如支持向量机(SVM)、相关向量机(RVM)、长短时记忆网络(LSTM)、卷积神经网络(CNN)和高斯过程回归(GPR)等高级机器学习方法已经被成功地应用于建模电池健康状态和输入数据之间的非线性关系。
为了建立准确的数据驱动电池健康状态估计模型，有必要事先提取出与电池容量高度相关的健康因子。容量增量与差分电压分析不仅可以识别电池的老化机理，也可以提供估计健康状态所需要的健康因子。该方法的缺点是需要在低电流倍率下进行操作。在车辆应用中，最常用的充电协议是恒流-恒压充电过程，该过程在电池的整个寿命周期中较为稳定。可以从上述充电过程中提取出若干种不同的健康因子用以表征电池健康信息，典型的健康因子如恒流或恒压充电时间、电压曲线斜率、等电压间隔时间差和等时间间隔电压差。然而，为了提取这些健康因子，往往需要一个完整的或特定的充电过程。由于驾驶员的充电行为具有随机性，因此电池的充电过程是不完整，且充电起止时刻是不固定的。为了满足实际的使用的需求，亟需建立一个基于随机局部充电过程的电池健康状态估计模型。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，包括以下步骤：
S1：对恒流充电过程进行电压分段，以得到若干随机局部充电片段；
S2：提取出每个随机充电片段下的电量增量ΔQ，得到恒流充电过程的电量增量序列，作为估计电池健康状态的特征数据；
S3：对于提取出的特征数据，对其不同的统计学特性与电池健康状态的相关性进行分析，选取高相关性的统计学特征作为健康因子；
S4：使用稀疏高斯过程回归方法进行电池健康状态估计。
进一步，步骤S1中，对于给定的某个恒流充电过程，基于起始电压Vstart、结束电压Vend和电压间隔ΔV，将其划分为Li个电压数据段：
通过设定固定的随机片段长度n以及步长c，得到若干个随机充电片段。对于上述给定的某个恒流充电过程而言，随机充电片段数为：
其中floor(.)函数表示得到不大于输入变量的最大整数。
进一步，步骤S2中，电量增量序列△Q＝Q–Q1代替实际充入电量的信息Q＝[Q1,Q2,…,Qn]，将电量增量序列中所有ΔQ的均值与标准差作为用于描述电池健康状态的健康因子。
进一步，步骤S3中，分析电量增量序列的均值ave_△Q和标准差std_△Q与健康状态的相关性；利用皮尔逊相关性系数ρ衡量两变量间的线性相关程度，数学表达式如下：
其中，xj为健康因子序列，y为电池SOH序列，
y分别为两者均值。
进一步，步骤S4中所述的高斯过程为：对于任意输入集合X＝[x1,x2,…,xn]，如果其函数F(x)＝[f(x1),f(x2),…,f(xn)]的概率分布服从联合高斯分布，则称F(x)为一个GP，表达为f(x)～GP(m(x),k(xi,xj))，其中均值函数m(x)和协方差函数k(xi,xj)定义为：
m(x)＝E(f(x)) (4)
k(xi,xj)＝E[(f(xi)-m(xi))(f(xj)-m(xj))] (5)
当先验信息未知时，m(x)设为0；
协方差函数k(xi,xj)为平方指数核函数，定义为：
其中，σf和l为超参数，分别决定了核函数的振幅以及各个输入的重要程度。
进一步，步骤S4中，电池SOH估计的观测值中包括高斯白噪声，定义为：
其中，y为观测值，x为输入的健康因子，f(x)为关于健康因子与电池SOH的隐函数，为一个高斯过程，该高斯过程的均值m(x)为0，观测值的先验分布定义为：
其中，Kx,x为一个由k(xi,xj)组成的n维协方差矩阵；
根据最大似然方法调整超参数集Θ＝[σf,l,σn]，其表达式为：
其中，n为训练样本数，In为n维单位矩阵，然后通过共轭梯度法获取最佳超参数；
对于新采集的数据集x*，其对应的预测输出为f*，f与f*的联合先验分布表示为：
根据贝叶斯定理，推导出的预测后验分布为：
p(f*|X,y,x*)＝N(μ*,∑*) (11)
其中
其中，均值μ*提供了对f*的最佳预测，预测的不确定性通过方差∑*描述，95％置信区间通过
计算。
进一步，步骤S4所述使用稀疏高斯过程回归方法进行电池健康状态估计，包括以下步骤：
引入诱导变量u＝[u1,u1,…,um]来修改联合先验分布p(f,f*)，输入集u被称为诱导点集Xu，从原始训练集中选取，且p(u)＝N(0,Ku,u)，预测输出f*和训练输出f条件独立，其联合先验分布如等式(14)所示：
通过完全独立训练条件式FITC近似法，基于完全独立假设，训练条件q(f|u)如等式(15)所示：
其中，
同时测试条件保持精确如等式(16)所示：
q(f*|u)＝p(f*|u) (16)
通过向等式(14)中插入诱导条件，并对u积分，联合先验分布推导为：
根据贝叶斯定理，预测的后验分布如等式(18)所示：
其中，
其中，Ω＝(Ku,u+Ku,xΛ-1Kx,u)-1，
均值
提供了对f*的最佳预测，预测的不确定性通过方差
衡量，95％置信区间通过
计算。
本发明的有益效果在于：
1.提出了基于随机局部充电数据的电池健康状态估计方法，不同于其他方法中需要对不同的充电片段分别建立不同的估计模型，本发明仅需建立单个估计模型，就可利用任意随机局部充电片段实现电池健康状态的在线估计。
2.提出了一种准确性更高、计算负担更低的基于稀疏高斯过程回归的电池健康状态估计模型，解决了普通高斯回归过程模型在样本规模过大时导致的训练时间复杂度过大、模型过拟合等问题。
3.与其他典型机器学习方法(如线性多元线性回归、支持向量机、相关向量机、卷积神经网络)相比，该方法具有最好的估计精度。
本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：
图1为本发明提出的SOH估计原理示意图；
图2为三种类型电池的容量随循环变化图，图2(a)为1.1Ah磷酸铁锂电池的容量随循环变化图，图2(b)为3.2Ah镍钴铝三元锂电池的容量随循环变化图，图2(c)为3Ah镍钴锰三元锂电池的容量随循环变化图；
图3为电池的典型充电过程图，图3(a)为电流和电压随时间变化图，图3(b)为电流和电量随时间变化图；
图4为各个电池健康因子与SOH的相关性；图4(a)为电量增量随老化循环演化图；图4(b)为每个片段电量增量的均值和方差分别与SOH的相关性分析结果；图4(c)为第一个随机充电片段中电量增量均值ave_ΔQ与SOH的相关性；图4(d)为第一个随机充电片段中电量增量标准差std_ΔQ与SOH的相关性；
图5为三种类型电池的两个健康因子相关性分析结果；图5(a)为镍钴铝三元锂电池单体电量增量均值；图5(b)为镍钴铝三元锂电池单体的电量增量标准差；图5(c)为镍钴锰三元锂电池单体电量增量均值；图5(d)为镍钴锰三元锂电池单体电量增量标准差；图5(e)为磷酸铁锂电池单体电量增量均值；图5(f)为磷酸铁锂电池单体电量增量标准差；
图6为基于稀疏GPR模型的镍钴铝三元锂电池SOH估计结果，图6(a)为训练结果；图6(b)为测试结果。
具体实施方式
以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。
其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。
请参阅图1～图6，以某个镍钴铝三元锂电池单体为例，阐述本发明的实施方式。
首先进行电压分段。如图1所示，首先对于给定的某个恒流充电过程，基于起始电压(Vstart)、结束电压(Vend)和电压间隔(ΔV)，可以将其划分为Li个电压数据段，其数量可由等式(1)计算：
通过设定固定的随机片段长度n以及步长c，得到若干个随机的充电片段。为了降低计算负担，本案例将步长c设置为2。对于上述给定的某个充电过程而言，随机充电片段数为：
其中floor(.)函数表示得到不大于输入变量的最大整数。
图3展示了在一个典型的恒流充电过程中获取随机充电片段的方法。
其次进行特征数据提取。如图2所示，对于镍钴铝三元锂电池，在不同的放电条件下，随着循环次数的增加，电池发生不同程度的老化，SOH也随之下降。由于上述过程得到的随机充电片段未包含实际充入电量的信息Q＝[Q1,Q2,…,Qn]，因此提出了电量增量序列△Q＝Q–Q1进行代替计算。由于电量增量随着电池老化程度的加深而降低，因此电量增量序列可作为估计电池健康状态的特征数据。对于该单体老化循环中的每一个充电过程，通过安时积分法得到不同电压段下对应充入电量的数值，从而得到每个循环的电量增量序列△Q。如图4(a)所示，随着电池的老化，其充入电量曲线也随之下移。电池充电过程的电量增量序列具有丰富的信息，可以用于估计电池SOH。
然后进行相关性分析，对于提取出的特征数据，需要对其不同的统计学特性与电池健康状态的相关性进行分析。本发明主要分析电量增量序列的均值(ave_△Q)和标准差(std_△Q)与健康状态的相关性。一般而言，在数据驱动模型中，输入与输出变量的相关性系数越大，模型的准确程度就越高。通过皮尔逊相关性系数(ρ)的计算，得到电量增量的均值和标准差分别与SOH的相关性系数，结果如图4所示。其中，ρ的计算方法如等式(3)所示：
其中，xj为健康因子序列，y为电池SOH序列，
y分别为两者均值。
然后进行SOH估计。由于其在非参数建模以及概率预测领域具有的优势，高斯过程回归(GPR)已经被成功地应用在许多回归问题中。在电池健康状态估计中，将高相关性的健康因子作为输入，可以实现对SOH的精确估计。然而，随着数据集规模的增长，普通高斯过程回归的计算复杂度急剧增加，导致其难以在实际的电动汽车上实现在线应用。为了克服此困难，本发明提出了一种基于稀疏高斯过程回归(SGPR)的SOH估计方法。
高斯过程(GP)可以被定义为一组服从高斯分布的有限随机变量。形式上，对于任意输入集合X＝[x1,x2,…,xn]，如果其函数F(x)＝[f(x1),f(x2),…,f(xn)]的概率分布服从联合高斯分布，则称F(x)为一个GP，并可将其表达为f(x)～GP(m(x),k(xi,xj))，其中均值函数m(x)和协方差函数k(xi,xj)可以定义为：
m(x)＝E(f(x)) (4)
k(xi,xj)＝E[(f(xi)-m(xi))(f(xj)-m(xj))] (5)
当先验信息未知时，常将m(x)设为0。协方差函数k(xi,xj)也称为核函数，对于GP的估计精确性具有重大影响。对于具体的应用，可以基于先验知识设置联合核函数以获得更好的估计表现。在若干种核函数中，平方指数核函数的应用最为广泛，其定义为：
其中，σf和l为超参数，分别决定了核函数的振幅以及各个输入的重要程度。
电池SOH的估计是典型的回归问题，观测值中通常包含了高斯白噪声，其定义为：
其中，y为观测值，x为输入健康因子，f(x)为关于健康因子与电池SOH的隐函数，为一个高斯过程。通过假设该高斯过程的均值m(x)为0，观测值的先验分布可以被定义为：
其中，Kx,x为一个由k(xi,xj)组成的n维协方差矩阵。为了提高估计的精确度，超参数集Θ＝[σf,l,σn]需要根据最大似然方法进行调整，其表达式为：
其中，n为训练样本数，In为n维单位矩阵。随后，通过一个基于梯度的优化算法获取最佳超参数。对于新采集的数据集x*，其对应的预测输出为f*。则f与f*的联合先验分布可表示为：
根据贝叶斯定理，推导出的预测后验分布为：
p(f*|X,y,x*)＝N(μ*,∑*) (11)
其中
其中，均值μ*提供了对f*的最佳预测，预测的不确定性通过方差∑*描述，95％置信区间可以通过
计算。
对于基于随机充电片段的SOH估计，如前所述，每个局部充电过程会产生数十个随机充电片段作为训练样本，因此在电池的全寿命周期内会产生数千个训练样本。由于等式(9)中存在的转置矩阵，对于拥有n个样本的训练集，通过常规的GPR方法优化超参数的时间复杂度是O(n3)。而根据等式(12)，一旦转置矩阵被确定下来，对于每个训练样本的常规GPR方法优化的时间复杂度就降为O(n2)。为了降低计算负担，一个常用的方法是通过引入诱导变量u＝[u1,u1,…,um]来修改联合先验分布p(f,f*)。相应的输入集u被称为诱导点Xu，可以从原始训练集中选取。诱导点的索引作为超参数，与核函数的参数一同在训练中被优化。对于本案例，设置诱导点数量为500。对于给定的诱导点，p(f,f*)可以改写成：
p(f,f*)＝∫p(f,f*|u)p(u)du (13)
由于预测输出f*和训练输出f条件独立，其联合先验分布如等式(14)所示：
前人提出了不同的方法近似得到诱导条件式q(f|u)和q(f|u)，典型的方法包括回归子集(SOR)近似法、确定性训练条件(DTC)近似法、部分独立训练条件(PITC)近似法和完全独立训练条件式(FITC)近似法。本发明中通过完全独立训练条件式(FITC)近似法，基于完全独立假设，训练条件q(f|u)如等式(15)所示：
其中，
同时测试条件保持精确如等式(16)所示：
q(f*|u)＝p(f*|u) (16)
通过向等式(14)中插入诱导条件，并对u积分，联合先验分布可以推导为：
根据贝叶斯定理，预测的后验分布如等式(18)所示：
其中，
其中，Ω＝(Ku,u+Ku,xΛ-1Kx,u)-1，
均值
提供了对f*的最佳预测，预测的不确定性通过方差
衡量，95％置信区间可以通过
计算。图6展示了使用该方法的SOH估计结果。通过上述方法，将训练过程的计算复杂度降为O(m2n)，其与n线性相关，同时对于每个训练样本估计的时间复杂度降为O(m2)。与常规GPR相比，稀疏GPR可以有效降低计算复杂度。一般地，较大的m会提高稀疏GPR的准确性，但同时会牺牲计算效率。
图5为三种不同类型电池在不同温度、放电倍率条件下，以电量增量的均值、方差作为健康因子，分别与SOH进行相关性分析的结果。对于镍钴铝三元锂(NCA)电池和镍钴锰三元锂(NMC)电池，大多数条件下两个健康因子与SOH的相关性系数大于0.9；对于磷酸铁锂(LFP)电池相关性系数则大于0.8。对于三种类型的电池，在25℃、1C放电倍率下，两个健康因子与SOH的相关性系数极高。温度与放电倍率对上述相关性系数具有明显影响，但没有发现特殊的规律。对于NCA和NMC电池，较低温度下可以获得较高的相关性系数；而较低温度对LFP电池的两个健康因子相关性系数有负面影响，并且该影响随着电流倍率增加而加重。
图6为基于稀疏GPR的NCA电池SOH估计结果。为了评估使用不同方法估计结果的效果，使用平均绝对误差(MAE)和均方根误差(RMSE)量化估计误差，并给出了95％置信区间。其计算方法如下：
其中，yi为真值，n为样本数目。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (7)
1.一种面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：包括以下步骤：
S1：对恒流充电过程进行电压分段，以得到若干随机局部充电片段；
S2：提取出每个随机充电片段下的电量增量ΔQ，得到恒流充电过程的电量增量序列，作为估计电池健康状态的特征数据；
S3：对于提取出的特征数据，对其不同的统计学特性与电池健康状态的相关性进行分析，选取高相关性的统计学特征作为健康因子；
S4：使用稀疏高斯过程回归方法进行电池健康状态估计。
2.根据权利要求1所述的面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：步骤S1中，对于给定的某个恒流充电过程，基于起始电压Vstart、结束电压Vend和电压间隔ΔV，将其划分为Li个电压数据段：
通过设定固定的随机片段长度n以及步长c，得到若干个随机充电片段。对于上述给定的某个恒流充电过程而言，随机充电片段数为：
其中floor(.)函数表示得到不大于输入变量的最大整数。
3.根据权利要求1所述的面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：步骤S2中，电量增量序列ΔQ＝Q-Q1代替实际充入电量的信息Q＝[Q1，Q2，...，Qn]，将电量增量序列中所有ΔQ的均值与标准差作为用于描述电池健康状态的健康因子。
4.根据权利要求1所述的面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：步骤S3中，分析电量增量序列的均值ave_ΔQ和标准差std_ΔQ与健康状态的相关性；利用皮尔逊相关性系数ρ衡量两变量间的线性相关程度，数学表达式如下：
其中，xj为健康因子序列，y为电池SOH序列，
y分别为两者均值。
5.根据权利要求1所述的面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：步骤S4中所述的高斯过程为：对于任意输入集合X＝[x1，x2，...，xn]，如果其函数F(x)＝[f(x1)，f(x2)，...，f(xn)]的概率分布服从联合高斯分布，则称F(x)为一个GP，表达为f(x)～GP(m(x)，k(xi，xj))，其中均值函数m(x)和协方差函数k(xi，xj)定义为：
当先验信息未知时，m(x)设为0；
协方差函数k(xi，xj)为平方指数核函数，定义为：
其中，σf和l为超参数，分别决定了核函数的振幅以及各个输入的重要程度。
6.根据权利要求5所述的面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：步骤S4中，电池SOH估计的观测值中包括高斯白噪声，定义为：
其中，y为观测值，x为输入的健康因子，f(x)为关于健康因子与电池SOH的隐函数，为一个高斯过程，该高斯过程的均值m(x)为0，观测值的先验分布定义为：
其中，Kx，x为一个由k(xi，xj)组成的n维协方差矩阵；
根据最大似然方法调整超参数集Θ＝[σfl，σn]，其表达式为：
其中，n为训练样本数，In为n维单位矩阵，然后通过共轭梯度法获取最佳超参数；
对于新采集的数据集x*，其对应的预测输出为f*，f与f*的联合先验分布表示为：
根据贝叶斯定理，推导出的预测后验分布为：
p(f*|X，y，x*)＝N(μ*，∑*) (11)
其中
其中，均值μ*提供了对f*的最佳预测，预测的不确定性通过方差∑*描述，95％置信区间通过
计算。
7.根据权利要求6所述的面向随机局部充电的数据驱动电池健康估计方法，其特征在于：步骤S4所述使用稀疏高斯过程回归方法进行电池健康状态估计，包括以下步骤：
引入诱导变量u＝[u1，u1，...，um]来修改联合先验分布p(f，f*)，输入集u被称为诱导点集Xu，从原始训练集中选取，且p(u)＝N(0，Ku，u)，预测输出f*和训练输出f条件独立，其联合先验分布如等式(14)所示：
通过完全独立训练条件式FITC近似法，基于完全独立假设，训练条件q(f|u)如等式(15)所示：
其中，
同时测试条件保持精确如等式(16)所示：
q(f*|u)＝p(f*|u) (16)
通过向等式(14)中插入诱导条件，并对u积分，联合先验分布推导为：
根据贝叶斯定理，预测的后验分布如等式(18)所示：
其中，
其中，Ω＝(Ku，u+Ku，xΛ-1Kx，u)-1，
均值
提供了对f*的最佳预测，预测的不确定性通过方差
衡量，95％置信区间通过
计算。
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