CN113705032B - 一种基于混合界面cms法的非谐调叶片模态分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，包含以下步骤：1)在局部坐标系下划分叶片、叶轮子结构，利用固定界面CMS法得到叶片子结构减缩矩阵；2)基于单扇区模型计算叶轮整圈减缩矩阵；3)基于所作假定，在各扇区叶片中引入非谐调影响；4)形成总体减缩矩阵，求解对应广义特征值问题，分析非谐调系统模态局部化特性。本发明采用合理假定，将原整圈模型维度减缩至单扇区模型维度，使得仅通过一个扇区也能够实现非谐调系统模态局部化特性分析；同时基于广义模态坐标的分析方式也克服了基于实际物理坐标分析模态局部化现象时工作量较大的缺点，使得问题分析时间大大减少，具有较大的工程应用价值。

Description

一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法

技术领域

本发明属于工程设计与计算领域，具体涉及一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法。

背景技术

叶片作为航空发动机等旋转常常工作在高温的运行条件下，承受复杂的交变应力载荷，易出现高周疲劳失效事故，产生巨大的经济损失。理想情况下叶片各扇区应该完全一致，但实际叶片常常会因为加工误差、运行磨损等因素出现各扇区叶片参数存在差异的现象，这种现象被称为非谐调现象。非谐调将使得叶片的振动能量被约束在部分叶片上，导致局部叶片的模态位移显著大于其他叶片，这种现象将一定程度上加剧叶片高周疲劳现象的出现；同时，模态振型的局部化也将使得非谐调叶片在周期性激振力作用下的响应出现局部化现象，这种响应局部化可以利用模态叠加法来进行描述。因此，对非谐调叶片模态局部化现象的研究非常必要，进行该研究有利于进一步探究减轻叶片高周疲劳现象的设计与优化方案。

而在进行非谐调叶片模态局部化现象研究时，由于非谐调现象的存在使得各扇区叶片参数存在差异，因此无法利用系统的周期对称性来降低问题规模，尤其对于以汽轮机末级长叶片为代表的大型透平叶片而言，为了追求计算精度，网格单元数常常处于百万级别，这使得传统基于整个系统的广义特征值问题的求解维度较大；此外一些维度减缩方法，比如固定界面CMS法，由于其保留有边界自由度，因此当网格划分较精细时问题规模仍处于较高水平；另一方面由于非谐调现象的随机性，在利用蒙特卡洛模拟分析叶片的模态局部化程度统计特性时，常常需要计算上千种工况，这将使得特征值问题维度较大时，针对非谐调现象的研究耗费较大的计算资源、系统较复杂时相关研究难以进行。综上所述，发展一种能够降低非谐调系统问题规模的模态局部化特性分析方法十分必要。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，以解决上述技术问题，该算法主要利用混合界面子结构模态综合法减缩问题维度，将所研究系统划分为叶片与叶轮，分别分析它们的动力学特性，并基于减缩矩阵的变换特点，在最后模态综合时引入相应的非谐调量，利用广义模态坐标进行非谐调长叶片模态局部化特性分析，以实现整个广义特征值问题的降维。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，包括以下步骤：

1)从整圈叶片-叶轮结构中划分出单扇区叶片-叶轮模型，并建立与之相对应的局部坐标系，在此基础上得到单个扇区的叶片减缩矩阵；

2)由循环对称矩阵的性质，基于步骤1)中得到的叶片减缩矩阵，利用复Fourier矩阵计算求得叶轮整圈加载模态，在此基础上利用该模态形成叶轮减缩矩阵；

3)通过各扇区叶片弹性模量改变来模拟非谐调对于系统动力学特性的影响，得到引入非谐调现象后各扇区叶片的减缩刚度矩阵，减缩质量矩阵仍与谐调系统相同；

4)将各扇区叶片减缩矩阵以及叶轮减缩矩阵组装至总体减缩矩阵中，求解对应的广义特征值问题，得到非谐调系统的固有频率以及减缩模态振型，减缩矩阵包含减缩刚度矩阵与减缩质量矩阵；在此基础上进行对非谐调叶片的模态局部化特性具体分析。

本发明进一步的改进在于，步骤1)利用固定界面子结构模态综合法形成叶片自由度维度减缩矩阵R，流程如下：

将叶片自由度划分为与叶轮相交的界面自由度i以及独立的内部自由度γ，以叶片刚度矩阵K为例，按照如下形式进行划分：

首先固定界面自由度，得到界面约束时叶片的主模态振型Φ_ii；之后依次释放每个界面自由度，得到某界面自由度模态位移为1而其他界面自由度位移为0时叶片自由度的约束模态振型Ψ_c，综合以上两种模态振型，得到叶片自由度的维度减缩矩阵R，对应的矩阵表达式以及坐标变换公式如下：

u＝Rq

式中，K^(b)以及M^(b)分别为原叶片自由度的刚度以及质量矩阵；以及/>分别为减缩后的叶片刚度矩阵以及质量矩阵；u为求解原广义特征值问题(K-λM)u＝0得到的特征向量；q为通过减缩矩阵描述的广义模态坐标；/>以及/>分别为原叶片刚度矩阵中对应于界面自由度以及内部自由度与界面自由度连接处的刚度矩阵分量；M_γγq、M_γiq、M_iγq分别为减缩后界面自由度以及内部自由度与界面自由度连接处的质量矩阵分量。

本发明进一步的改进在于，步骤2)中考虑了利用额外的Guyan减缩矩阵考虑了叶片对叶轮的动力学特性影响，该减缩矩阵求取方法为将叶片内部自由度位移静态凝聚到界面自由度上，设叶片整体自由度位移为x，界面处自由度位移为x_γ，则：

因此，用于考量界面处叶片对于叶轮影响的Guyan减缩矩阵为：

本发明进一步的改进在于，在得到Guyan减缩矩阵之后，将其装配到单扇区叶轮刚度矩阵的对应位置处，同样分别用γ和i分别表示界面自由度和除界面以外的其他自由度，得到的叶轮加载刚度矩阵以及质量矩阵/>如下所示：

本发明进一步的改进在于，步骤2)计算整圈加载模态的过程如下：

依据两处对称边界自由度以及其他去掉约束节点的自由度，此处统称为内部自由度，用下标i表示，l表示左侧对称边界上的自由度，r表示右侧对称边界上的自由度，以叶轮加载刚度矩阵为例，将其重新分块为如下形式：

当每个扇区的刚度、质量矩阵都在局部坐标系下建立时，整圈的叶轮刚度矩阵以及质量矩阵应该为循环对称矩阵，以整圈叶轮刚度矩阵为例，其表达式以及相应的循环对称矩阵生成元为：

其中符号Circu{}用于表示具有类似于左侧结构的循环对称矩阵；需要注意的是整圈叶轮刚度矩阵中已经计及了Guyan减缩矩阵的影响，利用复Fourier矩阵，能够将对应的刚度矩阵转化为块对角矩阵，设每个生成元矩阵的维度为M，根据循环矩阵的性质，转变过程有如下表达式：

式中：F_N表示维度为N×N的复Fourier矩阵，符号表示克罗内克积，上标*表示共轭转置，由于变化后的质量矩阵也具有类似的形式，因此原广义特征值问题被转化为：

求解第i个解耦的广义特征值问题，得到维度为M×n的特征向量q_i，其中n为第i个广义特征值问题需要求解的模态阶数，其物理意义为求取某特定节径数振动的前n阶模态振型，该广义特征值问题如下所示：

根据块对角化叶轮矩阵时采用的变换过程，能够得到对应于第i个广义特征值问题的第j阶整圈模态振型：

将求得的各阶模态按固有频率大小排列，同时仅保留所得特征向量中的k阶实模态成分以得到新的坐标变换矩阵，其中下标Dim表示叶轮自由度的整圈维度大小：

Γ＝[u]_Dim×k。

本发明进一步的改进在于，步骤3)中所指的非谐调是由于叶片-叶轮结构由于加工误差等随机因素导致的各扇区参数存在差异的现象，基于步骤(1)的叶片自由度减缩结果，依据非谐调程度修正后的减缩刚度矩阵为：

式中：η_nsec为第nsec个扇区的弹性模量修正因子，其值为第nsec个扇区叶片的实际固有频率与理想情况下固有频率之比。

本发明进一步的改进在于，步骤4)得到的整体刚度矩阵以及质量矩阵具有如下形式：

式中diag()表示利用括号内的元素生成对角矩阵；表示由于叶片内部自由度以及叶轮内部自由度不相交而引入的扩充质量减缩矩阵。

本发明进一步的改进在于，利用步骤4)得到的整体减缩刚度矩阵与质量矩阵，求解如下所示的广义特征值问题，得到减缩后的广义模态振型q^(global)：

广义模态振型中，各个扇区的模态坐标都是在局部坐标系中得到。

与传统的计算方法相比，采用本发明的分析方法至少具有以下有益效果：

一方面，本发明基于非谐调叶片本身的特点，忽略了叶轮刚度的变化以及叶轮刚度非谐调量对叶轮的影响，在极大程度上降低问题规模的同时也具有良好的精度；同时，将叶片与叶轮分别化分为子结构，使得最终需要求解的广义特征值问题由传统方法的一个高阶自由度数问题减少至本发明中的数个低阶自由度数问题，所需模型由原整圈模型简化为本扇区中的单扇区模型，极大提高了分析效率、简化了计算流程；此外，本发明的广义模态坐标均在各扇区的局部坐标系中建立，因此能够直接通过各阶广义模态坐标的大小判断模态局部化程度特点，而不需如传统方法中遍历整个扇区中的自由度求解结果以进行模态局部化特性分析，进一步提高了分析效率。

进一步的，所述步骤1)中，叶片边界处自由度应按照叶轮自由度边界处节点所对应的顺序排列，可以通过下列原则进行节点重排：

其中u为各自由度坐标向量，u₃表示各自由度轴向坐标，下标γ表示边界自由度数。find表示输出满足对应条件的元素索引。

进一步的，所述步骤2)中，由于叶轮自由度本身包含边界条件，因此需要作额外处理。施加的边界条件一般为约束选中节点的某些自由度，因此直接从原刚度矩阵以及质量矩阵中删去对应行列，仅在最后扩展模态时将这些节点的位移置0。这种处理方法能够避免最终形成的刚度矩阵病态或是因为浮点误差而出现减缩矩阵非正定的情况。对于存在节点自由度耦合的情况，可以通过拉氏乘子L提前对矩阵完成变换，然后按前述步骤进行边界条件添加，比如：

进一步的，所述步骤2)中，原维度为N×M的广义特征值问题被转化为N个相互解耦的M阶广义特征值问题。另一方面，由于通过有限元方法得到的刚度矩阵为实对称矩阵，并且考虑到Fourier矩阵的对称性质，事实上只有数个广义特征值问题是独立的。对于偶数个扇区的叶片-叶轮结构，独立的广义特征值问题只有N/2+1个；对于奇数个扇区的系统，独立的广义特征值问题仅有(N+1)/2个，进一步降低了需要求解的特征值问题的个数。

进一步的，所述步骤3)中，非谐调系数η_nsec仅在内部主模态处引入，而在减缩矩阵中直接乘以对应的非谐调系数的原因在于，变换矩阵R不取决于弹性模量的变化，因为(K-λM)u＝0以及η_nsec(K-λM)u＝0具有相同的特征向量也即具有相同的主模态，同时非谐调系数取值对于约束模态没有影响。另一方面，由于忽略了叶片刚度非谐调对于叶轮自由度的影响，使得针对叶轮自由度的减缩能够基于单扇区模型进行，大大降低了问题规模。

进一步的，所述步骤4)中，最终得到的减缩矩阵维度为保留的叶片以及叶轮主模态个数，与基于固定界面CMS法的减缩过程相比，本发明最终得到的减缩矩阵不包含界面自由度，因此克服了当界面自由度数较多时固定界面CMS法得到的减缩矩阵维度仍处于较高水平的缺点。

综上所述，本发明旨在提供一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法。一方面该分析方法与传统基于整体系统求解或是利用固定界面CMS法的减缩方法相比，其特征值问题的求解规模较小，能够实现利用较少的计算资源实现精度足够的非谐调叶片模态局部化特性分析；同时，由于各扇区变换矩阵的一致性，该方法利用广义模态坐标就能够实现模态局部化特性分析，而该坐标维度往往远低于传统方法中所使用的物理坐标，因此能够实现问题的高效解决。

附图说明

图1为一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法流程图；

图2为某20扇区航发压气机叶片-叶轮几何模型以及子结构划分示意图；

图3为某20扇区航发压气机单扇区叶轮子结构边界划分示意图，其中，图3(a)为界面自由度，图3(b)为周期对称自由度，图3(c)为约束自由度；

图4为某30扇区直板叶片-叶轮有限元模型以及子结构划分示意图；

图5为某30扇区直板非谐调叶片频率求解结果图；

图6为采用本发明保留不同阶数模态时频率求解结果与整圈模型对比情况图；

图7为某30扇区直板非谐调叶片局部化模态求解结果图。

具体实施方式

下面结合附图以及实例对本发明做进一步详细说明。

请参阅图1所示，为本发明一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法所对应的流程图，包括以下步骤：

1)从整圈叶片-叶轮结构中划分出单扇区叶片-叶轮模型，并建立与之相对应的局部坐标系，在此基础上得到子结构的扇区叶片自由度减缩矩阵。

具体而言，局部坐标系一般应沿扇区中心线取定，以便于后续模态局部化现象分析，子结构划分方法可参阅图2。进一步地，利用固定界面子结构模态综合法形成叶片自由度维度减缩变换矩阵R，将叶片自由度划分为与叶轮相交的界面自由度γ以及独立的内部自由度i，以叶片刚度矩阵为例，按照如下形式进行划分：

首先固定界面自由度，得到界面约束时叶片的主模态振型；之后依次释放每个界面自由度，得到某界面自由度模态位移为1而其他界面自由度位移为0时叶片自由度的约束模态振型，综合以上两种模态振型，得到叶片自由度的维度减缩矩阵R，对应的矩阵表达式以及坐标变换公式如下：

u＝Rq

式中，K^(b)以及M^(b)分别为原叶片自由度的刚度以及质量矩阵；以及/>分别为减缩后的叶片刚度矩阵以及质量矩阵；u为求解原广义特征值问题(K-λM)u＝0得到的特征向量；q为通过减缩矩阵描述的广义模态坐标。一般在减缩矩阵R中仅保留有限阶次的低阶模态。/>以及/>分别为原叶片刚度矩阵中对应于界面自由度以及内部自由度与界面自由度连接处的刚度矩阵分量；M_γγq、M_γiq、M_iγq分别为减缩后界面自由度以及内部自由度与界面自由度连接处的质量矩阵分量。

2)由循环对称矩阵的性质，基于步骤(1)中的叶片自由度减缩矩阵，利用复Fourier矩阵计算求得叶轮整圈加载模态。

参阅图3所示，单扇区叶轮子结构可以划分为界面自由度、内部自由度、周期对称边界自由度以及约束自由度。利用额外的Guyan减缩矩阵考虑了叶片对叶轮的动力学特性影响，该减缩矩阵主要求取方法为将叶片内部自由度位移静态凝聚到界面自由度上，设叶片整体自由度位移为x，界面处自由度位移为x_γ，则：

因此，用于考量界面处叶片对于叶轮影响的Guyan减缩矩阵为：

依据两处对称边界自由度以及其他去掉约束节点的自由度，此处统称为内部自由度，用下标i表示，l表示左侧对称边界上的自由度，r表示右侧对称边界上的自由度，以叶轮加载刚度矩阵为例，将其重新分块为如下形式：

当每个扇区的刚度、质量矩阵都在局部坐标系下建立时，整圈的叶轮刚度矩阵以及质量矩阵应该为循环对称矩阵，以整圈叶轮刚度矩阵为例，其表达式以及相应的循环对称矩阵生成元为：

注意到上式中所有元素均可以通过单个扇区的叶轮加载矩阵得到，因此针对整个系统的建模不再必要。其中符号Circu{}用于表示具有类似于左侧结构的循环对称矩阵。需要注意的是整圈叶轮刚度矩阵中已经计及了Guyan减缩矩阵的影响，利用复Fourier矩阵，能够将对应的刚度矩阵转化为块对角矩阵，设每个生成元矩阵的维度为M，根据循环矩阵的性质，转变过程有如下表达式：

式中：F_N表示维度为N×N的复Fourier矩阵，符号表示克罗内克积，上标*表示共轭转置。由于变化后的质量矩阵也具有类似的形式，因此原广义特征值问题被转化为：

求解第i个解耦的广义特征值问题，得到维度为M×n的特征向量q_i，其中n为第i个广义特征值问题需要求解的模态阶数，其物理意义为求取某特定节径数振动的前n阶模态振型。该广义特征值问题如下所示：

根据块对角化叶轮矩阵时采用的变换过程，能够得到对应于第i个广义特征值问题的第j阶整圈模态振型：

将求得的各阶模态按固有频率大小排列，同时仅保留所得特征向量中的k阶实模态成分以得到新的坐标变换矩阵，其中下标Dim表示叶轮自由度的整圈维度大小：

Γ＝[u]_Dim×k

3)通过各扇区叶片弹性模量改变来模拟非谐调对于系统动力学特性的影响，得到引入非谐调现象后各扇区叶片的减缩刚度，减缩质量矩阵仍与谐调系统相同。其中非谐调系数η_nsec仅在内部主模态处引入，而在减缩矩阵中直接乘以对应的非谐调系数的原因在于，变换矩阵R不取决于弹性模量的变化，因为(K-λM）u＝0以及η_nsec(K-λM)u＝0具有相同的特征向量也即具有相同的主模态，同时非谐调系数取值对于约束模态没有影响。依据非谐调程度修正后的减缩刚度矩阵为：

式中：η_nsec为第nsec个扇区的弹性模量修正因子，其值为第nsec个扇区叶片的实际固有频率与理想情况下固有频率之比。界面处未引入非谐调量的影响，是因为叶轮刚度一般较大、非谐调对其影响较小，并且当所研究的叶片为柔度较大的长叶片时，叶片频率的改变对叶轮动力学特性的影响较小。

4)将各扇区叶片减缩矩阵以及叶轮减缩矩阵组装至总体减缩矩阵中，求解对应的广义特征值问题，得到非谐调系统的固有频率以及减缩模态振型；在此基础上进行对非谐调叶片的模态局部化特性具体分析。按本发明方法，得到的整体刚度矩阵以及质量矩阵具有如下形式：

式中diag()表示利用括号内的元素生成对角矩阵；表示由于叶片内部自由度以及叶轮内部自由度不相交而引入的扩充质量减缩矩阵。求解如下所示的广义特征值问题，即可得到减缩后的广义模态振型q^(global)：

广义模态振型中，各个扇区的模态坐标都是在局部坐标系中得到，因此某阶广义模态振型的绝对值大小能够直接反映各扇区模态能量的大小，而不需要如传统方法般通过整个扇区自由度求解结果来对模态局部化程度进行度量。

下面结合具体的实例对本发明的模态局部化特性分析部分结果进行说明。

参阅图4，建立了单扇区叶片-叶轮的有限元模型并根据前所述步骤方法划分了自由度。对于叶片而言，包含界面自由度以及其他的内部自由度。而对于叶轮子结构，则额外包含了两处周期对称自由度以及约束自由度。按照前文所述的降维方法，求解对应减缩后的广义特征值问题，每个扇区叶片保留前10阶主模态，整圈叶轮保留50阶模态，得到对应非谐调叶片-叶轮的频率求解结果如图5所示，可以看出明显的频率分离现象，本方法能够有效捕捉非谐调系统的频率分离特性。另一方面，本方法求解精度与所保留的模态阶数也有关，图6中给出了叶片主模态保留阶数不同时求解结果与整圈结果对比，当所选取阶数合适时，本方法与整圈模型求解结果差异较小。图7进一步给出了第一阶振动模态坐标的求解结果，可以看出第一阶振动出现明显的模态局部化现象，第3扇区的模态位移将显著高于其他扇区，采用这种基于广义坐标模态坐标的分析方法能够快速实现局部化程度分析，这也是本发明优点之一。

以上内容是结合具体的实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对本发明所述技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干的推演或替换，比如采用其他叶片模型、修改叶片参数等等，都应当视为属于由本发明所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (7)

1.一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)从整圈叶片-叶轮结构中划分出单扇区叶片-叶轮模型，并建立与之相对应的局部坐标系，在此基础上得到单个扇区的叶片减缩矩阵；利用固定界面子结构模态综合法形成叶片自由度维度减缩矩阵R，流程如下：

将叶片自由度划分为与叶轮相交的界面自由度i以及独立的内部自由度γ，以叶片刚度矩阵K为例，按照如下形式进行划分：

首先固定界面自由度，得到界面约束时叶片的主模态振型Φ_ii；之后依次释放每个界面自由度，得到某界面自由度模态位移为1而其他界面自由度位移为0时叶片自由度的约束模态振型Ψ_c，综合以上两种模态振型，得到叶片自由度的维度减缩矩阵R，对应的矩阵表达式以及坐标变换公式如下：

u＝Rq

式中，K^(b)以及M^(b)分别为原叶片自由度的刚度以及质量矩阵；以及/>分别为减缩后的叶片刚度矩阵以及质量矩阵；u为求解原广义特征值问题(K-λM)u＝0得到的特征向量；q为通过减缩矩阵描述的广义模态坐标；/>以及/>分别为原叶片刚度矩阵中对应于界面自由度以及内部自由度与界面自由度连接处的刚度矩阵分量；M_γγq、M_γiq、M_iγq分别为减缩后界面自由度以及内部自由度与界面自由度连接处的质量矩阵分量；

2)由循环对称矩阵的性质，基于步骤1)中得到的叶片减缩矩阵，利用复Fourier矩阵计算求得叶轮整圈加载模态，在此基础上利用该模态形成叶轮减缩矩阵；

3)通过各扇区叶片弹性模量改变来模拟非谐调对于系统动力学特性的影响，得到引入非谐调现象后各扇区叶片的减缩刚度矩阵，减缩质量矩阵仍与谐调系统相同；

4)将各扇区叶片减缩矩阵以及叶轮减缩矩阵组装至总体减缩矩阵中，求解对应的广义特征值问题，得到非谐调系统的固有频率以及减缩模态振型，减缩矩阵包含减缩刚度矩阵与减缩质量矩阵；在此基础上进行对非谐调叶片的模态局部化特性具体分析。

2.根据权利要求1所述的一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，步骤2)中考虑了利用额外的Guyan减缩矩阵考虑了叶片对叶轮的动力学特性影响，该减缩矩阵求取方法为将叶片内部自由度位移静态凝聚到界面自由度上，设叶片整体自由度位移为x，界面处自由度位移为x_γ，则：

因此，用于考量界面处叶片对于叶轮影响的Guyan减缩矩阵为：

3.根据权利要求2所述的一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，在得到Guyan减缩矩阵之后，将其装配到单扇区叶轮刚度矩阵的对应位置处，同样分别用γ和i分别表示界面自由度和除界面以外的其他自由度，得到的叶轮加载刚度矩阵以及质量矩阵/>如下所示：

4.根据权利要求3所述的一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，步骤2)计算整圈加载模态的过程如下：

依据两处对称边界自由度以及其他去掉约束节点的自由度，此处统称为内部自由度，用下标i表示，l表示左侧对称边界上的自由度，r表示右侧对称边界上的自由度，以叶轮加载刚度矩阵为例，将其重新分块为如下形式：

当每个扇区的刚度、质量矩阵都在局部坐标系下建立时，整圈的叶轮刚度矩阵以及质量矩阵应该为循环对称矩阵，以整圈叶轮刚度矩阵为例，其表达式以及相应的循环对称矩阵生成元为：

其中符号Circu{}用于表示具有类似于左侧结构的循环对称矩阵；需要注意的是整圈叶轮刚度矩阵中已经计及了Guyan减缩矩阵的影响，利用复Fourier矩阵，能够将对应的刚度矩阵转化为块对角矩阵，设每个生成元矩阵的维度为M，根据循环矩阵的性质，转变过程有如下表达式：

式中：F_N表示维度为N×N的复Fourier矩阵，符号表示克罗内克积，上标*表示共轭转置，由于变化后的质量矩阵也具有类似的形式，因此原广义特征值问题被转化为：

求解第i个解耦的广义特征值问题，得到维度为M×n的特征向量q_i，其中n为第i个广义特征值问题需要求解的模态阶数，其物理意义为求取某特定节径数振动的前n阶模态振型，该广义特征值问题如下所示：

根据块对角化叶轮矩阵时采用的变换过程，能够得到对应于第i个广义特征值问题的第j阶整圈模态振型：

将求得的各阶模态按固有频率大小排列，同时仅保留所得特征向量中的k阶实模态成分以得到新的坐标变换矩阵，其中下标Dim表示叶轮自由度的整圈维度大小：

Γ＝[u]_Dim×k。

5.根据权利要求4所述的一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，步骤3)中所指的非谐调是由于叶片-叶轮结构由于加工误差等随机因素导致的各扇区参数存在差异的现象，基于步骤(1)的叶片自由度减缩结果，依据非谐调程度修正后的减缩刚度矩阵为：

式中：η_nsec为第nsec个扇区的弹性模量修正因子，其值为第nsec个扇区叶片的实际固有频率与理想情况下固有频率之比。

6.根据权利要求5所述的一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，步骤4)得到的整体刚度矩阵以及质量矩阵具有如下形式：

式中diag()表示利用括号内的元素生成对角矩阵；表示由于叶片内部自由度以及叶轮内部自由度不相交而引入的扩充质量减缩矩阵。

7.根据权利要求6所述的一种基于混合界面CMS法的非谐调叶片模态分析方法，其特征在于，利用步骤4)得到的整体减缩刚度矩阵与质量矩阵，求解如下所示的广义特征值问题，得到减缩后的广义模态振型q^(global)：

广义模态振型中，各个扇区的模态坐标都是在局部坐标系中得到。