CN113688576A - 一种城市区域能源互联网能量调度方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了属于优化调度技术领域的一种城市区域能源互联网能量调度方法。包括以下步骤：步骤1：设置目标函数和约束条件，建立能量调度优化数学模型；步骤2：结合分布式可再生能源出力预测数据与负荷预测数据，对出力系统发电能力进行预测，并对能量调度优化数学模型进行求解；步骤3：设置量子PSO算法参数，基于步骤2中出力预测数据与负荷预测数据运用量子PSO算法进行求解和分析。本发明实现了对城市区域能源互联网的多能源协同互济和能量优化调度；在降低对外部电网依赖的同时，促进电网运行过程中提高碳减排能力；同时减少了污染物处理成本。

Description

一种城市区域能源互联网能量调度方法

技术领域

本发明涉及优化调度技术领域，尤其涉及一种城市区域能源互联网能量调度方法。

背景技术

城市区域能源互联网建设是加快城市化进程的需要，以清洁、低碳型能源为主，提高能源利用效率，建立高效、清洁、低碳型城市区域能源互联网体系，构建城市区域能源互联网系统尤为关键，其可减缓能源与资源、环境与社会发展的矛盾。

城市区域能源互联网往往主要是以电、热、气三大能流为基础能量单元；风电、光伏、生物质等作为新能源生产单元；冷热电三联供系统(combined cooling heating andpower，CCHP)、热电联产系统(combined heating and power，CHP)、电锅炉、燃气锅炉等设备作为能量耦合单元；储能设备作为存储单元，形成了生产、输送、存储、耦合、再输送的完整区域能源互联网系统架构。传统的城市区域能源互联网缺乏用能的统一规划，普遍存在能源浪费、电能紧缺等问题，极大影响了系统的运行效率和经济环境效益。需要求解合理的城市区域能源互联网调度运行方案来解决多能流间的耦合程度偏低、工业能源系统的协同互动薄弱等问题。

城市区域能源互联网多能源协同互济和能量优化的研究会让电网的运行具有安全性、经济性、可靠性和灵活性等特点，通过光伏出力、风电出力、分布式电源、电动汽车、天然气、热能等能源形式的多能互补、互为备用，从而节约投资成本、增强电力系统的灵活性和应变能力。

城市区域能源互联网的优化模型中存在着等式约束、不等式约束、线性约束以及网络约束等各种约束，并且综合考虑分布式发电单元的开停机状态会使得模型中存在整数变量等。

序列二次规划法是目前公认的求解约束非线性优化问题最有效的方法之一，与其他优化算法相比，其最突出的有点事收敛性好、计算效率高、边界搜索能力强，受到了广泛重视及应用。但其迭代过程中的每一步都需要求解一个或多个二次规划自问题。一般地，由于二次规划自问题的求解难以利用原问题的稀疏性、对称性等良好特性，随着问题规模的扩大，其计算工作量和所需存储量是非常大的。因此，目前的序列二次规划方法一般只适用于中小型问题。

传统的数学规划问题在描述具体对象数学模型中的系数时，通常都将这些系数设定为确定值。但在实际情况中，这种假设往往是不合理的。针对系统不确定性经济调度模型，通常采用模糊、随机和区间三种数学规划方法来描述和解决。但在实际应用中，随机规划和模糊规划这两种方法会存在以下缺点：

(1)随机规划方法需要较为精确的概率分布函数，而得到精确的概率分布函数则需要大量的不确定信息为基础。受到测量技术、经济成本以及实际条件等多方面的限制，在实际工程中往往很难获得大量的和精确的不确定信息。

(2)随机规划问题的求解通常采用蒙特卡洛方法。但是，传统的蒙特卡洛方法存在效率低、收敛性较差和误差较大等问题，要想利用随机规划方法达到预期的目标，需要引入较多减少估计量方差的方法。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization PSO)作为群智能研究领域的主要算法，最早由Kennedy和Eberhart于1995年提出，通过个体之间的竞争和协作，实现在复杂的空间中搜索最优解。粒子群算法的缺点是寻优后期容易陷入局部最优，具有一定的局限性。为了克服这个缺点，本发明提出了基于量子行为的粒子群优化算法(QPSO)。在该算法中，将目标问题的搜索空间和求解空间分成两个不同的空间。每个迭代的单个粒子的搜索空间是整个可行域。多个研究结果证实了量子行为粒子群优化算法在全局寻优上均优于传统的粒子群优化算法。

发明内容

本发明的目的是提出一种城市区域能源互联网能量调度方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：设置目标函数和约束条件，建立能量调度优化数学模型；

步骤2：结合分布式可再生能源出力预测数据与负荷预测数据，对出力系统发电能力进行预测，并对能量调度优化数学模型进行求解；

步骤3：设置量子PSO算法参数，基于步骤2中出力预测数据与负荷预测数据运用量子PSO算法进行求解和分析。

所述步骤1中的目标函数为：

c_total＝min(c₁+c₂+c₃) (1)

式中，c₁表示系统内各汽轮机组发电成本及与大电网交互成本；c₂表示弃风弃光、损失负荷所致的惩罚措施成本；c₃表示污染物处理成本；其中，

式中，S_G为发电机合集，α_i、β_i、δ_i为发电燃料成本系数；P_Gi为发电机的有功功率，AG为区域能源互联网与大电网的能量交互成本：

式中，T为调度运行总时间；P(t)是区域能源互联网和主电网之间的传输电力；P(t)为正值时代表主电网将电力传输到区域能源互联网，而P(t)为负值时代表区域能源互联网将电力出售给主电网；S_t是t时期的电价；如果S_t>0表明区域能源互联网从主电网购买电力，S_t<0表明区域能源互联网将电力出售给主电网；

式中，p_penal.1为弃风弃光时单位惩罚价格；p_penal.2为区域损失负荷时单位惩罚价格；L_des.t为弃风弃光量；L_loss.t为系统旋转备用不足时损失的负荷量；

式中，k代表第k个污染物排放，K是污染物CO₂，SO₂，和NOx的排放总数，c_k是第k个污染物排放的处理成本，a_k是第k个污染物的排放系数，P是主电网和微电网之间的电力交易量。

所述步骤1中的约束条件如下：

区域用户电压幅值约束：

U_min≤U_i≤U_max (6)

式中，U_i为区域的大用户电压幅值；U_min和U_max分别为用户节点电压的最小和最大幅值界限；规划区馈线电流幅值约束：

|I_i|≤I_max (7)

式中，I_i为规划区任意馈线组某配电系统中电流值；I_max为规划区配电系统电流值的上限；

电力有功功率平衡约束：

式中，P_t、P_g、P_DG和P_s分别表示电网有功负荷、电网有功出力、分布式电源出力和线路损耗；i＝1,2,……，n_P，n_P为有功负荷数量；

与主网交互功率约束：

0≤P_BGEX(t)≤P_{B max} (9)

0≤P_SGEX(t)≤P_Smax (10)

式中，P_BGEX(t)表示从主网购电的功率；P_SGEX(t)表示向主网售电的功率；P_{B max}表示从主网购电的最大功率；P_{S max}表示向主网售电最大功率；

分布式电源出力约束：

P_PV+P_wind＝P_DG (11)

0≤P_PV≤P_PV,max (12)

0≤P_wind≤P_wind,max (13)

式中，P_PV代表光伏出力，P_wind代表风力发电机组出力，P_PV,max代表光伏最大出力，P_wind,max代表风力发电机组最大出力；且P_PV,max和P_wind,max不超过典型日出力值实测与预测结果。

所述步骤3中的量子PSO算法具体如下：

设在D维目标空间中，有m个粒子组成的群体，第i个粒子的位置表示为x_i＝(x_i1,x_i2,…,x_iD),i＝1,2,…m，速度表示为v_i＝(v_i1,v_i2,…,v_iD)，自身最优位置表示为P_best＝(p_i1,p_i2,…,p_iD)，整个粒子群的最优位置为g_best＝(g₁,g₂,…,g_D)，则粒子的速度和位置更新方程如下：

v_id(t+1)＝v_id(t)+c₁r₁(p_best-x_id(t))+c₂r₂(g_best-x_id(t)) (14)

x_id(t+1)＝x_id+v_id(t+1) (15)

式中，c₁，c₂为非负的加速常数，r₁,r₂服从[0,1]上的均匀分布随机数；

为速度项引入惯性权重因子ω，即：

v_id(t+1)＝ω*v_id(t)+c₁r₁(p_best-x_id(t))+c₂r₂(g_best-x_id(t)) (16)

每次迭代中ω线性递减，ω的计算公式为：

式中，ω_max和ω_min分别为ω的最大值和最小值；t与T_max分别为当前迭代数与最大迭代数；

粒子的位置表示为：

X_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t)),i＝1,2,…,m (18)

式中，m为粒子数目，n为粒子维度；

每个粒子收敛于p_i(t)点，如下式所示：

pbest_i(t)＝[pbest_i,1(t),pbest_i,2(t),…,pbest_i,n(t)] (20)

gbest(t)＝[gbest₁(t),gbest₂(t),…,gbest_n(t)] (21)

式中，pbest_i(t)代表第i个粒子的最优位置；gbest(t)代表整个粒子群的最优位置；

是[0,1]中的随机数；其中，pbest_i(t)通过下式不断更新：

式中，f是目标函数；且gbest(t)＝pbest_g(t),

全局平均最优位置mbest为：

采用蒙特卡洛方法，粒子位置的更新方式为：

式中，u和k均为[0,1]的随机数；α为压缩因子，在[α₁，α₂]作线性递减；其中

式中，α₁＝1.0；α₂＝0.5，Max是最大进化次数。

本发明的有益效果在于：

1、在电力缺额较大的区域能源互联网并网运行模式下，新能源系统的加入可以帮助工业园区降低对大电网的依赖，减轻供电压力，实现了对城市区域能源互联网的多能源协同互济和能量优化调度；

2、能够充分利用自然条件的优势，在降低对外部电网依赖的同时，促进电网运行过程中提高碳减排能力；

3、夜间外部大电网电价较低时主要由风电供应负载，网外能源作为次要能源输入，降低了网内的等价碳排放量，同时减少了污染物处理成本。

附图说明

图1为本发明一种城市区域能源互联网能量调度方法的流程图；

图2为量子PSO方法求解流程图；

图3为某一园区的区域能源互联网日前优化调度最优解。

具体实施方式

本发明提出一种城市区域能源互联网能量调度方法，下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步说明。

图1为本发明一种城市区域能源互联网能量调度方法的流程图。通过对工业园区进行系统各部分建模，包括光伏出力、风电出力、大电网互联、生物质出力几个部分。以发电成本和弃风弃光的惩罚措施成本，排放污染物处理成本等系统综合费用最低为目标，电压幅值约束、电流幅值约束、有功功率平衡约東、大电网交互功率约束、分布式电源出力约束等为约束条件以建立日前调度优化数学模型，进而通过量子行为粒子群算法进行求解，并进行理论分析。

目标函数设置：

本次区域能源互联网能源协同互济调度的目标是保证系统安全稳定运行条件基础上，考虑资源的最优化利用，实现系统运行成本最小，并最大程度消纳清洁能源，提高能源利用效率，减少污染和排放。在综合考虑了光伏风电系统、生物质能电厂等，以系统内各汽轮机组发电成本及与大电网交互成本、和弃风弃光的惩罚措施成本，排放污染物处理成本等系统综合费用最低为目标，本发明建立优化数学模型，模型的目标函数表达式为：

c_total＝min(c₁+c₂+c₃) (1)

式中:c₁表示系统内各汽轮机组发电成本及与大电网交互成本；c₂表示弃风弃光、损失负荷所致的惩罚措施成本；c₃表示污染物处理成本。

式中，SG为发电机合集，α_i、β_i、δ_i为发电燃料成本系数，本算例中取值0.4元/kWh；P_Gi为发电机的有功功率，功率热系数取87.72％，AG为区域能源互联网与大电网的能量交互成本：

其中，P(t)是区域能源互联网和主电网之间的传输电。P(t)为正值时代表主电网将电力传输到区域能源互联网，而P(t)为负值时代表区域能源互联网将电力出售给主电网。S_t是t时期的电价。如果S_t>0表明区域能源互联网从主电网购买电力，S_t<0表明区域能源互联网将电力出售给主电网。

式中，p_penal.1为弃风弃光时单位惩罚价格；p_penal.2为区域损失负荷时单位惩罚价格；L_des.t为弃风弃光量；L_loss.t为系统旋转备用不足时损失的负荷量；T为调度运行总时间。

式中，k代表第k个污染物排放，K是污染物排放总数，包括CO₂，SO₂，和NOx。ck是第k个污染物排放的处理成本，a_k是第k个污染物的排放系数，P是主电网和微电网之间的电力交易量。

表1环境参数

约束条件设置：

1)考虑到区域用户受节点电压上下限的约束，电压幅值必须满足如下要求：

U_min≤U_i≤U_max (6)

式中：U_i为区域的大用户电压幅值；U_min和U_max分别为用户节点电压的最小和最大幅值界限。

2)受规划区馈线电流的约束，电流幅值必须满足如下要求：

|I_i|≤I_max (7)

式中:I_i为规划区任意馈线组某配电系统中电流值；I_max为规划区配电系统电流值的上限。

3)受园区电力有功功率平衡约束，区域电网功率及分布式电源出力和负荷功率应保持平衡。

式中:i＝1,2,……，n_P，P_t、P_g、P_DG、P_s分别表示电网有功负荷、电网有功出力、分布式电源出力以及线路损耗；n_P为有功负荷数量；

4)与主网交互功率限制:

0≤P_BGEX(t)≤P_{B max} (9)

0≤P_SGEX(t)≤P_{S max} (10)

式中:P_BGEX(t)表示从主网购电的最大功率；P_{S max}表示向主网售电最大功率。

5)分布式电源出力约束条件：

P_PV+P_wind＝P_DG (11)

0≤P_PV≤P_PV,max (12)

0≤P_wind≤P_wind,max (13)

其中，P_PV代表光伏出力，P_wind代表风力发电机组出力。各上限值不应超过典型日出力值实测与预测结果。

量子行为粒子群优化算法：

粒子群算法(PSO)最早是在1995年由美国社会心理学家James Kennedy与电气工程师Russel Eberhart共同提出的一种群体智能算法，其基本思想是通过迭代运算搜索空间中随机粒子群潜在的最优解，在每一次迭代当中，粒子会找出当前时刻本身的最优解p_best与整个粒子群的最优解g_best，实际上，PSO算法也是通过个体的竞争和协作来完成空间最优解的搜寻。

利用量子PSO方法求解流程如图2所示，设在D维目标空间中，有m个粒子组成的群体，第i个粒子的位置表示为x_i＝(x_i1,x_i2,…,x_iD),i＝1,2,…m，速度表示为v_i＝(v_i1,v_i2,…,v_iD)，自身最优位置表示为P_best＝(p_i1,p_i2,…,p_iD)，整个粒子群的最优位置为g_best＝(g₁,g₂,…,g_D)，则粒子的速度和位置更新方程如下：

v_id(t+1)＝v_id(t)+c₁r₁(p_best-x_id(t))+c₂r₂(g_best-x_id(t)) (14)

x_id(t+1)＝x_id+v_id(t+1) (15)

其中c₁，c₂为非负的加速常数，r₁,r₂服从[0,1]上的均匀分布随机数。

为了更好的控制PSO算法的探测与开发能力，在PSO算法的基础上为其速度项引入了惯性权重因子ω，即：

v_id(t+1)＝ω*v_id(t)+c₁r₁(p_best-x_id(t))+c₂r₂(g_best-x_id(t)) (16)

事实上，基本的PSO是惯性权重因子w＝1下的特殊情况，在迭代中缺乏局部收敛能力，容易陷入局部极小值；为了解决这一问题，实现PSO的全局和局部寻优能力的平衡，我们在速度项前加入了惯性权重因子ω。在每次的迭代当中，ω是线性递减的，其计算公式为：

其中，ω_max，ω_min分别为ω的最大最小值；t，T_max分别为当前迭代数与最大迭代数。

粒子群算法的缺点是寻优后期容易陷入局部最优，具有一定的局限性。为了克服这个缺点，有人提出了基于量子行为的粒子群优化算法(QPSO)。在该算法中，将目标问题的搜索空间和求解空间分成两个不同的空间。每个迭代的单个粒子的搜索空间是整个可行域。多个研究结果证实了量子行为粒子群优化算法在全局寻优上均优于传统的粒子群优化算法。

在量子行为粒子群优化算法中，粒子的位置可以表示为：

X_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t)),i＝1,2,…,m (18)

其中，m为粒子数目，n为粒子维度。

每个粒子收敛于p_i(t)点，如下式所示：

pbest_i(t)＝[pbest_i,1(t),pbest_i,2(t),…,pbest_i,n(t)] (20)

gbest(t)＝[gbest₁(t),gbest₂(t),…,gbest_n(t)] (21)

其中，pbest_i(t)代表第i个粒子的最优位置；gbest(t)代表整个粒子群的最优位置；

是[0,1]中的随机数，pbest_i(t)通过下式不断更新：

其中，f是目标函数。gbest(t)＝pbest_g(t),

在量子行为粒子群优化算法中，全局平均最优位置mbest为：

采用蒙特卡洛方法，粒子位置的更新方式可以描述为：

其中，u和k均为[0,1]的随机数；α为压缩因子，用于控制粒子的收敛速度。在大多数情况下，随着粒子不断进化，α可以在[α₁，α₂]作线性递减以取得较好的结果。

其中：α₁＝1.0；α₂＝0.5，Max是最大进化次数。

本发明以慈溪工业园区以夏季的某一典型工作日进行能量优化求解。不考虑外部大电网限制时，利用量子PSO算法求解，本发明在峰平谷电价的基础上实行扩展实时电价，峰平谷分时电价的数据如表，实际应用中根据所在地区实际价格调整：

表2峰平谷分时电价

模型中参数k值取1.0，α_i、β_i、δ_i取值分别为1、0.8、0.8，大电网的负荷由约束条件解出，风光弃电惩罚价格与该省光伏、风力上网价格水平一致。

结合分布式可再生能源出力预测与负荷预测数据，可知各出力系统发电能力的预计值，并应用于能量调度模型求解。种群规模10个；种群粒子数为100，变量维度为2维；学习因子c1取0.01，c2取0.004；惯性权重取0.8。

通过量子粒子群优化算法求得的某一园区的区域能源互联网日前优化调度最优解如图3。由结果可知，新能源发电系统在典型出力日全时段的输出功率小于地区区域能源互联网的负荷需求，未能完全满足供电需要，需要通过外部大电网给予电力补足。在夜间时段，光伏发电系统输出功率下降至零，夜间负荷大部分可以通过风电出力供给。8：00至17：00时段光伏出力较为充足，能够很大程度缓解白天用电紧张。负荷在夜间较高的原因在于部分工业用户夜间流水线依旧在持续运行之中。

根据寻优结果可知，在并网运行时，峰值时期虽然仍需从大电网中购电最高达104MW来补足功率缺额，但光伏发电系统与风电系统的加入，很大程度上降低了园区总体电网发电与运行成本。在16时，风光出力对电网负荷的支撑达到峰值，出力接近60MW。全天范围内，新能源出力可满足典型日负荷量的39.2％。

应该注意到，光伏、风电系统虽然能够起到调节电能、减低排污处理成本的作用，但配置容量不可过高，因光伏与风电上网价格高于外部大电网供应电价，配置容量过大会增加园区内电网的整体运行成本。

在区域能源互联网的调度优化中，生物质能电厂等一系列园区内自备分布式电源(热电机为主)的加入，有助于整合分布式可再生能源并减少对外部电网的电力需求。可以看出，在9时至17时的负荷高峰时段，从外部电网购电成本较高，应减少从公共电网的购电量，此时网内分布式电源的出力达到峰值，此举虽然在一定程度上增加了发电与污染物处理成本，此时网内电源发电成本要高于大电网的单位电价，所以园区电网的总体运行成本是增加的，但从整体经济性角度而言，仍旧有利于综合运行成本的降低。此时的园区电网运行不具备最优减排性能，但是在外部电网电价变高、负荷过大时，由网内电源供应能量，依然可以获得最大整体经济性。

夜间时段以及午间12时至13时，外部电网电价较低，风力出力充足(午间时段光伏出力充足)，此时网内分布式电源的出力参与调度量降低到白天最高出力水平的1/3，以满足最小成本的经济性要求。

从现有区域能源互联网网络分布情况的调度优化的结果来看，园区夜间风电出力较高，且需要一定量的园区内热机电源的参与，如果此时可以引入储能系统等电力调峰措施，可以进一步利用夜间外部电网低电价的经济性，同时兼顾系统清洁低碳性，在日间也可进一步缓解负荷过大情况下对高价外部电网电力的需求。

此实施例仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (4)

1.一种城市区域能源互联网能量调度方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：设置目标函数和约束条件，建立能量调度优化数学模型；

步骤2：结合分布式可再生能源出力预测数据与负荷预测数据，对出力系统发电能力进行预测，并对能量调度优化数学模型进行求解；

步骤3：设置量子PSO算法参数，基于步骤2中出力预测数据与负荷预测数据运用量子PSO算法进行求解和分析。

2.根据权利要求1所述的城市区域能源互联网能量调度方法，其特征在于，所述步骤1中的目标函数为：

c_total＝min(c₁+c₂+c₃) (1)

式中，c₁表示系统内各汽轮机组发电成本及与大电网交互成本；c₂表示弃风弃光、损失负荷所致的惩罚措施成本；c₃表示污染物处理成本；其中，

式中，S_G为发电机合集，α_i、β_i、δ_i为发电燃料成本系数；P_Gi为发电机的有功功率，AG为区域能源互联网与大电网的能量交互成本：

式中，T为调度运行总时间；P(t)是区域能源互联网和主电网之间的传输电力；P(t)为正值时代表主电网将电力传输到区域能源互联网，而P(t)为负值时代表区域能源互联网将电力出售给主电网；S_t是t时期的电价；如果S_t>0表明区域能源互联网从主电网购买电力，S_t<0表明区域能源互联网将电力出售给主电网；

式中，p_penal.1为弃风弃光时单位惩罚价格；p_penal.2为区域损失负荷时单位惩罚价格；L_des.t为弃风弃光量；L_loss.t为系统旋转备用不足时损失的负荷量；

式中，k代表第k个污染物排放，K是污染物CO₂，SO₂，和NOx的排放总数，c_k是第k个污染物排放的处理成本，a_k是第k个污染物的排放系数，P是主电网和微电网之间的电力交易量。

3.根据权利要求1所述的城市区域能源互联网能量调度方法，其特征在于，所述步骤1中的约束条件如下：

区域用户电压幅值约束：

U_min≤U_i≤U_max (6)

式中，U_i为区域的大用户电压幅值；U_min和U_max分别为用户节点电压的最小和最大幅值界限；

规划区馈线电流幅值约束：

|I_i|≤I_max (7)

式中，I_i为规划区任意馈线组某配电系统中电流值；I_max为规划区配电系统电流值的上限；

电力有功功率平衡约束：

式中，P_t、P_g、P_DG和P_s分别表示电网有功负荷、电网有功出力、分布式电源出力和线路损耗；i＝1,2,……，n_P，n_P为有功负荷数量；

与主网交互功率约束：

0≤P_BGEX(t)≤P_Bmax (9)

0≤P_SGEX(t)≤P_Smax (10)

式中，P_BGEX(t)表示从主网购电的功率；P_SGEX(t)表示向主网售电的功率；P_Bmax表示从主网购电的最大功率；P_Smax表示向主网售电最大功率；

分布式电源出力约束：

P_PV+P_wind＝P_DG (11)

0≤P_PV≤P_PV,max (12)

0≤P_wind≤P_wind,max (13)

式中，P_PV代表光伏出力，P_wind代表风力发电机组出力，P_PV,max代表光伏最大出力，P_wind,max代表风力发电机组最大出力；且P_PV,max和P_wind,max不超过典型日出力值实测与预测结果。

4.根据权利要求1所述的城市区域能源互联网能量调度方法，其特征在于，所述步骤3中的量子PSO算法具体如下：

设在D维目标空间中，有m个粒子组成的群体，第i个粒子的位置表示为x_i＝(x_i1,x_i2,…,x_iD),i＝1,2,…m，速度表示为v_i＝(v_i1,v_i2,…,v_iD)，自身最优位置表示为P_best＝(p_i1,p_i2,…,p_iD)，整个粒子群的最优位置为g_best＝(g₁,g₂,…,g_D)，则粒子的速度和位置更新方程如下：

v_id(t+1)＝v_id(t)+c₁r₁(p_best-x_id(t))+c₂r₂(g_best-x_id(t)) (14)

x_id(t+1)＝x_id+v_id(t+1) (15)

式中，c₁，c₂为非负的加速常数，r₁,r₂服从[0,1]上的均匀分布随机数；

为速度项引入惯性权重因子ω，即：

v_id(t+1)＝ω*v_id(t)+c₁r₁(p_best-x_id(t))+c₂r₂(g_best-x_id(t)) (16)

每次迭代中ω线性递减，ω的计算公式为：

式中，ω_max和ω_min分别为ω的最大值和最小值；t与T_max分别为当前迭代数与最大迭代数；

粒子的位置表示为：

X_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t)),i＝1,2,…,m (18)

式中，m为粒子数目，n为粒子维度；

每个粒子收敛于p_i(t)点，如下式所示：

pbest_i(t)＝[pbest_i,1(t),pbest_i,2(t),…,pbest_i,n(t)] (20)

gbest(t)＝[gbest₁(t),gbest₂(t),…,gbest_n(t)] (21)

式中，pbest_i(t)代表第i个粒子的最优位置；gbest(t)代表整个粒子群的最优位置；

是[0,1]中的随机数；其中，pbest_i(t)通过下式不断更新：

式中，f是目标函数；且gbest(t)＝pbest_g(t),

全局平均最优位置mbest为：

采用蒙特卡洛方法，粒子位置的更新方式为：

式中，u和k均为[0,1]的随机数；α为压缩因子，在[α₁，α₂]作线性递减；其中

式中，α₁＝1.0；α₂＝0.5，Max是最大进化次数。

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