CN113687317A - 一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及宽带相控阵雷达校准技术领域，公开的一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方法，采用大量雨滴的接收电压方程、阵列全方向图来对测量结果进行校正；计算矩阵Q需要知道完整的天线放线图函数，通过离散的天线方向图测量数据重建出完整的天线方向图函数，其次是寻找具有高精度和高效率的数值积分方法；对全方向图校正方法的性能进行验证。本发明能够有效提升雷达对交叉极化测量的精度，其优势在于通过天线发射和接收方向图可以直接计算出校正矩阵，而不需要通过对毛毛雨进行测量来获取校正矩阵，而代价在于需要大量的计算，并且各个波束指向上的校正矩阵需要单独计算。能够有效提升雷达对交叉极化测量的精度。

Description

一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方法

技术领域

本发明涉及宽带相控阵雷达校准技术领域，尤其涉及一种基于综合积分的宽 带相控阵雷达天线极化校准方法。

背景技术

目前，Moisseev等人在2002年曾以机械扫描气象雷达为研究对象，初步探讨 了基于整个天线方向图的极化测量误差校正方法。由于机械扫描气象雷达天线的 尺寸一般较大(WSR-88D雷达的抛物面天线直径为9m)，获取其完整的三维方向 图是一件十分困难和耗时的事情，因此Moisseev等人在毛毛雨(雨滴近似为球形， 其散射矩阵正比于单位矩阵)的情况下，基于天线垂直放置(如图1所示)时的 测量结果对测得的L_DR进行了补偿，L_DR的精度平均提升了7dB左右。这一研究成果 表明，利用天线全方向图能够显著提升极化雷达对较小的交叉极化分量测量的精 度。

严格来说，Moisseev等人基于毛毛雨测量结果的补偿方法是在整个天线方向 图无法获取情况下的一种折衷办法，并不能完全补偿整个天线方向图的影响。根 据第三章的分析可知，极化相控阵雷达天线方向图的精确获取是其精确测量的前 提。因此，本章中我们假设极化相控阵雷达天线的三维天线方向图已知，在此基 础上对基于全方向图的极化测量误差校正方法进行深入分析。

由于天线方向图的复杂性，在有关机械扫描气象雷达误差校正的研究中，天 线的方向图通常被近似为高斯函数(Gaussian function)。Zrnic等人提出了 两种模型来对气象雷达抛物面天线方向图进行建模，如图4所示。图4中蓝色部分 代表主极化方向图，绿色部分代表交叉极化方向图。Zrnic等人提出的第1种模 型如图4左半部分所示，该模型中主极化方向图和交叉极化方向图都关于波束指 向对称；第2种模型如图4右半部分所示，该模型中交叉极化方向图均匀分布于天 线波束指向四周，其中标有“+”号的方向图与标有“-”号的方向图相位差为180 °，0_p为主极化波束半功率波束宽度。

利用天线发射和接收方向图轴向上的信息对测量得到的Z_DR和L_DR进行了校正。 仿真结果表明，Z_DR测量不依赖于天线波束指向，并且对天线波束内空域极化的起 伏不敏感。相反，L_DR测量依赖于天线波束指向，并且对天线波束内空域极化起伏 敏感，其原因在于轴向校正法只利用了波束指向上的极化信息，没有考虑整个波 束内的空域极化特性对L_DR测量的影响。为此需要一种综合积分的宽带相控阵雷达 天线极化进行校准。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明目的是提供一种基于综合积分的宽带相控阵 雷达天线极化校准方法。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方法，其步骤如下：

1)在不计传播路径上的衰减和相位延迟的情况下，大量雨滴的接收电压方 程为

将(3.1)展开为标量方程，有

由此得接收回波的平均功率

(3.1)、(3.2)和(3.3)完整描述了大量雨滴回波的电压和功率；

式(3.3)，主极化接收功率P_hh和P_vv在雷达的作用距离范围内相对较大，同时 气象雷达的波束较窄(～1°)，整个波束内的空域极化起伏对Z_DR的测量影响不 大，交叉极化接收功率P_hv和P_vh在雷达的作用距离范围内相对较小，整个波束内的 空域极化起伏对L_DR的测量影响较为显著，

提升对L_DR测量的精度，利用整个阵列的方向图，称为阵列全方向图来对测量 结果进行校正；

全方向图校正方法，采用接收电压V的矩阵形式，具体给出矩阵方程的矢量 化表示方法，全方向图校正方法的表示，设A为m行n列的矩阵

定义矩阵的矢量化函数vec(A)为

vec(A)表示将矩阵A的各个列拼接起来，组成一个m×n维的列矢量，对于矩阵的矢量化函数vec(·)，有如下引理；

引理3.1:设矩阵A＝ab^t，其中a为m维列矢量，b为n维列矢量，t表示矩阵 转置，则

其中

表示矩阵的Kronecker积。

证明:设a和b分别表示为

a＝[a₁ a₂ … a_m]^t (3.7)

b＝[b₁ b₂ … b_n]^t (3.8)

则A＝ab^t表示为

A＝[b₁a b₁a … b_na] (3.9)

根据Knronecker积的定义，有

由vec(A)的定义知，

定理3.1:设A为m行p列矩阵，B为p行q列矩阵，C为q行n列矩阵，则

证明:B表示为

B＝[b₁ b₂ … b_q] (3.12)

其中b_i为p维列矢量。设e_i为基本列矢量，即e_i中只有第i个元素为1，其他元素为0，由此，B表示为

(3.13)

因此，vec(ABC)表示为

利用引理3.1，有

定理3.1给出了矩阵乘积的矢量化表示，当A、B和C为2行2列矩阵时，矩阵方 程D＝A·B·C表示为如下的矢量化形式

其中

如果B₁₂＝B₂₁，则(3.16)化简为

根据第3.2节的推导知，单个雨滴的接收电压方程为

假设S_hv＝S_vh，则散射矩阵的矢量形式表示为

根据(3.18)，单个雨滴的接收电压方程(3.19)表示为如下的矩阵与矢量乘积的形式

其中

单个雨滴接收电压的协方差矩阵表示为

其中

表示共轭转置，<·>表示集合平均；

对于大量雨滴，接收电压协方差矩阵表示为

其中Ω表示立体角，dΩ＝sin0d0dφ；式(3.25)的积分区域应包含整个天线 波束，针对各个距离分辨单元，式(3.25)中省略了对距离维的积分，将一个分辨 单元所对应的体积内的三维积分转化为式(3.25)所示的角度域的二维积分；根 据定理3.1，(3.25)表示为

其中

“*”表示复数共轭，M是9×9矩阵，

和

是由R_V和R_S的各列拼接而成的9维 列矢量，即

如果假设

在天线方向图主瓣内是 均匀分布的，则(3.26)简化为

其中

Q＝∫_ΩMdΩ (3.29)

Q是一个9×9矩阵，描述了整个天线方向图对极化测量的影响，如果天线的发射和接收方向图F_T和F_R已知，则

表示为

校正矩阵Q包含了整个天线方向图对极化测量的影响，因此，校正方法称为全方向图校正法；

由(3.30)知，全方向图校正是计算校正矩阵Q，Q是θ和φ上的二重积分，即

计算矩阵Q需要知道完整的天线放线图函数，首先通过离散的天线方向图测 量数据重建出完整的天线方向图函数，其次是寻找具有高精度和高效率的数值积 分方法；

借鉴信号处理理论中带宽的概念，目标的散射场是一个“带限”或“近似带 限”的函数，天线辐射场“带宽”的近似表达式

w≈ka (3.32)

其中w称为辐射场的空间有效带宽，k＝2π/λ，λ为波长，a为包含天线的最小 球体的半径，天线的辐射场由一组离散的测量序列的插值精确的恢复出来，

首先在位于同一纬线上场插值的点，其点电场值由位于该纬线上的点插值得 到，具体表达式如下

其中

N＝Int(χ₁kasinθ)+1 (3.35)

Int(x)表示不超过x的最大整数，χ₁是用来约束方向图重建误差的常数，为了 保证重建误差低于1％，取

χ₁＝2(ka)^-2/3+1 (3.37)

重复上述的插值过程，得到位于同一经线上的电场值，再次通过插值，即可 得到点的电场值，利用测量得到的离散天线方向图序列，重建出整个天线方向图， 天线方向图重建过程如下

其中

N＝Int(χ₁βa)+1 (3.40)

χ′₁＝χ′₁(θ)＝(χ₁-1)(sinθ)^-2/3+1 (3.42)

基于第3.1节仿真的双极化天线单元方向对(3.38)进行验证，利用HFSS，得 到仿真的双极化微带贴片天线方向图E_sim(0，φ)，将E_sim(0，φ)作为“真实的” 天线方向图，同时用HFSS得到天线方向图的采样值E(0_n，φ_nm)，其中

基于式(3.38)，利用E(0_n， φ_nm)，得到重建后的天线方向图Erec(0，φ)，为了衡量基于式(3.38)的天线 方向图重建精度，定义重建天线方向图的相对误差Er

双极化微带贴片天线方向图E_hh(0，φ)、E_hv(0，φ)、E_vh(0，φ)、E_vv(0， φ)的重建相对误差都在10^-3或者10^-4量级，由此知基于式(3.38)的天线方向图重 建是满足精密极化测量要求的；

根据上述模型，气象雷达抛物面天线功率方向表示为

其中，(θ_S，φ_S)表示波束指向，θ_p和φ_p表示天线波束在0和φ上的半功率波 束宽度，将(3.44)所示的天线方向图模型代入到气象雷达接收电压方程中得到 在不同波束宽度、交叉极化水平、交叉极化分布的条件下的极化测量性能；

天线主极化的口径场分布的近似为如下表达式

其中ρo＝4.77m，a＝3，b＝0.16。

相控阵天线主极化和交叉极化方向图来计算校正矩阵Q，

其中Q₁₁(0S，φS)为矩阵Q第1行第1列的元素，取(0S，φS)＝(90°，0°)， 则

和

关于0和φ对称，(3.46)的积分区域为

选择(90°，0°)的一个邻域作为积分区域即可满 足积分精度的要求；

不同积分区域

下计算Q₁₁(0_S，φ_S)的相对误 差，其中0_p为半功率波束宽度，当n＝10时，计算Q11(0_S，φ_S)的相对误差要小 于-60dB，确定积分区域为

相控阵天线的波束宽度随着波束的扫描而变化，积分区域也是随着波束扫描 而变化的，因此在计算Q时，采用u-v坐标系，即

采用u-v坐标系后，相控阵天线的阵列因子不随波束扫描而变化，相控阵天线的方向图不随波束扫描而变化，根据(3.47)得

在u-v坐标系下，Q表示为

其中，Det(·)表示矩阵行列式的值。J(u，v)是Jacobian矩阵，定义为

将(3.50)代入到(3.49)中，得

(3.51)的积分区域为[u_S-Δu/2,u_S+Δu/2]×[v_S-Δv/2,v_S+Δv/2]，其中Δu和Δv通过(3.46)的积分区域来确定；

利用数值积分方法，(3.51)表示为

其中w_mn为积分权系数，如果u_mn和v_mn在积分区域内均匀分布，则该数值积分方法称为Newton-Cotes积分，如果u_mn和v_mn在积分区域内并非均匀分布，则在所有的数值 积分方法中，Gauss积分方法具有最高的精度，Gauss积分方法依赖于权函数的 选取，权函数有

W(x)＝1 (3.53)

W(x)＝exp(-x²) (3.55)

(3.53)、(3.54)、(3.55)所对应的积分点分别是Legendre多项式、Chebyshev 多项式、Hermite多项式的根；

由(3.51)知，权函数应取为W(x)＝1，设2元函数g(x，y)在积分区域[a， b]×[c，d]上的积分为

令s＝(b+a)＝2+(b-a)y/2，t＝(d+c)/2+(d-c)x/2，有

首先考虑对s进行数值积分，则有

然后考虑对t进行数值积分，则有

其中t_i和s_j分别为n_t阶和n_s阶勒让德多项式的根，W_i ^t和

为相应的权值，对于 n阶勒让德多项式，其表达式为

如果xi是n阶勒让德多项式P_n(x)的根，则对应的积分权值W_i表示为

在天线法线方向及其附近，天线方向图近似满足理想的空域极化特性，在平 面阵列天线法线方向，有

|α_ij|≈0,|β_ij|≈0 (3.62)

其中阵列尺寸为64×64，单元间距为λ/2，中心频率为3.5GHz，发射方向 图采用均匀加权，接收方向图采用-40dB Taylor加权，当|α_ij|和|β_ij|接近于0时，

在-40dB附近有微小波动，并且与波束指向几乎无关，全方向图校正方法 能够提升L_DR测量的性能；

对全方向图校正方法的性能进行验证，具体仿真流程如下：

Step 1:基于HFSS，计算得到“真实”的单元方向图f(0，φ)；

Step 2:通过随机数发生器产生“测量误差”e(0，φ)，将e(0，φ)加入 到f(0，φ)，得“实测”的单元方向图f_m(0，φ)，随机误差满足

Step 3:发射方向采用均匀加权，接收方向图采用-40dB Taylor加权；

Step 4:计算FT和FR；Step 5:计算校正矩阵Q；Step 6:计算

和

仿真中，阵列尺寸为64×64，单元间距为λ/2，中心频率为3.5GHz，E_f＝1％。

由于采用如上所述的技术方案，本发明具有如下优越性：

一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方法，是基于单频或者窄 带条件假设的，对于宽带信号，还需要考虑频率域的插值的问题；提出的全方向 图校正方法能够有效提升雷达对交叉极化测量的精度，其优势在于通过天线发射 和接收方向图可以直接计算出校正矩阵，而不需要通过对毛毛雨进行测量来获取 校正矩阵，而代价在于需要大量的计算，并且各个波束指向上的校正矩阵需要单 独计算。因此整个波束内的空域极化起伏对L_DR的测量影响较为显著。因此有了快 速、高效、高精度的求解算法。

当实际的L_DR值较大时，天线波束内空域极化的起伏对L_DR测量的影响并不 显著，当实际的L_DR值较小时，天线波束内空域极化的起伏对L_DR测量的影响较为 显著。因此，提出的全方向图校正方法主要适用于对交叉极化分量较小的分布式 目标进行测量。在气象观测领域，由于气象目标极化散射矩阵的交叉极化分量较 小，全方向图校正方法能够有效提升系统对交叉极化测量的精度，当L_DR＝-40dB 时，与轴向校正方法相比，全方向图校正方法的测量性能提升了约5dB。

测量结果建立了相应的误差校正矩阵，从而能够对由天线波束内空域极化起 伏引起的误差进行校正，其校正结果中横坐标表示L_DR值，纵坐标表示雷达观测 距离，虚线表示未校正的测量结果，实线表示校正后的结果。当L_DR>-20dB时， 未校正的测量结果与校正后的测量结果几乎一致，而当L_DR<-25dB时，校正后 的结果与未校正的结果有较大差别。当目标极化散射矩阵的交叉极化分量交小 时，交叉极化分量的测量容易受天线波束内空域极化起伏的影响；当目标极化散 射矩阵的交叉极化分量交大时，在天线波束较窄的情况下，天线波束内空域极化 起伏对交叉极化分量的测量影响不显著。

附图说明

图1为天线垂直指向时的雨滴测量结构示意图；

图2球面辐射场插值示意图；

图3双极化天线单元方向图重建误差图；

图4机械扫描气象雷达天线方向图模型图；

图5 WSR-88D雷达天线方向图(蓝线)及其高斯函数近似(红线)图；

图6 CSU-CHILL雷达天线方向图(实线)及其高斯函数近似(虚线)图；

图7均匀加权阵列天线方向图(蓝线)及其高斯函数近似(红线)图；

图8 40dB加权阵列天线方向图(蓝线)及高斯函数近似(红线)图；

图9双程阵列天线方向图(蓝线)及其高斯函数近似(红线)图；

图10在不同积分区域下计算Q₁₁的相对误差图；

图11 Newton-Cotes积分方法与Gauss-Legendre积分方法精度对比图；

图12轴向校正法仿真结果(δ_ij＝0.01,|α_ij|＝|β_ij|＝0)图；

图13轴向校正法仿真结果

图；

图14基于微带贴片天线的

仿真结果图；

图15基于毛毛雨测量结果的极化误差校正图。

具体实施方式

如图1至图15所示，一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方 法，其步骤如下：在不考虑传播路径上的衰减和相位延迟的情况下，大量雨滴的 接收电压方程为

将(3.1)展开为标量方程，有

由此可得接收回波的平均功率

(3.1)、(3.2)和(3.3)完整描述了大量雨滴回波的电压和功率。

前面，用天线发射和接收方向图轴向上的信息对测量得到的Z_DR和L_DR进行了校正。仿真结果表明，Z_DR测量不依赖于天线波束指向，并且对天线波束内空域极化 的起伏不敏感。相反，L_DR测量依赖于天线波束指向，并且对天线波束内空域极化 起伏敏感，其原因在于轴向校正法只利用了波束指向上的极化信息，没有考虑整 个波束内的空域极化特性对L_DR测量的影响。

从(3.3)可以看出，主极化接收功率P_hh和P_vv在雷达的作用距离范围内相对较 大，同时由于一般气象雷达的波束较窄(～1°)，因此整个波束内的空域极化 起伏对Z_DR的测量影响不大。然而，由于交叉极化接收功率P_hv和P_vh在雷达的作用距 离范围内相对较小，因此整个波束内的空域极化起伏对L_DR的测量影响较为显著。 如(3.1)、(3.2)和(3.3)所示，为了提升对L_DR测量的精度，需要利用整个阵列 的方向图称为阵列全方向图，来对测量结果进行校正。

全方向图校正方法，接收电压V的矩阵形式，首先给出矩阵方程的矢量化表 示方法，可以很方便的表示全方向图校正方法。

设A为m行n列的矩阵

定义矩阵的矢量化函数vec(A)为

vec(A)表示将矩阵A的各个列拼接起来，组成一个m×n维的列矢量。对于矩阵的矢量化函数vec(·)，有如下引理。

引理3.1:设矩阵A＝ab^t，其中a为m维列矢量，b为n维列矢量，t表示矩阵 转置，则

其中

表示矩阵的Kronecker积。

证明:设a和b分别表示为

a＝[a₁ a₂ … a_m]^t (3.7)

b＝[b₁ b₂ … b_n]^t (3.8)

则A＝ab^t可以表示为

A＝[b₁a b₁a … b_na] (3.9)

根据Knronecker积的定义，有

由vec(A)的定义可知，

定理3.1:设A为m行p列矩阵，B为p行q列矩阵，C为q行n列矩阵，则

证明:B可以表示为

B＝[b₁ b₂ … b_q] (3.12)

其中b_i为p维列矢量。设e_i为基本列矢量，即e_i中只有第i个元素为1，其他元素为0。由此，B可以表示为

(3.13)

因此，vec(ABC)可以表示为

利用引理3.1，有

定理3.1给出了矩阵乘积的矢量化表示。当A、B和C为2行2列矩阵时，矩阵方 程D＝A·B·C可以表示为如下的矢量化形式

其中

如果B₁₂＝B₂₁，则(3.16)可以化简为

根据第3.2节的推导可知，单个雨滴的接收电压方程为

假设S_hv＝S_vh，则散射矩阵的矢量形式可以表示为

根据(3.18)，单个雨滴的接收电压方程(3.19)可以表示为如下的矩阵与矢量乘积的形式

其中

单个雨滴接收电压的协方差矩阵可以表示为

其中

表示共轭转置，<·>表示集合平均。

对于大量雨滴，接收电压协方差矩阵可以表示为

其中Ω表示立体角，dΩ＝sin0d0dφ。式(3.25)的积分区域应包含整个天线 波束。由于极化测量误差校正方法是针对各个距离分辨单元，因此式(3.25)中省 略了对距离维的积分。由此，将一个分辨单元所对应的体积内的三维积分转化为 式(3.25)所示的角度域的二维积分。根据定理3.1，(3.25)可以表示为

其中

“*”表示复数共轭。M是9×9矩阵。

和

是由R_V和R_S的各列拼接而成的9维 列矢量，即

如果假设

在天线方向图主瓣内是 均匀分布的，则(3.26)可以简化为

其中

Q是一个9×9矩阵，描述了整个天线方向图对极化测量的影响。如果天线的发射和接收方向图F_T和F_R已知，则

可以表示为

由于校正矩阵Q包含了整个天线方向图对极化测量的影响，因此，在本文中(3.30)所示的校正方法称为全方向图校正法。

由(3.30)可知，全方向图校正方法的关键是计算校正矩阵Q。由(3.29)可 知，Q是θ和φ上的二重积分，即

计算矩阵Q需要知道完整的天线放线图函数，然而在实际的天线方向图测量 中，通常只会给出离散的测量结果，即基于一定空间角度采样的天线方向图。因 此，计算Q的首要问题就是要通过离散的天线方向图测量数据重建出完整的天线 方向图函数。由于(3.31)的复杂性，Q只能通过数值的方法求得，因此，计算Q 便是寻找具有高精度和高效率的数值积分方法。

由离散的天线方向图测量数据重建恢复出整个天线方向图称之为天线方向 图的重建。天线方向图重建是天线理论与应用方面的一个重要问题，信号处理理 论中的带宽，目标的散射场(对天线来说即是辐射场)是一个“带限”或“近似 带限”的函数，即目标散射场或天线辐射场的Fourier变换是一个“带限”或“近 似带限”的函数。天线辐射场“带宽”的近似表达式

w≈ka (3.32) 其中w称为辐射场(散射场)的空间有效带宽。k＝2π/λ，λ为波长。a为包含 天线(散射体)的最小球体的半径。由Nyquist-Shannon采样定理可知，理论上 天线的辐射场可以由一组离散的测量序列的插值精确的恢复出来。

图2所示为球面辐射场插值的一般过程。尺寸为L×L的天线位于坐标原点。图2 中黑色点代表测量得到的离散天线方向图序列。

首先考虑位于同一纬线上的场插值问题。对位于某条纬线上的绿色点，其电 场值可由位于该纬线上的黑色点插值得到，具体表达式如下

其中

N＝Int(χ₁kQsinθ)+1 (3.35)

Int(x)表示不超过x的最大整数。χ₁是用来约束方向图重建误差的常数。为了 保证重建误差低于1％，一般取

χ₁＝2(ka)^-2/3+1 (3.37)

重复上述1-D插值过程，可以得到位于同一经线上的电场值(如图2中绿色 点所示)。由所得到的绿色点的电场值，再次通过1-D插值，即可得到图2中红 色点的电场值。由绿色点和红色点的任意性可知，利用测量得到的离散天线方向 图序列(如图2中黑色点所示)，可以重建出整个天线方向图。完整的天线方向 图重建过程如下

其中

N＝Int(χ₁βa)+1 (3.40)

χ′₁＝χ′₁(θ)＝(χ₁-1)(sinθ)^-2/3+1 (3.42)

下面仿真的双极化天线单元方向图来对(3.38)进行验证。利用HFSS，可以 得到仿真的双极化微带贴片天线方向图E_sim(0，φ)。将E_sim(0，φ)作为“真实 的”天线方向图，同时利用HFSS可以得到天线方向图的 采样值E(0_n，φ_nm)，其中

基 于式(3.38)，利用E(0_n，φ_nm)，可以得到重建后的天线方向图Erec(0，φ)。 为了衡量基于式(3.38)的天线方向图重建精度，定义重建天线方向图的相对误 差Er

图3给出了双极化微带贴片天线方向图E_hh(θ，φ)、E_hv(θ，φ)、E_vh(θ， φ)、E_vv(θ，φ)的重建相对误差。从图3可以看出，重建相对误差都在10^-3或者 10^-4量级，由此可知基于式(3.38)的天线方向图重建是满足精密极化测量要求 的。

有关天线方向图重建的内容是基于单频或者窄带条件假设的。对于宽带信 号，还需要考虑频率域的插值的问题，两种模型来对气象雷达抛物面天线方向图 进行建模，如图4所示。图4中蓝色部分代表主极化方向图，绿色部分代表交叉极 化方向图。第1种模型如图4左半部分所示，该模型中主极化方向图和交叉极化方 向图都关于波束指向对称；第2种模型如图4右半部分所示，该模型中交叉极化方 向图均匀分布于天线波束指向四周，其中标有“+”号的方向图与标有“-”号的 方向图相位差为180°，0_p为主极化波束半功率波束宽度。

根据上述模型，气象雷达抛物面天线功率方向图可以表示为

其中，(θ_S，φ_S)表示波束指向，θ_p和φ_p表示天线波束在0和φ上的半功率波 束宽度。将(3.44)所示的天线方向图模型代入到气象雷达接收电压方程中可以 得到在不同波束宽度、交叉极化水平、交叉极化分布等条件下的极化测量性能。

以WSR-88D雷达设计，其天线主极化的口径场分布可以很好的近似为如下表 达式

其中ρo＝4.77m，a＝3，b＝0.16。

图5所示为基于(3.45)的WSR-88D雷达天线方向图及其高斯函数近似。从图 5可以看出，WSR-88D雷达天线方向图的主瓣(到-35dB)可以很好的近似为高 斯函数。

图6所示为CSU-CHILL雷达实测天线方向图(实线)及其高斯函数近似(虚 线)。从图6可以看出，高斯函数对CSU-CHILL雷达实测天线方向图主瓣的近似 是很好的(到-25dB左右)。

根据以上分析可知，对机械扫描气象雷达而言，利用高斯函数来近似抛物面天线的方向图既具有足够的精度，也能够大大简化对极化测量性能的分析。然而，对 于相控阵天线而言，利用高斯函数来近似天线方向图并不十分合适。这是因为相 控阵天线为了提升发射功率以及雷达系统灵敏度，在信号发射时，通常功率放大 器都工作在饱和状态。因此在信号发射时，一般不进行幅度加权。对于均匀分 布的线性阵和平面阵，发射方向图的旁瓣大约为-13dB。图7所示为均匀加权阵 列天线方向图及其高斯函数近似。从图7可以看出，高斯函数对均匀加权的发射 方向图近似在-10dB以下。

对于接收方向图，为了满足降低旁瓣、抑制干扰、提升信噪比等要求，通常 会采用数字波束形成(Digital Beamforming，DBF)技术。图8所示为-40dB Taylor 加权阵列天线方向图及其高斯函数近似。从图8可以看出，高斯函数对-40dB Taylor加权的接收方向图近似在-15dB以下并不理想，与均匀加权发射方向图 的高斯函数近似相比，-40dB Taylor加权方向图的高斯函数近似要好。

图9所示为双程阵列天线方向图及其高斯函数近似，其中发射方向图为均匀加权，接收方向图为-40dB Taylor加权。从图9可以看出，高斯函数对双程阵列方向图 近似在-25dB以下。从图7、图8和图9可以看到，与机械扫描气象雷达天线方向 图相比，高斯函数并不能很好的近似相控阵天线发射和接收方向图。另一方面， 机械扫描雷达在各个波束指向上的波束宽度等特性都是一致的，而极化相控阵雷 达的主极化方向图和交叉极化方向图会随着波束指向而变化。因此，在计算校正 矩阵Q时，不能直接利用高斯函数近似，而只能利用测量得到的相控阵天线主极 化和交叉极化方向图来计算校正矩阵Q。

下面以如下积分为例来讨论Q的计算

其中Q₁₁(0S，φS)为矩阵Q第1行第1列的元素。取(0S，φS)＝(90°，0°)， 则

和

关于0和φ对称。原则上，(3.46)的积分区域为

由于阵列方向图的快速衰减特性，选择(90°，0°) 的一个邻域作为积分区域即可满足积分精度的要求。

图10给出了不同积分区域

下计算Q₁₁(0_S， φ_S)的相对误差，其中0_p为半功率波束宽度。从图10可以看到，当n＝10时，计 算Q11(0_S，φ_S)的相对误差要小于-60dB。因此，确定积分区域为

由于相控阵天线的波束宽度随着波束的扫描而变化，因此积分区域也是随着 波束扫描而变化的。这在实际处理中很不方便，因此在计算Q时，采用u-v坐标系， 即

u-v坐标系在相控阵天线分析中十分常用。采用u-v坐标系后，相控阵天线的阵列因子不随波束扫描而变化。如果忽略掉天线单元方向图所带来的细微影响，采用 u-v坐标系后，相控阵天线的方向图不随波束扫描而变化。根据(3.47)，可得

在u-v坐标系下，Q可以表示为

其中，Det(·)表示矩阵行列式的值。J(u，v)是Jacobian矩阵，定义为

将(3.50)代入到(3.49)中，可得

(3.51)的积分区域为[u_S-Δu/2,u_S+Δu/2]×[v_S-Δv/2,v_S+Δv/2]，其中Δu和Δv

可以通过(3.46)的积分区域来确定。

利用数值积分方法，(3.51)可以表示为

其中w_mn为积分权系数。如果u_mn和v_mn在积分区域内均匀分布，则该数值积分方法称为Newton-Cotes积分。如果u_mn和v_mn在积分区域内并非均匀分布，则在所有的数值 积分方法中，Gauss积分方法具有最高的精度。Gauss积分方法的优势在于可以用 相对较少的积分点达到相对较高的积分精度。Gauss积分方法依赖于权函数的选 取，常用的权函数有

W(x)＝1 (3.53)

W(x)＝exp(-x²) (3.55)

(3.53)、(3.54)、(3.55)所对应的积分点分别是Legendre多项式、Chebyshev 多项式、Hermite多项式的根。

由(3.51)可知，权函数应取为W(x)＝1。下面讨论2元函数的高斯数值积分 问题。设2元函数g(x，y)在积分区域[a，b]×[c，d]上的积分为

令s＝(b+a)＝2+(b-a)y/2，t＝(d+c)/2+(d-c)x/2，有

首先考虑对s进行数值积分，则有

然后考虑对t进行数值积分，则有

其中t_i和s_j分别为n_t阶和n_s阶勒让德多项式的根，W_i ^t和

为相应的权值。对于 n阶勒让德多项式，其表达式为

如果xi是n阶勒让德多项式P_n(x)的根，则对应的积分权值W_i可以表示为

任意n阶多项式根的求解可以将其转化为矩阵特征值求解问题。具体来说，对于任意n阶多项式，都可以找到一个n阶矩阵，使得该矩阵的特征多项式与待求解 的n阶多项式相同。因此任意n阶多项式根的求解通过求解矩阵特征值解决。 图11以(3.46)为例，给出了Newton-Cotes积分方法与Gauss-Legendre积分方 法精度对比。从图11可以看出，在相同的积分点数下，Gauss-Legendre积分方 法的相对误差比Newton-Cotes积分方法的相对误差小大约2个数量级，例如当 N_u＝N_v＝27时，Gauss-Legendre积分方法的相对误差约为10^-9，而Newton-Cotes 积分方法的相对误差约为10^-7。因此，在利用数值积分方法计算Q时，采用 Gauss-Legendre积分方法。

全方向图校正方法能够补偿天线波束内空域极化起伏带来的影响。换言之， 如果使用一个具有理想空域极化特性(即在天线波束内空域极化不起伏)的天线 进行极化测量，则其测量结果等价于利用全方向图校正方法的结果。以平面阵列 天线为例，在天线法线方向及其附近，天线方向图近似满足理想的空域极化特性。 由第三章中建立的线性模型可知，在平面阵列天线法线方向，有

|α_ij|≈0,|β_ij|≈0 (3.62)

根据上述讨论，全方向图校正方法的性能同样可以利用线性模型来分析。图 12和图13给出了基于线性模型的仿真结果，其中阵列尺寸为64×64，单元间距为 λ/2，中心频率为3.5GHz，发射方向图采用均匀加权，接收方向图采用-40dB Taylor加权。从图12和图13可以看出，当|α_ij|和|β_ij|接近于0时，

在-40dB 附近有微小波动，并且与波束指向几乎无关，这说明了全方向图校正方法对提升 L_DR测量性能的优势。

需要指出的是，图12和图13仅仅是从直观上对全方向图校正方法进行了说 明，严格来说，为了分析全方向图校正方法的性能，需要完整的极化相控阵天线 的发射和接收方向图。由于实际的极化相控阵天线的发射和接收方向图目前无法 获取，下面将利用仿真得到的双极化天线单元的方向图对全方向图校正方法的性 能进行验证，具体仿真流程如下：

Step 1:基于HFSS，可以计算得到”真实”的单元方向图f(0，φ)；

Step 2:通过随机数发生器产生“测量误差”e(0，φ)，将e(0，φ)加入 到f(0，φ)，可得“实测”的单元方向图f_m(0，φ)。随机误差满足

Step 3:发射方向图采用均匀加权，接收方向图采用-40dB Taylor加权；

Step 4:计算FT和FR；

Step 5:计算校正矩阵Q；

Step 6:计算

和

仿真中，阵列尺寸为64×64，单元间距为λ/2，中心频率为3.5GHz，E_f＝1％。 图14给出了基于微带贴片天线的

仿真结果，其中蓝线表示利用全方向图校正 方法的结果，红线表示利用轴向校正方法的结果，横坐标表示实际的L_DR值，纵坐 标表示校正后的L_DR值。从图14可以看出，当

时，2种极化校正方 法的结果几乎一致，而当

时，全方向图校正方法的效果要比轴向 校正方法的效果好。从图14还可以看出，当实际的L_DR值较大时，天线波束内空 域极化的起伏对L_DR测量的影响并不显著，当实际的L_DR值较小时，天线波束内空 域极化的起伏对L_DR测量的影响较为显著。因此，提出的全方向图校正方法主要 适用于对交叉极化分量较小的分布式目标进行测量。在气象观测领域，由于气象 目标极化散射矩阵的交叉极化分量较小，全方向图校正方法能够有效提升系统对 交叉极化测量的精度，如图14所示，当L_DR＝-40dB时，与轴向校正方法相比， 全方向图校正方法的测量性能提升了约5dB。

测量结果建立了相应的误差校正矩阵，从而能够对由天线波束内空域极化起 伏引起的误差进行校正，其校正结果如图15所示。图15中横坐标表示L_DR值，纵 坐标表示雷达观测距离，虚线表示未校正的测量结果，实线表示校正后的结果。 从图15可以看出，当L_DR>-20dB时，未校正的测量结果与校正后的测量结果几 乎一致，而当L_DR<-25dB时，校正后的结果与未校正的结果有较大差别。需要 指出的是，图15中所谓“未校正”的结果指的是没有对天线波束内空域极化起伏 引起的误差进行校正，而诸如H和V通道的幅度相位、系统损耗、天线交叉极化 等误差因素已经通过其它手段进行了校正。

图15和图14都反映出了这样一个事实：当目标极化散射矩阵的交叉极化分量 交小时，交叉极化分量的测量容易受天线波束内空域极化起伏的影响；当目标极 化散射矩阵的交叉极化分量交大时，在天线波束较窄的情况下，天线波束内空域 极化起伏对交叉极化分量的测量影响不显著。

Claims (1)

1.一种基于综合积分的宽带相控阵雷达天线极化校准方法，其特征是：其步骤如下：

1)在不计传播路径上的衰减和相位延迟的情况下，大量雨滴的接收电压方程为

将(3.1)展开为标量方程，有

由此得接收回波的平均功率

(3.1)、(3.2)和(3.3)完整描述了大量雨滴回波的电压和功率；

式(3.3)，主极化接收功率P_hh和P_vv在雷达的作用距离范围内相对较大，同时气象雷达的波束较窄(～1°)，整个波束内的空域极化起伏对Z_DR的测量影响不大，交叉极化接收功率P_hv和P_vh在雷达的作用距离范围内相对较小，整个波束内的空域极化起伏对L_DR的测量影响较为显著，

提升对L_DR测量的精度，利用整个阵列的方向图，称为阵列全方向图来对测量结果进行校正；

全方向图校正方法，采用接收电压V的矩阵形式，具体给出矩阵方程的矢量化表示方法，全方向图校正方法的表示，设A为m行n列的矩阵

定义矩阵的矢量化函数vec(A)为

vec(A)表示将矩阵A的各个列拼接起来，组成一个m×n维的列矢量，对于矩阵的矢量化函数vec(·)，有如下引理；

引理3.1:设矩阵A＝ab^t，其中a为m维列矢量，b为n维列矢量，t表示矩阵转置，则

其中

表示矩阵的Kronecker积；

证明:设a和b分别表示为

a＝[a₁ a₂ … a_m]^t (3.7)

b＝[b₁ b₂ … b_n]^t (3.8)

则A＝ab^t表示为

A＝[b₁a b₁a … b_na] (3.9)

根据Knronecker积的定义，有

由vec(A)的定义知，

定理3.1:设A为m行p列矩阵，B为p行q列矩阵，C为q行n列矩阵，则

证明:B表示为

B＝[b₁ b₂ … b_q] (3.12)

其中b_i为p维列矢量；设e_i为基本列矢量，即e_i中只有第i个元素为1，其他元素为0，由此，B表示为

(3.13)

因此，vec(ABC)表示为

利用引理3.1，有

定理3.1给出了矩阵乘积的矢量化表示，当A、B和C为2行2列矩阵时，矩阵方程D＝A·B·C表示为如下的矢量化形式

其中

如果B₁₂＝B₂₁，则(3.16)化简为

根据第3.2节的推导知，单个雨滴的接收电压方程为

假设S_hv＝S_vh，则散射矩阵的矢量形式表示为

根据(3.18)，单个雨滴的接收电压方程(3.19)表示为如下的矩阵与矢量乘积的形式

其中

单个雨滴接收电压的协方差矩阵表示为

其中

表示共轭转置，<·>表示集合平均；

对于大量雨滴，接收电压协方差矩阵表示为

其中Ω表示立体角，dΩ＝sin0d0dφ；式(3.25)的积分区域应包含整个天线波束，针对各个距离分辨单元，式(3.25)中省略了对距离维的积分，将一个分辨单元所对应的体积内的三维积分转化为式(3.25)所示的角度域的二维积分；根据定理3.1，(3.25)表示为

其中

“*”表示复数共轭，M是9×9矩阵，

和

是由R_V和R_S的各列拼接而成的9维列矢量，即

如果假设

在天线方向图主瓣内是均匀分布的，则(3.26)简化为

其中

Q＝∫_ΩMdΩ (3.29)

Q是一个9×9矩阵，描述了整个天线方向图对极化测量的影响，如果天线的发射和接收方向图F_T和F_R已知，则

表示为

校正矩阵Q包含了整个天线方向图对极化测量的影响，因此，校正方法称为全方向图校正法；

由(3.30)知，全方向图校正是计算校正矩阵Q，Q是θ和φ上的二重积分，即

计算矩阵Q需要知道完整的天线放线图函数，首先通过离散的天线方向图测量数据重建出完整的天线方向图函数，其次是寻找具有高精度和高效率的数值积分方法；

借鉴信号处理理论中带宽的概念，目标的散射场是一个“带限”或“近似带限”的函数，天线辐射场“带宽”的近似表达式

w≈ka (3.32)

其中w称为辐射场的空间有效带宽，k＝2π/λ，λ为波长，a为包含天线的最小球体的半径，天线的辐射场由一组离散的测量序列的插值精确的恢复出来，

首先在位于同一纬线上场插值的点，其点电场值由位于该纬线上的点插值得到，具体表达式如下

其中

N＝Int(χ₁kasinθ)+1 (3.35)

Int(x)表示不超过x的最大整数，χ₁是用来约束方向图重建误差的常数，为了保证重建误差低于1％，取

χ₁＝2(ka)^-2/3+1 (3.37)

重复上述的插值过程，得到位于同一经线上的电场值，再次通过插值，即可得到点的电场值，利用测量得到的离散天线方向图序列，重建出整个天线方向图，天线方向图重建过程如下

其中

N＝Int(χ₁βa)+1 (3.40)

χ′₁＝χ′₁(θ)＝(χ₁-1)(sinθ)^-2/3+1 (3.42)

基于第3.1节仿真的双极化天线单元方向对(3.38)进行验证，利用HFSS，得到仿真的双极化微带贴片天线方向图E_sim(0，φ)，将E_sim(0，φ)作为“真实的”天线方向图，同时用HFSS得到天线方向图的采样值E(0_n，φ_nm)，其中

基于式(3.38)，利用E(0_n，φ_nm)，得到重建后的天线方向图Erec(0，φ)，为了衡量基于式(3.38)的天线方向图重建精度，定义重建天线方向图的相对误差Er

双极化微带贴片天线方向图E_hh(0，φ)、E_hv(0，φ)、E_vh(0，φ)、E_vv(0，φ)的重建相对误差都在10^-3或者10^-4量级，由此知基于式(3.38)的天线方向图重建是满足精密极化测量要求的；

根据上述模型，气象雷达抛物面天线功率方向表示为

其中，(θ_S，φ_S)表示波束指向，θ_p和φ_p表示天线波束在0和φ上的半功率波束宽度，将(3.44)所示的天线方向图模型代入到气象雷达接收电压方程中得到在不同波束宽度、交叉极化水平、交叉极化分布的条件下的极化测量性能；

天线主极化的口径场分布的近似为如下表达式

其中ρo＝4.77m，a＝3，b＝0.16；

相控阵天线主极化和交叉极化方向图来计算校正矩阵Q，

其中Q₁₁(0S，φS)为矩阵Q第1行第1列的元素，取(0S，φS)＝(90°，0°)，则

和

关于0和φ对称，(3.46)的积分区域为

选择(90°，0°)的一个邻域作为积分区域即可满足积分精度的要求；

不同积分区域

下计算Q₁₁(0_S，φ_S)的相对误差，其中0_p为半功率波束宽度，当n＝10时，计算Q11(0_S，φ_S)的相对误差要小于-60dB，确定积分区域为

相控阵天线的波束宽度随着波束的扫描而变化，积分区域也是随着波束扫描而变化的，因此在计算Q时，采用u-v坐标系，即

采用u-v坐标系后，相控阵天线的阵列因子不随波束扫描而变化，相控阵天线的方向图不随波束扫描而变化，根据(3.47)得

在u-v坐标系下，Q表示为

其中，Det(·)表示矩阵行列式的值；J(u，v)是Jacobian矩阵，定义为

将(3.50)代入到(3.49)中，得

(3.51)的积分区域为[u_S-Δu/2,u_S+Δu/2]×[v_S-Δv/2,v_S+Δv/2]，其中Δu和Δv通过(3.46)的积分区域来确定；

利用数值积分方法，(3.51)表示为

其中w_mn为积分权系数，如果u_mn和v_mn在积分区域内均匀分布，则该数值积分方法称为Newton-Cotes积分，如果u_mn和v_mn在积分区域内并非均匀分布，则在所有的数值积分方法中，Gauss积分方法具有最高的精度，Gauss积分方法依赖于权函数的选取，权函数有

W(x)＝1 (3.53)

W(x)＝exp(-x²) (3.55)

(3.53)、(3.54)、(3.55)所对应的积分点分别是Legendre多项式、Chebyshev多项式、Hermite多项式的根；

由(3.51)知，权函数应取为W(x)＝1，设2元函数g(x，y)在积分区域[a，b]×[c，d]上的积分为

令s＝(b+a)＝2+(b-a)y/2，t＝(d+c)/2+(d-c)x/2，有

首先考虑对s进行数值积分，则有

然后考虑对t进行数值积分，则有

其中t_i和s_j分别为n_t阶和n_s阶勒让德多项式的根，W_i ^t和W_j ^s为相应的权值，对于n阶勒让德多项式，其表达式为

如果xi是n阶勒让德多项式P_n(x)的根，则对应的积分权值W_i表示为

在天线法线方向及其附近，天线方向图近似满足理想的空域极化特性，在平面阵列天线法线方向，有

|α_ij|≈0,|β_ij|≈0 (3.62)

其中阵列尺寸为64×64，单元间距为λ/2，中心频率为3.5GHz，发射方向图采用均匀加权，接收方向图采用-40dB Taylor加权，当|α_ij|和|β_ij|接近于0时，

在-40dB附近有微小波动，并且与波束指向几乎无关，全方向图校正方法能够提升L_DR测量的性能；

对全方向图校正方法的性能进行验证，具体仿真流程如下：

Step 1:基于HFSS，计算得到“真实”的单元方向图f(0，φ)；

Step 2:通过随机数发生器产生“测量误差”e(0，φ)，将e(0，φ)加入到f(0，φ)，得“实测”的单元方向图f_m(0，φ)，随机误差满足

Step 3:发射方向采用均匀加权，接收方向图采用-40dB Taylor加权；

Step 4:计算FT和FR；Step 5:计算校正矩阵Q；Step 6:计算

和

仿真中，阵列尺寸为64×64，单元间距为λ/2，中心频率为3.5GHz，E_f＝1％。

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