CN113643203A - 一种图像模糊矩阵结构的辨识方法 - Google Patents

Abstract

本专利公开一种在一些边界条件下图像模糊矩阵结构的辨识方法，包括依据边界条件和边角类型：1)确定边界条件矩阵的结构；2)分析扩展模糊矩阵与边界矩阵的乘积，以此获得图像模糊矩阵的结构。所公开的辨识方法，可用于特定边界条件和边角类型下图像模糊矩阵结构的辨识中，所确定的图像模糊矩阵的结构，可为图像恢复的计算实现提供依据。

Description

一种图像模糊矩阵结构的辨识方法

技术领域

本发明涉及图像处理，特别地，本发明涉及不同边界和边角条件下线性退化图像的恢复中，对图像模糊矩阵结构的辨识方法。

背景技术

在线性退化模型g＝Kf+η的图像恢复中，需基于一定的边界条件(BoundaryConditions，BCs)和边角类型，计算矩阵

与矢量

的乘积Kf，以及K的转置K′与f的乘积K′f，其中K为实施点扩展函

模糊作用的图像模糊矩阵，h简称PSF，f为图像

的按行优先排列的矢量表示。一般地，因K和K′为严重稀疏的超大型矩阵，乘积Kf和K′f或者需要基于预置矩阵进行加速计算，或者需要基于卷积或模糊矩阵对角化进行替代计算，采用哪种计算方式，这与K的结构相关，而后者由PSF 的对称性，以及图像恢复所基于的边界条件类型和边角类型一起决定，因此，在基于特定边界条件和边角类型的线性退化的图像恢复中，判断图像模糊矩阵K的矩阵结构，是相应图像恢复计算的前提。

目前的图像模糊矩阵结构的辨识方法，是简单地从一维退化过程的模糊矩阵结构，推导出二维退化过程中的图像模糊矩阵的分块结构，方法是：假设一维退化过程中的模糊矩阵K₁是多种结构矩阵之和，则二维退化过程中模糊矩阵K的结构，是K₁中各结构分别作为块内和块间结构的所有可能组合之和，不失一般性，若K₁＝K_x+K_y,则K＝K_xx+K_xy+K_yy，其中K_xy表示块间结构为x，块内结构为y的分块矩阵。这种简单的从一维推到二维的方法，仅适用边角类型为b的情况。

目前图像边界条件有Zero BCs(ZBC)、Periodic BCs(PBC)和Reflective BCs(RFBC)，以及新近提出的 Anti-Reflective BCs(ARBC)、Mean BCs(MBC)、Repeated BCs(RPBC)界条件等6种，其中，前三种边界条件及RPBC下仅存在边角类型b，而在ARBC和MBC条件下，还需进一步选择边角类型a或b，才可唯一确定模糊矩阵的结构。在6种边界条件中，前三种边界条件、以及ARBC的b边角类型(ARBC-b)和MBC 的b边角类型(MBC-b)所对应的K已被辨识，所采用的就是一维退化推导到二维退化过程的方法。剩下的 ARBC的a边角类型(ARBC-a)，MBC的a边角类型(MBC-a)，以及RPBC等对应的K的结构还未辨识，其中，前二者所对应的K的结构非常复杂，现有的结构辨识方法已不合适，需要找新的结构辨识方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：当选择的边角类型为a时，K的结构无法由现有方法辨识，导致边角类型a无法真正应用到图像恢复中。

由于图像的线性退化过程中，乘积Kf所实现的卷积作用，可分解为先按特殊边界和边角条件扩展图像矢量f，再对扩大后的图像矢量按ZBC进行卷积计算，即Kf本身可表示为

其中

为ZBC下的扩展模糊矩阵，B为特定边界条件和边角类型下的边界条件矩阵。这里

的结构已知，为块间和块内均为类Teoplitz的分块矩阵，B的结构可从边界条件和边角类型的定义中推导得出。

基于以上分析，本发明针对所述的一些图像模糊矩阵K难以辨识的问题，提出一种新的图像模糊矩阵结构辨识方法，思路是：将模糊矩阵K的结构辨识，分解为先辨识扩展矩阵B的结构，然后再辨识乘积KB 的结构；当边角类型为b时，先给出一维退化过程中的边界条件矩阵的结构，然后由扩展模糊矩阵与边界条件矩阵乘积的结构，推导二维退化过程中图像模糊矩阵的结构；当边角类型为a时，先直接从二维退化过程中分析边角条件矩阵结构，然后给出对应的扩展模糊矩阵与边界条件矩阵乘积的结构。为支持上述思路：

一些实施例给出了ARBC-a,MBC-a和RPBC条件下的边界条件矩阵的结构。

一些实施给出了ARBC-a,MBC-a和RPBC条件下的图像模糊矩阵的结构。

一些实施例通过实验，对所辨识的结构的正确性进行了说明。

本发明所给出的辨识方法，可应用到线性退化模型的图像恢复中，具有应用价值。

附图说明

图1示出的是本发明的流程；

图2示出的是本发明实验采用的图像；

图3示出的是本发明实验采用的点扩展函数；

图4示出的是本发明所辨识模糊矩阵与矢量乘积的均方误差。

具体实施方式

在以下描述中，出于说明的目的，结合附图，对发明内容中所述实施例的具体内容进行阐述。为了表达清晰和方便编程，一些计算公式中应用了Matlab的函数。

第1实施例

如图1所示，本发明给出不同边界条件下图像模糊矩阵结构的辨识方法，包括以下步骤：

1)选择构建K所基于的边界条件和边角类型；

2)按照边角类型，给出B的结构辨识方法；

3)按照边角类型，给出K的结构辨识方法。

第2实施例

当边角类型为a时，对应的图像模糊矩阵不是对应一维退化过程中模糊矩阵的分块矩阵，本发明给出 K的辨识方法为：先分析二维边界条件矩阵B的结构，再分析

的结构，最后基于

将

的结构确定为K的结构。

第3实施例

当边角类型为b时，K为一维退化过程中模糊矩阵K₁的分块矩阵，本发明给出K的辨识方法为：先分析一维边界条件矩阵B₁的结构，再基于

分析K₁的结构，最后将K₁的块结构，确定为K的结构。

第4实施例

本发明具体给出ARBC-a下边界条件矩阵B的结构为

其中，I₁₂＝I₁+I₂，I₁₃＝I₁+I₃，I₁₂₃＝I₁-I₂+2I₃，而

和

第5实施例

本发明给出MBC-a下的边界条件矩阵B的结构，具体为

这里，各个大小为

的满秩矩阵分别为

和

其中:1≤i≤p₁,1≤j≤q₁；s_1，1,i,j＝(abs(d₀)+1)(d₁+1)，s_1,2,i,j＝-d₁abs(d₀)+v₂ d₀,s_2,1,i,j＝-d₁abs(d₀)-v₁ d₀,s_2,2,i,j＝d₁(abs(d₀)-1),d₀＝p₁-q₁-i+j，和 d₁＝(p₁-i+1)v₂+(q₁-j+1)v₁；系数v₁和v₂的设置方法是如果d₀＞＝0,则v₁＝1,v₂＝0,否则v₁＝0,v₂＝1，函数 abs(x)表示返回x绝对值。

第6实施例

本发明给出RPBC条件下一维退化过程中B₁的结构为B₁＝I₁₃，对应地，B是B₁的块矩阵，即

第7实施例

本发明具体给出ARBC-a下K的结构为

K＝K_TT-K_TH+K_TR-K_HT-K_HH+K_HL+K_RT+K_LH-K_LL+K_U

该结构中：下标T，H，R分别表示Toeplitz矩阵，Hankel矩阵和文献^[1,2]中提出的秩-2修正矩阵，L和U 分别表示本发明给出的其他两种秩-2修正矩阵，它们的结构为：

记p＝2p₁+1,q＝2q₁+1,L型矩阵

中的非零元素由h的第i行h_i,:给出，矩阵结构为

L型块矩阵的结构为

1≤i≤p，其中矩阵

可以是Hankel或L类型矩阵，X_i的非零元素由h_i,:给出； U类型的分块矩阵K_U的结构为

其中，

t∈{1,q},对应i 的范围为：如果r＝1,则1≤i≤p₁,否则p₁+2≤i≤p；对j的范围为，如果t＝1,则1≤j≤q₁,否则， q₁+2≤j≤q。

第8实施例

本发明具体给出MBC-a下K的结构为

K＝K_TT+K_TE+K_ET+K_EE+K_D

该结构中：下标E表示文献^[2]提出的秩序-4矩阵，K_D表示本发明提出的另一种修正矩，其块结构为

其中秩-4的块矩阵S_t1,i,t₁∈{1,2},1≤i≤p₁的结构为

t₁∈{1,2},1≤i≤p₁,该结构中各元素的计算表达式为

第9实施例

本发明具体给出RPBC下K的结构为

K＝K_TT+K_TS+K_ST+K_SS

该结构中：下标S表示本发明所确定的rank-2结构，其中，S类型矩阵为

这里

t∈{1,q},且如果t＝1,则1≤j≤q₁,否则q₁+2≤j≤q；S类型块矩阵为

这里

r∈{1,p},i的范围是如果r＝1,则1≤i≤p₁,否则 p₁+2≤i≤p，X_i1由h_i1,:中的元素生成，其本身可以是S类型矩阵或Toeplitz矩阵。

第10实施例

本发明检验了所给出的ARBC-a、MBC-a和RPBC下B和K结构的正确性，为了对比，也给出了目前结构已知的PBC、RFBC、ARBC-和MBC-b下的实验结果。实验在Intel(R)Core(TM)i5(3.2GHz)机器上采用Matlab7.0完成。实验中：图像F采用如图2所示的Matlab图像Tissue.png，大小为506×800，F按行优先重排得到f；采用了5个h，其中Psf₁和Psf₂为Gaussian类型的Psf,sigma为0.5，大小分别为7×7 和31×31，用于模拟PSF形状对称、元素有规律取值的情况，如图3所示的Psf₃到Psf₅为3个归一化后的随机矩阵，用于模拟图像恢复中PSF的形状非对称、元素取值任意的情况。

B的正确性采用均方误差(RMSEs)：

来度量，其中

是按照边界条件和边角类型扩展所得图像

的按行排列的矢量，Bf为本发明所辨识的B与f的乘积，norm(x)和length(x) 分别计算矢量x的2范数和矢量长度x，sqrt(x)返回标量x的开方。

K的正确性采用均方误差

来度量，其中

表示真实的模糊图像，Kf 表示基于Kf＝sum(±K_XY)f得到的模糊图像。

在实验中，

的块内和块间均为类Toeplitz矩阵，sum(±K_XY)中的K_TT的块内和块间均为Toeplitz矩阵，二者非零元素相对密集，难于存储，实验中对应的

和K_TTf采用Matlab的二维卷积函数计算，即

和conv2(F，h，′same′)。Bf和sum(±K_XYf)中的其他K_XYf，因对应的B和K_XY足够稀疏，因此在实验中直接构造这些矩阵，并计算Bf和各K_XYf。

实验结果发现，在所实验的各种边界条件和边角类型下：Bf的RMSEs都为0，说明了本发明所提三种矩阵B在内的所有矩阵B的结构都正确；K的均方误差显示在图4中，图中各值是真实误差的10¹⁴，从中可以看出，各边界条件下Kf的RMSEs误差很小，说明本发明所得K的结构正确。

Claims (3)

1.一种可用于一些边界条件下图像模糊矩阵结构的辨识方法，所述方法分别在ARBC、MBC和RPBC等边界条件下，在由点扩展函数

和噪声

引起的图像F^m×n的线性退化模型g＝Kf+η中，为了给对应图像恢复中的模糊矩阵

与图像矢量f的乘积提供计算依据，基于K对f的模糊作用，可分解为对应边界条件下边界条件矩阵

的扩展作用与ZBC条件下扩展模糊矩阵

的模糊作用的接连，即基于

对模糊矩阵K的结构，依据边界条件和边角类型，采用如下步骤进行辨识：

1)分析一维或二维退化过程中边界条件矩阵的结构；

2)分析一维或二维退化过程中边界条件矩阵与扩展模糊矩阵乘积的结构，以获得模糊矩阵结构。

2.根据权利要求1所述的图像模糊矩阵结构的辨识方法，其特征在于所述的依据边界条件和边角类型，分析一维或二维退化过程中边界条件矩阵结构的方法为：

当边角的类型为a类型时，即扩展图像时，四个边角外的像素是直接由边角内反对称方向上的像素扩展来得到时，对应二维退化过程的边界条件矩阵B的结构，不是一维情况下边界条件矩阵B₁的块结构，这时需直接分析二维退化过程中的B的结构；当边角类型只有b类型，即扩展图像时，四个边角外的像素，是由对应边框内像素先依据行方向扩展，再依据列方向扩展来得到，此时，图像恢复中二维退化过程的边界条件矩阵

的结构，是一维退化情况下边界条件矩阵

的块结构，这样只需分析B₁的结构即可。

在一维退化过程中，记点扩展函数为

任意大小的待恢复列矢量为

f₁对应的扩展矢量为

在二维退化过程中，记任意大小的待恢复图像F的扩展图像为

h₁和h可以任意大小，不失一般性，应用中可设p₁和q₁均小于等于5。则B₁和B的结构分析的方法具体如下：

1)边角类型为a时，B的结构分析的方法是

先依据边角条件的定义构造扩展图像F_e，方法是：先用F填充F_e的中间部分，即F_e(p₁+1:m+p₁,q₁+1:n+q₁)＝F；然后依据边界条件和边角类型，按离边界和边角由近到远的顺序计算F_e中位于F图廓范围之外的像素，所得像素为由F图廓内对应元素线性表示，即有

其中常系数a_i,j由边界条件和边角类型推导，i,j的取值范围由边界条件和边角类型确定，且与i₁,j₁相关。按行优先重排F_e和F为失量

和f^mn×1，f_e和f间的关系有

然后依据f和对应扩展图像矢量f_e间的关系f_e＝Bf，构造边界条件矩阵B的方法是：逐一整理f_e和f的元素间的关系，可得边界条件矩阵B的非零元素

根据上述方法，在能选择a边角类型的现有两种边界条件中：

在ARBC下，当边角类型为a时，可得边界条件矩阵B的结构为

其中，I₁₂＝I₁+I₂，I₁₃＝I₁+I₃，I₁₂₃＝I₁-I₂+2I₃，而

和

在MBC下，当边角类型为a时，可得边界条件矩阵B的结构为

这里，各个大小为

的满秩矩阵分别为

和

其中:1≤i≤p₁,1≤j≤q₁；s_1,1,i,j＝(abs(d₀)+1)(d₁+1)，s_1,2,i,j＝-d₁abs(d₀)+v₂d₀,s_2,1,i,j＝-d₁abs(d₀)-v₁d₀,s_2,2,i,j＝d₁(abs(d₀)-1),d₀＝p₁-q₁-i+j，和d₁＝(p₁-i+1)v₂+(q₁-j+1)v₁；系数v₁和v₂的设置方法是如果d₀＞＝0,则v₁＝1,v₂＝0,否则v₁＝0,v₂＝1，函数abs(x)表示返回x绝对值；

2)边角类型为b时，B的分析方法是：

先依据边界条件的定义构造f_e1，方法是：首先用f₁填充f_e1的中间部分，即f_e1(q₁+1:n+q₁，1)＝f₁，然后依据边界条件，按照离边界由近到远的顺序，计算f_e1中超出f₁范围的上下边界部分，即f_ue1＝f_e1(1:q₁,1)和f_de1＝f_e1(n+q₁+1：n+2q₁,1)中的各个元素，所得元素为f₁内元素的线性表示，形如

和f_de1(i,1)＝∑a_jf_j，n+q₁+1≤i≤n+2q₁，其中，f_j为f₁内靠近边界的像素，j的取值范围由边界条件和i的值确定，常系数a_j由边界条件推出；

然后依据f₁和其扩展矢量f_e1间的关系f_e1＝B₁f₁，构造扩展矩阵B₁，具体方法是：B₁的中间行B₁(q₁+1:n+q₁,:)为n×n的单位阵；B₁中其他第i行内非零元素的值，可唯一地由f_ue1或f_de1中第i个像素的线性表示推出，即B₁(i,j)＝a_j,1≤j≤n；剩余元素为0值；

在能选择边角类型为b的边界条件下，仅RPBC下的边界条件矩阵结构未知，依据上述方法，可得其一维退化过程中B₁的结构为B₁＝I₁₃，对应地，B是B₁的块矩阵，即

3.根据权利要求2所述的图像模糊矩阵结构辨识方法，其特征在于分析模糊矩阵K的分块结构的方法为：

当边角类型为a时，二维退化过程中图像模糊矩阵K不是一维退化过程中K₁的块矩阵，此时需直接分析K的结构；当边角类型为b时，二维退化过程中模糊矩阵K是一维退化过程中模糊矩阵

的块矩阵，此时只需分析K₁的结构即可。K₁和K的结构分析具体方法为：

1)当边角类型为a时K的结构分析方法是

先构造扩展图像模糊矩阵

为非方且稀疏的分块矩阵，块间和块内均为类Toeplitz结构，其第i个行块上的2p₁+1个连续的非零矩阵由h的元素构成，即有

其中

的构造方法为

则为由h的第i行h(i,:)构造的类Toeplitz矩阵；

然后根据

计算K中非零元素的线性表达式，形如

其中1≤i₁≤mn，1≤j₁≤mn，1≤i≤2p₁+1，1≤j≤2q₁+1，i和j的实际取值范围与i₁和j₁相关；

再提取模糊矩阵K的结构，方法是：依照图像处理中的常见分块矩阵，从K各个元素的表达式中，检出已知分块矩阵的元素，然后将剩余内容进一步分解为待可利用的分块结构中，已知矩阵结构包括由Circulant、Teoplitz、Hankel、秩-2修正和秩-4修正矩阵等所形成的可能的块间和块内结构，从而将K分解

其中下标x,y表示某种矩阵结构，K_x,y表示块间结构未x,块内结构为y的分块矩阵；

依据上述方法，在能选择边角类型为a的两种边界条件中：

在ARBC下，当边角类型为a时，可得模糊矩阵K的结构为

K＝K_TT-K_TH+K_TR-K_HT-K_HH+K_HL+K_RT+K_LH-K_LL+K_U

该结构中：下标T，H，R分别表示Toeplitz矩阵，Hankel矩阵和文献^[1,2]中提出的秩-2修正矩阵，L和U分别表示本发明给出的其他两种秩-2修正矩阵，它们的结构为：

记p＝2p₁+1,q＝2q₁+1,L型矩阵

中的非零元素由h的第i行h_i,:给出，矩阵结构为

L型块矩阵的结构为

其中矩阵

可以是Hankel或L类型矩阵，X_i的非零元素由h_i,:给出；U类型的分块矩阵K_U的结构为

其中，

对应i的范围为：如果r＝1,则1≤i≤p₁,否则p₁+2≤i≤p；对j的范围为，如果t＝1,则1≤j≤q₁,否则，q₁+2≤j≤q；

在MBC下，当边角类型为a时，可得模糊矩阵K的结构为

K＝K_TT+K_TE+K_ET+K_EE+K_D

该结构中：下标E表示文献^[2]提出的秩序-4矩阵，K_D表示本发明提出的另一种修正矩，其块结构为

其中秩-4的块矩阵S_t1,i,t₁∈{1,2},1≤i≤p₁的结构为

该结构中各元素的计算表达式为

2)当边角类型为b时K的结构分析方法是

先构造K₁，方法是：首先先构造一维退化过程中的扩展模糊矩阵

非方且稀疏，为类Toelpliz矩阵，即其第i行上的非零元素为

然后根据

计算K₁非零元素的线性表达式，形如

其中1≤i₁≤n，j₁的取值范围与边界条件和i₁的取值有关，1≤j≤2q₁+1，j的取值范围与i₁和j₁的取值有关；

再分析模糊矩阵K的结构，方法是：先依照图像处理中常见矩阵的结构，从K₁各个元素的表达式中，检出已知结构的矩阵元素，然后将各元素表达式中剩余部分进一步分解到可利用结构的矩阵中，已知矩阵结构包括Circulant、Teoplitz、Hanke、修正矩阵矩阵等，从而将K₁表示成

其中下标x代表某个矩阵类型；然后将模糊矩阵K的结构确定为K₁各个分解矩阵的可能分块结构之和,形如

在能选择边角类型为b的边界条件下，仅RPBC下模糊矩阵的结构未知，依据上述方法，可得该边界条件下模糊矩阵结构为

K＝K_TT+K_TS+K_ST+K_SS

该结构中：下标S表示本发明所确定的rank-2结构，其中，S类型矩阵为

这里

且如果t＝1,则1≤j≤q₁,否则q₁+2≤j≤q；S类型块矩阵为

这里

i的范围是如果r＝1,则1≤i≤p₁,否则p₁+2≤i≤p，X_i1由h_i1,:中的元素生成，其本身可以是S类型矩阵或Toeplitz矩阵。

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