CN113641950B - 弹性绳径向微幅振荡导致在轨绳系卫星混沌的判定方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种弹性绳径向微振幅导致在轨绳系卫星混沌的判定方法，包括以下步骤：(1)通过将系绳径向微幅振荡下绳系卫星系统动力学方程转化为状态方程形式，从无扰系统找到绳系卫星系统的不稳定鞍点及异宿轨道；(2)通过Melnikov方法判定在摄动作用下绳系卫星系统是否存在由于异宿轨道横截相交而产生的横截异宿点；(3)如存在横截异宿点，判定存在混沌行为。本发明能构建一个能描述弹性系绳径向微幅振荡对在轨两体绳系卫星系统影响的动力学方程，通过研究系统不稳定鞍点附近是否会发生异宿轨道横截相交，从而判断此微幅振荡是否会导致系统产生混沌；能有效预测混沌的发生，避免不规则混沌行为对在轨运行系统产生危害。

Description

弹性绳径向微幅振荡导致在轨绳系卫星混沌的判定方法
技术领域
本发明涉及在轨绳系卫星混沌的判定方法，尤其涉及一种弹性绳径向微幅振荡导致在轨绳系卫星混沌的判定方法。
背景技术
由于空间绳系系统自身的强非线性结构，其在轨飞行期间必然存在大量的非线性现象，如内共振、分岔、概周期运动、混沌等。特别是混沌现象，已引起了广大科研工作者们的密切关注。譬如，Steiner数值研究了一类高维无扰动绳系卫星系统的瞬态混沌运动，指出当系统初始状态位于不稳定平衡点附近时可能会产生瞬态混沌现象。Nakanishi等讨论了空间绳系系统混沌运动与轨道偏心率的关系，发现只要轨道偏心率大于0.3138时系统面内俯仰运动就会发生混沌。Kojima等通过一个旋转的平台及带有倾角的桌面分别模拟了系统的轨道运动及地球重力，实验验证了较大的轨道偏心率会导致空间绳系系统产生混沌。Pang等研究了一个非对称绳系航天器刚体，发现不规则刚体载荷也会使系统发生混沌运动。Aslanov等利用Melnikov函数和Poincaré截面深入探究了一类低推力空间碎片绳系拖曳系统的混沌运动。Lian等研究了一类绳系太阳帆系统，发现其在绕一个高度不规则行星运行时会有混沌现象出现。
前人研究表明，轨道偏心率及不规则刚体都会导致在轨绳系系统产生混沌运动，但是弹性系绳自身径向微幅振荡是否会导致系统产生混沌行为从未被研究过，由此是否会引起混沌无法判断。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种能有效预测混沌的发生，避免不规则混沌行为对在轨运行系统产生危害的弹性绳径向微幅振荡导致在轨绳系卫星混沌行为的判定方法。
技术方案：本发明的判定方法，包括以下步骤：
(1)通过将系绳径向微幅振荡下绳系卫星系统动力学方程转化为状态方程形式，从无扰系统找到绳系卫星系统的不稳定鞍点及异宿轨道；
(2)通过Melnikov方法判定在摄动作用下绳系卫星系统是否存在由于异宿轨道横截相交而产生的横截异宿点；
(3)如存在横截异宿点，判定存在混沌行为。
进一步，所述步骤(1)中，所述绳系卫星系统动力学方程为：
其中，
“点”表示对无量纲时间真近点角ν的导数；/>和/>分别表示与主星M和子星S及系绳质量有关的质量参数；μE表示地球引力常数；Rc表示地球质心与系统质心间的距离；aε为系绳的振幅，ωε为系绳的振荡频率，ωE表示地球自旋角速度；
假设主星与子星皆为圆柱体，且主星与子星的中心轴线与系绳始终保持平行；利用力矩公式及虚功原理，得到作用于主星刚体j＝M、子星刚体j＝S及系绳j＝t的由大气阻尼产生的广义力Qd为：
其中，Cd,j表示大气阻尼系数；ρa,j为所处位置的大气密度，κj表示为：
其中，l0表示系绳的无应力原始长度；θ表示系统的面内俯仰角，ν表示系统绕地飞行的真近点角，i表示赤道平面与轨道平面之间的夹角；
引入一个二维状态向量其中(θ1,θ2)T∈S1×R1，S1＝(-π,π]，R1表示实数域；将所述绳系卫星系统动力学方程转化为如下状态方程形式：
其中系统的向量场为：
摄动项为：
当摄动项为0时，则系统转化为一个无扰系统；在柱坐标系下该无扰系统有四条异宿轨道Γ1、Γ2、Γ3和Γ4，所述四条异宿轨道穿过两个不稳定鞍点
进一步，所述步骤(2)中，通过Melnikov方法判断绳系卫星系统在两个不稳定鞍点附近是否存在由于异宿轨道横截而产生的横截异宿点；
先将异宿轨道Γ1和Γ2解出：
再将异宿轨道Γ1和Γ2代入Melnikov函数：
得出：
由于函数sinωεν0的值域为[-1,1]，故当
对于Melnikov函数，有M(ν0)＝0且dM(ν0)/dν0≠0，则Melnikov函数存在简单零点。
进一步，对于扰动，找到稳定流形Ws(Pk)与不稳定流形Wu(Ph)，k,h＝1,2且k≠h横截相交的异宿点，则判定绳系卫星系统受到弹性系绳径向的微幅振荡摄动后，系统发生混沌。
本发明与现有技术相比，其显著效果如下：1、构建一个能描述弹性系绳径向微幅振荡对在轨两体绳系卫星系统影响的动力学方程，通过研究系统不稳定鞍点附近是否会发生异宿轨道横截相交，从而判断此微幅振荡是否会导致系统产生混沌；2、能有效预测混沌的发生，避免不规则混沌行为对在轨运行系统产生危害。
附图说明
图1为轨道面内运行的两体绳系卫星系统示意图；
图2为混沌域与系统轨道高度和系绳振荡频率之间的关系图；
图3(a)为两体绳系卫星系统俯仰角的不规则运动示意图，(b)为两体绳系卫星系统俯仰运动的庞加莱截面图，(c)为两体绳系卫星系统功率谱密度图，(d)为两体绳系卫星系统最大李雅普诺夫指数示意图；
图4(a)为当忽略弹性绳的径向微幅振荡时，俯仰角随无量纲时间ν的变化示意图；
(b)为当忽略弹性绳的径向微幅振荡时，俯仰运动的庞加莱截面示意图。
具体实施方式
下面结合说明书附图和具体实施方式对本发明做进一步详细描述。
本发明涉针对在轨绳系卫星系统，提出一套在弹性系绳径向微幅振荡作用下，系统俯仰运动发生混沌的判定方法。通过将系统动力学方程转化为状态方程形式，自无扰系统先找到系统的不稳定鞍点及异宿轨道，继而通过Melnikov方法研究在摄动作用下系统是否存在由于异宿轨道横截相交而产生的横截异宿点，最终给出混沌存在性的判定方法。
如图1所示为一个飞行于近地圆周轨道的面内绳系卫星系统。该系统由在主星M、子星S及起连接作用的系绳构成。主星M和子星S的质量分别记为mM和mS。同时，由于正常运行的绳系卫星系统系绳始终处于紧绷状态且伴有径向微幅振荡，故将其视为一根弹性杆，弹性杆的质量为mt，其当前长度表示为l＝l0(1+ε)，其中l0表示系绳的无应力原始长度，ε＜＜1为系绳的径向应变。
另外，在图1中，θ表示系统的面内俯仰角，ν表示系统绕地飞行的真近点角，i表示赤道平面与轨道平面之间的夹角。
将面内俯仰角θ选作广义坐标，运用第二类拉格朗日方程可推导出以下无量纲形式的两体绳系卫星系统动力学方程
式(1)中，“点”表示对无量纲时间(即真近点角ν)的导数； 为别表示与主星M和子星S及系绳质量有关的质量参数；μE表示地球引力常数；Rc表示地球质心与系统质心间的距离；系绳径向应变可表示为ε＝ε0+aεcosωεν，其中ε0为静态应变，aε为振幅，ωε为系绳的振荡频率；Qd表示作用于主星刚体、子星刚体及系绳的由大气阻尼产生的广义力。为了得到其具体表达式，可先写出作用于卫星和系绳微元ds的大气阻力表达式
式(2)中，Cd,M、Cd,S和Cd,t分别表示主星、子星及系绳的大气阻尼系数；Vr表示系统质心相对大气的相对速度；AM、AS和dt分别为卫星的有效面积和系绳直径，ρa,M、ρa,S和ρa,t分别为卫星和系绳质心所处位置的大气密度。
假设主星与子星皆为圆柱体，且它们的中心轴线与系绳始终保持平行。利用力矩公式及虚功原理，可得到作用于主星刚体(j＝M)、子星刚体(j＝S)及系绳(j＝t)的由大气阻尼产生的广义力Qd,j可表示为
式(3)中，ωE表示地球自旋角速度，κj表示为
这里，为了方便研究，可将方程(1)重新写为
其中
至此，可以用动力学方程(5)描述弹性系绳径向微幅振荡作用下空间绳系卫星系统的动力学行为。
引入一个二维状态向量其中(θ1,θ2)T∈S1×R1，S1＝(-π,π]，R1表示实数域。便可以将动力学方程(5)转化为如下状态方程形式
其中系统的向量场为
及摄动项为
显然，当摄动项为0时，则系统转化为一个无扰系统，可以先计算出在柱坐标系下该无扰系统有四条异宿轨道Γ1、Γ2、Γ3和Γ4，四条异宿轨道穿过两个不稳定鞍点
以下再通过Melnikov方法研究绳系卫星系统(受扰情况下，采用公式(7)的状态方程)在两个不稳定鞍点附近是否存在由于异宿轨道横截而产生的横截异宿点，若存在横截异宿点，就可以判定系统发生混沌。不失一般性，研究异宿轨道Γ1和Γ2(Γ3、Γ4与Γ1、Γ2的研究方法完全一致)，可以先将异宿轨道Γ1和Γ2解出
将以上异宿轨道代入以下Melnikov函数
可以计算出
由于函数sinωεν0的值域为[-1,1]，故当
对于公式(11)，有M(ν0)＝0且dM(ν0)/dν0≠0，即Melnikov函数存在简单零点。此时，对于足够小扰动，总能找到稳定流形Ws(Pk)与不稳定流形Wu(Ph)(k,h＝1,2且k≠h)横截相交的异宿点，故受到弹性系绳径向的微幅振荡摄动后，系统将发生混沌。因此，可以通过公式(13)对系统混沌运动的存在性进行判定。
以下通过几组数值仿真结果，对本发明所提出的混沌存在性判定方法进行验证。系统的参数定义如下，主星、子星及系绳的质量分别为mM＝500kg、mS＝50kg和mt＝0.5kg。空间系绳的无应力长度和直径分别为l0＝1km和dt＝0.5×10-3m。卫星及系绳的阻尼系数皆为Cd,M＝2.2、Cd,S＝2.2、Cd,t＝2.2，主星和子星的有效面积为AM＝1.0m2和AS＝0.1m2，轨道倾角为i＝π/6。
根据公式(13)，可首先给出一个用以判断混沌存在性的混沌域，如图2所示。从图2中可以看出，该参数域与绳系卫星系统轨道高度和系绳振荡频率有关。
令绳系卫星系统轨道高度、系绳振幅、振荡频率分别为H＝550km、aε＝5×10-4。可以计算出参数比|γ/μ|＝0.0217＜0.6861，显然这满足公式(13)，即在弹性绳微幅振荡激励作用下，系统可能发生混沌运动。
绳系卫星系统的面内俯仰混沌运动如图3所示：图3(a)表示绳系卫星系统俯仰角的不规则运动；图3(b)为俯仰运动的庞加莱截面，可以清楚地看到，在鞍点附近有大量的横截异宿点存在，故此时系统发生了混沌运动；图3(c)为绳系卫星系统的功率谱密度，其在(0,0.25Hz)范围内存在密集的功率谱；图3(d)为绳系卫星系统的最大李雅普诺夫指数，其随无量纲时间变化始终大于0。图3(c)和3(d)的结果也进一步验证了绳系卫星系统发生了混沌运动。因此，图3所示仿真算例证明了判定表达式(13)可以用于判定混沌的存在性。
当忽略弹性绳的径向微幅振荡时，绳系卫星系统俯仰运动如图4所示：图4(a)表示绳系卫星系统俯仰角的周期运动；图4(b)为俯仰运动的庞加莱截面，可以清楚地看到，所有庞加莱点最终都汇聚于(0,-1.732)，因此当没有系绳振荡摄动时，绳系卫星系统将呈现为周期运动。
以上算例表明，本发明所提出的绳系卫星系统混沌运动存在性的判定方法是正确的。

Claims (2)

1.一种弹性绳径向微振幅导致在轨绳系卫星混沌的判定方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)通过将系绳径向微幅振荡下绳系卫星系统动力学方程转化为状态方程形式，从无扰系统找到绳系卫星系统的不稳定鞍点及异宿轨道；
(2)通过Melnikov方法判定在摄动作用下绳系卫星系统是否存在由于异宿轨道横截相交而产生的横截异宿点；
(3)如存在横截异宿点，判定存在混沌行为；
所述步骤(1)中，所述绳系卫星系统动力学方程为：
其中，
“点”表示对无量纲时间真近点角ν的导数；/> 和/>分别表示与主星M和子星S及系绳质量有关的质量参数；μE表示地球引力常数；Rc表示地球质心与系统质心间的距离；aε为系绳的振幅，ωε为系绳的振荡频率，ωE表示地球自旋角速度；
假设主星与子星皆为圆柱体，且主星与子星的中心轴线与系绳始终保持平行；利用力矩公式及虚功原理，得到作用于主星刚体j＝M、子星刚体j＝S及系绳j＝t的由大气阻尼产生的广义力Qd为：
其中，Cd,j表示大气阻尼系数；ρa,j为所处位置的大气密度，κj表示为：
其中，l0表示系绳的无应力原始长度；θ表示系统的面内俯仰角，ν表示系统绕地飞行的真近点角，i表示赤道平面与轨道平面之间的夹角；AM、AS和dt分别为主星的有效面积、子星的有效面积和系绳直径；
引入一个二维状态向量其中(θ1,θ2)T∈S1×R1，S1＝(-π,π]，R1表示实数域；将所述绳系卫星系统动力学方程转化为如下状态方程形式：
其中系统的向量场为：
摄动项为：
当摄动项为0时，则系统转化为一个无扰系统；在柱坐标系下该无扰系统有四条异宿轨道Γ1、Γ2、Γ3和Γ4，所述四条异宿轨道穿过两个不稳定鞍点k＝1,2；
所述步骤(2)中，通过Melnikov方法判断绳系卫星系统在两个不稳定鞍点附近是否存在由于异宿轨道横截而产生的横截异宿点；
先将异宿轨道Γ1和Γ2解出：
再将异宿轨道Γ1和Γ2代入Melnikov函数：
得出：
由于函数sinωεν0的值域为[-1,1]，故当
对于Melnikov函数，有M(ν0)＝0且dM(ν0)/dν0≠0，则Melnikov函数存在简单零点。
2.根据权利要求1所述的弹性绳径向微振幅导致在轨绳系卫星混沌的判定方法，其特征在于，对于扰动，找到稳定流形Ws(Pk)与不稳定流形Wu(Ph)，k,h＝1,2且k≠h横截相交的异宿点，则判定绳系卫星系统受到弹性系绳径向的微幅振荡摄动后，系统发生混沌。
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