CN113556130B - 一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，包括：S1、输入输入y_i，Φ_i i＝1，2，...，L；S2、参数初始化；S3、任意选择一α_m，计算判决因子；S4、判决并更新λ和α_m值，若Δ_m＞0且α_m＝∞，进行增加操作；若Δ_m＞0且α_m＜∞，进行重新估计操作；若Δ_m＜0，进行删除操作；S5、根据步骤S4选择的操作类型，进行相应的参数更新；判断是否满足递归中止条件，若不满足，则t＝t+1，返回步骤S3；若满足，输出重构后的原始信号

本发明消除了测量噪声方差的影响，具有重构精度高、计算速度快、鲁棒性好的特点。

Description

一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法

技术领域

本发明涉及信号处理技术领域，更具体地说，特别涉及一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法。

背景技术

稀疏贝叶斯学习(Sparse Bayesian Learning，SBL)理论与压缩感知相结合催生了一类重要的稀疏信号重构算法-贝叶斯压缩感知(Bayesian Compressive Sensing，BCS)方法。BCS方法的应用领域相当广泛，包括阵列设计、波束形成和雷达成像等。研究表明：相比于其他稀疏重构算法，BCS具有更好的鲁棒性和精确性；即使在观测信号质量较差的情况下，BCS方法仍然可以实现较好的重构结果。此外，针对原始SBL方法计算量大的问题，已经发展出了一种基于递归操作的快速BCS方法，可以在保证重构精度的前提下，大幅度提高计算速度。然而，现有的BCS方法受到测量噪声方差的影响，如果该参数的初始值设置不合理，BCS算法存在性能恶化的危险。

现有的BCS方法的理论框架是在实数域推导和建立起来的，故而无法直接用来求解复数域的稀疏信号重构问题。为了利用BCS理论实现复数域稀疏信号重构，研究人员给出了一种直观的解决思路，即将复数分解为实部和虚部，分别利用现有的实数域BCS方法进行求解，最后将两部分结果合成为复数。然而，由于复数分解，测量矩阵和信号的维度都被扩大了，上述算法的存储量和计算量明显增加。此外，复数分解不可避免地破坏了原始复数信号的内部结构，因此稀疏重构结果难以令人满意。为此，有必要开发一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，消除了测量噪声方差初始值的影响，可以应用于复数域稀疏信号的重构。

发明内容

本发明的目的在于提供一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，以克服现有技术所存在的缺陷。

为了达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，该方法基于复数域多任务贝叶斯测量模型实现，所述复数域多任务贝叶斯测量模型如下：

y_i＝Φ_ix_i+n_i,i＝1,2,...,L，其中，

表示复数域压缩观测数据，

表示复数域测量矩阵，

表示复数域原始信号，

代表复数域测量噪声，L代表任务数目，N_i＜＜M；

假设x_i满足复数域Laplace先验稀疏分布，n_i满足零均值复高斯分布，则可以利用递归操作从观测数据y_i中成功重构原始信号x_i，该复数域多任务贝叶斯压缩感知方法包括：

S1、输入输入y_i,Φ_i i＝1,2,...,L；

S2、参数初始化，令α_m＝∞，m＝1,2,...,M；令a＝1000,b＝1；令t代表递归次数，初始时令t＝1；设置最大递归次数K，递归终止的条件为递归次数达到K或两次递归操作之后，代价函数

的变化小于门限δ，其中，最大递归次数K不能小于M，δ设置为1×10^-8，而代价函数

表示为：

其中，

表征了基矢量Φ_i,m在B_i,-m中的重叠度，

表征了基矢量Φ_i,m与观测数据y_i的相关性，

代表观测数据y_i在B_i,-m中的投影，基矢量Φ_i,m是Φ_i中的第m个列向量，

与删除第m个列向量影响的B_i相等，C_i为边缘似然p(y_i|α)的方差；

S3、任意选择一个α_m，根据以下公式计算判决因子：

S4、判决并更新λ和α_m值，若Δ_m＞0且α_m＝∞，进行增加操作；若Δ_m＞0且α_m＜∞，进行重新估计操作；若Δ_m＜0，进行删除操作；

S5、根据步骤S4选择的操作类型，进行相应的参数更新，令第t次递归时，解空间的维度为M_t，当前∑_i和Φ_i的维度分别是M_t×M_t和N_i×M_t，令k∈{1,...,M_t}代表当前解空间中对应于α_m的索引值，令j∈{1,...,M}代表需要遍历的索引值，更新后的参数值用上方带波浪符的字母表示；

所述增加操作对应参数更新为：

其中，∑_i,mm＝(α+S_i,m)^-1是∑_i的第m个对角线元素，μ_i,mm＝∑_i,mmQ_i,m，且

所述重新估计操作对应参数更新为：

令

且∑_i,k是∑_i的第k个列向量，则：

所述删除操作对应参数更新为：

S6、判断是否满足递归中止条件，若不满足则t＝t+1，返回步骤S3，若满足则输出重构后的原始信号

进一步地，在复数域多任务贝叶斯测量模型中：

首先、观测数据y_i的满足如下分布：

其中CN(·)代表多变量复高斯分布，β满足Gamma先验分布；

其次、令复数域原始信号x_i满足分层Laplace先验，第一层，假设x_i满足多变量零均值复高斯分布：

其中α为先验，|x_i,m|表示x_i的第m个元素的绝对值，第二层，假设α先验满足一种特殊的Gamma分布，

其中，其中α_m＞0，且λ＞0；

最后、原始信号x_i的先验分布可以表示为：

还包括第三层，假设超先验λ满足分布p(λ)＝1/λ。

进一步地，基于贝叶斯原理，通过边缘积分消去参数β的影响，原始信号x_i的后验概率分布满足多变量Student-t分布，且可以表示为：

其中，

|∑_i|代表矩阵∑_i的行列式；

观测数据y_i与先验参数α和超先验参数λ之间的联合概率分布为：

其中边缘似然p(y_i|α)为：

其中，B_i＝I+Φ_iA^-1Φ_i ^H。

进一步地，所述步骤S4中在进行增加操作和重新估计操作时，

与现有技术相比，本发明的优点在于：本发明可以实现复数域多任务稀疏重构，消除了测量噪声方差的影响，具有重构精度高、计算速度快、鲁棒性好的特点，本发明可以广泛应用于雷达和声呐信号处理。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明中基于改进Laplace先验的复数域多任务学习信号模型。

图2是本发明提供的稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法流程图。

图3是本发明单任务复数域均匀尖峰信号重构实验结果。

图4是本发明单任务复数域非均匀尖峰信号重构实验结果。

图5是本发明多任务复数域均匀尖峰信号重构实验结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的优选实施例进行详细阐述，以使本发明的优点和特征能更易于被本领域技术人员理解，从而对本发明的保护范围做出更为清楚明确的界定。

参阅图1所示，本发明假设复数域多任务贝叶斯测量模型如下：

y_i＝Φ_ix_i+n_i,i＝1,2,...,L，其中，

表示复数域压缩观测数据，

表示复数域测量矩阵，

表示复数域原始信号，

代表复数域测量噪声，L代表任务数目，N_i＜＜M；

假设x_i满足复数域Laplace先验稀疏分布，n_i满足零均值复高斯分布，则可以利用递归操作从观测数据y_i中成功重构原始信号x_i。

首先、根据前面的假设，观测数据y_i的满足如下分布：

其中CN(·)代表多变量复高斯分布，β满足Gamma先验分布：

其中a≥0和b≥0属于超先验，Gamma函数

其次，令复数域原始信号x_i满足改进的分层Laplace先验。第一层，假设x_i满足多变量零均值复高斯分布：

本发明的起源主要基于该公式，其中α为先验，|x_i,m|表示x_i的第m个元素的绝对值。

第二层，假设α先验满足一种特殊的Gamma分布：

其中α_m＞0，且λ＞0。

综上，原始信号x_i的先验分布可以表示为：

可以看出，经过分层先验设置，复数域原始信号x_i满足改进的Laplace分布。

第三层，进一步假设超先验λ满足分布p(λ)＝1/λ。

基于贝叶斯原理，通过边缘积分消去参数β的影响，原始信号x_i的后验概率分布满足多变量Student-t分布，且可以表示为：

通过上述这个公式消除了噪声方差的影响，其中，

A＝diag(α₁,α₂,...,α_M)，|∑_i|代表矩阵∑_i的行列式。

此外，观测数据y_i与先验参数α和超先验参数λ之间的联合概率分布为：

其中边缘似然(Marginal Likelihood)p(y_i|α)为：

其中B_i＝I+Φ_iA^-1Φ_i ^H。

参阅图2所示，本发明基于上述复数域多任务贝叶斯测量模型所提供的稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，包括以下六个步骤：

S1：输入全部y_i,Φ_i，其中i＝1,2,...,L；

S2：参数初始化；令α_m＝∞，m＝1,2,...,M；令a＝1000,b＝1；令t代表递归次数，初始时令t＝1；设置最大递归次数K，递归终止的条件为递归次数达到K或两次递归操作之后，代价函数

的变化小于门限δ，最大递归次数K不能小于M，通常设置为5M，δ通常设置为1×10^-8，而代价函数

可以表示为：

其中，

表征了基矢量Φ_i,m在B_i,-m中的重叠度，

表征了基矢量Φ_i,m与观测数据y_i的相关性，

代表观测数据y_i在B_i,-m中的投影，基矢量Φ_i,m是Φ_i中的第m个列向量，

与删除第m个列向量影响的B_i相等，C_i为边缘似然p(y_i|α)的方差。

S3：任意选择一个α_m，计算判决因子：

S4：判决并更新λ和α_m值。若Δ_m＞0且α_m＝∞，则进行增加操作；若Δ_m＞0且α_m＜∞，则进行重新估计操作；若Δ_m＜0则进行删除操作。并且，在进行增加操作和重新估计操作时，

S5：根据步骤S4选择的操作类型，进行相应的参数更新，令第t次递归时，解空间的维度为M_t，当前∑_i和Φ_i的维度分别是M_t×M_t和N_i×M_t，令k∈{1,...,M_t}代表当前解空间中对应于α_m的索引值，令j∈{1,...,M}代表需要遍历的索引值，更新后的参数值用上方带波浪符的字母表示。

所述的增加操作对应参数更新为：

其中，∑_i,mm＝(α+S_i,m)^-1是∑_i的第m个对角线元素，μ_i,mm＝∑_i,mmQ_i,m，且

所述的重新估计操作对应参数更新为：

令

且∑_i,k是∑_i的第k个列向量，则

所述的删除操作对应参数更新为：

S6：判断是否满足递归中止条件，若不满足则t＝t+1，返回步骤S3；若满足则输出重构后的原始信号

下面通过在实验室内的一系列事实来证明本发明的效果，具体如下：

单任务学习是多任务学习的一个特例，本实施例同样适用单任务学习场景，此时令L＝1即可。首先，面向单任务学习场景，针对两种不同的复数域信号进行稀疏重构实验，并将实数域贝叶斯方法稀疏重构结果作为参考。本实施例所述的实数域方法指将复数分为实部和虚部，分别利用已有的实数域贝叶斯压缩感知方法进行重构，最后将两部分重构结果重新组合为复数。

第一种信号为复数域均匀尖峰信号，长度M＝512，其实部和虚部分别包含30个位置随机出现的尖峰，尖峰幅度为1或-1。测量矩阵Φ_i的生成分为两步：首先，生成服从复高斯分布CN(0,1)，维度为N_i×M的复矩阵，N_i＝100；然后，对该复矩阵沿行进行幅度归一化处理。测量噪声n_i的实部和虚部均满足零均值高斯分布，且标准差为σ＝0.01。稀疏重构实验的结果如图3所示，其中第一行为原始信号的幅度，第二行为实数域贝叶斯压缩感知方法的重构结果，第三行为本发明方法的重构结果。具体的重构误差和计算耗时由图5给出。可以看出：实数域方法的重构结果出现了很多错误，且耗时较长；而本发明方法的重构误差较小，且耗时较少。因此，针对均匀尖峰信号，本发明方法的重构效果明显优于实数域方法。

表1(单任务复数域信号重构误差与计算耗时)

第二种信号为复数域非均匀尖峰信号，长度M＝512，其实部和虚部分别包含30个位置随机出现的尖峰，尖峰的幅度满足零均值高斯分布，且与均匀尖峰信号的功率相等。测量矩阵Φ_i的生成分为两步：首先，生成服从复高斯分布CN(0,1)，维度为N_i×M的复矩阵，N_i＝100；然后，对该复矩阵沿行进行幅度归一化处理。测量噪声n_i的实部和虚部均满足零均值高斯分布，且标准差为σ＝0.01。稀疏重构实验的结果如图3所示，其中第一行为原始信号的幅度，第二行为实数域贝叶斯压缩感知方法的重构结果，第三行为本发明方法的重构结果。具体的重构误差和计算耗时由图5给出。可以看出：实数域方法的重构误差较大，且耗时较长；而本发明方法的重构误差较小，且耗时较少。因此，针对非均匀尖峰信号，本发明方法的重构效果也明显优于实数域方法。

最后，通过多任务学习实验来验证本发明方法在多任务学习中的优势。针对复数域均匀尖峰信号，长度M＝512，其实部和虚部分别包含30个位置随机出现的尖峰，尖峰幅度为1或-1。令L＝2，两个复数域信号(x₁和x₂)的生成方法与前面的实验相同。一个特殊的设置在于这两个复数域信号有80％的尖峰位于相同的位置，即二者的相似性为80％。测量矩阵Φ_i的维度分别为70×512和75×512，生成方法与前面的实验相同。测量噪声n_i的实部和虚部均满足零均值高斯分布，且标准差为σ＝0.01。稀疏重构实验的结果如图4所示，其中第一行为原始信号的幅度，第二行为本发明方法利用单任务学习算法分别重构的结果，第三行为本发明方法利用多任务学习算法的重构结果。具体的重构误差和计算耗时由表2给出，其中多任务算法的总耗时为0.1516s，平均分配给两个信号为0.0758s。可以看出：由于观测数据较少，观测噪声较大，采用单任务学习算法重构结果误差较大，无法恢复原始信号；而多任务学习算法充分利用了两个复数域信号之间的相似性，准确恢复了两个原始信号。

表2(多任务复数域均匀尖峰信号重构误差与计算耗时)

虽然结合附图描述了本发明的实施方式，但是专利所有者可以在所附权利要求的范围之内做出各种变形或修改，只要不超过本发明的权利要求所描述的保护范围，都应当在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，其特征在于，该方法基于复数域多任务贝叶斯测量模型实现，所述复数域多任务贝叶斯测量模型如下：

y_i＝Φ_ix_i+n_i，i＝1，2，...，L，其中，

表示复数域压缩观测数据，

表示复数域测量矩阵，

表示复数域原始信号，

代表复数域测量噪声，L代表任务数目，N_i＜＜M；

假设x_i满足复数域Laplace先验稀疏分布，n_i满足零均值复高斯分布，则可以利用递归操作从观测数据y_i中成功重构原始信号x_i，该复数域多任务贝叶斯压缩感知方法包括：

S1、输入y_i，Φ_i i＝1，2，...，L；

S2、参数初始化，令α_m＝∞，m＝1，2，...，M；令a＝1000，b＝1；令t代表递归次数，初始时令t＝1；设置最大递归次数K，递归终止的条件为递归次数达到K或两次递归操作之后，代价函数l(α_m)的变化小于门限δ，其中，最大递归次数K不能小于M，δ设置为1×10^-8，而代价函数l(α_m)表示为：

其中，

表征了基矢量Φ_i，m在B_i，-m中的重叠度，

表征了基矢量Φ_i，m与观测数据y_i的相关性，

代表观测数据y_i在B_i，-m中的投影，基矢量Φ_i，m是Φ_i中的第m个列向量，

与删除第m个列向量影响的B_i相等，C_i为边缘似然p(y_i|α)的方差；

S3、任意选择一个α_m，根据以下公式计算判决因子：

S4、判决并更新λ和α_m值，若Δ_m＞0且α_m＝∞，进行增加操作；若Δ_m＞0且α_m＜∞，进行重新估计操作；若Δ_m＜0，进行删除操作；

S5、根据步骤S4选择的操作类型，进行相应的参数更新，令第t次递归时，解空间的维度为M_t，当前∑_i和Φ_i的维度分别是M_t×M_t和N_i×M_t，令k∈{1，...，M_t}代表当前解空间中对应于α_m的索引值，令j∈{1，...，M}代表需要遍历的索引值，更新后的参数值用上方带波浪符的字母表示；

所述增加操作对应参数更新为：

其中，∑_i，mm＝(α+S_i，m)^-1是∑_i的第m个对角线元素，μ_i，mm＝∑_i，mmQ_i，m，且

所述重新估计操作对应参数更新为：

令

且∑_i，k是∑_i的第k个列向量，则：

所述删除操作对应参数更新为：

S6、判断是否满足递归中止条件，若不满足则t＝t+1，返回步骤S3，若满足则输出重构后的原始信号

2.根据权利要求1所述的稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，其特征在于，在复数域多任务贝叶斯测量模型中：

首先、观测数据y_i的满足如下分布：

其中CN(·)代表多变量复高斯分布，β满足Gamma先验分布；

其次、令复数域原始信号x_i满足分层Laplace先验，第一层，假设x_i满足多变量零均值复高斯分布：

其中α为先验，|x_i，m|表示x_i的第m个元素的绝对值，第二层，假设α先验满足一种特殊的Gamma分布，

其中，其中α_m＞0，且λ＞0；

最后、原始信号x_i的先验分布可以表示为：

还包括第三层，假设超先验λ满足分布p(λ)＝1/λ。

3.根据权利要求1所述的稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，其特征在于，基于贝叶斯原理，通过边缘积分消去参数β的影响，原始信号x_i的后验概率分布满足多变量Student-t分布，且可以表示为：

其中，

A＝diag(α₁，α₂，...，α_M)，|∑_i|代表矩阵∑_i的行列式；

观测数据y_i与先验参数α和超先验参数λ之间的联合概率分布为：

其中边缘似然p(y_i|α)为：

其中，B_i＝I+Φ_iA^-1Φ_i ^H。

4.根据权利要求1所述的稳健的复数域多任务贝叶斯压缩感知方法，其特征在于，所述步骤S4中在进行增加操作和重新估计操作时，

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