CN113485278A - 优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于作业车间调度领域，公开了优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，获取取加工数据信息，加工数据信息包括柔性作业车间的工件和相应的工序，加工机器和相应的加工时间、释放时间，以及交货期；以最小化最大完工时间和总拖期时间为优化目标，建立柔性作业车间调度模型；采用基于拥挤距离和最早完工时间规则的多目标分布估计方法来优化所述柔性作业车间调度模型，获得最优化的调度方案解集。本发明采用拥挤距离和最早完工时间规则的多目标分布估计算法能够获得更好的工序排序和机器分配方案，减少了产品制造周期，降低了库存成本和防止了产品生产的逾期风险，提高了经济效益。

Description

优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法

技术领域

本发明涉及分布估计算法和柔性作业车间调度的技术领域，具体涉及优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法。

背景技术

制造业产品在进行生产和制造时，其调度的合理性是影响制造业生产效能非常关键的因素。随着全球制造业的竞争越来越激烈，产品需求的多样化和个性化,制造系统的调度问题日益受到广泛的重视。作业车间调度是车间制造执行系统(MES)的核心功能，在离散制造业中有着不可替代的作用。合理的调度可以在工期、库存、交货期、能耗和成本等核心指标上获得有效的提升。随着制造业广泛采用柔性制造的方法，多台机器可以处理同一个工艺，且机器特性各不相同，增加了调度问题处理的复杂性和难度。

目前，求解柔性车间调度问题的方法主要有三类。第一类是基于调度规则的调度方法。这类方法已经使用多年，需要大量丰富的实践经验才能够获得高效的调度规则，人们通过归纳和实践，总结出了113条调度规则，在一定程度上解决了实际生产的调度问题。第二类是基于纯整数规划、动态规划和分枝定界法等运筹学的方法求解的调度问题，这类方法在求解小规模的车间调度问题获得了不错的效果，但在求解中等规模和大规模的柔性车间调度问题时效果不太明显，且通用性不强。

第三类是采用群智能优化算法求解复杂的柔性车间调度问题。群智能优化算法在求解复杂问题时具有很好的效果，且通用性比较好。目前，将粒子群优化，遗传算法，禁忌搜索，人工蜂群算法等应用于复杂的柔性作业车间调度问题已经取得了不错的效果，但是，多数调度模型与实际生产状况相差甚远,很难有效的应用于生产实践。目前，学者们主要将焦点放在设计新的混合群智能优化算法，采用不同算法实现优势互补，以获得具有普遍适用性、高效性、稳定性的算法来求解柔性车间调度问题。

发明内容

针对群智能优化算法求解多目标柔性车间调度问题的不足，本发明提出了优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，优化具有最大完工时间和总拖期时间两生产指标的柔性作业车间问题，该算法在优化这两个指标上具有高效性和稳定性。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，包括以下步骤：

步骤1、获取加工数据信息，加工数据信息包括柔性作业车间的工件和相应的工序，加工机器和相应的加工时间、释放时间，以及交货期；

步骤2、以最小化最大完工时间C_M和总拖期时间Tard为优化目标，建立柔性作业车间调度模型；

步骤3、采用基于拥挤距离和最早完工时间规则的多目标分布估计方法来优化所述柔性作业车间调度模型，获得最优化的调度方案解集。

如上所述的步骤2中，最大完工时间C_M和总拖期时间Tard基于以下公式：

其中，C_M为最大机器完工时间，Tard为总拖期时间，C_k为第k台机器的完工时间，C_i为第i个工件的最大完工时间，d_i为第i个工件的交货期，m为机器总数，n为工件总数。

如上所述的步骤2中，柔性作业车间调度模型的约束条件如下：

F_ijk+Ti_ijk≤S_ghk i,g＝1,2,...,n；k＝1,2,...,m；

S_ij+Ti_ijk≤S_i(j+1)i＝1,2,...,n；k＝1,2,...,m

其中，F_ijk为第i个工件的第j个工序在第k个机器上的起始加工时间；S_ghk为第k个机器的后续工序O_gh的起始加工时间；S_ij和S_i(j+1)分别表示第i个工件的第j个工序和第j+1个工序的起始加工时间；Ti_ijk为第i个工件的第j个工序在第k个机器上的加工时间，n为工件总数，m为机器总数，g为机器加工的下一个工件的序号，h为机器加工的下一个工件的工序的序号。

如上所述的步骤3包括以下步骤：

步骤3.1、采用工序加工顺序向量和机器分配向量；

步骤3.2、对算法参数进行初始化，算法参数包括：种群规模pop，最大进化次数T_MAX，优势种群比例系数η，Pareto解集的个数Nmax，工序概率矩阵P，工序概率矩阵P的学习系数β；

步骤3.3、在解空间内按均匀分布随机产生N个初始解，组成初始种群，每个解即为一个个体；

步骤3.4、计算种群中所有个体的最大完工时间和总拖期时间，确定个体之间的相互支配关系和每个个体的拥挤距离，根据支配关系和拥挤距离获得种群的Pareto解集，从种群中通过加权和的选择规则选择SP＝η*N个优秀个体组成优势种群，η为优势个体比例系数，N为种群的个体数目；

步骤3.5、工序概率矩阵P利用优势种群采用工序概率更新公式进行更新；

步骤3.6、根据工序概率矩阵P采用轮盘赌方法生成工序加工顺序方案，根据工序加工顺序采用最早完工时间规则获得机器分配方案，更新N个个体，组成新的种群；

步骤3.7、根据步骤3.6生成新的种群，在新种群和Pareto解集组成的合集中，通过支配关系和拥挤距离选择具有非支配关系和拥挤距离小的个体更新新种群的Pareto解集，同时在新种群和优势种群组成的合集中，通过加权和的选择规则选择SP个优秀个体更新优势种群；

步骤3.8，满足停止准则，则获得的最后的Pareto解集就是最优的调度方案解集；不满足停止准则，则转到步骤3.5继续执行。

如上所述的步骤3.4中，相互支配关系定义如下：

其中，

表示任意a，

表示存在a，B表示优化目标的数目，f_a(u₁)表示解u₁的第a个目标的适应值，f_a(u₂)表示解u₂的第a个目标的适应值；

对N个解的第a个目标的适应值进行升序排序，则定义的拥挤距离的数学描述如下：

其中，CR_min,a表示第a个目标最小适应值的拥挤距离，CR_max,a表示第a个目标最大适应值的拥挤距离，CR_v,a表示第a个目标非最大适应值和非最小适应值的拥挤距离，f_a(v-1)和f_a(v+1)分别表示N个解第a个目标排序后第v-1位置的适应值和第v+1位置的适应值，f_a ^max表示排序后第a个目标适应值的最小值，f_a ^min表示排序后第a个目标适应值的最大值。inf表示值为无穷大。

如上所述的步骤3.5中，工序概率更新公式如下：

其中，工序概率矩阵P的行数和列数均为工序总数，P的第l行第y列表示第l行代表的相应工序在工序加工顺序向量第y列位置出现的概率，

和

则分别表示工序概率矩阵P第l行第y列第t+1次迭代和第t次迭代时的概率，SP为优势种群中的个体数目，I_lyx为在第x个优势个体中与第l行代表的相同工序是否出现在工序加工顺序向量第y列位置，β为学习系数。

第x个优势个体的工序出现在工序加工顺序向量第l行第y列的位置，I_lyx＝1；第x个优势个体的工序没有出现在工序加工顺序向量第l行第y列的位置，I_lyx＝0。

如上所述的步骤3.6包括以下步骤：

步骤3.6.1、开始；

步骤3.6.2、定义输入变量：π为工序加工顺序向量；γ_k为在第k台机器上加工工序的索引；Ψ^k为在第k台机器上的加工工序向量；

步骤3.6.3、对于每一台机器k，初始化γ_k＝0，Ψ^k(γ_k)＝Φ,Φ表示空集合；

步骤3.6.4、对于工序加工顺序向量π的每一列e，找出能够以最早完工时间加工第e列工序π(e)的机器k，e为工序加工顺序向量的列序号,使得γ_k＝γ_k+1,Ψ^k(γ_k)＝π(e)；

步骤3.6.5、结束。

与现有技术相比，本发明具有以如下有益效果：

本发明能够在安排柔性作业车间调度的工序排序任务和机器分配任务的同时，充分优化最大完工时间和总拖期时间两生产指标，减少了产品制造周期和降低了库存成本，提高经济效益。此方案采用了分布估计方法，该算法具有全局搜索能力和学习能力优秀，通用性强的特点，ECM规则可以产生优秀的机器分配方案，采用支配关系和拥挤距的策略来确定多指标解的优劣，从而获得质量更好的Pareto解集和更好的解决调度方案。该方案能够获得更好的最大完工时间和总拖期时间，从而提高柔性作业车间调度的经济效益。

本发明面向考虑最大完工时间和总拖期时间的柔性作业车间调度问题，具有重要的实际应用背景，能在保证生产性能的情况下，有利于制造企业保证工期和减少库存。

附图说明

图1是本发明的算法流程图。

图2是工序加工顺序向量和机器分配向量的编码方式。

图3是第二个测试例对应的多种算法获得Pareto解集对比图。

图4是本发明求解第二个测试例的其中一个解的甘特图。

图5是第四个测试例对应的多种算法获得Pareto解集对比图。

图6是利用本发明求解第四个测试例的其中一个解的甘特图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明，以充分了解本发明的目的、特征和效果。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本发明提出了优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，来优化两生产指标的柔性作业车间调度问题。通过建立考虑最大完工时间和总拖期时间两指标的柔性作业车间调度模型，设计了混合的多目标分布估计算法。本发明通过计算支配关系和拥挤距离解决了多指标优劣问题，通过最早完工时间规则即ECM规则获得高质量的机器分配方案，以获得具有高效性和高适用性的调度与排产方案。该方法的实现主要包括以下步骤：

步骤1，获取柔性作业车间的工件和相应的工序，加工机器和相应的加工时间以及释放时间，交货期等加工数据信息。

步骤2，以最小化最大完工时间C_M和总拖期时间Tard为优化目标，建立柔性作业车间调度模型，最小化最大完工时间C_M和总拖期时间Tard的数学公式描述如下:

其中，C_M为最大机器完工时间，Tard为总拖期时间，C_k为第k台机器的完工时间，C_i为第i个工件的最大完工时间，d_i为第i个工件的交货期，m为机器总数，n为工件总数。

柔性作业车间调度模型的约束条件如下:

F_ijk+Ti_ijk≤S_ghk i,g＝1,2,...,n；k＝1,2,...,m；

S_ij+Ti_ijk≤S_i(j+1)i＝1,2,...,n；k＝1,2,...,m

其中，F_ijk为第i个工件的第j个工序在第k个机器上的起始加工时间；S_ghk为第k个机器的后续工序O_gh的起始加工时间；S_ij和S_i(j+1)分别表示第i个工件的第j个工序和第j+1个工序的起始加工时间；Ti_ijk为第i个工件的第j个工序在第k个机器上的加工时间。n为工件总数，m为机器总数，g为机器加工的下一个工件的序号，h为机器加工的下一个工件的工序的序号。这里忽略机器的启动时间和搬运工件的时间。

步骤3，采用基于拥挤距离和最早完工时间规则(ECM规则)的多目标分布估计方法来优化所述柔性作业车间调度模型，获得最优化的调度方案解集。该多目标分布估计方法优化所述柔性作业车间调度模型的具体方法如下：

步骤3.1，如图2所示，本发明首先采用了工序加工顺序向量和机器分配向量两向量的编码方式。工序加工顺序向量采用基于工序的编码方式，具体方法是，工序加工顺序向量的长度等于所有工件工序的总数量，每个工序通过工件号来表示(下例中的O的右下角第一个编号)，第τ次出现相同工件号代表着加工该工件的第τ道工序(τ为下例中的O的右下角第二个编号)。机器分配向量编码则按该机器分配向量相应机器号的机器分配给工序加工顺序向量对应位置的工序。例如，工序加工顺序向量[2 1 1 3 2 1 2 3]代表工件工序的加工顺序为[O₂₁,O₁₁,O₁₂,O₃₁,O₂₂,O₁₃,O₂₃,O₃₂]，机器分配向量[1 3 2 1 3 1 3 2]则代表机器分配如下：(O₁₁,M₁)，(O₁₂,M₃)，(O₁₃,M₂)，(O₂₁,M₁)，(O₂₂,M₃)，(O₂₃,M₁)，(O₃₁,M₃)，(O₃₂,M₂)。工序O_ij表示第i个工件的第j个工序，M_k为第k个机器，k的取值范围为1～m；

步骤3.2，对算法参数进行初始化，具体参数有：种群规模pop，最大进化次数T_MAX，优势种群比例系数η，Pareto解集的个数Nmax，工序概率矩阵P，工序概率矩阵P的学习系数β。

工序概率矩阵P的初始化方法为：

其中，n为工件总数。

为工序概率矩阵P第l行第y列的元素，0表示为工序概率矩阵P第l行第y列的元素的初始值。

步骤3.3，在解空间内按均匀分布随机产生N个初始解，组成初始种群，每个解即为一个个体。

步骤3.4，计算种群中所有个体的最大完工时间和总拖期时间，确定个体之间的相互支配关系和每个个体的拥挤距离，根据支配关系和拥挤距离获得种群的Pareto解集，从种群中通过加权和的选择规则选择SP＝η*N个优秀个体组成优势种群。η为优势个体比例系数，N为种群的个体数目。其中，相互支配关系(记做u₁＞u₂)定义如下。

其中，

表示任意a，

表示存在a，B表示优化目标的数目，f_a(u₁)表示解u₁的第a个目标的适应值，f_a(u₂)表示解u₂的第a个目标的适应值。在本方法的实施例中，B的值为2，目标分别为最大完工时间和总拖期时间。Pareto解集是在相互支配关系的基础上定义的，即为在一个给定的多目标优化的最优解集中，这个集合中的解两两都不是支配关系，则称这个解集为Pareto解集。

对N个解的第a个目标的适应值进行升序排序，则定义的拥挤距离的数学描述如下：

其中，CR_min,a表示第a个目标最小适应值的拥挤距离，CR_max,a表示第a个目标最大适应值的拥挤距离，CR_v,a表示第a个目标非最大适应值和非最小适应值的拥挤距离，f_a(v-1)和f_a(v+1)分别表示N个解第a个目标排序后第v-1位置的适应值和第v+1位置的适应值，f_a ^max表示排序后第a个目标适应值的最小值，f_a ^min表示排序后第a个目标适应值的最大值。inf表示值为无穷大。在本方法的实施例中，需要分别计算N个解的最大完工时间和总拖期时间的拥挤距离。

步骤3.5，工序概率矩阵P利用优势种群采用工序概率更新公式进行更新，工序概率更新公式如下：

其中，工序概率矩阵P的行数和列数均为工序总数，P的第l行第y列表示第l行代表的相应工序在工序加工顺序向量第y列位置出现的概率，

和

则分别表示工序概率矩阵P第l行第y列第t+1次迭代和第t次迭代时的概率，SP为优势种群中的个体数目。从种群中通过加权和的选择规则选择SP优势个体，I_lyx则表示在第x个优势个体中与第l行代表的相同工序是否出现在工序加工顺序向量第y列位置，即，第x个优势个体的工序出现在工序加工顺序向量第l行第y列的位置，I_lyx＝1；第x个优势个体的工序没有出现在工序加工顺序向量第l行第y列的位置，I_lyx＝0；具体公式如下。

步骤3.6，根据工序概率矩阵P采用轮盘赌方法生成工序加工顺序方案，根据工序加工顺序采用最早完工时间规则即ECM规则获得机器分配方案，更新N个个体，组成新的种群。ECM规则过程如下：

步骤3.6.1，开始。

步骤3.6.2，定义输入变量：π为工序加工顺序向量；γ_k为在第k台机器上加工工序的索引；Ψ^k为在第k台机器上的加工工序向量。

步骤3.6.3，对于每一台机器k，初始化γ_k＝0，Ψ^k(γ_k)＝Φ,Φ表示空集合。

步骤3.6.4，对于工序加工顺序向量π的每一列e，找出能够以最早完工时间加工第e列工序π(e)的机器k，e为工序加工顺序向量的列序号,使得γ_k＝γ_k+1,Ψ^k(γ_k)＝π(e)；

步骤3.6.5，结束。

步骤3.7，根据步骤3.6生成新的种群，在新种群和Pareto解集组成的合集中，通过支配关系和拥挤距离选择具有非支配关系和拥挤距离小的个体更新新种群的Pareto解集，同时在新种群和优势种群组成的合集中，通过加权和的选择规则选择SP个优秀个体更新优势种群。

步骤3.8，满足停止准则(达到最大迭代次数)，则算法结束，获得的最后的Pareto解集就是最优的调度方案解集；不满足停止准则(未达到最大迭代次数)，则算法继续，转到步骤3.5继续执行。

下面通过测试例来说明基于拥挤距离和最早完工时间规则的多目标分布估计方法(MultiEDA)优化考虑最大完工时间和总拖期时间两指标的柔性作业车间调度问题的可行性和性能，本发明分别对四个测试例进行了实验，对比算法为GA算法、PSO算法。

仿真环境为：Windows 7系统,Matlab2011a。计算机硬件配置为：AMD Athlon(tm)II P320Dual-Core处理器，主频2.10GHz，内存4GB。四个测试例分别为Kacem测试函数的4×5测试例、8×8测试例、10×10测试例和15×10测试例。

GA算法参数设置如下：交叉概率为Pc＝0.5，变异概率为Pm＝0.1，种群规模为N＝30，最大迭代次数T＝100，Pareto解集的个数Nmax＝50，每个测试函数优化5次。

PSO算法参数设置如下：学习系数c₁＝c₂＝2.0，惯性权重为ω＝ω_min+(ω_max-ω_min).*t/T，ω_min＝0.4，ω_max＝0.9，种群规模为N＝30，最大迭代次数T＝100，Pareto解集的个数Nmax＝50，每个测试函数优化5次。

本发明的多目标分布估计方法(MultiEDA)的参数设置如下：学习系数α＝0.3，优势群体比例系数η＝0.3，种群规模为N＝30，最大迭代次数T＝100，Pareto解集的个数Nmax＝50，每个测试函数优化5次。

Kacem测试函数中的4×5测试例、8×8测试例、10×10测试例和15×10测试例，其加工任务信息见相关参考文献，其工件释放时间和交货期信息如表1所示。其中，测试例H×Z表示H个工件Z台机器的测试例。

表1工件释放时间和交货期信息表

三种算法的求解四个实例获得的Pareto解集如表2所示，所需时间如表3所示。MultiEDA方法求解实例2和实例4获得Pareto解集其中一个解的甘特图分别如图4和图6所示。

表2三种算法的求解四个实例获得的Pareto解集表

表3三种算法的求解四个实例所需时间表

算例	4×5测试例(s)	8×8测试例(s)	10×10测试例(s)	15×10测试例(s)
					MultiEDA	5.590e+000	7.028e+000	7.153e+000	1.399e+001
GA	7.737e+000	9.509e+000	9.856e+000	1.489e+001
					PSO	6.077e+000	7.631e+000	7.706e+000	1.652e+001

由表2可知，对于优化这四个实例，MultiEDA方法获得的Pareto解集的解均支配了GA算法和PSO算法获得的Pareto解集的解，而GA算法和PSO算法获得的Pareto解集的解没有一个解支配MultiEDA方法获得的Pareto解集的解，因此，从优化的两个生产指标上看，MultiEDA方法获得的调度排产方案的整体质量优于GA算法和PSO算法。同时，由表3可知，MultiEDA方法的消耗时间也少于GA算法和PSO算法的消耗时间，性能整体优于GA算法和PSO算法。因此，本发明的方法获得的调度排产方案不仅缩短了生产工期，也减少了拖期，降低了库存成本和库存风险，且算法更快，稳定性更好。

综合上述测试例的详细说明和实验的结果分析，表明本发明公开的基于拥挤距离和最早完工时间规则的多目标分布估计方法在优化考虑最大完工时间和总拖期时间的柔性作业车间调度问题时可以明显减少最大完工时间，保证交货期，同时保证生产效率。

以上详细描述了本发明的较佳具体实施例。应当理解，本领域的普通技术人员无需创造性劳动就可以根据本发明的构思做出诸多修改和变化。因此，凡本技术领域中技术人员依本发明的构思在现有技术的基础上通过逻辑分析、推理或者有限的实验可以得到的技术方案，皆应在由权利要求书所确定的保护范围内。

Claims (8)

1.优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、获取加工数据信息，加工数据信息包括柔性作业车间的工件和相应的工序，加工机器和相应的加工时间、释放时间，以及交货期；

步骤2、以最小化最大完工时间C_M和总拖期时间Tard为优化目标，建立柔性作业车间调度模型；

步骤3、采用基于拥挤距离和最早完工时间规则的多目标分布估计方法来优化所述柔性作业车间调度模型，获得最优化的调度方案解集。

2.根据权利要求1所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，所述的步骤2中，最大完工时间C_M和总拖期时间Tard基于以下公式：

其中，C_M为最大机器完工时间，Tard为总拖期时间，C_k为第k台机器的完工时间，C_i为第i个工件的最大完工时间，d_i为第i个工件的交货期，m为机器总数，n为工件总数。

3.根据权利要求2所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，所述的步骤2中，柔性作业车间调度模型的约束条件如下：

F_ijk+Ti_ijk≤S_ghk i,g＝1,2,...,n；k＝1,2,...,m；

S_ij+Ti_ijk≤S_i(j+1) i＝1,2,...,n；k＝1,2,...,m

其中，F_ijk为第i个工件的第j个工序在第k个机器上的起始加工时间；S_ghk为第k个机器的后续工序O_gh的起始加工时间；S_ij和S_i(j+1)分别表示第i个工件的第j个工序和第j+1个工序的起始加工时间；Ti_ijk为第i个工件的第j个工序在第k个机器上的加工时间，n为工件总数，m为机器总数，g为机器加工的下一个工件的序号，h为机器加工的下一个工件的工序的序号。

4.根据权利要求3所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，所述的步骤3包括以下步骤：

步骤3.1、采用工序加工顺序向量和机器分配向量；

步骤3.2、对算法参数进行初始化，算法参数包括：种群规模pop，最大进化次数T_MAX，优势种群比例系数η，Pareto解集的个数Nmax，工序概率矩阵P，工序概率矩阵P的学习系数β；

步骤3.3、在解空间内按均匀分布随机产生N个初始解，组成初始种群，每个解即为一个个体；

步骤3.4、计算种群中所有个体的最大完工时间和总拖期时间，确定个体之间的相互支配关系和每个个体的拥挤距离，根据支配关系和拥挤距离获得种群的Pareto解集，从种群中通过加权和的选择规则选择SP＝η*N个优秀个体组成优势种群，η为优势个体比例系数，N为种群的个体数目；

步骤3.5、工序概率矩阵P利用优势种群采用工序概率更新公式进行更新；

步骤3.6、根据工序概率矩阵P采用轮盘赌方法生成工序加工顺序方案，根据工序加工顺序采用最早完工时间规则获得机器分配方案，更新N个个体，组成新的种群；

步骤3.7、根据步骤3.6生成新的种群，在新种群和Pareto解集组成的合集中，通过支配关系和拥挤距离选择具有非支配关系和拥挤距离小的个体更新新种群的Pareto解集，同时在新种群和优势种群组成的合集中，通过加权和的选择规则选择SP个优秀个体更新优势种群；

步骤3.8，满足停止准则，则获得的最后的Pareto解集就是最优的调度方案解集；不满足停止准则，则转到步骤3.5继续执行。

5.根据权利要求4所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，所述的步骤3.4中，相互支配关系定义如下：

其中，

表示任意a，

表示存在a，B表示优化目标的数目，f_a(u₁)表示解u₁的第a个目标的适应值，f_a(u₂)表示解u₂的第a个目标的适应值；

对N个解的第a个目标的适应值进行升序排序，则定义的拥挤距离的数学描述如下：

其中，CR_min,a表示第a个目标最小适应值的拥挤距离，CR_max,a表示第a个目标最大适应值的拥挤距离，CR_v,a表示第a个目标非最大适应值和非最小适应值的拥挤距离，f_a(v-1)和f_a(v+1)分别表示N个解第a个目标排序后第v-1位置的适应值和第v+1位置的适应值，

表示排序后第a个目标适应值的最小值，

表示排序后第a个目标适应值的最大值。inf表示值为无穷大。

6.根据权利要求5所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，所述的步骤3.5中，工序概率更新公式如下：

其中，工序概率矩阵P的行数和列数均为工序总数，P的第l行第y列表示第l行代表的相应工序在工序加工顺序向量第y列位置出现的概率，

和

则分别表示工序概率矩阵P第l行第y列第t+1次迭代和第t次迭代时的概率，SP为优势种群中的个体数目，I_lyx为在第x个优势个体中与第l行代表的相同工序是否出现在工序加工顺序向量第y列位置，β为学习系数。

7.根据权利要求6所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，第x个优势个体的工序出现在工序加工顺序向量第l行第y列的位置，I_lyx＝1；第x个优势个体的工序没有出现在工序加工顺序向量第l行第y列的位置，I_lyx＝0。

8.根据权利要求7所述的优化两生产指标的柔性作业车间调度多目标分布估计方法，其特征在于，所述的步骤3.6包括以下步骤：

步骤3.6.1、开始；

步骤3.6.2、定义输入变量：π为工序加工顺序向量；γ_k为在第k台机器上加工工序的索引；Ψ^k为在第k台机器上的加工工序向量；

步骤3.6.3、对于每一台机器k，初始化γ_k＝0，Ψ^k(γ_k)＝Φ,Φ表示空集合；

步骤3.6.4、对于工序加工顺序向量π的每一列e，找出能够以最早完工时间加工第e列工序π(e)的机器k，e为工序加工顺序向量的列序号,使得γ_k＝γ_k+1,Ψ^k(γ_k)＝π(e)；

步骤3.6.5、结束。

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