CN113469905A - 一种基于复合正则化的低剂量ct投影域去噪方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，本发明基于二阶全广义变分正则化方法，采用非凸惩罚函数增强小波变换的稀疏性，针对投影域建立基于非凸惩罚函数的小波‑TGV的去噪模型；建立对数惩罚函数，进行小波‑TGV去噪；采用分裂增广拉格朗日收缩算法，寻求小波‑TGV去噪的最优解；输入投影数据，使用滤波反投影算法重建CT图像。本发明重建得到的图像在保持边缘和纹理细节信息的前提下去掉了大部分的噪声和条状伪影。对低剂量CT图像有明显的降噪和去伪影效果。
Description
技术领域
本发明涉及低剂量CT图像去噪技术领域，特别涉及一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法。
背景技术
CT作为最常用的医疗影像设备之一，能够提供高分辨率的医学影像，为临床诊断和治疗提供强有力的依据。由于高剂量的X射线电离辐射会对患者及放射科医师的身体组织带来伤害，增加人体细胞发生癌变的机率，如何减少电离辐射剂量，并在较低辐射剂量下降低CT重建图像噪声，以获得临床诊断的高质量图像是一个重要的研究领域。从影响CT辐射剂量的主要三个因素即管电流、切片扫描时间和峰值电压来看，降低管电流是最简单直接的方法，但管电流的减少，会使得扫描过程出现X射线光子饥饿现象，导致投影数据的噪声增多，信噪比(Signal Noise Ration，SNR)降低，重建后的图像质量会严重退化。
首先分析与本发明解决同样问题的小波阈值去噪、TV去噪和小波-TV最小化去噪等方法的优缺点，然后介绍TGV正则化方法对上述方法的改进，最后将非凸惩罚函数与TGV正则化进行结合提出一种复合正则化的去噪模型，即基于非凸惩罚函数的小波-全广义变分的去噪模型。
小波变换因其在频域和时域上具有多分辨率分析、子带化和局部化等特点，在信号和图像处理领域得到了广泛的应用，标准正交小波变换定义如下：
z(x)＝∑j,k<z，φj，k>φj，k(x)+∑j，k<z，ψj，k>ψj，k(x) (1)
其中φj，k为尺度函数，ψj，k为小波函数。
对应的系数由L2内积定义如下：
<v，θ>＝∫v(x)θ(x)dx (2)
为了简化讨论和公式而不造成混淆，我们对尺度函数φj，k(x)和小波函数ψj，k(x)不加以区分，将小波变换定义如下：
其中φj，k代表所有的尺度函数和小波函数，
为相应的系数，并有
αj，k＝∫z(x)φj，k(x)dx (4)
小波的阈值技术被广泛应用在信号和图像的去噪当中，常使用的阈值方法包括硬阈值和软阈值两种。
硬阈值运算定义为：
软阈值运算定义为：
其中t为阈值。硬阈值方法是一个“取舍”的过程，方法简单，处理后的图像边缘会有些“僵硬”。软阈值的处理过程是将小波系数与阈值相比较，当原系数的绝对值小于或等于阈值时，系数值取值为零；当原系数的绝对值大于阈值时，取系数的绝对值与阈值的差值，符号与原系数符号相同。可将满足阈值的小波系数的坐标记为(j，k)∈I。
从最小二范数误差的角度来看，阈值处理降噪过程实际相当于如下最优化问题的求解，
其中u为去噪图像，z为观察图像，βj，k为相应的小波系数，I为模型确定的未知集，|I|代表I中的元素个数。
虽然小波阈值处理方法对光滑图像的降噪效果较好，硬阈值方法能够保留图像边缘等局部特征，但图像会产生伪吉布斯效应、振铃等视觉失真，相反软阈值方法处理相对平滑，但会出现边缘的模糊效果。理论上，除非保留所有图像边缘的相关系数，否则不可能完全消除伪吉布斯振荡效应等失真现象。伪吉布斯振荡的结果是TV的增加，因此可以利用重建图像的TV范数，以选择和修改被保留的小波系数。
由Rudin、Osher和Fatemi提出的TV最小化方法可以有效的去除噪声，TV降噪模型可以定义如下：
其中F(u，z)函数的第一项为正则抑制项，通过最小化TV范数来重建图像u(x)的振荡；第二项是控制重建图像u(x)和观察图像z(x)之间差值的数据保真项，λ为正则化参数，用于平衡正则抑制项和数据保真项。但由于该方法没有考虑图像纹理结构，使得重建图像的边缘信息会被过度平滑，导致图像一些边界纹理细节特征的丢失。
Chan等将上述两种方法即小波阈值去噪和TV最小化去噪方法进行了结合，提出小波-TV最小化方法。通过TV的最小化，来选择和修改保留的小波系数，使得重建图像在边缘附近具有更少的振荡而噪声能够被平滑去掉，去噪模型如下：
其中
代表如下小波变换：
基于上述模型的小波-TV最小化方法在去噪过程中会产生阶梯效应和块状伪影，已有很多方法用来改善其不足，其中TGV方法由Bredies、Kunisch和Pock于2010年提出，与只考虑一阶导数的TV最小化方法不同，TGV使用大于或等于二阶的高阶导数对图像的特征进行描述，利用TGV正则化处理的图像能够保持尖锐的边缘信息，可以有效地避免阶梯效应和块状伪影的产生。
发明内容
本发明为提升去噪的处理效果，更好的消除小波-TV最小化方法去噪产生的阶梯效应和块状伪影，本发明结合上述二阶全广义变分正则化方法，并使用非凸惩罚函数来增强小波变换域的稀疏性，针对投影域提出一种基于非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型，本发明的一个目的在于提出一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，具体为:
一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，包括以下步骤：
步骤1：基于二阶全广义变分正则化方法，采用非凸惩罚函数增强小波变换的稀疏性，针对投影域建立基于非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型；
步骤2：建立对数惩罚函数，进行小波-TGV去噪；
步骤3：采用分裂增广拉格朗日收缩算法，寻求小波-TGV去噪的最优解；
步骤4：输入投影数据，使用滤波反投影算法重建CT图像。
优选地，所述步骤1具体为：
基于投影域建立基于非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型，通过下式表示所述模型：
其中，令小波变换系数w＝Wz，j和k分别代表小波变换的尺度和平移量，且小波变换W满足Parseval框架条件，即有如下等式，
WTW＝I
去除噪声后的投影数据u的估计由小波逆变换得到，即
其中
为非凸的惩罚函数，参数a≥0。
优选地，设定φ(·；a)满足下列条件：
1)函数φ在
上连续且在
上二次可微并对称φ(-x；a)＝φ(x；a)
2)
3)
4)φ′(0+)＝1
5)infx≠0φ″(x；a)＝φ″(0+；a)＝-a
6)φ(x；0)＝|x|。
优选地，当惩罚函数φ(·；a)满足条件时，且有λ>0，则当
时，函数
为严格的凸函数，且函数φ(·；a)的迫近算子
为关于λ的连续的非线性函数，记作θ(y；λ，a)，即有
θ(y；λ，a)＝0。
优选地，所述步骤2具体为：
对数和反正切惩罚函数两者都可用于稀疏正则化，采用对数惩罚函数通过下式表示：
当参数化惩罚函数φ满足上述条件，则非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型为严格凸函数，仅当
时成立；
当
时，
的每一项都保持严格凸；
当β＝0，
时，
退变成小波-非凸惩罚函数去噪问题。当λj＝0时，非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型退变成小波-TGV去噪问题。
优选地，所述步骤3具体为：
为了得到去噪问题的最优解，采用分裂增广拉格朗日收缩算法转换为一个约束最优化：
通过迭代的方式交替对变量w和t进行求解；每次迭代包含如下：
d＝d-(t-w)
其中μ>0，初始化t＝Wz，d＝0。
令s＝(Wz+μ(t-d))/(μ+1)，子问题通过下式表示：
子问题通过阈值函数θ求解，即有：
根据l1最小化推导
的另一种形式，通过原始对偶交替算法对子问题进行求解，为了符号方便，定义U、V和Q如下，
令divq＝v，u∈U，则离散的
定义如下：
其中，
对子问题重新定义为，通过下式进行重新定义：
根据对偶原理，将重新定义后的子问题转化为拐点问题：
其中
x和y为对偶变量，
采用原始对偶交替算法对拐点问题进行求解，对偶变量x和y分别求得如下，
根据求得的x和y，确定迫近算子：
其中
可求得小波-TGV去噪的最优解：
优选地，所述步骤4具体为：
输入投影数据z，及λj，β，μ，并初始化；使用滤波反投影算法重建CT图像，f＝FBP(z)
上取λj＝2.5ησ/2j/2，
μ＝100，其中σ2为投影数据的噪声方差，N为投影数据的像素点个数，η＝0.95，用来平衡非凸正则项和TGV正则项两者间的权重；迭代步长ρ和τ参照Bredies的选取策略，本发明取ρ＝0.1，τ＝0.4，α0＝3，α1＝1。
有益效果：
本发明重建得到的图像在保持边缘和纹理细节信息的前提下去掉了大部分的噪声和条状伪影。对低剂量CT图像有明显的降噪和去伪影效果，图像的纹理细节保持得很好。在图像光滑区域处的剖面线光滑程度较好，在图像边界位置上斜率更接近原始图像，去噪效果更显著。
附图说明
图1为模拟仿真XCAT体模图像，图1(a)为原始图像；图1(b)为投影数据；图1(c)为图1(b)添加了噪声的投影数据；图1(d)为图1(c)和图1(b)的差值图像；
图2为重建的图像，图2(a)为原始图像；图2(b)为FBP直接重建；图2(c)为PWLS去噪后重建的图像；图2(d)为本发明方法去噪后重建的图像；
图3为黄色感兴趣区域的放大图；图3(a)为原始图像；图3(b)为FBP直接重建；图3(c)为PWLS去噪后的图像；图3(d)为本发明投影域去噪后重建的图像；
图4为水平方向上的中心线剖面线图；
图5为重建图像；图5(a)为未去噪的重建图像；图5(b)为使用PWLS去噪后的重建图像；图5(c)为本发明去噪后的重建图像；
图6为不同处理过程的图像局部放大图；图6(a)为未去噪的重建图像；图6(b)为使用PWLS去噪后的重建图像；图6(c)为本发明去噪后的重建图像；
图7为图像中心线的剖面线，图7(a)为中心线；图7(b)为局部放大部分。
具体实施方式
根据图1-图7所示，是本发明提供一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法：
低剂量CT投影域的去噪问题就是要设计一种去噪算法，从测量得到的投影数据中去除噪声，并使结果尽可能接近理想的投影数据。为提升去噪的处理效果，更好的消除小波-TV最小化方法去噪产生的阶梯效应和块状伪影，本发明结合上述二阶全广义变分正则化方法，并使用非凸惩罚函数来增强小波变换域的稀疏性，针对投影域提出一种基于非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型，定义如下，
其中，令小波变换系数w＝Wz，j和k分别代表小波变换的尺度和平移量，且小波变换W满足Parseval框架条件，即有如下等式，
WTW＝I (17)
去除噪声后的投影数据u的估计可由小波逆变换得到，即有
其中
为非凸的惩罚函数，参数a≥0，并假设φ(·；a)满足下列条件：
1)函数φ在
上连续且在
上二次可微并对称φ(-x；a)＝φ(x；a)
2)
3)
4)φ′(0+)＝1
5)infx≠0φ″(x；a)＝″(0+；a)＝-a
6)φ(x；0)＝|x|
引理1：假设罚函数φ(·；a)满足上述条件，且有λ>0，则当
时，函数
为严格的凸函数，且函数φ(·；a)的迫近算子
为关于λ的连续的非线性函数，记作θ(y；λ，a)，即有
θ(y；λ，a)＝0。
对数和反正切惩罚函数(当适当归一化时)都满足上述条件，两者都可用于稀疏正则化。本发明使用对数惩罚函数如下，
命题1：假设参数化惩罚函数φ满足上述条件，则目标函数(16)为严格凸函数，仅当
时成立。
证明：令
当
时，根据引理1，
的每一项都保持严格凸。
项也保持严格凸，两个凸函数的和仍为凸函数，即目标函数F(w)为严格凸函数。
当
时，
公式(16)退变成小波-非凸惩罚函数去噪问题。当λj＝0时，公式(16)退变成小波-TGV去噪问题。
优化求解及方法实现
为了得到去噪问题公式(16)的最优解，可以采用分裂增广拉格朗日收缩算法(Split Augmented Lagrangian Shrinkage Algorithm，SALSA)，将公式(16)转换为一个约束最优化问题，
其中，
将上式变为增广的拉格朗日问题，则有，
问题(22)可以通过迭代的方式交替对变量w和t进行求解。每次迭代包含如下三个步骤：
d＝d-(t-w) (25c)
其中μ>0，初始化t＝Wz，d＝0。
令s＝(Wz+μ(t-d))/(μ+1)，子问题(25a)可以有如下形式，
上式与公式(19)形式相同，因此子问题(25a)可以通过阈值函数θ求解，即有，
根据l1最小化推导
的另一种形式，以便通过原始对偶交替算法更有效地对子问题(25b)进行求解，为了符号方便，定义U、V和Q如下，
令divq＝v，u∈U，则离散的
定义如下，
其中
进一步的有，
其中，
由此，子问题(25b)可重新定义为，
根据对偶原理，上式可以看作下面的拐点问题，
其中
x和y为对偶变量，
采用原始对偶交替算法对问题(32)进行求解[86]，对偶变量x和y分别求得如下，
将求得的x和y代入公式(32)，并有迫近算子，
其中
可求得，
综上所述，所提出的投影域去噪方法流程如下：
输入投影数据z，及λj，β，μ
初始化：t＝Wz，d＝0
Repeat
t′＝WTt
d＝d-(t-w)
Until convergence
返回z＝WTw
使用滤波反投影算法重建CT图像，f＝FBP(z)
上述求解过程及流程处理中，取λj＝2.5ησ/2j/2，
μ＝100，其中σ2为投影数据的噪声方差，N为投影数据的像素点个数，＝0.95，用来平衡非凸正则项和TGV正则项两者间的权重。迭代步长ρ和τ参照Bredies等人的选取策略，本发明取ρ＝0.1，τ＝0.4，α0＝3，α1＝1。
具体实施例二：
使用数值XCAT体模来验证所提出的方法，对已有无噪声的投影数据，参照Zeng和La Riviere的模拟仿真方法生成低剂量的投影数据，相当于扫描电压为80kVp，管电流为20mA的投影数据相关的噪声水平。模拟的CT成像参数与临床西门子SOMATOM Sensation16CT扫描仪相同，如表1所示。生成的数值XCAT体模图像如图1所示。实验使用的主要硬件设备包括Intel Xeon E5-1620中央处理器、NVIDIA GTX 1080Ti图形处理器和64GB的内存储器，软件运行环境为Windows 10下的Matlab 2016。
表1模拟仿真的CT成像参数
各个不同方法去噪后重建的图像如图2所示。图2(a)为原始图像，图2(b)为从未去除噪声的投影数据直接使用FBP方法重建的图像，图2(c)为使用惩罚加权最小二乘(Penalized Weighted Least-Square，PWLS)方法进行去噪后使用FBP方法重建的图像，图2(d)为使用所提方法进行投影域去噪后使用FBP方法重建的图像。从图2(b)和图2(c)可以看出，直接使用FBP方法重建的图像噪声和条状伪影较明显，虽然经PWLS方法去噪处理后，噪声和条状伪影得到了部分抑制，但效果不够理想。相比之下，图2(d)显示本文所提出的方法重建得到的图像在保持边缘和纹理细节信息的前提下去掉了大部分的噪声和条状伪影。为更清晰的对比实验效果，对图2中的黄色感兴趣区域进行局部放大，如图3所示，从中可以看出所提方法对低剂量CT图像有明显的降噪和去伪影效果，图像的纹理细节保持得很好。图2中各图水平方向上的中心线剖面线图如图4所示，所提方法在图像光滑区域处的剖面线光滑程度较好，在图像边界位置上斜率更接近原始图像，进一步说明了所提方法的去噪效果更显著。
物理水模实验
为了进一步验证所提方法的有效性，我们采用上述各方法对实际低剂量下的投影数据进行实验，被扫描物体为物理水模，CT扫描与重建参数如表3所示。图5为不同方法得到的重建图像，其中图5(a)是低剂量扫描情况下应用FBP方法直接重建的未去噪图像，图5(b)是使用PWLS方法进行投影域去噪后的重建图像，图5(c)是应用所提投影域去噪方法后的重建图像。
表3 CT扫描与重建参数
图6是不同处理过程的图像局部放大图。图7对比了各图中心线的剖面线，证明在保持边界特征的情况下，所提方法对低剂量CT图像有明显的降噪效果。
尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。
Claims (7)
1.一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征是：包括以下步骤：
步骤1：基于二阶全广义变分正则化方法，采用非凸惩罚函数增强小波变换的稀疏性，针对投影域建立基于非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型；
步骤2：建立对数惩罚函数，进行小波-TGV去噪；
步骤3：采用分裂增广拉格朗日收缩算法，寻求小波-TGV去噪的最优解；
步骤4：输入投影数据，使用滤波反投影算法重建CT图像。
2.根据权利要求1所述的一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征在于，所述步骤1具体为：
基于投影域建立基于非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型，通过下式表示所述模型：
其中，令小波变换系数w＝Wz，j和k分别代表小波变换的尺度和平移量，且小波变换W满足Parseval框架条件，即有如下等式，
WTW＝I
去除噪声后的投影数据u的估计由小波逆变换得到，即
其中
为非凸的惩罚函数，参数a≥0。
3.根据权利要求2所述的一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征在于，设定φ(·；a)满足下列条件：
1)函数φ在
上连续且在
上二次可微并对称φ(-x；a)＝φ(x；a)
2)
3)
4)φ′(0+)＝1
5)infx≠0φ″(x；a)＝φ″(0+；a)＝-a
6)φ(x；0)＝|x|。
4.根据权利要求3所述的一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征在于，当惩罚函数φ(·；a)满足条件时，且有λ>0，则当
时，函数
为严格的凸函数，且函数φ(·；a)的迫近算子
为关于λ的连续的非线性函数，记作θ(y；λ，a)，即有
θ(y；λ，a)＝0。
5.根据权利要求4所述的一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征在于，所述步骤2具体为：
对数和反正切惩罚函数两者都可用于稀疏正则化，采用对数惩罚函数通过下式表示：
当参数化惩罚函数φ满足上述条件，则非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型为严格凸函数，仅当
时成立；
当
时，
的每一项都保持严格凸；
当β＝0，
时，
退变成小波-非凸惩罚函数去噪问题；当λj＝0时，非凸惩罚函数的小波-TGV的去噪模型退变成小波-TGV去噪问题。
6.根据权利要求5所述的一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征在于，所述步骤3具体为：
为了得到去噪问题的最优解，采用分裂增广拉格朗日收缩算法转换为一个约束最优化：
通过迭代的方式交替对变量w和t进行求解；每次迭代包含如下：
d＝d-(t-w)
其中μ＞0，初始化t＝Wz，d＝0；
令s＝(Wz+μ(t-d))/(μ+1)，子问题通过下式表示：
子问题通过阈值函数θ求解，即有：
根据l1最小化推导
的另一种形式，通过原始对偶交替算法对子问题进行求解，为了符号方便，定义U、V和Q如下，
令divq＝v，u∈U，则离散的
定义如下：
其中，
对子问题重新定义为，通过下式进行重新定义：
根据对偶原理，将重新定义后的子问题转化为拐点问题：
其中
x和y为对偶变量，
采用原始对偶交替算法对拐点问题进行求解，对偶变量x和y分别求得如下，
根据求得的x和y，确定迫近算子：
其中
可求得小波-TGV去噪的最优解：
7.根据权利要求6所述的一种基于复合正则化的低剂量CT投影域去噪方法，其特征在于，所述步骤4具体为：
输入投影数据z，及λj，β，μ，并初始化；使用滤波反投影算法重建CT图像，f＝FBP(z)
取λj＝2.5ησ/2j/2，
μ＝100，其中σ2为投影数据的噪声方差，N为投影数据的像素点个数，η＝0.95，用来平衡非凸正则项和TGV正则项两者间的权重；迭代步长ρ和τ参照Bredies的选取策略，本发明取ρ＝0.1，τ＝0.4，α0＝3，α1＝1。
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