CN113468721B - 一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命的预测方法 - Google Patents

Abstract

一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命的预测方法，属于机械可靠性技术领域，其特征是实施步骤如下：1、利用传感器对主试齿轮箱内齿轮和轴承退化实时监测；2、对主试齿轮箱内齿轮和轴承的退化状态进行特征提取，利用均方幅值对齿轮和轴承磨损退化性能进行衰退评估；3、通过核密度估计的剩余寿命模型得到i部件在时刻预测的剩余寿命分布函数4、进一步考虑部件在退化过程中的随机相关性，建立齿轮和轴承具有随机相关性的单一Copula剩余寿命预测模型；5、通过极大似然估计出Copula的参数，根据AIC准则选择最优的Copula函数；6、最后得出具有随机相关性的单一Copula的齿轮和轴承剩余寿命概率密度函数。优点是可有效地预测出齿轮箱的寿命，做好预测性维修工作，避免停工停产。

Description

一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命的预测方法

本发明属于机械可靠性技术领域，具体涉及一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命的预测方法。

背景技术

在机械工业中齿轮减速箱被广泛的应用在机械设备传动系统中。齿轮箱的作用就是将从电动机获得的转数通过齿轮箱将其转数转变为设定的转数，而且齿轮箱不仅能改变转数还能改变扭矩。当齿轮发生失效时，齿轮的点蚀会增加齿轮的振动，同时也会加速轴承的磨损。轴承是齿轮箱的重要部分，通常需要承受方向可变和受力变化，一旦发生失效也会导致整个系统的崩溃。轴承间隙过大，径向振动变大，对齿轮造成冲击；间隙太小，摩擦阻力会变大，对齿轮的寿命也有很大的影响。因此，对齿轮和轴承提出合理有效的维修方案已成为机械行业急需解决的问题，而在整个维修方案制定过程中，齿轮和轴承的剩余寿命预测是重点。目前随着信息传感技术的发展，对齿轮箱的运行状态进行实时监测，利用接收到的大量实时监测信息更为准确预测系统的退化状态及其剩余寿命，可以提供有关健康状态的关键信息，进而识别和管理故障的发生、规划维修活动，为更合理地制定基于状态的维护维修策略提供依据。

发明内容

本发明目的是提供一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命的预测方法，该方法可有效地预测齿轮减速箱的寿命，可有效地提供预防措施。

本发明是这样实现的，其特征在于实施步骤如下：

步骤1、通过试验获取表征主试齿轮箱内齿轮和轴承状态的实时监测数据；

采用如图1所示的试验台架，由主试齿轮箱1和陪试齿轮箱2相连接构成，其中心距为a＝150cm，试验采用机械杠杆加载，扭矩采用转矩转速传感器测量，试验过程中对主、陪试箱体的振动、加速度、温度及噪声进行监测，主试齿轮箱中为正反交错搭接的一对齿轮，齿轮的断齿状态等效为齿轮的失效；

试验台架上共布置有13个传感器，1、2、3、4号加速度传感器1#、2#、3#、4#分别布置在主试齿轮箱1轴承座的径向位，7、8号加速度传感器7#、8#分别布置在主试齿轮箱1轴承座的轴向位，5、6号加速度传感器5#、6#分别布置在陪试齿轮箱2轴承座的径向位；9、10号声音传感器9#、10#分别悬挂在主试齿轮箱1和陪试齿轮箱2正上方40cm处；11号温度传感器11#布置在主试齿轮箱内部；12号转速传感器12#布置在驱动电机8的输出端；13号转矩传感器13#布置在主、陪试齿轮箱1、2的联接轴处；

试验中加载分八级载荷，八级载荷的大小分别为349.5扭矩，430.7扭矩，492.2扭矩，555.6扭矩，612.9扭矩，693.4扭矩，734扭矩，822.7扭矩，每级载荷的运行时间为10个小时，在第八级载荷时发生断齿，用4号传感器4#记录齿轮的加速度数据，剩余寿命预测选取从第八级加载开始到断齿的加速度测试整个时域信号进行分析，采样信息如下：采样频率为25.6kHz，每次采样持续60秒，每隔9分钟记录一次采样文本；

步骤2、对主试齿轮箱内齿轮和轴承的退化状态进行特征提取，利用均方幅值对齿轮和轴承磨损退化性能进行衰退评估，对于每次采样时间长度内，采样信号的均方幅值特征值表示为：

式中：∑为求和号，n为每个采样周期的采样点数,y_i为t_i时刻齿轮和轴承的状态信息，y_j为齿轮和轴承每个采样周期的数据；

步骤3、根据主试齿轮箱内齿轮的初始故障数据，设在t_n+l时刻i部件累积特征退化量首次到达故障阈值L_i，则i部件在/>时刻的剩余寿命的分布函数/>为：

通过核密度估计的剩余寿命模型得到i部件在时刻预测的剩余寿命分布函数为：

时刻部件i的剩余寿命概率密度函数/>为：

由(4)式可分别求得齿轮和轴承在不同监测时刻处的剩余寿命概率密度函数。

步骤4、在求得齿轮和轴承在不同监测时刻处的剩余寿命概率密度函数后，考虑建立齿轮和轴承具有随机相关性的单一Copula函数剩余寿命预测模型。Copula函数是连接一维的边缘分布和多维联合分布的函数。设F(t¹,t²,…,t^M)为M维联合分布函数，它的边缘分布函数分别为F¹(t¹),F²(t²),…,F^M(t^M)，那么存在一个Copula函数C(u₁,u₂,…,u_M)满足：

F(t¹,t²,…,t^M)＝C(F¹(t¹),F²(t²),…,F^M(t^M)；θ)

＝C(u₁,u₂,…,u_M；θ) (5)

式中θ为相关参数，用来表征相关性程度。

采用kendall秩相关系数τ判断系统中不同部件间是否存在相关性，然后可通过Copula函数表征其相关关系。假设表示两个不同的变量的统计数据，则秩相关系数τ通过数据可表示为：

其中：

根据退化数据得到齿轮箱中轴承和齿轮两部件的Kendall秩相关系数τ＝0.674，说明两部件的退化过程有一定的正相关性。

根据Sklar定理可知，选择Copula函数C就可以用Copula函数得到边缘分布的联合分布。将部件的剩余寿命的边缘分布函数(3)式带入(5)式中得：

式中：L₁,...L₂,...,L_M分别为相应M个部件的退化故障阈值，为M个部件的联合剩余寿命分布函数，/>为不考虑随机相关性的分布函数。则联合分布的概率密度函数为：

式中：为Copula函数的联合概率密度函数。

第i个部件在考虑随机相关性下的条件分布函数为：

由于是M维的联合分布函数，不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数/>值域为[0,1]，条件分布函数/>的值域为[0,1]，且/>是连续的，令/>根据反函数的相关性质，考虑随机相关性的边缘分布函数/>表达式为：

考虑随机相关性的单一Copula函数剩余寿命边缘分布的概率密度函数为：

步骤5、接下来通过极大似然估计出Copula函数的参数，然后根据AIC准则选择最优的Copula函数。在实际应用中，Copula函数的种类很多，目前常用的选择Copula函数的方法是AIC准则。

AIC准则表达式为：

式中：L为Copula函数的似然函数；n为样本个数；K为被估计参数个数。

首先利用非参数核密度估计得到不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数，然后利用极大似然估计方法估计Copula函数中的未知参数θ。

通过(14)式求得不同Copula函数的参数θ的值，然后将其代入(13)式分别计算对应的AIC值。因为AIC表征是Copula函数对边缘分布的拟合程度。AIC值越小，对拟合程度越好，将计算AIC值最小的Copula函数代入(7)式，通过(7)至(12)式即可求解考虑随机相关性的部件剩余寿命概率密度函数。由(11)式得到不同的Copula函数的AIC值。通过计算在相同的时刻下，AIC值最小的Copula函数为Gumbel Copula函数，因此根据AIC准则可知最优的Copula函数应选择Gumbel函数，可以更好的描述齿轮和轴承之间的相关性。将部件的不考虑随机相关性剩余寿命边缘分布函数(2)式以及Gumbel函数表达式代入(7)式中得：

步骤6、通过考虑具有随机相关性的齿轮和轴承剩余寿命，最后得出具有随机相关性单一Copula函数的齿轮在时刻的剩余寿命分布函数/>为：

考虑随机相关性单一Copula函数的齿轮在时刻的剩余寿命概率密度函数/>为：

求得考虑随机相关性单一Copula函数的轴承在时刻的剩余寿命分布函数/>为：

考虑随机相关性单一Copula函数的轴承在时刻的剩余寿命概率密度函数/>为：

本发明优点及积极效果是：

本发明可对机械传动系统中的齿轮减速箱的运行寿命进行有效地预测，预防在机械运行中发生失效事故，造成停工停产。

附图说明

图1为本发明实施例中试验台架原理图；

图2为本发明实施例中齿轮退化图；

图3为本发明实施例中轴承退化图；

图4为本发明实施例中齿轮不同时刻结果概率图；

图5为本发明实施例中轴承不同时刻结果概率图；

图6为本发明实施例中齿轮监测30h后的预测结果图；

图7为本发明实施例中两种模型下的齿轮预测结果图；

图8为本发明实施例中两种模型下的轴承预测结果图；

图中：1-主试齿轮箱，2-陪试齿轮箱，3-第一联轴器，4-第二联轴器，5-第三联轴器，6-机械杠杆，7-检测系统，8-驱动电机，a-主试齿轮箱与陪试齿轮箱的中心距；

1#～8#-1～8号加速度传感器，9#、10#-1、2号声音传感器，11#-温度传感器，12#-转速传感器，13#-转矩传感器；

具体实施方式

下面结合附图对本发明实施例做进一步说明：

实施步骤如下：

步骤1、如图1所示，通过试验获取表征主试齿轮箱1内齿轮和轴承状态的实时监测数据；

采用如图1所示的试验台架，由主试齿轮箱1和陪试齿轮箱2相连接构成，其中心距为a＝150cm，试验采用机械杠杆加载，扭矩采用转矩转速传感器测量，试验过程中对主、陪试箱体的振动、加速度、温度及噪声进行监测，主试齿轮箱中为正反交错搭接的一对齿轮，齿轮的断齿状态等效为齿轮的失效；

试验台架上共布置有13个传感器，1、2、3、4号加速度传感器1#、2#、3#、4#分别布置在主试齿轮箱1轴承座的径向位，7、8号加速度传感器7#、8#分别布置在主试齿轮箱1轴承座的轴向位，5、6号加速度传感器5#、6#分别布置在陪试齿轮箱2轴承座的径向位；9、10号声音传感器9#、10#分别悬挂在主试齿轮箱1和陪试齿轮箱2正上方40cm处；11号温度传感器11#布置在主试齿轮箱内部；12号转速传感器12#布置在驱动电机8的输出端；13号转矩传感器13#布置在主、陪试齿轮箱1、2的联接轴处；

试验中加载分八级载荷，八级载荷的大小分别为349.5扭矩，430.7扭矩，492.2扭矩，555.6扭矩，612.9扭矩，693.4扭矩，734扭矩，822.7扭矩，每级载荷的运行时间为10个小时，在第八级载荷时发生断齿，用4号传感器4#记录齿轮的加速度数据，剩余寿命预测选取从第八级加载开始到断齿的加速度测试整个时域信号进行分析，采样信息如下：采样频率为25.6kHz，每次采样持续60秒，每隔9分钟记录一次采样文本。

步骤2、对主试齿轮箱内齿轮的退化状态进行特征提取，利用均方幅值对齿轮和轴承磨损退化性能进行衰退评估，对于每次采样时间长度内，采样信号的均方幅值特征值表示为：

式中：∑为求和号，n为每个采样周期的采样点数,y_i为t_i时刻齿轮和轴承的状态信息，y_j为齿轮和轴承每个采样周期的数据。

通过均方幅值对数据处理，得到如图2所示齿轮退化图，如图3所示的轴承退化图。当齿轮的特征值达到76.375mm/s²时，齿轮发生故障；当轴承的特征值达到82.53mm/s²时，轴承发生故障。

步骤3、根据主试齿轮箱内齿轮的初始故障数据，设在时刻i部件累积特征退化量/>首次到达故障阈值L_i，则i部件在t_n时刻的剩余寿命的分布函数/>为：

通过核密度估计的剩余寿命模型得到i部件在时刻预测的剩余寿命分布函数为：

时刻部件i的剩余寿命概率密度函数/>为：

由(4)式可求得齿轮和轴承在不同监测时刻处的剩余寿命概率密度函数。如图4和图5所示,图中“*”为t时刻齿轮的实际剩余寿命。

步骤4、在求得齿轮和轴承在不同监测时刻处的剩余寿命概率密度函数后，考虑建立齿轮和轴承具有随机相关性的单一Copula函数剩余寿命预测模型。Copula是连接一维的边缘分布和多维联合分布的函数。设F(t¹,t²,…,t^M)为M维联合分布函数，它的边缘分布函数分别为F¹(t¹),F²(t²),…,F^M(t^M)，那么存在一个Copula函数C(u₁,u₂,…,u_M)满足：

F(t¹,t²,…,t^M)＝C(F¹(t¹),F²(t²),…,F^M(t^M)；θ)

＝C(u₁,u₂,…,u_M；θ) (5)

式中θ为相关参数，用来表征相关性程度。

采用kendall秩相关系数τ判断系统中不同部件间是否存在相关性，然后可通过Copula函数表征其相关关系。假设表示两个不同的变量的统计数据，则秩相关系数τ通过数据可表示为：

其中：

根据退化数据得到齿轮箱中轴承和齿轮两部件的Kendall秩相关系数τ＝0.674，说明两部件的退化过程有一定的正相关性。

根据Sklar定理可知，选择Copula函数C就可以用Copula函数得到边缘分布的联合分布。将部件的剩余寿命的边缘分布函数(3)式带入(5)式中得：

式中：L₁,...L₂,...,L_M分别为相应M个部件的退化故障阈值，为M个部件的联合剩余寿命分布函数，/>为不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数，则联合分布的概率密度函数为：

式中：为Copula函数的联合概率密度函数。

第i个部件在考虑随机相关性下的条件分布函数为：

由于是M维的联合分布函数，不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数值域为[0,1]，条件分布函数/>的值域为[0,1]，且/>是连续的，令/>根据反函数的相关性质，考虑随机相关性的边缘分布函数/>表达式为：

考虑随机相关性的单一Copula函数剩余寿命边缘分布的概率密度函数为：

步骤5、接下来通过极大似然估计出Copula函数的参数，然后根据AIC准则选择最优的Copula函数。在实际应用中，Copula函数的种类很多，目前常用的选择Copula函数的方法是AIC准则。

AIC准则表达式为：

式中：L为Copula函数的似然函数；n为样本个数；K为被估计参数个数。

首先利用非参数核密度估计得到边缘分布函数，然后利用极大似然估计方法估计Copula函数中的未知参数θ。

通过(14)式求得不同Copula函数的参数θ的值，然后将其代入(13)式分别计算对应的AIC。因为AIC表征是Copula函数对边缘分布的拟合程度。AIC值越小，对拟合程度越好，将计算AIC值最小的Copula函数代入(7)式，通过(7)至(12)式即可求解考虑随机相关性的部件剩余寿命概率密度函数。不同的Copula函数的AIC值在相同的时刻下，AIC值最小的Copula函数为Gumbel Copula函数，因此根据AIC准则可知最优的Copula函数应选择Gumbel函数，可以更好的描述齿轮和轴承之间的相关性。将部件的剩余寿命边缘分布函数(11)式以及Gumbel函数表达式代入(7)式中得：

步骤6、通过考虑随机相关性的单一Copula函数寿命预测模型预测齿轮和轴承剩余寿命，最后得出具有随机相关性单一Copula函数的齿轮在时刻的剩余寿命分布函数为：

考虑随机相关性单一Copula函数的齿轮在时刻的剩余寿命概率密度函数/>为：

求得考虑随机相关性单一Copula函数的轴承在时刻的剩余寿命分布函数/>为：

考虑随机相关性单一Copula函数的轴承在时刻的剩余寿命概率密度函数/>为：

从公式(17)可以计算得到不同监测时刻齿轮剩余寿命的概率密度函数，并求得相应的平均剩余寿命值。图6是在考虑随机相关性后建立的单一Copula函数剩余寿命预测模型在监测第30h的预测结果图，为便于对两个模型进行对比，将步骤三与步骤四所建模型在相同时刻的预测结果进行比较，两种剩余寿命预测模型结果图如图7所示，显示了在不同时刻齿轮的真实寿命和两种模型下预测结果的概率密度曲线图，图中实线实现表示的是在不同时刻下所建立单一Copula函数剩余寿命模型预测的齿轮寿命结果图，虚线表示在不同时刻下所建立的剩余寿命预测的齿轮寿命结果模型。“*”代表的是不同时刻齿轮的真实寿命。由图7可以看出，从监测的10小时到70小时，两种模型的PDF的方差都在减小，而且真实值都在两种模型预测的范围之内。同时考虑随机相关的单一Copula函数的剩余寿命模型计算得到的概率密度函数曲线比不考虑随机相关性剩余寿命模型的概率密度函数曲线窄，说明同一时刻单一Copula函数的剩余寿命模型的方差更小，表明单一Copula函数预测的结果更稳定。

表1对单一Copula函数模型和不考虑随机相关的剩余寿命预测模型的齿轮预测结果进行了比较，其误差分析结果如下表所示。对比表1中数据可知，随着监测时间的增加，两个模型预测的准确度也在增加。而且在相同时刻下，单一Copula函数剩余寿命模型所预测结果的绝对误差值均小于核密度估计剩余寿命模型所预测结果的绝对误差。由此表明考虑部件之间的随机相关性后，预测齿轮的剩余寿命比不考虑随机相关性所预测的结果更为准确。验证了建立的考虑随机相关性的单一Copula函数剩余寿命模型较为符合实际。

表1两种模型的齿轮预测结果与实际值分析

从公式(19)可以计算得到不同监测时刻轴承剩余寿命的概率密度函数，并求得相应的剩余寿命预测值。图8给出了两种模型下的轴承预测结果图，显示了在不同时刻轴承的真实寿命和两种模型下预测结果的概率密度曲线图，图中实线实现表示的是在不同时刻下所建立单一Copula函数剩余寿命模型预测的轴承寿命结果图，虚线表示在不同时刻下所建立的不考虑部件随机相关剩余寿命预测的齿轮寿命结果模型。“*”代表的是不同时刻轴承的真实寿命。由图可以看出，从监测的10小时到80小时，两种模型的概率密度函数的方差都在减小，而且真实值都在两种模型预测的范围之内。同时考虑随机相关的单一Copula函数的剩余寿命预测模型计算得到的概率密度函数曲线比核密度估计的剩余寿命模型的概率密度函数曲线窄，说明同一时刻单一Copula函数的剩余寿命预测模型的方差更小，表明单一Copula函数预测的结果更稳定。表2对单一Copula函数模型和不考虑随机相关模型的轴承预测结果进行了比较，其误差分析结果如下表所示。对比表2中数据可知，随着监测时间的增加，两个模型预测的可靠度也在增加。而且在相同时刻下，单一Copula函数剩余寿命模型所预测结果的绝对误差值均小于核密度估计剩余寿命模型所预测结果的绝对误差。由此表明考虑部件之间的随机相关性后，预测轴承的剩余寿命比不考虑随机相关性所预测的结果更为准确。验证了建立的考虑随机相关性的单一Copula函数剩余寿命模型较为符合实际。

表2两种模型的轴承预测结果与实际值分析

综上所述，本发明提出了一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命预测方法，该方法首先利用传感器得到不同退化量的数据，然后，采用非参数核密度估计方法预测各部件剩余寿命，其次基于Copula函数对多部件系统进行随机相关性建模，并通过极大似然估计对Copula函数中的相关参数求解，并且采用赤池信息量准则(AIC)进行Copula优选；最后建立考虑多部件系统剩余寿命联合概率密度预测模型，通过该模型对齿轮箱中的齿轮和轴承的剩余寿命进行了预测。

Claims (1)

1.一种对齿轮减速箱中齿轮和轴承剩余寿命的预测方法，其特征在于实施步骤如下：

步骤1、通过试验获取表征主试齿轮箱内齿轮和轴承状态的实时监测数据；

采用的试验台架由主试齿轮箱(1)和陪试齿轮箱(2)相连接构成，其中心距为a＝150cm，试验采用机械杠杆加载，扭矩采用转矩转速传感器测量，试验过程中对主、陪试箱体的振动、加速度、温度及噪声进行监测，主试齿轮箱中为正反交错搭接的一对齿轮，齿轮的断齿状态等效为齿轮的失效；

试验台架上共布置有13个传感器，1、2、3、4号加速度传感器(1#、2#、3#、4#)分别布置在主试齿轮箱(1)轴承座的径向位，7、8号加速度传感器(7#、8#)分别布置在主试齿轮箱(1)轴承座的轴向位，5、6号加速度传感器(5#、6#)分别布置在陪试齿轮箱(2)轴承座的径向位；9、10号声音传感器(9#、10#)分别悬挂在主试齿轮箱(1)和陪试齿轮箱(2)正上方40cm处；11号温度传感器(11#)布置在主试齿轮箱内部；12号转速传感器(12#)布置在驱动电机(8)的输出端；13号转矩传感器(13#)布置在主、陪试齿轮箱(1、2)的连接轴处；

试验中加载分八级载荷，八级载荷的大小分别为349.5扭矩，430.7扭矩，492.2扭矩，555.6扭矩，612.9扭矩，693.4扭矩，734扭矩，822.7扭矩，每级载荷的运行时间为10个小时，在第八级载荷时发生断齿，用4号传感器(4#)记录齿轮的加速度数据，剩余寿命预测选取从第八级加载开始到断齿的加速度测试整个时域信号进行分析，采样信息如下：采样频率为25.6kHz，每次采样持续60秒，每隔9分钟记录一次采样文本；

步骤2、对主试齿轮箱内齿轮和轴承的退化状态进行特征提取，利用均方幅值对齿轮和轴承磨损退化性能进行衰退评估，对于每次采样时间长度内，采样信号的均方幅值特征值表示为：

式中：∑为求和号，n为每个采样周期的采样点数,y_i为t_i时刻齿轮和轴承的状态信息，y_j为齿轮和轴承每个采样周期的数据；

步骤3、根据主试齿轮箱内齿轮的初始故障数据，设在时刻i部件累积特征退化量首次到达故障阈值L_i，则i部件在/>时刻的剩余寿命的分布函数/>为：

通过核密度估计的剩余寿命模型得到i部件在时刻预测的剩余寿命分布函数/>为：

时刻部件i的剩余寿命概率密度函数/>为：

由(4)式可分别求得齿轮和轴承在不同监测时刻处的剩余寿命概率密度函数；

步骤4、在求得齿轮和轴承在不同监测时刻处的剩余寿命概率密度函数后，考虑建立齿轮和轴承具有随机相关性的单一Copula函数剩余寿命预测模型,Copula是连接一维的边缘分布和多维联合分布的函数。设F(t¹,t²,…,t^M)为M维联合分布函数，它的边缘分布函数分别为F¹(t¹),F²(t²),…,F^M(t^M)，那么存在一个Copula函数C(u₁,u₂,…,u_M)满足：

F(t¹,t²,…,t^M)＝C(F¹(t¹),F²(t²),…,F^M(t^M)；θ)

＝C(u₁,u₂,…,u_M；θ) (5)

式中θ为相关参数，用来表征相关性程度；

采用kendall秩相关系数τ判断系统中不同部件间是否存在相关性，然后可通过Copula函数表征其相关关系，假设表示两个不同的变量的统计数据，则秩相关系数τ通过数据可表示为：

其中：

根据失效数据得到齿轮箱中轴承和齿轮两部件的kendall秩相关系数τ＝0.674，说明两部件的退化过程有一定的正相关性；

根据Sklar定理可知，选择合适的Copula函数C就可以用Copula函数得到边缘分布的联合分布，将部件的剩余寿命的边缘分布函数(3)式带入(5)式中得：

式中：L₁,...L₂,...,L_M分别为相应M个部件的退化故障阈值，为M个部件的联合剩余寿命分布函数，/>为不考虑随机相关性的分布函数，则联合分布的概率密度函数为：

式中：为Copula函数的联合概率密度函数，

第i个部件在考虑随机相关性下的条件分布函数为：

由于是M维的联合分布函数，不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数值域为[0,1]，条件分布函数/>的值域为[0,1]，且/>是连续的，令/>根据反函数的相关性质，考虑随机相关性的边缘分布函数/>表达式为：

考虑随机相关性的单一Copula函数剩余寿命边缘分布的为：

步骤5、接下来通过极大似然估计出Copula函数的参数，然后根据AIC准则选择最优的Copula函数,在实际应用中，Copula函数的种类很多，目前常用的选择Copula函数的方法是AIC准则；

AIC准则表达式为：

式中：L为Copula函数的似然函数；n为样本个数；K为被估计参数个数,

首先利用非参数核密度估计得到边缘分布函数，然后利用极大似然估计方法估计Copula函数中的未知参数θ,

通过(14)式求得不同Copula函数的参数θ的值，然后将其代入(13)式分别计算对应的AIC,因为AIC表征是Copula函数对边缘分布的拟合程度,AIC值越小，对拟合程度越好，将计算AIC值最小的Copula函数代入(7)式，通过(7)至(12)式即可求解考虑随机相关性的部件剩余寿命概率密度函数,由(11)式得到不同的Copula函数的AIC值,通过计算在相同的时刻下，AIC值最小的Copula函数为Gumbel Copula函数，因此根据AIC准则可知最优的Copula函数应选择Gumbel函数，可以更好的描述齿轮和轴承之间的相关性,将部件的剩余寿命边缘分布函数(2)式以及Gumbel函数表达式代入(7)式中得：

步骤6、通过考虑具有随机相关性的齿轮和轴承剩余寿命，最后得出具有随机相关性单一Copula函数的齿轮在时刻的剩余寿命分布函数/>为：

考虑随机相关性单一Copula函数的齿轮在时刻的剩余寿命概率密度函数/>为：

求得考虑随机相关性单一Copula函数的轴承在时刻的剩余寿命分布函数/>为：

考虑随机相关性单一Copula函数的轴承在时刻的剩余寿命概率密度函数/>为：