CN113449414A - 一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，先根据岩土力学中的地基极限承载力理论，确定所需测定的煤矿底板破坏形式为多层台阶型塑性滑移破坏；接着将底板塑性变形区的按照岩体硬度划分成三层，并测得各层岩体的内摩擦角，接着根据现有方法得出主动极限区深度所在层位，共分成五种情况，最后分别计算得出每种情况下三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式；实际使用时，仅需对测试煤矿划分三层结构，并确定主动极限区深度所在层位，进而能根据对应的情况计算得出底板最大滑移破坏深度；本发明能够准确计算出更符合真实情况的煤岩层底板破坏深度，为煤矿安全带压开采以及煤矿底板突水的防治提供有效的理论指导。

Description

一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法

技术领域

本发明涉及一种煤矿底板稳定性研究领域，具体是一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法。

背景技术

近些年来，随着煤矿开采深度的日益增加，普遍开始在承压水体上开采煤岩层，而在承压水体上开采就必须要对底板稳定性问题进行研究，所以较为准确的计算出底板破坏深度将成为关键问题。

在煤层开采前，整个岩层的应力应处于平衡状态，随着采煤工作的进行，工作面距离开切眼越来越远，岩层中原有的应力平衡状态将会被打破，采动将造成矿井顶板下沉，甚至垮落，这种情况下底板将会因为采动造成隆起，底板岩层中的隔水层将遭到破坏，造成底板突水等严重的矿井灾害。近年来一些地区的煤田多次出现较为严重的底板水害事故，造成人员的伤亡、财产的损失，社会影响较为恶劣。

为保证煤矿在承压水体上开采时不会发生突水灾害，需确定采动引起的底板最大破坏深度，以往在理论上对矿井底板的破坏深度的研究只局限于单层岩体底板，这显然是不符合工程现场实际情况的，因为实际底板岩体的各岩层的内摩擦角是不同的，所以以往的底板破坏深度计算公式是不能够准确的确定底板破坏深度的，因此如何在考虑各岩层的内摩擦角不同情况下，获得底板破坏深度计算公式，使其计算结果更准确，便于对实践工程进行数据指导，是本行业的研究方向。

发明内容

针对上述现有技术存在的问题，本发明提供一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，通过对底板进行三层划分，接着根据主动极限区深度所处层位分成多种情况，最终得出不同情况下底板最大滑移破坏深度，从而便于对实践工程进行数据指导。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，具体步骤为：

步骤一、根据岩土力学中的地基极限承载力理论，确定煤矿底板破坏形式为多层台阶型塑性滑移破坏；

步骤二、将底板塑性变形区按照岩体岩性硬度分为三层，测得各层岩体的内摩擦角由上至下分别为

所述底板塑性变形区由主动极限区、被动极限区和过渡区组成；

步骤三、根据现有方法得出主动极限区深度H₀所在层位，进行分情况讨论，共分为五种，即H₀＜H’、H₀＝H’、H’＜H₀＜H’+H”、H₀＝H’+H”和H₀＞H’+H”；其中H’为第一层岩体深度，H”为第二层岩体深度；

①当主动极限区深度H₀在第一层岩体内，即H₀＜H’时，设过渡区滑移线由三段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，则根据三角函数公式能求出第一段对数螺旋线的起点半径r₀；

式中：x₀-底板超前塑性破坏长度，由实测获得；

接着求解出第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，进而得出第三段对数螺旋线起始半径r₂以及第二段螺旋线旋转角度θ₂；然后根据得出的起始半径r₀、r₁、θ₁、r₂和θ₂值，经过推导得出最终的三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

②当主动极限区深度H₀在第一层岩体和第二层岩体交界处，即H₀＝H’时，设过渡区滑移线由两段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，第一段对数螺旋线的起点半径r₀与步骤①中的计算公式相同；接着求解出第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，然后根据得出的起始半径r₀、r₁和θ₁值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

③当主动极限区深度H₀在第二层岩体内，即H’＜H₀＜H’+H”时，设过渡区滑移线由两段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，接着分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀、第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，然后根据得出的起始半径r₀、r₁和θ₁值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

④当主动极限区深度H₀在第二层岩体和第三层岩体交界处，即H₀＝H’+H”时，设过渡区滑移线由一段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀及第一段螺旋线旋转角度θ，然后根据得出的起始半径r₀和θ值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

⑤当主动极限区深度H₀在第三层岩体内，即H₀＞H’+H”时，设过渡区滑移线由一段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀及第一段螺旋线旋转角度θ，然后根据得出的起始半径r₀和θ值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

步骤四、选择底板塑性变形区内存在三层及以上底板结构的煤矿进行实际测定，先将底板塑性变形区按照岩体岩性硬度分为三层，并得出煤矿中主动极限区深度H₀，然后根据主动极限区深度H₀处于底板塑性变形区中的层位，选择步骤三中对应的计算公式，最终得出该煤矿的底板最大滑移破坏深度h₀，便于后续挖掘支护工作。

进一步，所述底板塑性变形区按照软-硬-软或硬-软-硬或软-中硬-硬或硬-中硬-软划分成三层。

进一步，所述步骤①具体为：

设O点作为两段对数螺旋线的旋转中心点，且交界处螺旋线半径保持不变；

第二段对数螺旋线起始半径r₁由以下方程组联立求解：

化简为：

对于式(7)中的未知数θ₁采用泰勒展开求得近似解，根据泰勒展开式：

将式(8)和(9)代入(7)，可得

展开得

在式(11)中，令

则式(11)表示为

_aθ₁4+bθ₁ ³+cθ₁2+dθ₁+e＝0 (13)

由一元四次方程的费拉里解法可知，上式(12)存在4个解，即

经验算，实际存在的解仅一个，即

式中

其中

Δ₁＝c²-3bd+12ae；Δ₂＝2c³-9bcd+27ad²+27b²e-72ace

从而计算出第二段螺旋线起始半径r₁；

第三段螺旋线起始半径r₂的求解方法与r₁相同，最终结果采用数学计算软件Mathematic进行求解；

在ΔOEG中

当

时，h达到最大破坏深度机h₀，解得

将式(13)、(14)和式(17)的解代入式(16)，得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式：

进一步，所述步骤②具体为：

第二段对数螺旋线起始半径r₁通过以下方程组求解

在ΔOEG中

当

时，h达到最大破坏深度h₀，解得

将式(19)和式(22)的解代入式(21)，计算得出H₀＝H’情况下三层结构底板最大滑移破坏深度h₀

进一步，所述步骤③具体为：

第一段螺旋线起始半径r₀的计算公式如下：

在ΔOMN中

ΔO′MN中

ΔNA′B中

此时，在过渡区O′BC中，对数螺旋线起始半径r₀等于

即

将式(26)、(29)代入以下方程组(30)解得第二段对数螺旋线起始半径r₁及第一段螺旋线旋转角度θ₁

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(30)和式(32)的解代入式(31)解得h′₀

最终得出H’＜H₀＜H’+H”情况下的三层结构底板最大滑移破坏深度h₀

进一步，所述步骤④具体为：

做辅助线求解对数螺旋线起始半径r₀

在△OM’N’中

在△A’N’B中

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(43)、(41)的解代入式(42)解得h′₀

最终得出H₀＝H’+H”情况下的三层底板最大破坏深度h₀

进一步，所述步骤⑤具体为：

做辅助线求解对数螺旋线起始半径r₀

在ΔOM’N’中

在ΔA’N’B中

对数螺旋线起始半径r₀：

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(40)、(42)的解代入式(41)解得h′₀

最终得出H₀＞H’+H”情况下的三层底板最大滑移破坏深度h₀

与现有技术相比，本发明先根据岩土力学中的地基极限承载力理论，确定所需测定的煤矿底板破坏形式为多层台阶型塑性滑移破坏；接着将底板塑性变形区的按照岩体硬度划分成三层，并测得各层岩体的内摩擦角，接着根据现有方法得出主动极限区深度H₀所在层位，共分成五种情况，分别为H₀＜H’、H₀＝H’、H’＜H₀＜H’+H”、H₀＝H’+H”和H₀＞H’+H”；最后分别计算得出每种情况下三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式；实际使用时，仅需对测试煤矿划分三层结构，并确定主动极限区深度H₀所在层位，进而能根据对应的情况计算得出底板最大滑移破坏深度；本发明能够准确计算出更符合真实情况的煤岩层底板破坏深度，为煤矿安全带压开采以及煤矿底板突水的防治提供有效的理论指导，同时也可为煤矿选择最优巷道位置、研究巷道底鼓变形等条件提供技术保障，对矿井安全生产有利，另外本发明不仅适用于煤矿，还适用于隧道、地铁、基坑等一切地下工程。

附图说明

图1是极限状态下底板破坏深度计算简图；

图2是H₀＞H’情况下的三层结构底板破坏深度计算简图；

图3是H₀＝H’情况下的三层结构底板破坏深度计算简图；

图4是H’＜H₀＜H’+H”情况下的三层结构底板破坏深度计算简图；

图5是H₀＝H’+H”情况下的三层结构底板破坏深度计算简图；

图6是H₀＞H’+H”情况下的三层结构底板破坏深度计算简图；

图7是实施案例计算说明图。

附图中：Ⅰ-主动极限区，Ⅱ-过渡区，Ⅲ-被动极限区，H₀-主动极限区深度，H’-第一层岩体深度，H”-第二层岩体的深度。

具体实施方式

下面将对本发明作进一步说明。

如图1至图6所示，本发明具体步骤为：

步骤一、根据岩土力学中的地基极限承载力理论，确定煤矿底板破坏形式为多层台阶型塑性滑移破坏；

步骤二、将底板塑性变形区按照岩体岩性硬度分为三层，测得各层岩体的内摩擦角由上至下分别为

所述底板塑性变形区由主动极限区、被动极限区和过渡区组成；

步骤三、根据现有方法得出主动极限区深度H₀所在层位，进行分情况讨论，共分为五种，即H₀＜H’、H₀＝H’、H’＜H₀＜H’+H”、H₀＝H’+H”和H₀＞H’+H”；其中H’为第一层岩体深度，H”为第二层岩体深度；

①当主动极限区深度H₀在第一层岩体内，即H₀＜H’时，设过渡区滑移线由三段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，则根据三角函数公式能求出第一段对数螺旋线的起点半径r₀；

式中：x₀-底板超前塑性破坏长度，由实测获得；

接着求解出第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，进而得出第三段对数螺旋线起始半径r₂以及第二段螺旋线旋转角度θ₂；然后根据得出的起始半径r₀、r₁、θ₁、r₂和θ₂值，经过推导得出最终的三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

②当主动极限区深度H₀在第一层岩体和第二层岩体交界处，即H₀＝H’时，设过渡区滑移线由两段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，第一段对数螺旋线的起点半径r₀与步骤①中的计算公式相同；接着求解出第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，然后根据得出的起始半径r₀、r₁和θ₁值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

③当主动极限区深度H₀在第二层岩体内，即H’＜H₀＜H’+H”时，设过渡区滑移线由两段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，接着分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀、第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，然后根据得出的起始半径r₀、r₁和θ₁值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

④当主动极限区深度H₀在第二层岩体和第三层岩体交界处，即H₀＝H’+H”时，设过渡区滑移线由一段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀及第一段螺旋线旋转角度θ，然后根据得出的起始半径r₀和θ值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

⑤当主动极限区深度H₀在第三层岩体内，即H₀＞H’+H”时，设过渡区滑移线由一段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀及第一段螺旋线旋转角度θ，然后根据得出的起始半径r₀和θ值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

步骤四、选择底板塑性变形区内存在三层及以上底板结构的煤矿进行实际测定，先将底板塑性变形区按照岩体岩性硬度分为三层，并得出煤矿中主动极限区深度H₀，然后根据主动极限区深度H₀处于底板塑性变形区中的层位，选择步骤三中对应的计算公式，最终得出该煤矿的底板最大滑移破坏深度h₀，便于后续挖掘支护工作。

进一步，所述底板塑性变形区按照软-硬-软或硬-软-硬或软-中硬-硬或硬-中硬-软划分成三层。岩石硬度的划分标准，采用行业现有标准。

如图2所示，本实施例中步骤①具体为：

设O点作为两段对数螺旋线的旋转中心点，且交界处螺旋线半径保持不变；

第二段对数螺旋线起始半径r₁由以下方程组联立求解：

化简为：

对于式(7)中的未知数θ₁采用泰勒展开求得近似解，根据泰勒展开式：

将式(8)和(9)代入(7)，可得

展开得

在式(11)中，令

则式(11)表示为

aθ₁4+bθ₁ ³+cθ₁ ²+dθ₁+e＝0 (13)

由一元四次方程的费拉里解法可知，上式(12)存在4个解，即

经验算，实际存在的解仅一个，即

式中

其中

Δ₁＝c²-3bd+12ae；Δ₂＝2c³-9bcd+27ad²+27b²e-72ace

从而计算出第二段螺旋线起始半径r₁；

第三段螺旋线起始半径r₂的求解方法与r₁相同，最终结果采用数学计算软件Mathematic进行求解；

在ΔOEG中

当

时，h达到最大破坏深度h₀，解得

将式(13)、(14)和式(17)的解代入式(16)，得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式：

如图3所示，本实施例中步骤②具体为：

第二段对数螺旋线起始半径r₁通过以下方程组求解

在ΔOEG中

当

时，h达到最大破坏深度h₀，解得

将式(19)和式(22)的解代入式(21)，计算得出H₀＝H’情况下三层结构底板最大滑移破坏深度h₀

如图4所示，本实施例中步骤③具体为：

第一段螺旋线起始半径r₀的计算公式如下：

在ΔOMN中

ΔO'MN中

ΔNA'B中

此时，在过渡区O'BC中，对数螺旋线起始半径r₀等于

即

将式(26)、(29)代入以下方程组(30)解得第二段对数螺旋线起始半径r₁及第一段螺旋线旋转角度θ₁

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(30)和式(32)的解代入式(31)解得h′₀

最终得出H’＜H₀＜H’+H”情况下的三层结构底板最大滑移破坏深度h₀

如图5所示，本实施例中步骤④具体为：

做辅助线求解对数螺旋线起始半径r0

在ΔOM’N’中

在ΔA’N’B中

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(43)、(41)的解代入式(42)解得h′₀

最终得出H₀＞H’+H”情况下的三层底板最大破坏深度h₀

如图6所示，本实施例中步骤⑤具体为：

做辅助线求解对数螺旋线起始半径r₀

在ΔOM’N’中

在ΔA’N’B中

对数螺旋线起始半径r₀：

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(40)、(42)的解代入式(41)解得h′₀

最终得出H₀＞H’+H”情况下的三层底板最大滑移破坏深度h₀

试验证明：

华北地区某矿采用承压水体上开采煤岩层的方式对5号煤进行开采，在1501工作面推进至距离其开切眼37m时，发现底板有隆起的现象，为安全起见必须要对底板岩体稳定性进行分析，采用本实施例的计算方法进行分析如下：

采用本实施例计算时，将底板按照软-硬-软划分成上中下三层：上层岩体厚度5.5m，内摩擦角39°；中层岩体厚度7.2m，内摩擦角34°；下层岩体内摩擦角38°；采用现有方法能得出主动极限区深度H₀＝8.10m，在本实施例中属于H’＜H₀＜H’+H”情况，从而能得出θ₁＝27.35°，参见图7所示。

将上述参数代入本实施例的公式(3)，即：

故得到三层复合结构底板的最大破坏深度h₀＝17.08m，同时在现场同步开展现场底板破坏深度实测研究，后经现场底板破坏实测结果分析发现，采用本实施例所得到的底板破坏形态和最大破坏深度值与实测结果误差为分米级，由此见得本发明科学可靠、准确度高，完全满足现场工程实际需要，可对矿井水害防治工程实际具有重要的指导意义。

需要说明的是上述案例仅是为了介绍本发明理论的使用，并非只能用此煤矿的底板破坏深度分析，所有符合此理论的矿山、隧道、地铁、基坑等一切地下工程均可使用本发明中的理论研究方法及推导结果。

Claims (7)

1.一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，具体步骤为：

步骤一、根据岩土力学中的地基极限承载力理论，确定煤矿底板破坏形式为多层台阶型塑性滑移破坏；

步骤二、将底板塑性变形区按照岩体岩性硬度分为三层，测得各层岩体的内摩擦角由上至下分别为

所述底板塑性变形区由主动极限区、被动极限区和过渡区组成；

步骤三、根据现有方法得出主动极限区深度H₀所在层位，进行分情况讨论，共分为五种，即H₀＜H’、H₀＝H’、H’＜H₀＜H’+H”、H₀＝H’+H”和H₀＞H’+H”；其中H’为第一层岩体深度，H”为第二层岩体深度；

①当主动极限区深度H₀在第一层岩体内，即H₀＜H’时，设过渡区滑移线由三段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，则根据三角函数公式能求出第一段对数螺旋线的起点半径r₀；

式中：x₀-底板超前塑性破坏长度，由实测获得；

接着求解出第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，进而得出第三段对数螺旋线起始半径r₂以及第二段螺旋线旋转角度θ₂；然后根据得出的起始半径r₀、r₁、θ₁、r₂和θ₂值，经过推导得出最终的三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

②当主动极限区深度H₀在第一层岩体和第二层岩体交界处，即H₀＝H’时，设过渡区滑移线由两段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，第一段对数螺旋线的起点半径r₀与步骤①中的计算公式相同；接着求解出第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，然后根据得出的起始半径r₀、r₁和θ₁值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

③当主动极限区深度H₀在第二层岩体内，即H’＜H₀＜H’+H”时，设过渡区滑移线由两段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，接着分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀、第二段对数螺旋线起始半径r₁以及第一段螺旋线旋转角度θ₁，然后根据得出的起始半径r₀、r₁和θ₁值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

④当主动极限区深度H₀在第二层岩体和第三层岩体交界处，即H₀＝H’+H”时，设过渡区滑移线由一段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀及第一段螺旋线旋转角度θ，然后根据得出的起始半径r₀和θ值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

⑤当主动极限区深度H₀在第一层，即H₀＞H’+H”时，设过渡区滑移线由一段对数螺旋线组成，主动极限区、被动极限区分别为两条直线，分别求解出第一段对数螺旋线的起点半径r₀及第一段螺旋线旋转角度θ，然后根据得出的起始半径r₀和θ值，经过推导得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为：

步骤四、选择底板塑性变形区内存在三层及以上底板结构的煤矿进行实际测定，先将底板塑性变形区按照岩体岩性硬度分为三层，并得出煤矿中主动极限区深度H₀，然后根据主动极限区深度H₀处于底板塑性变形区中的层位，选择步骤三中对应的计算公式，最终得出该煤矿的底板最大滑移破坏深度h₀，便于后续挖掘支护工作。

2.根据权利要求1所述的一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，所述底板塑性变形区按照软-硬-软或硬-软-硬或软-中硬-硬或硬-中硬-软划分成三层。

3.根据权利要求1所述的一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，所述步骤①具体为：

设O点作为两段对数螺旋线的旋转中心点，且交界处螺旋线半径保持不变；

第二段对数螺旋线起始半径r₁由以下方程组联立求解：

化简为：

对于式(7)中的未知数θ₁采用泰勒展开求得近似解，根据泰勒展开式：

将式(8)和(9)代入(7)，可得

展开得

在式(11)中，令

则式(11)表示为

aθ₁ ⁴+bθ₁ ³+cθ₁ ²+dθ₁+e＝0 (13)

由一元四次方程的费拉里解法可知，上式(12)存在4个解，即

经验算，实际存在的解仅一个，即

式中

其中

Δ₁＝c²-3bd+12ae；Δ₂＝2c³-9bcd+27ad²+27b²e-72ace

从而计算出第二段螺旋线起始半径r₁；

第三段螺旋线起始半径r₂的求解方法与r₁相同，最终结果采用数学计算软件Mathematic进行求解；

在ΔOEG中

当

时，h达到最大破坏深度h₀，解得

将式(13)、(14)和式(17)的解代入式(16)，得出三层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式：

4.根据权利要求1所述的一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，所述步骤②具体为：

第二段对数螺旋线起始半径r₁通过以下方程组求解

在ΔOEG中

当

时，h达到最大破坏深度h₀，解得

将式(19)和式(22)的解代入式(21)，计算得出H₀＝H’情况下三层结构底板最大滑移破坏深度h₀

5.根据权利要求1所述的一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，所述步骤③具体为：

第一段螺旋线起始半径r₀的计算公式如下：

在ΔOMN中

ΔO′MN中

ΔNA′B中

此时，在过渡区O′BC中，对数螺旋线起始半径r₀等于

即

将式(26)、(29)代入以下方程组(30)解得第二段对数螺旋线起始半径r₁及第一段螺旋线旋转角度θ₁

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(30)和式(32)的解代入式(31)解得h′₀

最终得出H’＜H₀＜H’+H”情况下的三层结构底板最大滑移破坏深度h₀

6.根据权利要求1所述的一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，所述步骤④具体为：

做辅助线求解对数螺旋线起始半径r₀

在△OM’N’中

在△A’N’B中

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(43)、(41)的解代入式(42)解得h′₀

最终得出H₀＝H’+H”情况下的三层底板最大破坏深度h₀

7.根据权利要求1所述的一种基于三层结构底板滑移破坏深度的计算方法，其特征在于，所述步骤⑤具体为：

做辅助线求解对数螺旋线起始半径r₀

在ΔOM’N’中

在ΔA’N’B中

对数螺旋线起始半径r₀：

在ΔO’EG中

当

时，h′达到最大h′₀，解得

将式(40)、(42)的解代入式(41)解得h′₀

最终得出H₀＞H’+H”情况下的三层底板最大滑移破坏深度h₀

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