CN113442142B - 六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法 - Google Patents

六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，以三次准均匀样条曲线构造任意两段相邻的给定运动路径之间的过渡路径，根据两段给定运动路径的长度和给定过渡半径确定实际过渡半径；再根据实际过渡半径求取过渡路径起点的位置和过渡路径终点的位置，求取作为过渡路径的样条曲线的控制点的位置，构造出合适的过渡路径；再进行七段S型速度规划获得路径长度与时间的函数关系，最后根据路径长度与时间的函数关系进行等时插补，获得插补点的实际位置；再通过运动学逆解求出六轴串联工业机器人各关节转动的角度以驱动六轴串联工业机器人连续转动，获得平滑的运动轨迹，满足生产实际的工艺需求。

Description

六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法
技术领域
本发明涉及工业机器人控制技术领域，尤其是指一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法。
背景技术
六轴串联工业机器人在笛卡尔空间的运动轨迹是由用户输入的多条运动指令给定的运动路径、速度规划算法和插补算法所确定的。每条运动指令给定的运动路径(如直线和圆弧)都是平滑的，并且依次首尾衔接。但如果不对每段路径的衔接处进行过渡处理，在进行速度规划时就必须将六轴串联工业机器人通过衔接处时的速度降为零，如果不将六轴串联工业机器人在衔接处时的速度降为零，那么六轴串联工业机器人就会因为路径间曲率的不连续导致六轴串联工业机器人的关节产生严重震荡，且会对六轴串联工业机器人造成不可逆的严重损害。但是如果每次都将六轴串联工业机器人的速度降为零又会降低六轴串联工业机器人的运行效率，使得运动不连续，导致运动轨迹不够平滑，因此对六轴串联工业机器人的运动轨迹有严格要求的场合(如焊接、喷漆等)就不能采用这种方案。
为了使得六轴串联工业机器人在整个路径上连续运动，从而获得平滑的运动轨迹，就需要在两段给定运动路径之间构造过渡路径。常见的过渡路径有圆弧、抛物线和样条曲线等，其中圆弧和抛物线构造较为简单，但不能用于异面的给定运动路径间的过渡，为了实现异面的给定运动路径间的过渡，需要选用样条曲线构造过渡路径，但样条曲线也存在构造方式较为复杂的问题。在构造出平滑的运动路径后，还需要选择合适的速度规划算法和插补算法，从而获得六轴串联工业机器人在路径上平滑的运动轨迹，不合适的速度规划算法和插补算法会使得运动轨迹不够平滑。
发明内容
为此，本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术中裂纹特征表征方法存在的裂纹图像识别准确率低、特征表征准确性不足以及无法量化描述图像中包含的复杂裂纹细节的缺陷。
为解决上述技术问题，本发明提供一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，包括：
步骤一：定义i＝1，N为给定运动路径的总段数；
步骤二：确定相邻的第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径，并获取所述第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径的路径参数，其中所述路径参数包括路径类型、路径长度、路径起点位置和路径终点位置；
步骤三：在所述第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径之间构造第i段过渡路径，根据第i段给定运动路径的路径长度、第i+1段给定运动路径的路径长度和所述第i段过渡路径的给定过渡半径确定所述第i段过渡路径的实际过渡半径；
步骤四：根据第i段给定运动路径的路径参数、第i+1段给定运动路径的路径参数和所述第i段过渡路径的实际过渡半径分别求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的对应参数以及第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的对应参数，其中对应参数包括参数值、位置、一阶导数和二阶导数；
步骤五：根据所述第i段过渡路径的起点的位置、一阶导数和二阶导数和第i段过渡路径的终点的位置、一阶导数和二阶导数求解作为所述第i段过渡路径的样条曲线的多个控制点的位置，利用所述样条曲线的多个控制点的位置求解所述第i段过渡路径的路径长度；
步骤六：定义i＝i+1，判断i小于N是否成立，若成立，则跳转至步骤二，若不成立，则将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)，j＝1,...2N-1，其中L(2N-1)为路径总长度；
步骤七：根据路径总长度与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)，利用所述S(t)进行等时插补，其中任意两个相邻插补点对应的插补时刻的时间间隔是相等的。
在本发明的一个实施例中，步骤四中根据第i段给定运动路径的路径参数、第i+1段给定运动路径的路径参数和所述第i段过渡路径的实际过渡半径分别求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的对应参数以及第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的对应参数，其中对应参数包括参数值、位置、一阶导数和二阶导数的方法包括：
根据第i段给定运动路径的路径类型求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值、位置、一阶导数和二阶导数，以及根据第i+1段给定运动路径的路径类型求解所述第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值、位置、一阶导数和二阶导数，其中所述第i段给定运动路径的路径类型定义为Typei，Typei∈{1,2}，当Typei＝1时，路径类型为空间直线，当Typei＝2时，路径类型为空间圆弧；所述第i+1段给定运动路径的路径类型定义为Typei+1，Typei+1∈{1,2}，当Typei+1＝1时，路径类型为空间直线，当Typei+1＝2时，路径类型为空间圆弧。
在本发明的一个实施例中，根据第i段给定运动路径的路径类型求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值、位置、一阶导数和二阶导数的方法包括：
当第i段给定运动路径的路径类型Typei＝1时，求解第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值
Figure GDA0003514761280000031
位置
Figure GDA0003514761280000032
一阶导数
Figure GDA0003514761280000033
和二阶导数
Figure GDA0003514761280000034
的公式如下所示：
Figure GDA0003514761280000035
Figure GDA0003514761280000036
Figure GDA0003514761280000037
Figure GDA0003514761280000038
式中，Li表示第i段给定运动路径的路径长度，
Figure GDA0003514761280000039
表示第i段过渡路径的实际过渡半径，
Figure GDA00035147612800000310
表示第i段给定运动路径的路径起点位置，
Figure GDA00035147612800000311
表示第i段给定运动路径的路径终点位置；
当第i段给定运动路径的路径类型Typei＝2时，求解第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值
Figure GDA00035147612800000312
位置
Figure GDA00035147612800000313
一阶导数
Figure GDA00035147612800000314
和二阶导数
Figure GDA00035147612800000315
的公式如下所示：
Figure GDA0003514761280000041
Figure GDA0003514761280000042
Figure GDA0003514761280000043
Figure GDA0003514761280000044
式中，
Figure GDA0003514761280000045
表示第i段给定运动路径的圆心位置，
Figure GDA0003514761280000046
表示第i段给定运动路径的圆心坐标系到世界坐标系的旋转矩阵，ri表示第i段给定运动路径的圆弧半径，θi表示第i段给定运动路径的圆心角。
在本发明的一个实施例中，根据第i+1段给定运动路径的路径类型求解所述第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值、位置、一阶导数和二阶导数的方法包括：
当第i+1段给定运动路径的路径类型Typei+1＝1时，求解第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值
Figure GDA0003514761280000047
位置
Figure GDA0003514761280000048
一阶导数
Figure GDA0003514761280000049
和二阶导数
Figure GDA00035147612800000410
的公式如下所示：
Figure GDA00035147612800000411
Figure GDA00035147612800000412
Figure GDA00035147612800000413
Figure GDA0003514761280000051
式中，Li+1表示第i+1段给定运动路径的路径长度，
Figure GDA0003514761280000052
表示第i段过渡路径的实际过渡半径，
Figure GDA0003514761280000053
表示第i+1段给定运动路径的路径起点位置，
Figure GDA0003514761280000054
表示第i+1段给定运动路径的路径终点位置；
当第i+1段给定运动路径的路径类型Typei+1＝2时，求解第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值
Figure GDA0003514761280000055
位置
Figure GDA0003514761280000056
一阶导数
Figure GDA0003514761280000057
和二阶导数
Figure GDA0003514761280000058
的公式如下所示：
Figure GDA0003514761280000059
Figure GDA00035147612800000510
Figure GDA00035147612800000511
Figure GDA00035147612800000512
式中，
Figure GDA00035147612800000513
表示第i+1段给定运动路径的圆心位置，
Figure GDA00035147612800000514
表示第i+1段给定运动路径的圆心坐标系到世界坐标系的旋转矩阵，ri+1表示第i+1段给定运动路径的圆弧半径，θi+1表示第i+1段给定运动路径的圆心角。
在本发明的一个实施例中，步骤五中根据所述第i段过渡路径的起点的位置、一阶导数和二阶导数和第i段过渡路径的终点的位置、一阶导数和二阶导数求解作为所述第i段过渡路径的样条曲线的多个控制点的位置的方法包括：
步骤二中定义多个控制点的位置为
Figure GDA0003514761280000061
求解控制点的位置
Figure GDA0003514761280000062
的公式如下：
Figure GDA0003514761280000063
Figure GDA0003514761280000064
式中，
Figure GDA0003514761280000065
表示第i段过渡路径起点的位置，
Figure GDA0003514761280000066
表示第i段过渡路径的终点位置，
Figure GDA0003514761280000067
表示第i段过渡路径起点的一阶导数，
Figure GDA0003514761280000068
表示第i段过渡路径起点的二阶导数，
Figure GDA0003514761280000069
表示第i段过渡路径终点的一阶导数，
Figure GDA00035147612800000610
表示第i段过渡路径终点的二阶导数，数bi∈(0,+∞)，参数di∈(0,+∞)；
引入参数
Figure GDA00035147612800000611
参数
Figure GDA00035147612800000612
与控制点
Figure GDA00035147612800000613
的关系如下式所示：
Figure GDA00035147612800000614
式中，|·|表示为求取向量的模；
推导出参数Rt与参数bi、di的关系如下式所示：
Figure GDA00035147612800000615
求解得到样条曲线的控制点
Figure GDA0003514761280000071
在本发明的一个实施例中，步骤五中利用所述样条曲线的多个控制点的位置求解所述第i段过渡路径的路径长度的方法包括：
求解所述第i段过渡路径的路径长度
Figure GDA0003514761280000072
的计算公式如下：
Figure GDA0003514761280000073
式中，Ak表示节点系数，
Figure GDA0003514761280000074
表示向量函数
Figure GDA0003514761280000075
对自变量u进行求导的一阶导数，
Figure GDA0003514761280000076
表示描述第i段过渡路径上点的位置与自变量u的关系的向量函数。
在本发明的一个实施例中，步骤六中将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)的方法包括：
计算第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)的累加公式如下：
Figure GDA0003514761280000077
式中，L(2N-1)表示路径总长度LTol。
在本发明的一个实施例中，步骤七中速度约束条件包括机器人在整段路径上运动时允许的最大加加速度jmax、允许的最大加速度amax、允许的最大速度vmax、初速度vs＝0以及末速度ve＝0。
在本发明的一个实施例中，步骤七中根据路径总长度与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)的方法包括：
首先求解加加速段的时间T1、匀加速段的时间T2、减加速段的时间T3、匀速段的时间T4、加减速段的时间T5、匀减速段的时间T6和减减速段的时间T7的计算公式如下：
Figure GDA0003514761280000081
Figure GDA0003514761280000082
式中，amax表示允许的最大加速度，jmax表示允许的最大加加速度，
然后求解得到速度v与时间t的函数关系v(t)如下：
Figure GDA0003514761280000083
式中，jmax表示允许的最大加加速度；
最后求解得到路径长度S与时间t的函数关系S(t)如下：
Figure GDA0003514761280000091
式中，jmax表示允许的最大加加速度。
在本发明的一个实施例中，步骤七中利用所述S(t)进行等时插补的方法包括：
根据所述S(t)求出插补时刻对应的路径长度S，找出路径长度S所在的具体路径的段数，并获得对应的路径类型；
根据路径类型采用不同的插补点求取方式求解出插补点的实际位置，通过运动学逆解求出六轴串联工业机器人各关节转动的角度，以驱动六轴串联工业机器人转动，获得六轴串联工业机器人在笛卡尔空间中整个路径上的连续运动轨迹。
本发明的上述技术方案相比现有技术具有以下优点：
本发明通过在任意两段相邻的给定运动路径之间构造过渡路径的方式实现了运动路径之间的平滑过渡和曲率连续，再通过七段S型速度规划和等时插补求得每个插补时刻对应的六轴串联工业机器人关节的转动角度，从而驱动六轴串联工业机器人在整个平滑的路径上连续运动，获得了平滑的运动轨迹，避免了频繁的加减速，提高了机器人的运行效率，满足了生产实际的工艺需求。
附图说明
为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据本发明的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明。
图1为本发明一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法的流程图。
图2为本发明在给定运动路径之间构造过渡路径的示意图。
图3为本发明六轴串联工业机器人在笛卡尔空间的运动轨迹的示意图。
图4为本发明六轴串联工业机器人在未过渡和进行过渡后的笛卡尔空间路径上运动的速度曲线示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好地理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。
请参阅图1至图4所示，本发明提供一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，具体包括如下步骤。
步骤一：定义i＝1，N为给定运动路径的总段数；
步骤二：确定相邻的第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径，并获取所述第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径的路径参数，其中所述路径参数包括路径类型、路径长度、路径起点位置和路径终点位置；
步骤三：在所述第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径之间构造第i段过渡路径，根据第i段给定运动路径的路径长度、第i+1段给定运动路径的路径长度和所述第i段过渡路径的给定过渡半径确定所述第i段过渡路径的实际过渡半径；
步骤四：根据第i段给定运动路径的路径参数、第i+1段给定运动路径的路径参数和所述第i段过渡路径的实际过渡半径分别求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的对应参数以及第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的对应参数，其中对应参数包括参数值、位置、一阶导数和二阶导数；
步骤五：根据所述第i段过渡路径的起点的位置、一阶导数和二阶导数和第i段过渡路径的终点的位置、一阶导数和二阶导数求解作为所述第i段过渡路径的样条曲线的多个控制点的位置，利用所述样条曲线的多个控制点的位置求解所述第i段过渡路径的路径长度；
步骤六：定义i＝i+1，判断i小于N是否成立，若成立，则跳转至步骤二，若不成立，则将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)，j＝1,...2N-1，其中L(2N-1)为路径总长度；
步骤七：根据路径总长度与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)，利用所述S(t)进行等时插补，其中任意两个相邻插补点对应的插补时刻的时间间隔是相等的。
本发明通过在任意相邻两段运动路径之间采用三次准均匀样条曲线构造过渡路径，实现了路径之间的平滑过渡和曲率连续，再根据构造出过渡路径后的路径总长度和速度约束条件通过七段S型速度规划算法进行速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系，实现了速度的连续和加速度的连续，最后再根据路径长度S与时间t的函数关系进行等时插补，求出插补时刻对应的插补点的位置，再通过运动学逆解求出机器人各关节转动的角度以驱动机器人转动驱动机器人连续转动。
本发明通过在任意两段相邻的给定运动路径之间构造过渡路径的方式实现了运动路径之间的平滑过渡和曲率连续，再通过七段S型速度规划和等时插补求得每个插补时刻对应的六轴串联工业机器人关节的转动角度，从而驱动六轴串联工业机器人在整个平滑的路径上连续运动，获得了平滑的运动轨迹，避免了频繁的加减速，提高了机器人的运行效率，满足了生产实际的工艺需求。
下面对本发明提供的一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法进行详细的阐述。
具体的：步骤一：令i＝1，N为给定运动路径的总段数。
步骤二：获取第i段给定运动路径的路径参数，包括路径类型Typei，路径长度Li，路径起点位置
Figure GDA0003514761280000111
路径终点位置
Figure GDA0003514761280000112
Typei∈{1,2}，当Typei＝1时，路径类型为空间直线，当Typei＝2时，路径类型为空间圆弧；空间圆弧路径的圆心位置
Figure GDA0003514761280000113
圆心坐标系到世界坐标系的旋转矩阵
Figure GDA0003514761280000121
圆弧半径ri，圆弧对应的圆心角θi；令第i段给定运动路径的剩余路径长度Lri＝Li；
Figure GDA0003514761280000122
和
Figure GDA0003514761280000123
均为3×1维列向量，
Figure GDA0003514761280000124
为3×3矩阵；同样的，获取第i+1段给定运动路径的路径参数，包括路径类型Typei+1，路径长度Li+1，路径起点位置
Figure GDA0003514761280000125
路径终点位置
Figure GDA0003514761280000126
Typei+1∈{1,2}，当Typei+1＝1时，路径类型为空间直线，当Typei+1＝2时，路径类型为空间圆弧；空间圆弧路径的圆心位置
Figure GDA0003514761280000127
圆心坐标系到世界坐标系的旋转矩阵
Figure GDA0003514761280000128
圆弧半径ri+1，圆弧对应的圆心角θi+1；令第i+1段给定运动路径的剩余路径长度Lri+1＝Li+1。
步骤三：在第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径之间构造第i段过渡路径，根据第i段给定运动路径的路径长度Li、第i+1段给定运动路径的路径长度Li+1和第i段过渡路径的给定过渡半径Ri，确定构造第i段过渡路径时的实际过渡半径
Figure GDA0003514761280000129
判断Ri＞0.5Li或Ri＞0.5Li+1是否成立，不成立则令
Figure GDA00035147612800001210
成立则判断Li＞Li+1是否成立，成立则令
Figure GDA00035147612800001211
不成立则令
Figure GDA00035147612800001212
步骤四：根据第i段给定运动路径的路径参数、第i+1段给定运动路径的路径参数和构造第i段过渡路径时的实际过渡半径
Figure GDA00035147612800001213
求取第i段过渡路径起点在第i段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA00035147612800001214
位置
Figure GDA00035147612800001215
一阶导数
Figure GDA00035147612800001216
和二阶导数
Figure GDA00035147612800001217
第i段过渡路径终点在第i+1段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA00035147612800001218
位置
Figure GDA00035147612800001219
一阶导数
Figure GDA00035147612800001220
和二阶导数
Figure GDA00035147612800001221
同时令第i段给定运动路径的剩余路径长度
Figure GDA00035147612800001222
第i+1段给定运动路径的剩余路径长度
Figure GDA00035147612800001223
Figure GDA00035147612800001224
Figure GDA00035147612800001225
均为3×1维列向量。
步骤五：根据第i段过渡路径起点的位置
Figure GDA00035147612800001226
一阶导数
Figure GDA00035147612800001227
和二阶导数
Figure GDA00035147612800001228
以及过渡路径终点的位置
Figure GDA00035147612800001229
一阶导数
Figure GDA00035147612800001230
和二阶导数
Figure GDA00035147612800001231
求取作为第i段过渡路径的三次准均匀样条曲线的六个控制点的位置
Figure GDA00035147612800001232
从而构造出第i段过渡路径；
Figure GDA00035147612800001233
均为3×1维列向量，利用第i段过渡路径的六个控制点的位置
Figure GDA00035147612800001234
计算样条曲线弧长的公式和六点高斯-勒让德积分法，求出第i段过渡路径的路径长度
Figure GDA00035147612800001235
步骤六：令i＝i+1，判断i小于N是否成立，成立则跳转至步骤二，不成立则将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)，j＝1,...2N-1；L(2N-1)为路径总长度LTol。
步骤七：根据路径总长度LTol与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)，利用路径长度S与时间t的函数关系S(t)进行等时插补，任意两个相邻插补点对应的插补时刻的时间间隔是相等的，根据插补时刻tl和路径长度l与时间t的函数关系S(t)求出插补时刻对应的路径长度l，找出路径长度l所在的具体路径的段数，从而获得对应的路径参数；再根据路径类型采用不同的插补点求取方式求解出插补点的实际位置，然后通过运动学逆解求出六轴串联工业机器人各关节转动的角度以驱动六轴串联工业机器人转动，从而实现六轴串联工业机器人在笛卡尔空间中的整个路径上连续运动，避免频繁加减速，获得平滑的运动轨迹。
在步骤三中，根据第i段给定运动路径的路径参数，第i+1段给定运动路径的路径参数和构造第i段过渡路径时的实际过渡半径
Figure GDA0003514761280000131
求取第i段过渡路径起点在第i段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA0003514761280000132
位置
Figure GDA0003514761280000133
一阶导数
Figure GDA0003514761280000134
和二阶导数
Figure GDA0003514761280000135
第i段过渡路径终点在第i+1段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA0003514761280000136
位置
Figure GDA0003514761280000137
一阶导数
Figure GDA0003514761280000138
和二阶导数
Figure GDA0003514761280000139
同时令第i段给定运动路径的剩余路径长度
Figure GDA00035147612800001310
第i+1段给定运动路径的剩余路径长度
Figure GDA00035147612800001311
当第i段给定运动路径的路径类型Typei＝1时，求取第i段过渡路径起点在第i段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA00035147612800001312
的公式如式(1)所示，求取位置
Figure GDA00035147612800001313
的公式如式(2)所示，求取一阶导数
Figure GDA00035147612800001314
的公式如式(3)所示，求取二阶导数
Figure GDA00035147612800001315
的公式如式(4)所示：
Figure GDA00035147612800001316
Figure GDA00035147612800001317
Figure GDA00035147612800001318
Figure GDA00035147612800001319
当第i段给定运动路径的路径类型Typei＝2时，求取第i段过渡路径起点在第i段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA00035147612800001320
的公式如式(5)所示，求取位置
Figure GDA00035147612800001321
的公式如式(6)所示，求取一阶导数
Figure GDA0003514761280000141
的公式如式(7)所示，求取二阶导数
Figure GDA0003514761280000142
的公式如式(8)所示：
Figure GDA0003514761280000143
Figure GDA0003514761280000144
Figure GDA0003514761280000145
Figure GDA0003514761280000146
当第i+1段给定运动路径的路径类型Typei+1＝1时，求取第i段过渡路径终点在第i+1段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA0003514761280000147
的公式如式(9)所示，求取位置
Figure GDA0003514761280000148
的公式如式(10)所示，求取一阶导数
Figure GDA0003514761280000149
的公式如式(11)所示，求取二阶导数
Figure GDA00035147612800001410
的公式如式(12)所示：
Figure GDA00035147612800001411
Figure GDA00035147612800001412
Figure GDA00035147612800001413
Figure GDA00035147612800001414
当第i+1段给定运动路径的路径类型Typei+1＝2时，求取第i段过渡路径终点在第i+1段给定运动路径上对应的参数值
Figure GDA00035147612800001415
的公式如式(13)所示，求取位置
Figure GDA00035147612800001416
的公式如式(14)所示，求取一阶导数
Figure GDA00035147612800001417
的公式如式(15)所示，求取二阶导数
Figure GDA00035147612800001418
的公式如式(16)所示：
Figure GDA00035147612800001419
Figure GDA0003514761280000151
Figure GDA0003514761280000152
Figure GDA0003514761280000153
在步骤四中，在第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径之间构造第i段过渡路径，根据第i段过渡路径起点的位置
Figure GDA0003514761280000154
一阶导数
Figure GDA0003514761280000155
和二阶导数
Figure GDA0003514761280000156
以及过渡路径终点的位置
Figure GDA0003514761280000157
一阶导数
Figure GDA0003514761280000158
和二阶导数
Figure GDA0003514761280000159
求取作为第i段过渡路径的三次准均匀样条曲线的六个控制点的位置
Figure GDA00035147612800001510
的公式如下所示：
Figure GDA00035147612800001511
Figure GDA00035147612800001512
式中参数bi∈(0,+∞)、参数di∈(0,+∞)，由式和式可知在过渡路径起点的位置
Figure GDA00035147612800001513
一阶导数
Figure GDA00035147612800001514
和二阶导数
Figure GDA00035147612800001515
以及过渡路径终点的位置
Figure GDA00035147612800001516
一阶导数
Figure GDA00035147612800001517
和二阶导数
Figure GDA00035147612800001518
确定的情况下，可以直接求得样条曲线的控制点
Figure GDA00035147612800001519
样条曲线的控制点
Figure GDA00035147612800001520
就只受参数bi和di的影响，但直接分析参数bi和di对样条曲线的影响很难找出参数bi和di与样条曲线的显著关系，为此引入新的参数
Figure GDA00035147612800001521
与样条曲线控制点
Figure GDA00035147612800001522
的关系如式(19)所示：
Figure GDA00035147612800001523
|·|表示为求取向量的模，令
Figure GDA0003514761280000161
为
Figure GDA0003514761280000162
通过式(18)和式(19)可以推导出参数Rt与参数bi和di的关系如式(20)所示：
Figure GDA0003514761280000163
将参数
Figure GDA0003514761280000164
带入式(20)就可以求得参数bi和di的值，再将参数bi和di的值带入式(18)就可以求出较优的样条曲线的控制点
Figure GDA0003514761280000165
在步骤7中，利用第i段过渡路径的六个控制点的位置
Figure GDA0003514761280000166
计算样条曲线弧长的公式和六点高斯-勒让德积分法求出第i段过渡路径的路径长度
Figure GDA0003514761280000167
求解第i段过渡路径的路径长度
Figure GDA0003514761280000168
的公式如式(21)所示：
Figure GDA0003514761280000169
式中：
Figure GDA00035147612800001610
A0＝0.1713,x0＝0.9325
A1＝0.3608,x1＝0.6612
A2＝0.4679,x2＝0.2386
A3＝0.4679,x3＝-0.2386
A4＝0.3608,x4＝-0.6612
A5＝0.1713,x5＝-0.9325
xk为节点，Ak为节点系数，k＝0,1,...,5,
Figure GDA00035147612800001611
为向量函数
Figure GDA00035147612800001612
对自变量u进行求导的一阶导数，
Figure GDA00035147612800001613
是描述第i段过渡路径上点的位置与自变量u的关系的向量函数，u∈[0,1]，
Figure GDA00035147612800001614
和
Figure GDA00035147612800001615
均为3×1维列向量；向量函数
Figure GDA00035147612800001616
如式(22)所示，N0,3(u)，N1,3(u)，N2,3(u)，N3,3(u)，N4,3(u)和N5,3(u)为以u为自变量的基函数，N0,3(u)如式(23)所示，N1,3(u)如式(24)所示，N2,3(u)如式(25)所示，N3,3(u)如式(26)所示，N4,3(u)如式(27)所示，N5,3(u)如式(28)所示；
Figure GDA00035147612800001617
如式(29)所示，其中
Figure GDA00035147612800001618
Figure GDA0003514761280000171
分别为N0,3(u)、N1,3(u)、N2,3(u)、N3,3(u)、N4,3(u)、N5,3(u)对自变量u进行求导的一阶导数；
Figure GDA0003514761280000172
Figure GDA0003514761280000173
Figure GDA0003514761280000174
Figure GDA0003514761280000175
Figure GDA0003514761280000176
Figure GDA0003514761280000177
Figure GDA0003514761280000181
Figure GDA0003514761280000182
在步骤六中，将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)，计算第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)的累加公式如下式(30)所示：
Figure GDA0003514761280000183
其中，L(2N-1)为路径总长度LTol；
在步骤七中，根据路径总长度LTol与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)；速度约束条件包括机器人在整段路径上运动时允许的最大加加速度jmax、允许的最大加速度amax、允许的最大速度vmax、初速度vs＝0、末速度ve＝0，通过式(31)就可以求出加加速段的时间T1、匀加速段的时间T2、减加速段的时间T3、匀速段的时间T4、加减速段的时间T5、匀减速段的时间T6和减减速段的时间T7；再通过式(33)就可以获得速度v与时间t的函数关系v(t)，通过式(37)就可以获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)；
Figure GDA0003514761280000191
在式中，Sa和Sd的求取公式如式(32)所示：
Figure GDA0003514761280000192
Figure GDA0003514761280000193
在式中，tk,k＝1,...7的求取公式如式(34)所示；τk,k＝1,...7的求取公式如式(35)所示；vk,k＝1,...7的求取公式如式(36)所示：
t1＝T1，tk＝tk-1+Tk,k＝2,..7 (34)
τ1＝t，τk＝t-tk-1,k＝2,...7 (35)
Figure GDA0003514761280000201
Figure GDA0003514761280000202
在式中，Sk,k＝1,...7的求取公式如式(38)所示：
Figure GDA0003514761280000203
在步骤七中，根据路径长度S与时间t的函数关系S(t)进行等时插补，任意两个相邻插补点对应的插补时刻的时间间隔是相等的，根据插补时刻tl和路径长度S与时间t的函数关系S(t)求出插补时刻对应的路径长度l，找出路径长度l所在的具体路径的段号，从而获得对应的路径参数，再根据路径类型采用不同的插补点求取方式求解出插补点位置pl，pl为3×1维列向量；然后通过运动学逆解求出六轴串联工业机器人各关节转动的角度以驱动六轴串联工业机器人转动，从而实现六轴串联工业机器人在笛卡尔空间中整个路径上连续平滑的运动，避免频繁加减速，获得平滑的运动轨迹；求取插补时刻tl对应的插补点位置pl的具体步骤如下所示：
步骤(1)：令S＝S(tl)，j＝1，tS为插补点对应的插补时刻，j为路径段号
步骤(2)：判断S≥0且S≤L(j)是否成立，成立则跳转至步骤(4)，不成立则令j＝j+1，并跳转至步骤(3)；
步骤(3)：判断S≥L(j-1)且S≤L(j)是否成立，成立则跳转至步骤(4)，不成立则令j＝j+1，并跳转至步骤(3)；
步骤(4)：判断j是奇数是否成立，成立则跳转至步骤(5)，不成立则跳转至步骤(8)；
步骤(5)：令
Figure GDA0003514761280000211
插补点在第i段给定运动路径的剩余路径上，判断i等于1是否成立，不成立则跳转至步骤(6)，成立则跳转至步骤(7)；
步骤(6)：令
Figure GDA0003514761280000212
步骤(7)：获得第i段给定运动路径的路径参数，判断路径类型Typei为1是否成立，成立则插补点位置pS的求取公式如式(39)所示，并跳转至步骤(14)，不成立则插补点位置pS的求取公式如式(40)所示，并跳转至步骤(14)
Figure GDA0003514761280000213
Figure GDA0003514761280000214
步骤(8)：令
Figure GDA0003514761280000221
S＝S-L(j-1)，插补点在构造出的第i段过渡路径上，获得第i段过渡路径的路径参数，令插补点在第i段过渡路径上对应的参数ul的初值为0，ul∈[0,1]；
步骤(9)：构造如式(41)所示的以uS为自变量的误差函数f(uS)，计算f(uS)的函数值；
Figure GDA0003514761280000222
式中：
Figure GDA0003514761280000223
A0＝0.1713,x0＝0.9325
A1＝0.3608,x1＝0.6612
A2＝0.4679,x2＝0.2386
A3＝0.4679,x3＝-0.2386
A4＝0.3608,x4＝-0.6612
A5＝0.1713,x5＝-0.9325
步骤(10)：判断f(uS)的绝对值大于0.0001是否成立，成立则跳转至步骤(11)，不成立则跳转至步骤(13)；
步骤(11)：更新uS的值，迭代公式如式(42)所示：
Figure GDA0003514761280000224
其中，
Figure GDA0003514761280000225
为误差函数f(uS)对自变量uS进行求导的一阶导数；
步骤(12)：将更新后的uS的值带入式求得f(uS)的函数值，跳转至步骤(10)；
步骤(13)：令u＝uS，带入第i段过渡路径的向量函数pTi(u)求取插补点位置pS；
步骤(14)：输出插补时刻tS对应的插补点位置pS；
求得每个时刻插补点实际位置后，再通过运动学逆解求得六轴串联工业机器人各关节转动的角度以驱动六轴串联工业机器人转动，从而实现六轴串联工业机器人在笛卡尔空间中整个路径上连续运动，避免频繁加减速，获得平滑的运动轨迹。
下面以实施例对本发明提供的一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法进行详细的阐述。
采用本发明提出的一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，在四段给定运动路径的任意两段相邻的给定运动路径之间构造过渡路径，并对构造出过渡路径后的整个路径进行速度规划和等时插补，从而获得平滑的运动轨迹，令给定过渡半径为200mm，允许的最大加加速度jmax为100mm/s3，允许的最大加速度amax为100mm/s2，允许的最大速度vmax为200mm/s，初速度vs＝0，末速度ve＝0，六轴串联工业机器人在笛卡尔空间的运动轨迹如附图3所示，六轴串联工业机器人在未过渡和进行过渡后的笛卡尔空间路径上运动的速度曲线的示意图附图4所示。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明所作的举例，并非对实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。而由此所引申出的显而易见的变化或变动仍处于本发明创造的保护范围之中。

Claims (6)

1.一种六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，其特征在于，包括：
步骤一：定义i＝1，N为给定运动路径的总段数；
步骤二：确定相邻的第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径，并获取所述第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径的路径参数，其中所述路径参数包括路径类型、路径长度、路径起点位置和路径终点位置；
步骤三：在所述第i段给定运动路径和第i+1段给定运动路径之间构造第i段过渡路径，根据第i段给定运动路径的路径长度、第i+1段给定运动路径的路径长度和所述第i段过渡路径的给定过渡半径确定所述第i段过渡路径的实际过渡半径；
步骤四：根据第i段给定运动路径的路径参数、第i+1段给定运动路径的路径参数和所述第i段过渡路径的实际过渡半径分别求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的对应参数以及第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的对应参数，其中对应参数包括参数值、位置、一阶导数和二阶导数，包括根据第i段给定运动路径的路径类型求解所述第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值、位置、一阶导数和二阶导数，以及根据第i+1段给定运动路径的路径类型求解所述第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值、位置、一阶导数和二阶导数，其中所述第i段给定运动路径的路径类型定义为Typei，Typei∈{1,2}，当Typei＝1时，路径类型为空间直线，当Typei＝2时，路径类型为空间圆弧；所述第i+1段给定运动路径的路径类型定义为Typei+1，Typei+1∈{1,2}，当Typei+1＝1时，路径类型为空间直线，当Typei+1＝2时，路径类型为空间圆弧，当第i段给定运动路径的路径类型Typei＝1时，求解第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值
Figure FDA0003514761270000011
位置
Figure FDA0003514761270000012
一阶导数
Figure FDA0003514761270000013
和二阶导数
Figure FDA0003514761270000014
的公式如下所示：
Figure FDA0003514761270000015
Figure FDA0003514761270000016
Figure FDA0003514761270000021
Figure FDA0003514761270000022
式中，Li表示第i段给定运动路径的路径长度，
Figure FDA0003514761270000023
表示第i段过渡路径的实际过渡半径，
Figure FDA0003514761270000024
表示第i段给定运动路径的路径起点位置，
Figure FDA0003514761270000025
表示第i段给定运动路径的路径终点位置；
当第i段给定运动路径的路径类型Typei＝2时，求解第i段过渡路径的起点在第i段给定运动路径上的参数值
Figure FDA0003514761270000026
位置
Figure FDA0003514761270000027
一阶导数
Figure FDA0003514761270000028
和二阶导数
Figure FDA0003514761270000029
的公式如下所示：
Figure FDA00035147612700000210
Figure FDA00035147612700000211
Figure FDA00035147612700000212
Figure FDA00035147612700000213
式中，
Figure FDA00035147612700000214
表示第i段给定运动路径的圆心位置，
Figure FDA00035147612700000215
表示第i段给定运动路径的圆心坐标系到世界坐标系的旋转矩阵，ri表示第i段给定运动路径的圆弧半径，θi表示第i段给定运动路径的圆心角，当第i+1段给定运动路径的路径类型Typei+1＝1时，求解第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值
Figure FDA00035147612700000216
位置
Figure FDA00035147612700000217
一阶导数
Figure FDA00035147612700000218
和二阶导数
Figure FDA00035147612700000219
的公式如下所示：
Figure FDA0003514761270000031
Figure FDA0003514761270000032
Figure FDA0003514761270000033
Figure FDA0003514761270000034
式中，Li+1表示第i+1段给定运动路径的路径长度，
Figure FDA0003514761270000035
表示第i段过渡路径的实际过渡半径，
Figure FDA0003514761270000036
表示第i+1段给定运动路径的路径起点位置，
Figure FDA0003514761270000037
表示第i+1段给定运动路径的路径终点位置；
当第i+1段给定运动路径的路径类型Typei+1＝2时，求解第i段过渡路径的终点在第i+1段给定运动路径上的参数值
Figure FDA0003514761270000038
位置
Figure FDA0003514761270000039
一阶导数
Figure FDA00035147612700000310
和二阶导数
Figure FDA00035147612700000311
的公式如下所示：
Figure FDA00035147612700000312
Figure FDA00035147612700000313
Figure FDA00035147612700000314
Figure FDA00035147612700000315
式中，
Figure FDA0003514761270000041
表示第i+1段给定运动路径的圆心位置，
Figure FDA0003514761270000042
表示第i+1段给定运动路径的圆心坐标系到世界坐标系的旋转矩阵，ri+1表示第i+1段给定运动路径的圆弧半径，θi+1表示第i+1段给定运动路径的圆心角；
步骤五：根据所述第i段过渡路径的起点的位置、一阶导数和二阶导数和第i段过渡路径的终点的位置、一阶导数和二阶导数求解作为所述第i段过渡路径的样条曲线的多个控制点的位置，利用所述样条曲线的多个控制点的位置求解所述第i段过渡路径的路径长度；
步骤六：定义i＝i+1，判断i小于N是否成立，若成立，则跳转至步骤二，若不成立，则将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)，j＝1,...2N-1，其中L(2N-1)为路径总长度；
步骤七：根据路径总长度与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)，利用所述S(t)进行等时插补，其中任意两个相邻插补点对应的插补时刻的时间间隔是相等的；
其中，在步骤五中，包括：
步骤二中定义多个控制点的位置为
Figure FDA0003514761270000043
求解控制点的位置
Figure FDA0003514761270000044
的公式如下：
Figure FDA0003514761270000045
Figure FDA0003514761270000046
式中，
Figure FDA0003514761270000047
表示第i段过渡路径起点的位置，
Figure FDA0003514761270000048
表示第i段过渡路径的终点位置，
Figure FDA0003514761270000049
表示第i段过渡路径起点的一阶导数，
Figure FDA0003514761270000051
表示第i段过渡路径起点的二阶导数，
Figure FDA0003514761270000052
表示第i段过渡路径终点的一阶导数，
Figure FDA0003514761270000053
表示第i段过渡路径终点的二阶导数，数bi∈(0,+∞)，参数di∈(0,+∞)；
引入参数
Figure FDA0003514761270000054
参数
Figure FDA0003514761270000055
与控制点
Figure FDA0003514761270000056
的关系如下式所示：
Figure FDA0003514761270000057
式中，|·|表示为求取向量的模；
推导出参数Rt与参数bi、di的关系如下式所示：
Figure FDA0003514761270000058
根据参数
Figure FDA0003514761270000059
求解得到样条曲线的控制点
Figure FDA00035147612700000510
2.根据权利要求1所述的六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，其特征在于：步骤五中利用所述样条曲线的多个控制点的位置求解所述第i段过渡路径的路径长度的方法包括：
求解所述第i段过渡路径的路径长度
Figure FDA00035147612700000511
的计算公式如下：
Figure FDA00035147612700000512
式中，Ak表示节点系数，
Figure FDA00035147612700000513
表示向量函数
Figure FDA00035147612700000514
对自变量u进行求导的一阶导数，
Figure FDA00035147612700000515
表示描述第i段过渡路径上点的位置与自变量u的关系的向量函数。
3.根据权利要求1所述的六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，其特征在于：步骤六中将构造出过渡路径后的N段给定运动路径的剩余路径长度和构造出的N-1段过渡路径的路径长度按照路径顺序进行累加获得第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)的方法包括：
计算第1段至第j段的路径长度的累加和L(j)的累加公式如下：
Figure FDA0003514761270000061
式中，L(2N-1)表示路径总长度LTol。
4.根据权利要求1所述的六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，其特征在于：步骤七中速度约束条件包括机器人在整段路径上运动时允许的最大加加速度jmax、允许的最大加速度amax、允许的最大速度vmax、初速度vs＝0以及末速度ve＝0。
5.根据权利要求4所述的六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，其特征在于：步骤七中根据路径总长度与速度约束条件通过七段S型速度规划获得路径长度S与时间t的函数关系S(t)的方法包括：
首先求解加加速段的时间T1、匀加速段的时间T2、减加速段的时间T3、匀速段的时间T4、加减速段的时间T5、匀减速段的时间T6和减减速段的时间T7的计算公式如下：
Figure FDA0003514761270000071
Figure FDA0003514761270000072
式中，amax表示允许的最大加速度，jmax表示允许的最大加加速度，
然后求解得到速度v与时间t的函数关系v(t)如下：
Figure FDA0003514761270000073
式中，jmax表示允许的最大加加速度；
最后求解得到路径长度S与时间t的函数关系S(t)如下：
Figure FDA0003514761270000081
式中，jmax表示允许的最大加加速度。
6.根据权利要求1所述的六轴串联工业机器人的笛卡尔空间运动轨迹的平滑方法，其特征在于：步骤七中利用所述S(t)进行等时插补的方法包括：
根据所述S(t)求出插补时刻对应的路径长度S，找出路径长度S所在的具体路径的段数，并获得对应的路径类型；
根据路径类型采用不同的插补点求取方式求解出插补点的实际位置，通过运动学逆解求出六轴串联工业机器人各关节转动的角度，以驱动六轴串联工业机器人转动，获得六轴串联工业机器人在笛卡尔空间中整个路径上的连续运动轨迹。
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