CN113370218B - 基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法 - Google Patents

基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法 Download PDF

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CN113370218B CN202110764320.4A CN202110764320A CN113370218B CN 113370218 B CN113370218 B CN 113370218B CN 202110764320 A CN202110764320 A CN 202110764320A CN 113370218 B CN113370218 B CN 113370218B
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Abstract

本发明涉及一种基于端口哈密顿建模的离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法，包括步骤：建立由离子聚合物金属复合材料驱动的内窥柔性机械臂模型；根据柔性机械梁模块和IPMC驱动模块的状态方程得到复合物理系统的能量方程；通过建立端口哈密顿模型，证明内窥柔性机械臂模型是无源的；整个开环系统保持互联稳定；进一步通过级联与阻尼配置无源控制方法对柔性机械臂设计控制器，预设前馈无源控制参数，将内窥柔性机械臂模型无源化。本发明的有益效果是：提出一种对柔性机械臂的无源控制方法，使柔性机械臂达到动态平衡的同时达到对弹性振动的抑制，实现在人体环境内实时对内窥镜机械臂的运动控制。

Description

基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法
技术领域
本发明属于机械臂的控制领域，尤其涉及一种基于端口哈密顿建模的离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法，具体涉及柔性机械臂的基于端口哈密顿建模的多种物理尺度模型的无源控制方法。
背景技术
人体结构的环境复杂且脆弱，刚性的手术设备自由度比较低，对手术会造成的很大的局限性。在医疗器械领域，柔性机械臂自由度高，对人体创伤小。离子聚合物金属复合材料IPMC(electroactive polymer,EAP)是一种新型智能高分子材料，当有外加电场时，电活性聚合物内部结构发生改变，在薄膜表面的导电层之间的静电引力促使薄膜发生压缩与形变。新型多自由度的由仿生材料制作的柔性机械臂使用(电活性聚合物)作为执行器。这种机械臂可以通过微创手术进入人体作为微型内窥镜的执行器，或者进行定点给药。
对于柔性机械臂，弹性振动问题是至关重要且不能避免的。弹性振动是梁的机械机构的一种内在扰动，一般很难快速衰减，特别是当多自由度机械臂运动时，柔性振动通过各关节间的耦合在机械臂末端放大，对系统造成振荡甚至不稳定。
近几年，人们在这个问题上做了很多研究。比如运用模糊神经控制算法或者自适应模糊滑模控制来消去弹性振动。但是这些研究方法都对模型都进行了简化，并且很少考虑整个柔性机械臂的物理系统的能量问题。
如果设计的物理量，从能量的角度能够使系统能量函数按照我们希望的能量函数进行分布，那就可以从能量的角度达到控制目的。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供一种基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法。
这种基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法，包括以下步骤：
步骤1、建立由离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂模型，内窥柔性机械臂模型是柔性机械梁模块和IPMC驱动模块组成的复合物理系统(整个系统里有多种物理现象)；根据柔性机械梁模块和IPMC驱动模块的状态方程得到复合物理系统的能量方程；
步骤2、通过建立端口哈密顿模型，证明内窥柔性机械臂模型是无源的；整个开环系统(open loop system，为未受过调节的复合物理系统)保持互联稳定；
步骤3、进一步通过级联与阻尼配置无源控制方法(IDA-PBC)对柔性机械臂设计控制器，预设前馈无源控制参数，将由离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂模型无源化；
步骤3.1、首先定义一个渐近稳定的端口哈密顿目标系统
Figure GDA0003315839280000021
其中Jd、Rd分别是逆转矩阵和对称矩阵；Hd(x)满足以下偏微分方程：
Figure GDA0003315839280000022
上述偏微分方程为匹配条件，其中J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；其中g为复合物理系统的输入矩阵，g⊥是g的满秩零化子，并且哈密顿函数Hd(x)满足条件：
x*＝argminHd(x)
x*为待稳定的目标点，满足复合物理系统的端口哈密顿模型完全渐进稳定的级联与阻尼配置无源控制方法(IDA-PBC)的表达式如下：
Figure GDA0003315839280000023
其中Jd、Rd分别是逆转矩阵和对称矩阵；
步骤3.2、通过级联与阻尼配置无源控制方法对柔性机械臂设计使端口哈密顿目标系统
Figure GDA0003315839280000024
完全渐进稳定的控制器：
Figure GDA0003315839280000025
其中
Figure GDA0003315839280000026
为设定的控制目标向量,
Figure GDA0003315839280000027
φ*、Q*分别是目标角应变、目标磁通量和目标电荷；R1、R2均指IPMC执行器的等效电路电阻矩阵，且R1、R2分别是对角线为r1、r2的对角矩阵；φ为磁通量，Q为电容器的电荷；K是Darcy渗透度；
对分布参数系统进行离散后，步骤2中柔性机械梁模块与IPMC执行器的互连模型内的
Figure GDA0003315839280000028
T、S皆为M离散过后m×m的数值矩阵，
Figure GDA0003315839280000029
Figure GDA00033158392800000210
C′、L′分别是闭环控制系统(closed-loopsystem，又称反馈系统，控制理论中指被控制过的有回路的系统)中的电容参数和电感参数；rc为阻尼参数；
步骤3.3、证明由离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂模型具有无源性；
首先定义一个复合物理系统g的满秩零化子g⊥：
Figure GDA0003315839280000031
In是对角线为1的对角矩阵，矩阵维度为n×n；
通过设置Rd＝R+Rc,对复合物理系统进行阻尼注入，Rc＝diag(0 0 rc 0)，rc为阻尼参数；
通过设置Hd(x)＝H(x)+Hc(x)，将步骤3.1中匹配条件写成以下匹配方程式：
Figure GDA0003315839280000032
Figure GDA0003315839280000033
Figure GDA0003315839280000034
从上述匹配条件，复合物理系统所需能量的交叉项在x3、φ和Q之间，假设：
Figure GDA0003315839280000035
Figure GDA0003315839280000036
Figure GDA0003315839280000037
选择以下参数的值满足匹配条件：
Figure GDA0003315839280000038
Figure GDA0003315839280000039
Figure GDA00033158392800000310
Figure GDA00033158392800000311
Figure GDA00033158392800000312
将上述参数代入步骤3.1的无源控制方法(IDA-PBC)的表达式中，得到步骤3.2中设计的控制器表达式；
步骤4、计算无源控制参数C′和阻尼参数rc，最后控制参数K；
无源控制参数C′取值满足条件x*＝argminHd(x)，并且：
Figure GDA0003315839280000041
根据Hd的选择，左式显而易见得证，为了保证平衡x*是闭环哈密顿量的严格最小值，Hd的黑塞矩阵在期望的平衡点应该是正定的；
Figure GDA0003315839280000042
Figure GDA0003315839280000043
选择无源控制参数C′满足上式，则步骤3.2设计的使端口哈密顿目标系统
Figure GDA0003315839280000044
Figure GDA0003315839280000045
完全渐进稳定的控制器成立且复合物理系统稳定；
通过控制阻尼参数rc控制对复合物理系统阻尼注入的量，通过增大阻尼参数rc的值来抑制柔性机械臂的抖振；阻尼参数rc取值过大不影响系统稳定性和到达平衡点的速度，但会造成能量的耗散；
步骤5、设定完成的控制算法下载到数字信号处理器中，将IPMC驱动模块两端的电压作为复合物理系统的控制变量，复合物理系统通过IPMC驱动模块两端的电压驱动使IPMC驱动模块发生形变，在薄膜表面的导电层之间的静电引力促使薄膜发生压缩与形变，从而驱动内窥柔性机械臂模型的柔性机械梁模块，进而控制位于柔性机械梁模块内机械臂末端的内窥镜的位置。
作为优选，步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1、柔性机械梁模块的状态方程使用铁木辛哥梁模型的状态方程，表达如下：
Figure GDA0003315839280000046
上式中，z为空间变量，t为时间变量；w(z,t)是横向位移；
Figure GDA0003315839280000047
是梁的旋转角度；系数ρ是单位质量长度；系数Iρ是横截面的转动惯量；系数E是杨氏弹性模量；系数I是惯性矩横截面；系数K是剪切模量；τ(z,t)是施加于柔性梁的力矩；
步骤1.2、IPMC驱动模块的状态方程由双电层电极模型、电应力扩散模型、机械横梁三种偏微分方程表示；
其中双电层电极的偏微分方程为：
Figure GDA0003315839280000051
上式中，t为时间变量，C2(t)是双电层电容，R1是电极的电阻，R2是聚合电阻,v是电势，i是电流，ε是电极的电阻相对电极表面的虚拟坐标；
电应力扩散模型的偏微分方程为：
Figure GDA0003315839280000052
上式中，z为空间变量，t为时间变量；fs(z,t)为电荷溶胀率，je(z,t)是电流密度，js(z,t)是水流密度，σe是电导率,K是Darcy渗透度,Kz是碰撞模量常数，λ是Onsager耦合常数，G是剪切弹性模量常数。
作为优选，假定步骤1中IPMC驱动模块和柔性机械梁模块完美切合，建模时假设IPMC驱动模块的机械梁结构为柔性机械梁模块结构的一部分，此时步骤1.2中机械横梁的偏微分方程与柔性机械梁模块的状态方程一致，均使用铁木辛哥梁模型的状态方程：
Figure GDA0003315839280000053
作为优选，步骤2具体包括以下步骤：
步骤2.1、复合物理系统的柔性机械梁模块被视为季莫申科梁模型，复合物理系统中柔性机械梁模块的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure GDA0003315839280000054
上式中，x(t)为状态变量，并且：
Figure GDA0003315839280000055
Figure GDA0003315839280000056
Figure GDA0003315839280000057
Figure GDA0003315839280000061
Figure GDA0003315839280000062
柔性机械梁模块具有状态(能量)变量：剪切应变
Figure GDA0003315839280000063
横向动量分布
Figure GDA0003315839280000064
角应变
Figure GDA0003315839280000065
和角动量分布
Figure GDA0003315839280000066
其中z∈(a，b)，a、b分别为空间中柔性机械梁模块内柔性机械臂的两端；t为时间变量，t≥0；w是横向位移；状态空间X＝L2([a,b]；R4)，其中，L2空间是线性空间，状态空间定义在L2空间内，R4表示有四个实数状态变量；逆转算子
Figure GDA0003315839280000067
是一个作用于状态空间X的阶偏对称微分算子；矩阵
Figure GDA0003315839280000068
是耗散矩阵，Rt和Rr分别为平移和角度粘滞分数常数；
柔性机械梁模块的能量表示为：
Figure GDA0003315839280000069
上式中，a、b分别为空间中柔性机械梁模块内柔性机械臂的两端；柔性机械梁模块的分布式位移由IPMC执行器在梁上的产生的分布力矩控制；分布力矩作为分布输入变量：
Figure GDA00033158392800000610
Figure GDA00033158392800000611
上式中，
Figure GDA00033158392800000612
为分布式输入映射，b(z)＝[b1(z),…,bm(z)],ud＝[ud1(z),…,udm(z)]T，m是IPMC驱动器的个数，IPMC驱动器包括固定端驱动器和中端驱动器；分布输出变量是分布输入变量的幂共轭变量：
Figure GDA00033158392800000613
柔性机械梁模块的能量方程为：
Figure GDA00033158392800000614
步骤2.2、复合物理系统的IPMC驱动模块中，IPMC执行器通过改变其电力系统(等效的双电层模型电极)的电压，可以以较小的电压造成离子聚合物层的反应从而使柔性材料进行形变；IPMC执行器等效为一个双电层RC电路模型，双电层RC电路模型两端的电压作为系统控制变量，复合物理系统中IPMC驱动模块的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure GDA0003315839280000071
IPMC驱动模块的总能量定义为磁能和电能
Figure GDA0003315839280000072
状态向量为xa＝[φ,Q]T,其中φ为磁通量，C为电容，Q为电容器的电荷，r1和r2是等效电路电阻，u(t)是在IPMC执行器上施加的电压，ua是由复合物理系统的机械运动产生在IPMC等效电容器的电流，y是电感，ya是IPMC等效电容器两端的电压；
当内窥柔性机械臂模型由m个IPMC驱动器驱动时，所有IPMC驱动器的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure GDA0003315839280000073
Im、R1、R2分别是对角线为1、r1、r2的对角矩阵，矩阵维度皆为m×m；φ为磁通量，Q为电容器的电荷；
步骤2.3、复合物理系统的端口哈密顿模型建模：
IPMC执行器弯曲作用在柔性机械梁模块上，IPMC执行器和柔性机械梁模块的互连关系定义为：
Figure GDA0003315839280000074
k＝diag[k1,…,km]，ya为联结作用在柔性机械梁模块的力矩，k是联结作用在柔性机械梁模块的力矩ya的常数系数，柔性机械梁模块与IPMC执行器的互连模型为:
Figure GDA0003315839280000081
复合物理系统的状态向量为x＝(x1 x2 x3 x4 φ Q)T；
Figure GDA0003315839280000082
为复合物理系统中IPMC执行器的互联矩阵和耗散矩阵的差，g为复合系统的输入矩阵，J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；
Figure GDA0003315839280000083
为
Figure GDA0003315839280000084
的共轭矩阵；
则复合物理系统的端口哈密顿模型为：
Figure GDA0003315839280000085
上式中，g(x)是输入矩阵；其中J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；u是在IPMC执行器上施加的电压；
复合物理系统的总能量为：
Figure GDA0003315839280000086
步骤2.4、通过端口哈密顿模型证明复合物理系统的无源性步骤为：
端口哈密顿模型的几何结构是保证复合物理系统中的总能量是保守的，将哈密顿函数作为复合物理系统的能量存储函数：
Figure GDA0003315839280000087
Figure GDA0003315839280000088
Figure GDA0003315839280000089
上式中，复合物理系统的流变量f(t)和势变量e(t)的乘积是功率，t为时间变量，
Figure GDA00033158392800000810
为复合物理系统的时变状态变量；
建立复合物理系统的动态方程：
Figure GDA00033158392800000811
上式中，H(t)为复合物理系统的能量存储函数，
Figure GDA00033158392800000812
为复合物理系统的时变状态变量；逆转矩阵J＝-JT表示复合物理系统的能量传递；R表示复合物理系统的内部能量耗散矩阵，R＝RT≥0；B(t)是输入矩阵；u(t)是对耦输入变量，y是对耦输出变量，u(t)和y表示系统和外部环境的能量交互；
将复合物理系统的功率平衡方程表示如下：
Figure GDA0003315839280000091
上式中，H(t)为复合物理系统的能量存储函数，
Figure GDA0003315839280000092
为复合物理系统的时变状态变量；R(t)表示复合物理系统的内部能量耗散矩阵；y(t)是对耦输出变量；u(t)是对耦输入变量；
由于复合物理系统的功率始终小于或者等于复合物理系统无损耗时输入输出的功率，则端口哈密顿模型是无源的，则内窥柔性机械臂模型也是无源的，复合物理系统的功率平衡方程的含义是哈密顿系统是无源的(即能量无源的定义)。
作为优选，柔性机械梁模块为柔性梁结构。
作为优选，步骤3.2中
Figure GDA0003315839280000093
φ*、Q*通过柔性机械臂最终位置反推得到。
作为优选，内窥柔性机械臂模型由一片或两片离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动。
本发明的有益效果是：
本发明提出一种对柔性机械臂的无源控制方法，使柔性机械臂达到动态平衡的同时达到对弹性振动的抑制，实现在人体环境内实时对内窥镜机械臂的运动控制。通过建立基于端口哈密顿建模的离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的端口哈密顿模型，证明系统的无源性，闭环中接入的IDA-PBC控制器也是无源的，从而使整个闭环系统达到无源性，通过调节IDA-PBC无源控制器的参数，从而提高整个系统的速度以及消除弹性振动，从而使系统达到稳定。
本发明适用于内窥柔性机械臂的运动控制和满足机械臂实时变化的机械结构。本发明采用端口哈密尔顿建模方式和无源理论分析由IPMC驱动的柔性机械臂的复合系统的稳定性和能量无源特性，之后通过在控制闭环接入的IDA-PBC控制器也是无源的，提高整个柔性机械臂的运动速度，使机械臂精确到达控制位置，并消除弹性振动。采用的无源控制思路为将整个复合物理系统视为一个整体，将控制器和被控制的由IPMC驱动的柔性机械臂复合系统视为能量转换的设备，对柔性机械梁模块和IPMC驱动模块组成的复合物理系统进行能量整型，从而使复合物理系统能量函数按照预想的能量函数进行分布，从而从能量的角度达到控制目的。
附图说明
图1为离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂示意图；
图2为IPMC等效电路模型示意图；
图3为IDA-PBC无源控制方法的系统结构图；
图4为实施例二单IPMC驱动的柔性梁示意图；
图5为实验信号装置的结构示意图；
图6为无阻尼注入情况下的控制结果曲线图；
图7为IDA-PBC的控制结果(固定控制参数C对比)示意图；
图8为实施例三双IPMC驱动的柔性梁示意图；
图9为柔性梁形状目标示意图；
图10为双IPMC驱动的柔性梁使用IDA-PBC控制方法得到的实验结果示意图。
附图标记说明：阳离子1、水分子2、等效系统3、dSPACE处理器4、柔性机械臂和驱动片5、激光位移传感器6、机械臂7、固定端驱动器8、中端驱动器9、中端激光传感器10、末端激光传感器11、IPMC执行器12、柔性结构内管13、末端执行器14。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。应当指出，对于本技术领域的普通人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。
为验证本发明，建立了一个由IPMC驱动(IPMC驱动器等效电路模型如图2所示)的柔性机械臂的实验平台，对柔性机械臂所采用的无源控制方法(IDA-PBC)的控制系统结构如图3所示，而采用的完整的实验装置示意图如图5所示，本发明采用的各柔性机械臂配置的参数如下表1所示；
表1各柔性机械臂配置的参数表
Figure GDA0003315839280000101
实施例一
本申请实施例一提供了一种由单片如图1所示IPMC驱动的基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法。
步骤1、建立由离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂模型，内窥柔性机械臂模型是柔性机械梁模块和IPMC驱动模块组成的复合物理系统(整个系统里有多种物理现象)；根据柔性机械梁模块和IPMC驱动模块的状态方程得到复合物理系统的能量方程；
步骤1.1、柔性机械梁模块的状态方程使用铁木辛哥梁模型的状态方程，表达如下：
Figure GDA0003315839280000111
上式中，z为空间变量，t为时间变量；w(z,t)是横向位移；
Figure GDA0003315839280000112
是梁的旋转角度；系数ρ是单位质量长度；系数Iρ是横截面的转动惯量；系数E是杨氏弹性模量；系数I是惯性矩横截面；系数K是剪切模量；τ(z,t)是施加于柔性梁的力矩；
步骤1.2、IPMC驱动模块的状态方程由双电层电极模型、电应力扩散模型、机械横梁三种偏微分方程表示；
其中双电层电极的偏微分方程为：
Figure GDA0003315839280000113
上式中，t为时间变量，C2(t)是双电层电容，R1是电极的电阻，R2是聚合电阻,v是电势，i是电流，ε是电极的电阻相对电极表面的虚拟坐标；
电应力扩散模型的偏微分方程为：
Figure GDA0003315839280000114
上式中，z为空间变量，t为时间变量；fs(z,t)为电荷溶胀率，je(z,t)是电流密度，js(z,t)是水流密度，σe是电导率,K是Darcy渗透度,Kz是碰撞模量常数，λ是Onsager耦合常数，G是剪切弹性模量常数；
假定步骤1中IPMC驱动模块和柔性机械梁模块完美切合，建模时假设IPMC驱动模块的机械梁结构为柔性机械梁模块结构的一部分，此时步骤1.2中机械横梁的偏微分方程与柔性机械梁模块的状态方程一致，均使用铁木辛哥梁模型的状态方程：
Figure GDA0003315839280000121
步骤2、通过建立端口哈密顿模型，证明内窥柔性机械臂模型是无源的；整个开环系统(open loop system，为未受过调节的复合物理系统)保持互联稳定；
步骤2.1、复合物理系统的柔性机械梁模块被视为季莫申科梁模型，复合物理系统中柔性机械梁模块的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure GDA0003315839280000122
上式中，x(t)为状态变量，并且：
Figure GDA0003315839280000123
Figure GDA0003315839280000124
Figure GDA0003315839280000125
Figure GDA0003315839280000126
Figure GDA0003315839280000127
柔性机械梁模块具有状态(能量)变量：剪切应变
Figure GDA0003315839280000128
横向动量分布
Figure GDA0003315839280000129
角应变
Figure GDA00033158392800001210
和角动量分布
Figure GDA00033158392800001211
其中z∈(a，b)，a、b分别为空间中柔性机械梁模块内柔性机械臂的两端；t为时间变量，t≥0；w是横向位移；状态空间X＝L2([a,b]；R4)，其中，L2空间是线性空间，状态空间定义在L2空间内，R4表示有四个实数状态变量；逆转算子
Figure GDA00033158392800001212
是一个作用于状态空间X的阶偏对称微分算子；矩阵
Figure GDA00033158392800001213
是耗散矩阵，Rt和Rr分别为平移和角度粘滞分数常数；
柔性机械梁模块的能量表示为：
Figure GDA0003315839280000131
上式中，a、b分别为空间中柔性机械梁模块内柔性机械臂的两端；柔性机械梁模块的分布式位移由IPMC执行器在梁上的产生的分布力矩控制；分布力矩作为分布输入变量：
Figure GDA0003315839280000132
Figure GDA0003315839280000133
上式中，
Figure GDA0003315839280000134
为分布式输入映射，b(z)＝[b1(z),…,bm(z)],ud＝[ud1(z),…,udm(z)]T，m是IPMC驱动器的个数，IPMC驱动器包括固定端驱动器和中端驱动器；分布输出变量是分布输入变量的幂共轭变量：
Figure GDA0003315839280000135
柔性机械梁模块的能量方程为：
Figure GDA0003315839280000136
步骤2.2、复合物理系统的IPMC驱动模块中，IPMC执行器通过改变其电力系统(等效的双电层模型电极)的电压，可以以较小的电压造成离子聚合物层的反应从而使柔性材料进行形变；IPMC执行器等效为一个双电层RC电路模型，双电层RC电路模型两端的电压作为系统控制变量，复合物理系统中IPMC驱动模块的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure GDA0003315839280000137
IPMC驱动模块的总能量定义为磁能和电能
Figure GDA0003315839280000138
状态向量为xa＝[φ,Q]T,其中φ为磁通量，C为电容，Q为电容器的电荷，r1和r2是等效电路电阻，u(t)是在IPMC执行器上施加的电压，ua是由复合物理系统的机械运动产生在IPMC等效电容器的电流，y是电感，ya是IPMC等效电容器两端的电压；
当内窥柔性机械臂模型由m个IPMC驱动器驱动时，所有IPMC驱动器的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure GDA0003315839280000141
Im、R1、R2分别是对角线为1、r1、r2的对角矩阵，矩阵维度皆为m×m；φ为磁通量，Q为电容器的电荷；
步骤2.3、复合物理系统的端口哈密顿模型建模：
IPMC执行器弯曲作用在柔性机械梁模块上，IPMC执行器和柔性机械梁模块的互连关系定义为：
Figure GDA0003315839280000142
k＝diag[k1,…,km]，ya为联结作用在柔性机械梁模块的力矩，k是联结作用在柔性机械梁模块的力矩ya的常数系数，柔性机械梁模块与IPMC执行器的互连模型为:
Figure GDA0003315839280000143
复合物理系统的状态向量为x＝(x1 x2 x3 x4 φ Q)T；
Figure GDA0003315839280000144
为复合物理系统中IPMC执行器的互联矩阵和耗散矩阵的差，g为复合系统的输入矩阵，J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；
Figure GDA0003315839280000145
为
Figure GDA0003315839280000146
的共轭矩阵；
则复合物理系统的端口哈密顿模型为：
Figure GDA0003315839280000147
上式中，g(x)是输入矩阵；其中J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；u是在IPMC执行器上施加的电压；
复合物理系统的总能量为：
Figure GDA0003315839280000148
步骤2.4、通过端口哈密顿模型证明复合物理系统的无源性步骤为：
端口哈密顿模型的几何结构是保证复合物理系统中的总能量是保守的，将哈密顿函数作为复合物理系统的能量存储函数：
Figure GDA0003315839280000151
Figure GDA0003315839280000152
Figure GDA0003315839280000153
上式中，复合物理系统的流变量f(t)和势变量e(t)的乘积是功率，t为时间变量，
Figure GDA0003315839280000154
为复合物理系统的时变状态变量；
建立复合物理系统的动态方程：
Figure GDA0003315839280000155
上式中，H(t)为复合物理系统的能量存储函数，
Figure GDA0003315839280000156
为复合物理系统的时变状态变量；逆转矩阵J＝-JT表示复合物理系统的能量传递；R表示复合物理系统的内部能量耗散矩阵，R＝RT≥0；B(t)是输入矩阵；u(t)是对耦输入变量，y是对耦输出变量，u(t)和y表示系统和外部环境的能量交互；
将复合物理系统的功率平衡方程表示如下：
Figure GDA0003315839280000157
上式中，H(t)为复合物理系统的能量存储函数，
Figure GDA0003315839280000158
为复合物理系统的时变状态变量；R(t)表示复合物理系统的内部能量耗散矩阵；y(t)是对耦输出变量；u(t)是对耦输入变量；
由于复合物理系统的功率始终小于或者等于复合物理系统无损耗时输入输出的功率，则端口哈密顿模型是无源的，则内窥柔性机械臂模型也是无源的，复合物理系统的功率平衡方程的含义是哈密顿系统是无源的(即能量无源的定义)。
步骤3、进一步通过级联与阻尼配置无源控制方法(IDA-PBC)对柔性机械臂设计控制器，预设前馈无源控制参数，将由离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂模型无源化；
步骤3.1、首先定义一个渐近稳定的端口哈密顿目标系统
Figure GDA0003315839280000161
其中Jd、Rd分别是逆转矩阵和对称矩阵；Hd(x)满足以下偏微分方程：
Figure GDA0003315839280000162
上述偏微分方程为匹配条件，其中J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；其中g为复合物理系统的输入矩阵，g⊥是g的满秩零化子，并且哈密顿函数Hd(x)满足条件：
x*＝argminHd(x)
x*为待稳定的目标点，满足复合物理系统的端口哈密顿模型完全渐进稳定的级联与阻尼配置无源控制方法(IDA-PBC)的表达式如下：
Figure GDA0003315839280000163
其中Jd、Rd分别是逆转矩阵和对称矩阵；
步骤3.2、通过级联与阻尼配置无源控制方法对柔性机械臂设计使端口哈密顿目标系统
Figure GDA0003315839280000164
完全渐进稳定的控制器：
Figure GDA0003315839280000165
其中
Figure GDA0003315839280000166
为设定的控制目标向量,
Figure GDA0003315839280000167
φ*、Q*分别是目标角应变、目标磁通量和目标电荷；
Figure GDA0003315839280000168
φ*、Q*通过柔性机械臂最终位置反推得到；
对分布参数系统进行离散后，步骤2.3中柔性机械梁模块与IPMC执行器的互连模型内的
Figure GDA0003315839280000169
T、S皆为M离散过后m×m的数值矩阵，
Figure GDA00033158392800001610
Figure GDA00033158392800001611
C′、L′分别是闭环控制系统(closed-loopsystem，又称反馈系统，控制理论中指被控制过的有回路的系统)中的电容参数和电感参数；rc为阻尼参数；
步骤3.3、证明由离子聚合物金属复合材料(IPMC)驱动的内窥柔性机械臂模型具有无源性；
首先定义一个复合物理系统g的满秩零化子g⊥：
Figure GDA0003315839280000171
In是对角线为1的对角矩阵，矩阵维度为n×n；
通过设置Rd＝R+Rc,对复合物理系统进行阻尼注入，Rc＝diag(0 0 rc 0)，rc为阻尼参数；
通过设置Hd(x)＝H(x)+Hc(x)，将步骤3.1中匹配条件写成以下匹配方程式：
Figure GDA0003315839280000172
Figure GDA0003315839280000173
Figure GDA0003315839280000174
从上述匹配条件，复合物理系统所需能量的交叉项在x3、φ和Q之间，假设：
Figure GDA0003315839280000175
Figure GDA0003315839280000176
Figure GDA0003315839280000177
选择以下参数的值满足匹配条件：
Figure GDA0003315839280000178
Figure GDA0003315839280000179
Figure GDA00033158392800001710
Figure GDA00033158392800001711
Figure GDA00033158392800001712
将上述参数代入步骤3.1的无源控制方法(IDA-PBC)的表达式中，得到步骤3.2中设计的控制器表达式；
步骤4、计算无源控制参数C′和阻尼参数rc，最后控制参数K；
控制参数C′取值满足条件x*＝argminHd(x)，并且：
Figure GDA00033158392800001713
根据Hd的选择，左式显而易见得证，为了保证平衡x*是闭环哈密顿量的严格最小值，Hd的黑塞矩阵在期望的平衡点应该是正定的；
Figure GDA00033158392800001714
Figure GDA0003315839280000181
选择无源控制参数C′满足上式，则步骤3.2设计的使端口哈密顿目标系统
Figure GDA0003315839280000182
Figure GDA0003315839280000183
完全渐进稳定的控制器成立且复合物理系统稳定；
通过控制阻尼参数rc控制对复合物理系统阻尼注入的量，通过增大阻尼参数rc的值来抑制柔性机械臂的抖振；阻尼参数rc取值过大不影响系统稳定性和到达平衡点的速度，但会造成能量的耗散；
步骤5、设定完成的控制算法下载到数字信号处理器中，将IPMC驱动模块两端的电压作为复合物理系统的控制变量，复合物理系统通过IPMC驱动模块两端的电压驱动使IPMC驱动模块发生形变，在薄膜表面的导电层之间的静电引力促使薄膜发生压缩与形变，从而驱动内窥柔性机械臂模型的柔性机械梁模块，进而控制位于柔性机械梁模块内机械臂末端的内窥镜的位置。
实施例二
在实施例一的基础上，本申请实施例二提供了一种如图4所示由单片IPMC驱动的基于端口哈密顿建模的离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法。
使用dSPACE软硬件工作平台和计算机(带有Matlab Simulink)，在IPMC驱动模块上生成控制信号U∈[0，7V]，测量值是柔性机械臂的位移和施加到IPMC执行器12上的电压。位移通过KEYENCE公司的激光位移传感器(LK-G152)检测。本实施例采用对应机械臂类型Ⅰ，由一片IPMC驱动，用于验证控制方法并验证控制参数对的控制结果的影响。
具体包括如下步骤：
步骤1，建立由IPMC驱动的内窥柔性机械臂的端口哈密顿模型，复合模型包括柔性机械梁结构模块、1片IPMC驱动块(如图4所示)；
步骤2，根据设定的柔性机械臂目标位置，计算对应系统平衡点向量，通过级联与阻尼配置无源控制方法(IDA-PBC)对柔性机械臂设计控制器；
步骤3，根据设定的柔性机械臂目标位置，计算对应系统平衡点向量，计算无源控制参数C′和阻尼参数rc；
步骤4，运用matlab对完成的控制算法进行仿真，最后的控制结果如图6、图7所示.当不使用阻尼注入，即rc＝0时，无源控制参数C′越大，则柔性机械臂达到预期位置越快，但抖振越大。当固定无源控制参数C′时，rc越大，即阻尼注入越大，柔性机械臂的抖振越小。
实施例三
在实施例二的基础上，本申请实施例三提供了一种如图8所示由两片IPMC驱动的基于端口哈密顿建模的离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法。
使用dSPACE软硬件工作平台和计算机(带有Matlab Simulink)，在IPMC驱动模块上生成控制信号U∈[0，7V]，测量值是柔性机械臂的位移和施加到IPMC执行器12上的电压。位移通过KEYENCE公司的激光位移传感器(LK-G152)检测。实施例二对应机械臂类型Ⅱ，由两片IPMC驱动，用于验证控制方法对多个IPMC驱动的机械臂的有效性。
步骤1，建立由IPMC驱动的内窥柔性机械臂的端口哈密顿模型，复合模型包括柔性机械梁结构模块、两片IPMC驱动块(如图8所示)；
步骤2，根据设定的柔性机械臂目标位置，计算对应系统平衡点向量，通过级联与阻尼配置无源控制方法(IDA-PBC)对柔性机械臂设计控制器；
步骤3，根据设定的柔性机械臂目标位置，计算对应系统平衡点向量，计算无源控制参数C′和阻尼参数rc；
步骤4，将设计完成的控制算法从matlab下载到dSPACE软硬件工作平台中，通过该控制环节，对系统进行运动控制。最后的控制结果如图10所示，固定端的驱动器从3秒开始启动，在3秒到15秒之间时，中间端已经达到图7所示目标位置且保持稳定，在15秒时，激活第二个IPMC驱动器，末端最终达到图7所示目标位置，中间端的位移保持不变，其位移只取决于固定端的驱动器。

Claims (7)

1.基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立由离子聚合物金属复合材料驱动的内窥柔性机械臂模型，内窥柔性机械臂模型是柔性机械梁模块和IPMC驱动模块组成的复合物理系统；根据柔性机械梁模块和IPMC驱动模块的状态方程得到复合物理系统的能量方程；
步骤2、通过建立端口哈密顿模型，证明内窥柔性机械臂模型是无源的；整个开环系统保持互联稳定；
步骤3、进一步通过级联与阻尼配置无源控制方法对柔性机械臂设计控制器，预设前馈无源控制参数，将由离子聚合物金属复合材料驱动的内窥柔性机械臂模型无源化；
步骤3.1、首先定义渐近稳定的端口哈密顿目标系统
Figure FDA0003315839270000011
其中Jd、Rd分别是逆转矩阵和对称矩阵；Hd(x)满足以下偏微分方程：
Figure FDA0003315839270000012
上述偏微分方程为匹配条件，其中J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；其中g为复合物理系统的输入矩阵，g⊥是g的满秩零化子，并且哈密顿函数Hd(x)满足条件：
x*＝argminHd(x)
x*为待稳定的目标点，满足复合物理系统的端口哈密顿模型完全渐进稳定的级联与阻尼配置无源控制方法的表达式如下：
Figure FDA0003315839270000013
其中Jd、Rd分别是逆转矩阵和对称矩阵；
步骤3.2、通过级联与阻尼配置无源控制方法对柔性机械臂设计使端口哈密顿目标系统
Figure FDA0003315839270000014
完全渐进稳定的控制器：
Figure FDA0003315839270000015
其中
Figure FDA0003315839270000016
为设定的控制目标向量，
Figure FDA0003315839270000017
φ*、Q*分别是目标角应变、目标磁通量和目标电荷；R1、R2均指IPMC执行器的等效电路电阻矩阵，且R1、R2分别是对角线为r1、r2的对角矩阵；φ为磁通量，Q为电容器的电荷；K是Darcy渗透度；
对分布参数系统进行离散后，步骤2中柔性机械梁模块与IPMC执行器的互连模型内的
Figure FDA0003315839270000021
T、S皆为M离散过后m×m的数值矩阵，
Figure FDA0003315839270000022
Figure FDA0003315839270000023
C′、L′分别是闭环控制系统中的电容参数和电感参数；rc为阻尼参数；
步骤3.3、证明由离子聚合物金属复合材料驱动的内窥柔性机械臂模型具有无源性；
首先定义一个复合物理系统g的满秩零化子g⊥：
Figure FDA0003315839270000024
In是对角线为1的对角矩阵，矩阵维度为n×n；
通过设置Rd＝R+Rc，对复合物理系统进行阻尼注入，Rc＝diag(0 0 rc 0)，rc为阻尼参数；
通过设置Hd(x)＝H(x)+Hc(x)，将步骤3.1中匹配条件写成以下匹配方程式：
Figure FDA0003315839270000025
Figure FDA0003315839270000026
Figure FDA0003315839270000027
从上述匹配条件，复合物理系统所需能量的交叉项在x3、φ和Q之间，假设：
Figure FDA0003315839270000028
Figure FDA0003315839270000029
Figure FDA00033158392700000210
选择以下参数的值满足匹配条件：
Figure FDA00033158392700000211
Figure FDA00033158392700000212
Figure FDA00033158392700000213
Figure FDA00033158392700000214
Figure FDA00033158392700000215
将上述参数代入步骤3.1的无源控制方法的表达式中，得到步骤3.2中设计的控制器表达式；
步骤4、计算无源控制参数C′和阻尼参数rc，最后控制参数K；
无源控制参数C′取值满足条件x*＝argminHd(x)，并且：
Figure FDA0003315839270000031
Hd的黑塞矩阵在期望的平衡点是正定的；
Figure FDA0003315839270000032
Figure FDA0003315839270000033
选择无源控制参数C′满足上式，则步骤3.2设计的使端口哈密顿目标系统
Figure FDA0003315839270000034
Figure FDA0003315839270000035
完全渐进稳定的控制器成立且复合物理系统稳定；
通过控制阻尼参数rc控制对复合物理系统阻尼注入的量，通过增大阻尼参数rc的值来抑制柔性机械臂的抖振；
步骤5、设定完成的控制算法下载到数字信号处理器中，复合物理系统通过IPMC驱动模块两端的电压驱动使IPMC驱动模块发生形变，从而驱动内窥柔性机械臂模型的柔性机械梁模块，进而控制位于柔性机械梁模块内机械臂末端的内窥镜的位置。
2.根据权利要求1所述柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于，步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1、柔性机械梁模块的状态方程使用铁木辛哥梁模型的状态方程，表达如下：
Figure FDA0003315839270000036
上式中，z为空间变量，t为时间变量；w(z，t)是横向位移；
Figure FDA0003315839270000037
是梁的旋转角度；系数ρ是单位质量长度；系数Iρ是横截面的转动惯量；系数E是杨氏弹性模量；系数I是惯性矩横截面；系数K是剪切模量；τ(z，t)是施加于柔性梁的力矩；
步骤1.2、IPMC驱动模块的状态方程由双电层电极模型、电应力扩散模型、机械横梁三种偏微分方程表示；
其中双电层电极的偏微分方程为：
Figure FDA0003315839270000041
上式中，t为时间变量，C2(t)是双电层电容，R1是电极的电阻，R2是聚合电阻，v是电势，i是电流，ε是电极的电阻相对电极表面的虚拟坐标；
电应力扩散模型的偏微分方程为：
Figure FDA0003315839270000042
上式中，z为空间变量，t为时间变量；fs(z，t)为电荷溶胀率，je(z，t)是电流密度，js(z，t)是水流密度，σe是电导率，K是Darcy渗透度，Kz是碰撞模量常数，λ是Onsager耦合常数，G是剪切弹性模量常数。
3.根据权利要求2所述柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于：假定步骤1中IPMC驱动模块和柔性机械梁模块切合，建模时假设IPMC驱动模块的机械梁结构为柔性机械梁模块结构的一部分，此时步骤1.2中机械横梁的偏微分方程与柔性机械梁模块的状态方程一致，均使用铁木辛哥梁模型的状态方程：
Figure FDA0003315839270000043
4.根据权利要求2所述基于离子聚合物金属复合材料柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于，步骤2具体包括以下步骤：
步骤2.1、复合物理系统的柔性机械梁模块被视为季莫申科梁模型，复合物理系统中柔性机械梁模块的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure FDA0003315839270000044
上式中，x(t)为状态变量，并且：
Figure FDA0003315839270000045
Figure FDA0003315839270000051
Figure FDA0003315839270000052
Figure FDA0003315839270000053
Figure FDA0003315839270000054
柔性机械梁模块具有状态变量：剪切应变
Figure FDA0003315839270000055
横向动量分布
Figure FDA0003315839270000056
Figure FDA0003315839270000057
角应变
Figure FDA0003315839270000058
和角动量分布
Figure FDA0003315839270000059
其中z∈(a，b)，a、b分别为空间中柔性机械梁模块内柔性机械臂的两端；t为时间变量，t≥0；w是横向位移；状态空间X＝L2([a，b]；R4)，其中，L2空间是线性空间，状态空间定义在L2空间内，R4表示有四个实数状态变量；逆转算子
Figure FDA00033158392700000510
是一个作用于状态空间X的阶偏对称微分算子；矩阵
Figure FDA00033158392700000511
是耗散矩阵，Rt和Rr分别为平移和角度粘滞分数常数；
柔性机械梁模块的能量表示为：
Figure FDA00033158392700000512
上式中，a、b分别为空间中柔性机械梁模块内柔性机械臂的两端；柔性机械梁模块的分布式位移由IPMC执行器在梁上的产生的分布力矩控制；分布力矩作为分布输入变量：
Figure FDA00033158392700000513
Figure FDA0003315839270000061
上式中，
Figure FDA0003315839270000062
为分布式输入映射，b(z)＝[b1(z)，…，bm(z)]，ud＝[ud1(z)，…，udm(z)]T，m是IPMC驱动器的个数，IPMC驱动器包括固定端驱动器和中端驱动器；分布输出变量是分布输入变量的幂共轭变量：
Figure FDA0003315839270000063
柔性机械梁模块的能量方程为：
Figure FDA0003315839270000064
步骤2.2、复合物理系统的IPMC驱动模块中，IPMC执行器通过改变其电力系统的电压使柔性材料进行形变；IPMC执行器等效为双电层RC电路模型，双电层RC电路模型两端的电压作为控制变量，复合物理系统中IPMC驱动模块的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure FDA0003315839270000065
IPMC驱动模块的总能量定义为磁能和电能
Figure FDA0003315839270000066
状态向量为xa＝[φ，Q]T，其中φ为磁通量，C为电容，Q为电容器的电荷，r1和r2是等效电路电阻，u(t)是在IPMC执行器上施加的电压，ua是由复合物理系统的机械运动产生在IPMC等效电容器的电流，y是电感，ya是IPMC等效电容器两端的电压；
当内窥柔性机械臂模型由m个IPMC驱动器驱动时，所有IPMC驱动器的端口哈密顿模型表达式如下：
Figure FDA0003315839270000067
Im、R1、R2分别是对角线为1、r1、r2的对角矩阵，矩阵维度皆为m×m；φ为磁通量，Q为电容器的电荷；
步骤2.3、复合物理系统的端口哈密顿模型建模：
IPMC执行器弯曲作用在柔性机械梁模块上，IPMC执行器和柔性机械梁模块的互连关系定义为：
Figure FDA0003315839270000071
k＝diag[k1，…，km]，ya为联结作用在柔性机械梁模块的力矩，k是联结作用在柔性机械梁模块的力矩ya的常数系数，柔性机械梁模块与IPMC执行器的互连模型为：
Figure FDA0003315839270000072
复合物理系统的状态向量为x＝(x1 x2 x3 x4 φ Q)T；
Figure FDA0003315839270000073
为复合物理系统中IPMC执行器的互联矩阵和耗散矩阵的差，g为复合系统的输入矩阵，J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；
Figure FDA0003315839270000079
为
Figure FDA00033158392700000710
的共轭矩阵；
则复合物理系统的端口哈密顿模型为：
Figure FDA0003315839270000074
上式中，g(x)是输入矩阵；其中J为能量传递矩阵，R为能量损耗矩阵；u是在IPMC执行器上施加的电压；
复合物理系统的总能量为：
Figure FDA0003315839270000075
步骤2.4、通过端口哈密顿模型证明复合物理系统的无源性步骤为：
将哈密顿函数作为复合物理系统的能量存储函数：
Figure FDA0003315839270000076
Figure FDA0003315839270000077
Figure FDA0003315839270000078
上式中，复合物理系统的流变量f(t)和势变量e(t)的乘积是功率，t为时间变量，
Figure FDA0003315839270000081
为复合物理系统的时变状态变量；
建立复合物理系统的动态方程：
Figure FDA0003315839270000082
上式中，H(t)为复合物理系统的能量存储函数，
Figure FDA0003315839270000083
为复合物理系统的时变状态变量；逆转矩阵J＝-JT表示复合物理系统的能量传递；R表示复合物理系统的内部能量耗散矩阵，R＝RT≥0；B(t)是输入矩阵；u(t)是对耦输入变量，y是对耦输出变量，u(t)和y表示系统和外部环境的能量交互；
将复合物理系统的功率平衡方程表示如下：
Figure FDA0003315839270000084
上式中，H(t)为复合物理系统的能量存储函数，
Figure FDA0003315839270000085
为复合物理系统的时变状态变量；R(t)表示复合物理系统的内部能量耗散矩阵；y(t)是对耦输出变量；u(t)是对耦输入变量；
由于复合物理系统的功率始终小于或者等于复合物理系统无损耗时输入输出的功率，则端口哈密顿模型是无源的，则内窥柔性机械臂模型也是无源的。
5.根据权利要求1所述柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于：步骤1中柔性机械梁模块为柔性梁结构。
6.根据权利要求1所述柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于：步骤3.2中
Figure FDA0003315839270000086
φ*、Q*通过柔性机械臂最终位置反推得到。
7.根据权利要求1所述柔性机械臂的无源控制方法，其特征在于：步骤1中内窥柔性机械臂模型由一片或两片离子聚合物金属复合材料驱动。
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