CN113339460B - 渐摆线少齿差行星齿轮副 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种渐摆线少齿差行星齿轮副，包括：内齿轮以及与所述内齿轮共轭的行星轮；其中，所述内齿轮的齿廓曲线采用凸性渐开线齿廓曲线，根据所述内齿轮的齿廓曲线采用齿廓曲线共轭啮合原理获取所述行星轮的齿廓曲线和啮合线。由此，不仅传动比大、承载能力高、传动效率高，而且渐摆线内齿几何齿形简单易加工，便于一体式齿圈设计，齿形调控参数增加了齿轮副设计的可优化性，啮合过程不易产生根切，且齿轮副重合度大，具有较强的多齿弹性啮合特性与误差均化效应，能够满足高精度与高承载能力的精密传动要求。

Description

渐摆线少齿差行星齿轮副

技术领域

本发明涉及齿轮传动技术领域，具体涉及一种渐摆线少齿差行星齿轮副。

背景技术

少齿差行星齿轮副是行星齿轮传动机构的核心部件，其内外齿轮以相差一至四个齿的特点组成共轭啮合齿轮副，根据几何齿形的不同，主要有摆线与渐开线少齿差行星齿轮副两种传动形式。

摆线针轮少齿差齿轮副作为摆线少齿差传动中广泛应用的齿轮啮合副，具有传动比大、传动精度高、承载能力高、传动效率高、传动机构简单、机构尺寸小、结构紧凑等优点。基于摆线针轮少齿差齿轮副研发的RV减速器一直占据精密传动减速器市场的主导地位。然而，摆线针轮少齿差齿轮副由于针摆啮合特性与结构特点，存在着众多不足之处：针摆啮合角大且压力角变化范围大以致转臂轴承负荷大可靠性低，是整个传动机构的薄弱环节；装配式针齿壳分度精度高以致加工难度高，对传动精度影响大且具有较大的加工装配误差敏感度；在给定几何尺寸条件下，摆线针轮少齿差行星齿轮副齿形调控参数较少，限制了齿轮副几何参数的可优化空间，制约了传动性能的提升。

渐开线少齿差行星齿轮传动虽然可实现单级大传动比，但重合度低、短齿承载能力弱、变位设计复杂繁琐，刚性结构难以满足精密传动要求，这主要是由内齿轮凹性渐开线齿廓曲线与行星轮凸性渐开线齿廓曲线的啮合特性所决定。由于渐开线齿形简单、易加工、成本低的优点，常采用柔性材料进行结构创新增强多齿弹性啮合效应、实现精密传动功能，例如利用柔性齿轮的谐波减速器，然而，谐波传动存在着柔轮易疲劳、寿命短、承载能力差、扭转刚度低等问题，有被RV减速器替代的趋势。

综上所述，摆线与渐开线少齿差行星齿轮副的这些不足之处影响着传动性能提升，逐渐难以满足日益发展的高性能传动要求。

发明内容

本发明为解决上述技术问题，提供了一种渐摆线少齿差行星齿轮副，不仅传动比大、承载能力高、传动效率高，而且渐摆线内齿几何齿形简单易加工，便于一体式齿圈设计，有效解决了摆线针轮装配式针齿壳分度加工难度大与小尺寸抽齿设计性能低的问题，齿形调控参数增加了齿轮副设计的可优化性，啮合过程不易产生根切，且齿轮副重合度大，具有较强的多齿弹性啮合特性与误差均化效应，能够满足高精度与高承载能力的精密传动要求。

本发明采用的技术方案如下：

一种渐摆线少齿差行星齿轮副，包括：内齿轮以及与所述内齿轮共轭的行星轮；其中，所述内齿轮的齿廓曲线采用凸性渐开线齿廓曲线，根据所述内齿轮的齿廓曲线采用齿廓曲线共轭啮合原理获取所述行星轮的齿廓曲线和啮合线。

以给定摆线针轮少齿差行星齿轮副的针轮齿廓曲线为基圆展成目标凸性渐开线，引入曲率调控参数定义基圆半径与渐开线发生线的几何关系，以所述目标凸性渐开线、所述渐开线发生线与所述基圆半径分别构建所述内齿轮的齿廓曲线、中轴线与齿高，并以针齿齿廓参数进行相同参数定义，利用几何坐标变换获得所述凸性渐开线齿廓曲线的方程。

所述目标凸性渐开线的参数方程为：

其中，u为所述目标凸性渐开线的自变量参数，r_z为摆线针轮针齿半径。

所述凸性渐开线齿廓曲线的方程为：

其中，R_z为渐摆线内齿分布圆半径，α为所述曲率调控参数，其中，α＝l/r_z，l为所述渐开线发生线的长度。

所述行星轮的齿廓曲线的参数方程为：

其中，e为所述内齿轮与所述行星轮的偏心距，

为在所述内齿轮转过角度

时所述行星轮转过的角度，其中，

i_ab为在转臂固定不动时，所述内齿轮与所述行星轮的传动比。

所述啮合线的参数方程为：

本发明的有益效果：

本发明不仅传动比大、承载能力高、传动效率高，而且渐摆线内齿几何齿形简单易加工，便于一体式齿圈设计，有效解决了摆线针轮装配式针齿壳分度加工难度大与小尺寸抽齿设计性能低的问题，齿形调控参数增加了齿轮副设计的可优化性，啮合过程不易产生根切，且齿轮副重合度大，具有较强的多齿弹性啮合特性与误差均化效应，能够满足高精度与高承载能力的精密传动要求。

附图说明

图1为本发明实施例的渐摆线少齿差行星齿轮副内齿齿廓曲线的几何成形原理图；

图2a为本发明一个实施例的渐摆线左段齿廓单齿啮合示意图；

图2b为本发明一个实施例的渐摆线右段齿廓单齿啮合示意图；

图3为本发明一个实施例的渐摆线运动包络坐标系；

图4a为本发明一个实施例的曲率调控参数为0.50对应的共轭齿轮副一；

图4b为本发明一个实施例的曲率调控参数为0.50对应的共轭齿轮副二；

图5a为本发明一个实施例的曲率调控参数为0.75对应的共轭齿轮副一；

图5b为本发明一个实施例的曲率调控参数为0.75对应的共轭齿轮副二；

图6a为本发明一个实施例的曲率调控参数为1.00对应的共轭齿轮副一；

图6b为本发明一个实施例的曲率调控参数为1.00对应的共轭齿轮副二；

图7a为本发明一个实施例的曲率调控参数为1.25对应的共轭齿轮副一；

图7b为本发明一个实施例的曲率调控参数为1.25对应的共轭齿轮副二。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

图1是根据本发明实施例的渐摆线少齿差行星齿轮副内齿齿廓曲线的几何成形原理图。

相关技术中，摆线针轮少齿差行星齿轮副针摆啮合角大且压力角变化范围大、齿形调控参数少、可优化性差、装配式针齿壳分度加工难度大与小尺寸抽齿设计性能低，并且渐开线少齿差行星齿轮副重合度低、短齿承载能力弱、变位设计复杂繁琐，刚性结构难以满足精密传动要求。

为此，本发明提出了一种渐摆线少齿差行星齿轮副，不仅传动比大、承载能力高、传动效率高，而且渐摆线内齿几何齿形简单易加工，便于一体式齿圈设计，有效解决了摆线针轮装配式针齿壳分度加工难度大与小尺寸抽齿设计性能低的问题，齿形调控参数增加了齿轮副设计的可优化性，啮合过程不易产生根切，且齿轮副重合度大，具有较强的多齿弹性啮合特性与误差均化效应，能够满足高精度与高承载能力的精密传动要求。

具体地，本发明实施例的渐摆线少齿差行星齿轮副可包括：内齿轮以及与内齿轮共轭的行星轮。其中，内齿轮的齿廓曲线采用凸性渐开线齿廓曲线，根据内齿轮的齿廓曲线采用齿廓曲线共轭啮合原理获取行星轮的齿廓曲线和啮合线。

根据本发明的一个实施例，以给定摆线针轮少齿差行星齿轮副的针轮齿廓曲线为基圆展成目标凸性渐开线，引入曲率调控参数定义基圆半径与渐开线发生线的几何关系，以目标凸性渐开线、渐开线发生线与基圆半径分别构建内齿轮的齿廓曲线、中轴线与齿高，并以针齿齿廓参数进行相同参数定义，利用几何坐标变换获得凸性渐开线齿廓曲线的方程。其中，针齿齿廓参数可包括齿高、齿数与内齿分布圆等。

具体而言，本发明内齿轮的齿廓曲线(渐摆线齿廓曲线)是以给定摆线针轮少齿差行星齿轮副的针轮齿廓曲线为基圆展成目标凸性渐开线并经过坐标变换得到，成形原理如图1所示。引入曲率调控参数α定义实际参与啮合的渐摆线齿廓段，选取渐摆线左段v_k1或右段v_k2形成共轭齿轮副如图2a、2b所示，具体通过坐标变换矩阵M_zq将目标凸性渐开线上点由坐标系s_q(o_qx_qy_q)变换至坐标系s_z(o_zx_zy_z)形成渐摆线内齿齿廓曲线参数方程。其中，x_q、y_q分别为坐标系s_q上的横轴和纵轴坐标，x_z、y_z分别为坐标系s_z上的横轴和纵轴坐标。

其中，以给定摆线针轮少齿差行星齿轮副的针轮齿廓曲线为基圆展成的目标凸性渐开线参数方程为：

其中，u为目标凸性渐开线的自变量参数，r_z为摆线针轮针齿半径(也可为渐摆线齿廓的齿高)。

坐标变换矩阵M_zq为：

其中，α为曲率调控参数，决定形成的渐摆线齿廓范围，其中，α＝l/r_z，l为渐开线发生线的长度，0＜α＜π/2，R_z为渐摆线内齿分布圆半径。

进一步而言，利用坐标变换矩阵M_zq对凸性渐开线进行坐标变换，可得到凸性渐开线齿廓曲线的方程，即渐摆线少齿差行星齿轮副的内齿轮的渐摆线齿廓曲线参数方程，即：

进一步而言，如图3所示，构件1为齿轮副的渐摆线内齿轮，构件2为齿轮副的共轭行星轮，在构件1与构件2的中心分别建立固定坐标系s₁(o_bx₁y₁)、s₂(o_ax₂y₂)与动坐标系s_b(o_bx_by_b)、s_a(o_ax_ay_a)，固定坐标系与箱体固连，动坐标系分别与构件1，2固连。在初始位置，坐标系s₁和s_b重合、s₂和s_a重合。依据所得渐摆线齿廓曲线(凸性渐开线齿廓曲线)参数方程通过坐标变换矩阵M_ba将渐摆线上点由坐标系s_a变换至坐标系s_b，形成行星轮的齿廓曲线的参数方程。同时通过坐标变换矩阵M_1b将渐摆线上点由坐标系s_b变换至坐标系s₁，形成啮合线的参数方程。依据齿廓曲线共轭啮合原理引入啮合线的参数方程并结合上述所得行星轮齿廓方程和啮合线方程求取实际行星轮齿廓坐标以及啮合点坐标，绘制完整的啮合齿轮副。

具体地，在本发明的一个实施例中，根据齿廓共轭啮合基本定理的运动学法，可得到渐摆线少齿差行星齿轮副共轭的啮合方程为：

其中，n_b为共轭曲线在啮合点处的法线矢量，在坐标轴x_b，y_b上的投影分量为：

为齿轮副共轭齿廓曲线在啮合点处的相对运动矢量：

其中，r^(b)为渐摆线内齿齿廓在坐标系s_b中的方程，ω^(b)为渐摆线内齿轮在坐标系s_b中的角速度矢量，

共轭的行星轮在坐标系s_b中的角速度矢量，ω^(a)为共轭的行星轮在坐标系s_a中的角速度矢量，e为径矢

在坐标系s₁中的向量表示。其中，

ω^(b)＝ω_b×k_b，

r^(b)＝x_zi_b+y_zj_b＝(x_q sin α-y_q cos α-r_z)i_b+(x_q cos α+y_q sinα+(α-1)r_z+R_z)j_b，

其中，i_b，j_b，k_b为坐标系s_b中坐标轴x_b，y_b，z_b上的单位矢量。

在本发明的一个实施例中，坐标变换矩阵M_ab为：

由凸性渐开线齿廓曲线的参数方程、啮合方程与坐标变换矩阵M_ab，可得到渐摆线少齿差行星齿轮副的共轭行星轮的齿廓曲线的参数方程如下：

其中，e为内齿轮与行星轮的偏心距，

为在内齿轮转过角度

时行星轮转过的角度，其中，

(i_ab为在转臂固定不动时，内齿轮与行星轮的传动比，即z_b/z_a，z_b为内齿轮的齿数，z_a为行星轮的齿数)。

在本发明的一个实施例中，坐标变换矩阵M_1b为：

由凸性渐开线齿廓曲线的参数方程、啮合方程与坐标变换矩阵M_1b，可得到渐摆线少齿差行星齿轮副的啮合线参数方程为：

在本发明的一个具体实施例中，渐摆线少齿差行星齿轮副的具体设计参数为：内齿轮齿数z_b＝12；行星轮齿数z_a＝11；内齿齿高r_z＝10；偏心距e＝4；内齿分布圆半径R_z＝90、；曲率调控参数α分别取：0.50、0.75、1.00和1.25。根据渐摆线少齿差行星齿轮副的具体设计参数，并依据上述实施方法，可得到：

以给定基圆展成的目标凸性渐开线参数方程为：

经过坐标变换得到的渐摆线齿廓曲线参数方程为：

与渐摆线齿廓曲线共轭的行星轮的齿廓曲线参数方程为：

渐摆线少齿差行星齿轮副的啮合线参数方程为：

进一步而言，在给定渐摆线少齿差行星齿轮副的内齿轮齿数z_b＝12、行星轮齿数z_a＝¹¹、内齿齿高r_z＝10、偏心距e＝4、内齿分布圆半径R_z＝90后，曲率调控参数α分别取0.50、0.75、1.00、1.25时，每个曲率调控参数α对应两端不同的齿轮渐摆线齿廓曲线，具体包括左段渐摆线齿廓曲线v_k1和右段渐摆线齿廓曲线v_k2，继而可得到两对不同的渐摆线少齿差行星齿轮副，由于在本实施例中，曲率调控参数α分别取0.50、0.75、1.00、1.25四个参数，则共可得到四组(八对)不同的渐摆线少齿差行星齿轮副，八对齿轮副的内齿轮齿数z_b，行星轮齿数z_a，内齿齿高r_z，偏心距_e，内齿分布圆半径R_z完全相同，不同的是渐摆线齿廓曲线及其共轭啮合的行星轮的齿廓曲线。

其中，渐摆线少齿差行星齿轮副的具体设计参数为内齿轮齿数z_b＝12、行星轮齿数z_a＝11、内齿齿高r_z＝10、偏心距e＝4、内齿分布圆半径R_z＝90、曲率调控参数α＝0.50时，可得到相应的两对不同的渐摆线少齿差行星齿轮副如图4a和4b所示；渐摆线少齿差行星齿轮副的具体设计参数为内齿轮齿数z_b＝12、行星轮齿数z_a＝11、内齿齿高r_z＝10、偏心距e＝4、内齿分布圆半径R_z＝90、曲率调控参数α＝0.75时，可得到相应的两对不同的渐摆线少齿差行星齿轮副如图5a和5b所示；渐摆线少齿差行星齿轮副的具体设计参数为内齿轮齿数z_b＝12、行星轮齿数z_a＝11、内齿齿高r_z＝10、偏心距e＝4、内齿分布圆半径R_z＝90、曲率调控参数α＝1.00时，可得到相应的两对不同的渐摆线少齿差行星齿轮副如图6a和6b所示；渐摆线少齿差行星齿轮副的具体设计参数为内齿轮齿数z_b＝12、行星轮齿数z_a＝11、内齿齿高r_z＝10、偏心距e＝4、内齿分布圆半径R_z＝90、曲率调控参数α＝1.25时，可得到相应的两对不同的渐摆线少齿差行星齿轮副如图7a和7b所示。

由此，本发明是一种基于凸性渐开线内齿齿廓曲线的渐摆线少齿差行星齿轮副，内齿齿廓曲线采用凸性渐开线，是以给定摆线针轮少齿差行星齿轮副的针轮齿廓曲线为基圆展成并经过坐标变换获得，明显不同于渐开线少齿差行星传动的凹性渐开线内齿，齿轮副的行星轮齿廓曲线与渐摆线是基于摆线针轮少齿差行星传动包络运动关系的点啮合共轭曲线，啮合线为近似半圆的曲线。该齿轮副继承了摆线针轮少齿差行星齿轮副传动比大、承载能力高、传动效率高等传动优势，同时，渐摆线内齿几何齿形简单易加工，便于一体式齿圈设计，解决了摆线针轮装配式针齿壳分度加工难度大与小尺寸抽齿设计性能低的问题，且齿形调控参数增加了齿轮副设计的可优化性；啮合过程不易产生根切，且齿轮副重合度大，具有较强的多齿弹性啮合特性与误差均化效应，能够满足高精度与高承载能力的精密传动要求，解决了渐开线少齿差行星齿轮副重合度低、短齿承载能力弱、变位设计复杂繁琐的问题与刚性结构难以满足精密传动要求的限制。因此，基于凸性渐开线内齿齿廓曲线的渐摆线少齿差行星齿轮副在高性能齿轮传动方面具有广阔的应用前景。

综上所述，根据本发明实施例的渐摆线少齿差行星齿轮副，渐摆线少齿差行星齿轮副的内齿轮的齿廓曲线采用凸性渐开线齿廓曲线，根据内齿轮的齿廓曲线采用齿廓曲线共轭啮合原理获取渐摆线少齿差行星齿轮副的行星轮的齿廓曲线和啮合线。由此，不仅传动比大、承载能力高、传动效率高，而且渐摆线内齿几何齿形简单易加工，便于一体式齿圈设计，有效解决了摆线针轮装配式针齿壳分度加工难度大与小尺寸抽齿设计性能低的问题，齿形调控参数增加了齿轮副设计的可优化性，啮合过程不易产生根切，且齿轮副重合度大，具有较强的多齿弹性啮合特性与误差均化效应，能够满足高精度与高承载能力的精密传动要求。

在本发明的描述中，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”、“固定”等术语应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或成一体；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通或两个元件的相互作用关系。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，第一特征在第二特征“上”或“下”可以是第一和第二特征直接接触，或第一和第二特征通过中间媒介间接接触。而且，第一特征在第二特征“之上”、“上方”和“上面”可是第一特征在第二特征正上方或斜上方，或仅仅表示第一特征水平高度高于第二特征。第一特征在第二特征“之下”、“下方”和“下面”可以是第一特征在第二特征正下方或斜下方，或仅仅表示第一特征水平高度小于第二特征。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不必针对相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。此外，在不相互矛盾的情况下，本领域的技术人员可以将本说明书中描述的不同实施例或示例以及不同实施例或示例的特征进行结合和组合。

流程图中或在此以其他方式描述的任何过程或方法描述可以被理解为，表示包括一个或更多个用于实现特定逻辑功能或过程的步骤的可执行指令的代码的模块、片段或部分，并且本发明的优选实施方式的范围包括另外的实现，其中可以不按所示出或讨论的顺序，包括根据所涉及的功能按基本同时的方式或按相反的顺序，来执行功能，这应被本发明的实施例所属技术领域的技术人员所理解。

在流程图中表示或在此以其他方式描述的逻辑和/或步骤，例如，可以被认为是用于实现逻辑功能的可执行指令的定序列表，可以具体实现在任何计算机可读介质中，以供指令执行系统、装置或设备(如基于计算机的系统、包括处理器的系统或其他可以从指令执行系统、装置或设备取指令并执行指令的系统)使用，或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用。就本说明书而言，“计算机可读介质”可以是任何可以包含、存储、通信、传播或传输程序以供指令执行系统、装置或设备或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用的装置。计算机可读介质的更具体的示例(非穷尽性列表)包括以下：具有一个或多个布线的电连接部(电子装置)，便携式计算机盘盒(磁装置)，随机存取存储器(RAM)，只读存储器(ROM)，可擦除可编辑只读存储器(EPROM或闪速存储器)，光纤装置，以及便携式光盘只读存储器(CDROM)。另外，计算机可读介质甚至可以是可在其上打印所述程序的纸或其他合适的介质，因为可以例如通过对纸或其他介质进行光学扫描，接着进行编辑、解译或必要时以其他合适方式进行处理来以电子方式获得所述程序，然后将其存储在计算机存储器中。

应当理解，本发明的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。在上述实施方式中，多个步骤或方法可以用存储在存储器中且由合适的指令执行系统执行的软件或固件来实现。例如，如果用硬件来实现，和在另一实施方式中一样，可用本领域公知的下列技术中的任一项或他们的组合来实现：具有用于对数据信号实现逻辑功能的逻辑门电路的离散逻辑电路，具有合适的组合逻辑门电路的专用集成电路，可编程门阵列(PGA)，现场可编程门阵列(FPGA)等。

本技术领域的普通技术人员可以理解实现上述实施例方法携带的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件完成，所述的程序可以存储于一种计算机可读存储介质中，该程序在执行时，包括方法实施例的步骤之一或其组合。

此外，在本发明各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个模块中。上述集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。

上述提到的存储介质可以是只读存储器，磁盘或光盘等。尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (1)

1.一种渐摆线少齿差行星齿轮副，其特征在于，包括：内齿轮以及与所述内齿轮共轭的行星轮；其中，

所述内齿轮的齿廓曲线采用凸性渐开线齿廓曲线，根据所述内齿轮的齿廓曲线采用齿廓曲线共轭啮合原理获取所述行星轮的齿廓曲线和啮合线，其中，

以给定摆线针轮少齿差行星齿轮副的针轮齿廓曲线为基圆展成目标凸性渐开线，引入曲率调控参数定义基圆半径与渐开线发生线的几何关系，以所述目标凸性渐开线、所述渐开线发生线与所述基圆半径分别构建所述内齿轮的齿廓曲线、中轴线与齿高，并以针齿齿廓参数进行相同参数定义，利用几何坐标变换获得所述凸性渐开线齿廓曲线的方程，其中，所述目标凸性渐开线的参数方程为：

，

其中，

为所述目标凸性渐开线的自变量参数，

为摆线针轮针齿半径，其中，所述凸性渐开线齿廓曲线的方程为：

，

其中，

为渐摆线内齿分布圆半径，

为所述曲率调控参数，其中，

，

为所述渐开线发生线的长度，其中，所述行星轮的齿廓曲线的参数方程为：

，

其中，

为所述内齿轮与所述行星轮的偏心距，

为在所述内齿轮转过角度

时所述行星轮转过的角度，其中，

，

为在转臂固定不动时，所述内齿轮与所述行星轮的传动比，其中，所述啮合线的参数方程为：

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