CN113296535B - 一种基于随机模型预测控制的卫星编队重构算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于随机模型预测控制的卫星编队重构算法，主要包括基于二体假设，将多颗卫星编队重构问题转换为单参考星‑单环绕星问题；通过确定初始构型与目的构型完成初始状态与目标状态确定；运用带扰动反馈的模型预测控制算法对该编队模型进行重构；运用分布式随机模型预测控制理论对问题进行凸优化重构；该算法可以在只知道外部摄动均值和方差的情况下，将原问题转换为可计算的凸优化问题，且保证了系统稳定性。能够允许系统在一定范围内在满足约束与系统性能之间进行权衡，使控制系统的保守性大大降低。保证了算法的可行性与稳定性。本文利用松弛变量与精确罚函数法处理约束，以保证了该算法的迭代可行性。

Description

一种基于随机模型预测控制的卫星编队重构算法

技术领域

本发明涉及卫星编队技术领域，尤其涉及一种基于随机模型预测控制的卫 星编队重构算法。

背景技术

上世纪末，随着电子技术、自动控制、干涉成像、多孔径雷达及导航定位 等技术的发展，卫星能实现的功能越来越强大，应用也越来越广泛，很多地面 上无法或者难以进行的技术都通过空间技术得到了快速发展。但是，随着航空 航天工业技术的快速发展，对卫星及其功能的要求越来越高。功能的复杂性， 使得传统单个大卫星结构复杂，质量增高，风险变大，研制周期及成本也大幅 增加。制造和发射几颗小型卫星比一颗大卫星也更加便宜。于是，上世纪末， 小卫星编队飞行技术进入了人们的视野。以美国宇航局和欧洲航天局为代表的 航空航天研究机构都已对其进行了广泛的研究和实验。日前，卫星编队飞行已被确定为美国宇航局和美国空军未来飞行任务的扶持技术之一。其中，编队卫 星队形重构技术已被AFRL(Air Force Research Laboratory)和NASA(National Aeronautics andSpace Administration)领导的研究小组确定为卫星编队六项关键 技术之一[1][2]。当卫星群的当前空间构型不再满足新的任务需求时，就需要对 其进行队形重构，使其从当前队形移动到新的队形。这种可以改变卫星群几何 形状的思想，为卫星编队飞行任务提供了灵活性，对卫星编队飞行的空间任务 具有十分重要的意义。在以上背景下，建立了一个考虑外界摄动(包括可建模 描述的摄动项与不可建模描述的不确定性偏差，可能无界)的卫星编队队形重 构问题。

在过去，卫星编队重构的扰动通常为已知分布规律或者不知分布规律但有 界的扰动。2010年，胡敏等人在考虑外部有限引力扰动的情况下，给出了沿航 行轨迹和垂直航行轨迹方向的冲量控制策略，考虑的是有界扰动[3]。2013年， Scheweighart等人，在考虑外部J2摄动的情况下，精准地推出了推导出带有J2 扰动的C-W动力学方程，并求出该动力学模型在特定条件下的解析解，考虑的 是已知分布规律的扰动[4]。然而在现实情况中，还存在很多未知分布的不可建 模的扰动，甚至可能无界的外部扰动影响编队重构过程，例如太阳摄动，地球 不规则的万有引力影响等。以往学术界关于线性系统中的无界扰动未能得到突 破性的进展，导致卫星编队重构的扰动研究相对简单，只可分析有界或者可建 模描述的已知分布的卫星编队重构。随着近几年对无界扰动研究的深入，2014 年MarcelloFarina等人研究了无界扰动下的带输出反馈的随机模型预测控制，并 对稳定性与迭代可行性进行了详细证明[5]。2017年Joel A.Paulson等人研究了 无界扰动下的带扰动反馈的随机模型预测控制，同样证明了稳定性和可行性[6]。 这些研究为卫星编队重构不可建模扰动部分的研究提供了理论支撑，可以使卫 星编队重构研究更贴近真实情况。

目前的研究均还未对不可建模部分进行深入研究，本发明为了解决以上的 问题，提供了无界扰动下带扰动反馈的随机模型预测控制算法，为处理卫星编 队的无界不可建模的扰动提供了理论支持，且使得卫星编队重构建模更加贴近 真实情况。

发明内容

本发明的目的是要提供一种基于随机模型预测控制的卫星编队重构算法。

为达到上述目的，本发明是按照以下技术方案实施的：

本发明包括以下步骤：

S1：基于二体假设，将多颗卫星编队重构问题转换为单参考星-单环绕星问 题；

S2：通过确定初始构型与目的构型完成初始状态与目标状态确定；

S3：运用带扰动反馈的模型预测控制算法对该编队模型进行重构；

S4：运用分布式随机模型预测控制理论对步骤S1的问题进行凸优化重构；

S5：对算法的可行性与稳定性进行了进一步验证；

S6：对算法下的卫星编队重构进行仿真分析，并与模型预测控制算法进行 对比，分析了两种控制方法的优缺点以及各自使用情况。

本发明的有益效果是：

本发明是一种基于随机模型预测控制的卫星编队重构算法，与现有技术相 比，本发明具有如下技术效果

1.与具有处理系统不确定性偏差的能力。以往研究主要针对有界摄动或可 表达的外部摄动进行研究处理，在本文中，根据分布式鲁棒思想，提出了一种 可以处理不可表达的不确定性偏差的随机模型预测控制算法。该算法可以在只 知道外部摄动均值和方差的情况下，将原问题转换为可计算的凸优化问题，且 保证了系统稳定性。

2.考虑扰动反馈作用下的联合输入约束。常用在线优化算法的反馈形式通 常为状态反馈，本文由于状态反馈增益随时间推移为乘积形式，而这将导致算 法非凸性，于是转换为解集与状态反馈等价的扰动反馈控制策略。

3.运用机会约束提高系统性能。当系统不确定偏差过大或者可能无界时， 可以考虑机会约束，作为处理无界偏差的有效方法，机会约束允许一定概率意 义上不满足约束，这种思想能够允许系统在一定范围内在满足约束与系统性能 之间进行权衡，使控制系统的保守性大大降低。

4.保证了算法的可行性与稳定性。本文利用松弛变量与精确罚函数法处理 约束，以保证了该算法的迭代可行性。同时，利用漂移定义对算法稳定性进行 了验证。

附图说明

图1是本发明三颗从星与目标位置和目标加速度的误差图；

图2是本发明的卫星1000次蒙特卡洛编队重构轨迹；

图3是本发明的卫星三空间及各个平面末端端点分布图；

图4是本发明的卫星三10％置信区间图；

图5是本发明的MPC方法的卫星三空间及各个平面末端端点分布图；

图6是本发明的MPC方法卫星三10％置信区间图；

图7是本发明的SMPC与MPC距离变化对比图；

图8是本发明的SMPC与MPC加速度变化对比图；

图9是本发明的SMPC与MPC单步燃料消耗对比图；

图10是本发明的预测步数对三颗卫星编队重构相对距离误差的影响；

图11是本发明的预测步数对编队重构总位置误差的影响；

图12是本发明的扰动方差对单步燃料消耗的影响；

图13是本发明的扰动方差对第三颗卫星位置及速度误差的影响。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步描述，在此发明的示意性 实施例以及说明用来解释本发明，但并不作为对本发明的限定。

首先，基于二体假设，将多颗卫星编队重构问题转换为单参考星-单环绕星 问题。在地心赤道惯性坐标系中，建立了动力学角度下的低轨道相对运动方程， 并通过绝对导数与相对导数的关系，将其转化为主星质心相对运动轨道坐标系 下的Hill方程相对运动学模型，完成空间卫星编队重构相对动力学方程的建立， 在此模型基础上，为应对外界摄动(包括可建模描述的摄动项与不可建模描述 的不确定性偏差，可能无界)等不可抗因素，将扰动考虑为无界摄动。

其中

是主卫星环绕地球飞行的平均运动速率，式中 μ＝3.986×10¹⁴m³/s²为地心引力常数，a为轨道六要素得主星长半轴。

x,

y,

z为 从星相对于主星中的位置与加速度，u为从星推力阀输入，w为其他外部摄动(如 可建模描述的摄动项与不可建模描述的不确定性偏差)相对于推力阀的加速度， j则用于区分多颗从星。上式要求主从星之间的距离大大小于主星与地球的距离， 则忽略二阶及二阶以上的小量得到如上方程式。

其次，通过确定初始构型与目的构型完成初始状态与目标状态确定，构型均 采用空间圆形编队，使用如下方程式推导状态：

x²+y²+z²＝r₁ ²

其中，r₁为空间圆形编队半径。在卫星编队重构问题中，希望在第N步后， 卫星能够以期望的相对速度使跑到期望的位置，完成初始队形与目标队形的转 换。并且，为了提高卫星使用寿命，还需要充分考虑燃料消耗的问题。因此， 为了提高控制精度降低编队成本，可将实际状态与目标状态之间的误差与能量 的消耗量作为卫星编队重构的性能指标，即：

E为求取均值，N为预测步数，其中

为目标状态，q∈R^n×n，r∈R^m×m为已 知正定矩阵，分别表示状态与输入的惩罚因子，可根据情况进行调整。q_N为李 雅普诺夫方程的解。

还需要考虑输入阀上限与卫星运行的加速度上限等约束：

u_min≤_ju≤u_max(j＝1,2,3)

a^T _jx≤b(j＝1,2,3)

假设推力最小阈值为u_min，最大阈值为u_max，加速度上限为b，b∈R^a。其中 a^T∈R^a×n为取出速度的系数，数值如下所示：

以此建立了卫星编队队形重构问题模型如下：

s.t._jx_t+1＝A_jx_t+B_ju_t+G_jw_t

_ju≤u_max,-_ju≤u_min

a^T _jx≤b

第二部分，运用带扰动反馈的模型预测控制算法对该编队模型进行重构。 定义状态、输入与摄动的紧凑模式如下所示：

则问题模型可转换为如下形式：

J＝minE{||_jx-_jx^ref||_Q+||_ju||_R}

s.t._jx＝A_jx_t+B_ju+DG_jw

H_1ju≤h_max,H_2ju≤h_min

a^T _jx≤b

其中，H₁，H₂，h_max，h_min，a₁及b如下所示：

定义扰动反馈形式如下：

_ju＝_jMG_jw+_jv

其中，_jM，_jv为优化变量，具体形式如下所示：

_jv＝_j[v₀…v_N-1]

则问题可转换为如下形式：

J＝minE{||A_jx_t+B_jv+(B_jMG+DG)_jw-_jx^ref||_Q+||_jMG_jw+_jv||_R}

s.t._jx＝A_jx_t+B_jv+(B_jMG+DG)_jw

(H_1jv-h_max)+H_1jMG_jw≤0,(H_2jv-h_min)+H_2jMG_jw≤0

(a^TA_jx_t+a^TB_jv-b)+(a^TB_jMG+a^TDG)_jw≤0

第三部分运用分布式随机模型预测控制理论对上述问题进行凸优化重构。

首先运用分布式理论提出了扰动分布集，用以解决只知道扰动均值和方差， 而不知道扰动分布的具体情况。假设E[_jw_t]＝_jμ₀为扰动均值，Σ[_jw_t]＝_jΣ₀为扰 动方差，均已知，在实际情况中，文章可以假设均值为零，且不失一般性。P为 满足扰动已知性质的分布，而P包含所有分布P的集合，具体定义如下：

其中，

表示克罗内克积。

然后运用布尔不等式及切比雪夫定理将约束转换为凸优化形式，转换后的 联合输入约束及单机会约束如下：

最后，将目标函数进行拆分转换，将上述非凸问题转换为下述凸优化问题：

J＝min(A_jx_t+B_jv-_jx^ref)^TQ(A_jx_t+B_jv-_jx^ref) +tr[Q(B_jMG+DG)_j∑(B_jMG+DG)^T] +_jv^TR_jv+tr(R_jMG_j∑G^T _jM^T)

第三部分，对该算法的可行性与稳定性进行了进一步验证。

第四部分，对该算法下的卫星编队重构进行仿真分析，并与模型预测控制 算法进行对比，分析了两种控制方法的优缺点以及各自使用情况。

表1算法可行性及约束违反情况统计

表1列出了该算法可行性及约束违反情况的统计表，由表可知，该算法能 够在规定的约束违反概率内保证系统可行性与稳定性(违反概率为10％)，完成 编队重构任务。

表2约束上限对算法可行性及约束违反情况影响

表2显示了约束上限对分布式随机模型预测控制算法的约束违反情况的影 响。由表可知，随着联合输入约束上限的增大，该算法的联合输入约束满足次 数不断增加。经理论分析，约束上限的增加，会减少约束违反次数，同理，约 束满足次数也会不断增加。

如图1所示：图1中(a)三颗从星与目标位置，(b)三颗从星与目标加速 度；由图可知，重构开始不久之后，三颗从星均到达了目标轨道的位置与目标 轨道的加速度，误差极小。

如图2所示：由图可知，在1000次仿真中，三颗卫星均未发生发散状况， 均可按规定方向跑到目标点，其中，与目标点的误差大小受多方面因素影响， 具体情况在后文进行详细分析。

如图3所示：示出了卫星三的空间及各个平面中1000次蒙特卡洛仿真的末 端端点分布图，其中，五角星表示目标终点。

如图4所示：示出了卫星三编队重构的1000次蒙特卡洛仿真与各个平面上 10％置信区间图形。由图可知，1000次编队重构仿真均在一定误差范围内分布 在终点附近，未出现发散情况。

如图5所示：示出了卫星三在模型预测控制算法下的空间及各个平面中1000 次蒙特卡洛仿真的末端端点分布图，其中，五角星表示目标终点。

如图6所示：示出了卫星三在模型预测控制算法下编队重构的1000次蒙特 卡洛仿真与各个平面上10％置信区间图形。由图可知，分布式随机模型预测控 制算法可以在处理无界摄动时与目标点的误差近似于模型预测控制算法处理有 界摄动时的误差。

如图7所示：示出了三颗从星在分布式随机模型预测控制算法与模型预测 控制算法下距离目标点的大小变化情况，

如图8所示：示出了三颗从星在这两种算法下距离目标速度大小的变化情 况。由图可知，分布式随机模型预测控制算法可以在克服无界摄动情况下与模 型预测控制克服有界摄动情况相同，达到目标位置与目标速度，且在此基础上， 前者明显比后面反应速度更快。

如图9所示：示出了三颗从星在分布式随机模型预测控制算法与模型预测 控制算法下每一步总燃油消耗大小与每颗从星燃油消耗大小。由图可知，前者 单步消耗燃油量明显大大小于后者单步燃油消耗量。

如图10所示：示出了编队重构过程中预测步数对三颗从星之间相对距离的 误差影响，(a)为卫星一、(b)为卫星二、(c)为卫星三，不带标记的实线表示 了从星与从星之间相对距离的目标值。由图可知，随着预测步数的增大，与相 对距离的目标值误差越来越小。

如图11所示：示出了编队重构过程中预测步数对三颗卫星当前位置与目标 位置误差的影响，由图可知，随着预测步数的增大，当前位置与目标位置的误 差越来越小。

如图12所示：示出了卫星编队重构过程中，摄动方差对单步燃料消耗的影 响。由图可知，随着扰动方差的增大，单步燃料消耗量也随之增大。由理论研 究可知，随着扰动方差的增大，摄动波动大，使得该算法克服扰动所需代价增 大，因此单步燃料消耗量也更加的大。

如图13所示：示出了卫星编队重构稳定后，摄动方差对第三颗从星与目标 位置的误差及目标速度误差的影响。由图可知，卫星编队重构过程稳定后，随 着摄动方差的增大，第三颗从星与目标位置的误差越来越大，稳定性越来越差。 同理，由图可知，随着摄动方差的增大，第三颗从星在目标速度附近的稳定性 越来越差。摄动方差的增大，使得系统的稳定性能也减小。

本发明的技术方案不限于上述具体实施例的限制，凡是根据本发明的技术 方案做出的技术变形，均落入本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于随机模型预测控制的卫星编队重构算法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：基于二体假设，将多颗卫星编队重构问题转换为单参考星-单环绕星问题；在地心赤道惯性坐标系中，建立动力学角度下的低轨道相对运动方程，并通过绝对导数与相对导数的关系，将其转化为主星质心相对运动轨道坐标系下的Hill方程相对运动学模型，完成空间卫星编队重构相对动力学方程的建立，在此模型基础上，为应对外界摄动因素，将扰动考虑为无界摄动：

其中

是主卫星环绕地球飞行的平均运动速率，式中μ＝3.986×10¹⁴m³/s²为地心引力常数，a为轨道六要素的主星长半轴；

为从星相对于主星中的位置与加速度，u为从星推力阀输入，w为其他外部摄动相对于推力阀的加速度，j则用于区分多颗从星；

S2：通过确定初始构型与目的构型完成初始状态与目标状态确定；构型均采用空间圆形编队，使用如下方程式推导状态：

x²+y²+z²＝r₁ ²

其中，r₁为空间圆形编队半径；

将实际状态与目标状态之间的误差与能量的消耗量作为卫星编队重构的性能指标，即：

E为求取均值，N为预测步数，其中

为目标状态，q∈R^n×n，r∈R^m×m为已知正定矩阵，分别表示状态与输入的惩罚因子，可根据情况进行调整；q_N为李雅普诺夫方程的解；

还需要考虑输入阀上限与卫星运行的加速度上限约束：

g^T _jx≤b,j＝1,2,3

u_min≤_ju≤u_max,j＝1,2,3

设推力最小阈值为u_min，最大阈值为u_max，加速度上限为b，b∈R^a；其中g^T∈R^a×n为取出速度的系数，数值如下所示：

以此建立了卫星编队队形重构问题模型如下：

s.t._jx_t+1＝A_jx_t+B_ju_t+G_jw_t

_ju≤u_max,-_ju≤u_min

g^T _jx≤b

j＝1,2,3

S3：运用带扰动反馈的模型预测控制算法对该编队模型进行重构；定义状态、输入与摄动的紧凑模式如下所示：

则问题模型可转换为如下形式：

J＝min E{||_jx-_jx^ref||_Q+||_ju||_R}

s.t._jx＝A_jx_t+B_ju+DG_jw

H_1ju≤h_max,H_2ju≤h_min

g^T _jx≤b

j＝1,2,3

其中，H₁，H₂，h_max，h_min，g^T及b如下所示：

定义扰动反馈形式如下：

_ju＝_jMG_jw+_jv

其中，_jM，_jv为优化变量，具体形式如下所示：

_jv＝_j[v₀…v_N-1]

则问题可转换为如下形式：

J＝min E{||A_jx_t+B_jv+(B_jMG+DG)_jw-_jx^ref||_Q+||_jMG_jw+_jv||_R}

s.t._jx＝A_jx_t+B_jv+(B_jMG+DG)_jw

(H_1jv-h_max)+H_1jMG_jw≤0,(H_2jv-h_min)+H_2jMG_jw≤0

(g^TA_jx_t+g^TB_jv-b)+(g^TB_jMG+g^TDG)_jw≤0

j＝1,2,3

S4：运用分布式随机模型预测控制理论对步骤S1的问题进行凸优化重构；首先运用分布式理论提出了扰动分布集，用以解决只知道扰动均值和方差，而不知道扰动分布的具体情况；设E[_jw_t]＝_jμ₀为扰动均值，Σ[_jw_t]＝_jΣ₀为扰动方差，均已知，在实际情况中，设均值为零，且不失一般性，P为满足扰动已知性质的分布，而P包含所有分布P的集合，具体定义如下：

P＝{P:E_[P][_jw]＝_jμ，E_[P][(_jw-_jμ)(_jw-_jμ)^T]＝_jΣ}

其中，

表示克罗内克积；

然后运用布尔不等式及切比雪夫定理将约束转换为凸优化形式，转换后的联合输入约束及单机会约束如下：

最后，将目标函数进行拆分转换，将非凸问题转换为下述凸优化问题：

J＝min(A_jx_t+B_jv-_jx^ref)^TQ(A_jx_t+B_jv-_jx^ref)+tr[Q(B_jMG+DG)_j∑(B_jMG+DG)^T]+_jv^TR_jv+tr(R_jMG_j∑G^T _jM^T)

s.t.

j＝1,2,3

S5：对算法的可行性与稳定性进行了进一步验证；

S6：对算法下的卫星编队重构进行仿真分析，并与模型预测控制算法进行对比，分析了两种控制方法的优缺点以及各自使用情况。

Images