CN113242425A - 面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，包括如下步骤：S1，由N个节点V与一组ε个边组成的无向图G，描述图的拓扑；S2，定义一个信号x在无向图G上映射：V→R，将每个节点与一个实数联系起来；S3，导出微扰特征值或特征向量对的近似封闭表达式；S4，对拓扑不确定性下的图信号分析；S5，对采样集量化，并对采样图信号重构；S6，基于贪婪算法的节点速率分配，实现对采样集的最优速率分配。本发明使量化信号值的信号恢复误差最小化。实验结果表明，所提出的解决方案总能获得比均匀速率分配更好的性能。

Description

面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法

技术领域

本发明属于图信号处理技术领域，具体的说是涉及一种面向小扰动带限 图信号的采样集的最优速率分配方法。

背景技术

图的边缘可以描述物理节点之间的真实互联，图信号被定义为顶点域到 实域的映射；图信号处理依赖于图拓扑；例如无向图的图傅里叶变换(GFT) 是将信号投影到由图拉普拉斯矩阵的特征向量生成的空间上的算子。然而如 果图拓扑不确定的，或者近似已知，那么拉普拉斯特征向量空间是不确定的， 频域空间的投影也变的不确定。在图信号采样中，主要任务之一是选择一个 节点子集即采样集，使图信号只在采样集中被观察到，而在其他所有节点上 的值都被插值。

然而，许多物理分布是网络(如传感器网络)中的节点通常收到能量约 束和有限的通信带宽的限制，在数据可以传输到一个集中节点进行进一步处 理之前，需要进行量化，但是，以往大多数关于图信号采样的工作都没有明 确考虑每个节点(传感器)位置上采样数据的量化的影响。

ZL2020104749236公开了一种基于滤波器的带限图信号采样方法，此采样 方法利用盖尔圆盘定理估计矩阵最小特征值的下限，利用近似滤波器得到低 复杂度的重建方法，利用盖尔圆盘定理估计矩阵最小特征值的下限，用近似 滤波器得到低复杂度的重建方法，但是这种采样方法的计算较为复杂，容易 产生误差影响采样结果。

ZL2016100496010公开了一种基于压缩感知的图像亚奈奎斯特采样方法， 该采样方法结合了压缩感知理论和图像信号的频谱特点，当信号的带宽较宽， 频谱占有率较低时，此采样方法能够在具体非零频段的位置未知的情况下以 远低于奈奎斯特速率的采样率对信号进行无失真压缩采样，但此种采样方法 需测量矩阵维数过大且重构阶段复杂，并非是最优的采样方法。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提供了一种面向小扰动带限图信号的采样集 的最优速率分配方法，使量化信号值的信号恢复误差最小化，实验结果表明， 所提出的解决方案总能获得比均匀速率分配更好的性能。

为了达到上述目的，本发明是通过以下技术方案实现的：

本发明是一种面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，该最优 分配方法包括如下步骤：

S1，由N个节点V与一组ε个边组成的无向图G，定义A为邻接矩阵， 定义D为节点度的对角矩阵，定义L为拉普拉斯矩阵，拉普拉斯矩阵为节点 度的对角矩阵与邻接矩阵的差值即L＝D-A，描述图的拓扑，对其特征分解为 L＝UΛU^T,其中U为列向量为特征向量u_i；

S2，定义一个信号x在无向图G上映射：V→R，将每个节点与一个实数 联系起来，对于无向图上的图信号，向量x的图傅里叶变换

被定义为x 在由拉普拉斯矩阵的特征向量生成的空间上的投影：

S3，不在封闭形式下找到精确的扰动，而是在具有多个边缘扰动先验概 率的情况下，导出微扰特征值或特征向量对的近似封闭表达式，其中特征值 最小为零，多重度为1；

S4，对拓扑不确定性下的图信号分析，将图傅里叶变换观测的信号向量 投影到拉普拉斯矩阵特征向量生成的空间上；

S5，对采样集量化，并对采样图信号重构；

S6，基于贪婪算法的节点速率分配，实现对采样集的最优速率分配，考 虑到采样集中顶点的速率分配问题，其中每个顶点都假定使用具有不同速率 的统一量化器。

本发明的有益效果是：本发明使量化信号值的信号恢复误差最小化，所 提出的解决方案总能获得比均匀速率分配更好的性能。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为随机Erdos-Renyi图(RERG)边缘连接概率和所有权值等于1，扰动 概率为0.002，节点数为500，采样集大小为50，总速率不同的有效采样和 随机采样的仿真比较图。

图3为随机Erdos-Renyi图(RERG)边缘连接概率和所有权值等于1，扰动 概率为0.002，节点数为500，总速率大小为50，采样集大小不同的有效采 样和随机采样的仿真比较图。

具体实施方式

以下将以图式揭露本发明的实施方式，为明确说明起见，许多实务上的 细节将在以下叙述中一并说明。然而，应了解到，这些实务上的细节不应用 以限制本发明。也就是说，在本发明的部分实施方式中，这些实务上的细节 是非必要的。

本发明是一种面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，包括以 下步骤：

S1，节点V＝{1,……，N}与一组ε个边组成的无向图G＝(V,ε)，定义A为 邻接矩阵，如果(i,j)∈ε，i,j∈V，a_ij不为0，其情况为0。定义D为节点度的 对角矩阵，

定义L为拉普拉斯矩阵，L＝D-A，描述图的拓扑。 对其特征分解为L＝UΛU^T,其中U为列向量为特征向量u_i，i＝1,……,N组成的矩 阵；

Λ为对角元素为特征值λ_i，i＝1,……,N的对角矩阵。因为图是无向的，所 以拉普拉斯矩阵是对称的，其特征值为非负的。

S2，定义一个信号x在图G上映射：V→R,将每个节点与一个实数联系起 来。对于无向图上的图信号，向量x的图傅里叶变换

被定义为x在由 拉普拉斯矩阵的特征向量生成的空间上的投影：

当处理模图时，GFT是特别有用的，模图是由一组弱互连的簇组成的， 并且信号在每个簇内是平滑的，但可以在不同的簇[40]上自由地假设任意值。 在这种情况下，事实上，GFT是稀疏或者近似稀疏的，这种稀疏性使得有效 的去噪、采样和恢复算法成为可能，然而，从(1)中可以清楚地看出，对图拓 扑的不完善认识转化为对拉普拉斯特征向量的不完善认识，进而最终转化为 对观测信号的GFT的不完善认识，分析不完善的图拓扑知识对GFT的影响， 并建立有助于减轻这种影响的分析模型。

定义一个名义上的拉普拉斯矩阵L与实际拉普拉斯矩阵

显然L 的扰动导致特征值分解的扰动，定义为：

其中

分别表示特征向量和特征值矩阵。

一般来说，在封闭形式下找到精确的扰动是不可能的，但是在单个边缘 扰动的情况下，有可能:i)确定哪个特征值/特征向量对被给定的边缘扰动或不 被扰动，只要看名义拉普拉斯矩阵L的特征向量；ii)导出微扰特征值/特征向 量对的近似封闭表达式，在小微扰假设下有效。

为了简化分析，假设

(A0):名义拉普拉斯矩阵的特征值唯一。

S3，不在封闭形式下找到精确的扰动，而是在具有多个边缘扰动先验概 率的情况下，导出微扰特征值/特征向量对的近似封闭表达式；

具体为：假设其中一个边受到扰动，即第m条边，引入列向量a_m∈R^N,a_m(v_m1)＝1，a_m(v_m2)＝-1，其余为0，其中v_m1，v_m2为m边的端点，则实际 拉普拉斯矩阵

写为:

其中，若m边增加则σ_m＝1，若m边去除，则σ_m＝-1。

在不失一般性的情况下，考虑原图是连通的，特征值按递增顺序排列。 因为图是连通的，所以最小的特征值为0，多重度为1。

在假设(A0)下，可以这样写0＝λ₁＜λ₂＜......＜λ_N,因为提前知道,哪个是扰动边,扰动矩阵仍将有最小的特征值等于零和相关的所有的特征向量与向量,作 为最初的拉普拉斯算子,这没有扰动第一特征值和特征向量,即

1表示值全为1的向量。因为λ₁＝0，引入N×(N-1)向量 U_N-1:＝[u₂,......,u_N]和(N-1)×(N-1)的对角矩阵Λ_N-1:＝diag{λ₂,......,λ_N}，可将原来 拉普拉斯矩阵写为L＝U_N-1Λ_N-1U_N-1 ^T；定义一个N-1的向量

因为a_m正交于u₁＝1，则a_m＝U_N-1z_m，则(3)可 写为：

关注于

推导出在什么条件下特征值/特征向量对不被边缘的 扰动改变的状态。

定理1：如果u_i(v_m1)＝u_i(v_m2)，第i个特征值/特征向量对就不会因m条边的 添加/删除而改变。

当满足假设(A1):||ΔL||_F＜＜||L||_F,在(A0)的假设下，可导出扰动特征值特征向量的封闭近似表达式：

现考虑有多边发生扰动的时候，拉普拉斯扰动可写为

ε_p为扰动边集，在小扰动条件下特征值和特征向量扰动可表示为每个边 的扰动之和，即：

假设当边m的去除/添加是一个具有特定概率P_m特征的随机事件，如果边 扰动概率为P_m，其余为0，则小扰动条件下的特征值和特征向量扰动可表示为：

S4，对拓扑不确定性下的图信号分析，将GFT观测的信号向量投影到拉 普拉斯矩阵特征向量生成的空间上；

具体解释为：对于无向图，GFT将观测的信号向量投影到拉普拉斯矩阵 特征向量生成的空间上，因此，如果图仅仅是不完全已知的，拓扑上的不确 定性就会转化为对观测信号频谱的不确定性。给定一个无向图对的拉普拉斯 矩阵L,x为图上定义的信号，其图傅里叶变换被定义为：

如果图拓扑存在不确定，则

也会受到不确定的影响。定义

为 与实图相关的特征相关的矩阵，显然，真特征向量和名义特征向量之间的不 匹配导致了频谱分析中的误差，如果带宽为K，低通带限信号在真图上具有 一个紧凑表示:

其中

为

的前K个特征向量，s₀:＝[s^T,0]，s为大小为K的列向量， 支持在真特征向量

的紧凑表示，ΔU_K表示实图与名义图的误差，通过公式 (11)与(6)可得其近似封闭表达式：

其中B_m∈R^N×K,

定义于(6)满足j≠i，i≠1，j≠1。

用名义特征向量矩阵U计算观测信号x的GFT得：

为误差，可被表示为：

那么x可被表示为：

S5，对采样集量化，并对采样图信号重构；

具体为：扰动带限信号

假设对节点进行抽样以获得唯一 性集S¹,且节点i以R_i比特速率进行量化，研究以给定总速率为R_T的情况下，以 最小化重构误差

为目标，其中

是x_s的量化

的重构信号：

其中

S矩阵，列为集合S¹中节点的指示函数，

为通过索引S¹组成的U_K组成 的矩阵，假设采样信号x_s被均匀量化，每个节点i的速率R_i为生成

e为量化 误差，e＝[e₁,……,e_|s|]^T，e_i假设是独立的和同分布的零均值和方差为

量化 步长为

I_i是节点i的量化区间。

采样图信号的重构

量化信号

被表示为：

试图从

重构信号x^Q,假设令

去求解(18)得：

假设信号向量s由K个不相关的随机变量组成，均值和方差均为0，则 其相关矩阵

考虑一个线性估计，那么估计的向量

目标是找到产生最小均方 误差(MMSE)估计的矩阵G，在无扰动的理想情况下U_SR，G与成正比。

在未知扰动情况下，利用观测模型与图扰动的先验信息来最小化MSE， 某些边可能是图扰动的概率

由于MSE是G的凸函数，通过关于G的梯度等于0来获得最佳向量，

设

当存在随机扰动时,MSE变为

R_ee＝E[ee^T]是一个对角协方差矩阵，其中E(ee^T)其第i个对角元素是

令

A_R,C_R已知，MSE问题转化为：

是关于R_ee的函数，

定义一个函数：

转化为求F(R_ee)的最小值,

S6，基于贪婪算法的节点速率分配，实现对采样集的最优分配，具体步 骤为：

6-1：输入：输入函数F(R_ee)

节点速率初始值R＝[0,0,……,0]长度为N

步长β迭代次数K

6-2：输出：节点速率R^min

6-3：while∑R_i≤R_T且迭代次数<K do

6-4：结束循环。

本发明主要解决的是当存在小扰动的图信号时，利用小扰动分析来说明 边缘扰动对图信号频谱分析的影响，并推导出对图扰动具有鲁棒性的信号估 计方法，只需要知道一些边缘可能出现或消失的概率；在此基础上解决速度 分配的节点采样集；考虑到抽样集中顶点的速率分配问题，其中每个顶点都 假定使用具有不同速率的统一量化器。

本发明寻求一种最佳的速率分配，使量化信号值的信号恢复误差最小化。 实验结果表明，所提出的解决方案总能获得比均匀速率分配更好的性能。

以上所述仅为本发明的实施方式而已，并不用于限制本发明。对于本领 域技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原理 的内所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包括在本发明的权利要求范 围之内。

Claims (5)

1.面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，其特征在于：所述最优分配方法包括如下步骤：

S1，由N个节点V与一组ε个边组成的无向图G，定义A为邻接矩阵，定义D为节点度的对角矩阵，定义L为拉普拉斯矩阵，描述图的拓扑；

S2，定义一个信号x在无向图G上映射：V→R，将每个节点与一个实数联系起来，对于无向图上的图信号，向量x的图傅里叶变换(GFT)

被定义为x在由拉普拉斯矩阵的特征向量生成的空间上的投影；

S3，不在封闭形式下找到精确的扰动，而是在具有多个边缘扰动先验概率的情况下，导出微扰特征值或特征向量对的近似封闭表达式；

S4，对拓扑不确定性下的图信号分析，将图傅里叶变换观测的信号向量投影到拉普拉斯矩阵特征向量生成的空间上；

S5，对采样集量化，并对采样图信号重构；

S6，基于贪婪算法的节点速率分配，实现对采样集的最优速率分配。

2.根据权利要求1所述面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，其特征在于：在所述S3中，多个边缘发生扰动，拉普拉斯扰动写为

其中，ε_p为扰动边集，在小扰动条件下特征值和特征向量扰动可表示为每个边的扰动之和即：

假设当边m的去除或添加是一个具有特定概率P_m特征的随机事件，如果边扰动概率为P_m，其余为0，则小扰动条件下的特征值和特征向量扰动可表示为：

3.根据权利要求1所述面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，其特征在于：在所述S1中的拉普拉斯矩阵为节点度的对角矩阵与邻接矩阵的差值。

4.根据权利要求1所述面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，其特征在于：所述S3中的特征值最小为零，多重度为1。

5.根据权利要求1所述面向小扰动带限图信号的采样集的最优分配方法，其特征在于：所述S6中每个顶点都假定使用具有不同速率的统一量化器。

Images