CN113158529B - 基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，利用拉格朗日法建立机构的动力学模型。首先，基于伪刚体模型分别利用封闭矢量法和坐标变换法得到了机构输入与输出的雅克比矩阵和柔性球铰角位移与动平台位姿的关系。然后在指定坐标系下求解得到机构构件的总动能、总重力势能以及柔性球铰的弹性变形势能。将机构的总动能与总势能代入拉格朗日方程，整理得机构的动力学方程，进而得到机构的固有频率表达式。由MATLAB进行数值算例分析得到机构固有频率理论解，同时，利用ANSYS进行仿真分析，对比二者结果验证所建立的动力学理论模型的正确性。本发明专利对基于柔性球铰传递力与运动的微操作机构的动力学建模具有重要指导意义。

Description

基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法

技术领域

本发明属于计算机建模技术领域，特别涉及一种平动空间三自由度的柔性并联微操作机构的动力学建模的方法及微操作系统中的空间三自由度微位移机构。

技术背景

并联微操作机构是通过柔性球铰的弹性变形传递输出力与运动。柔性并联微操作机构结合了并联机构刚度大、承载能力强和柔性机构无间隙、无摩擦、易于装配等的特点。因此，柔性并联微操作机构广泛应用与微定位、精密加工、光纤对接、微操作医疗以及生物工程实验等领域。其中，微操作机构的动力学建模是对机构动力规划、结构优化设计、高频控制的基础。由于柔性并联机构为多支链的闭环运动系统，结构复杂。动力学建模过程中，还需要考虑柔性关节的产生的变形产生的内应力，且需要借助仿真软件进行验证，在这过程中容易出现数学层面上的脱节。因此，针对柔性微操作机构的有效、正确的动力学建模方法，一直是研究学者急需解决的问题。

牛顿欧拉法和拉格朗日法是机构动力学建模的主要方法。其中，牛顿欧拉法的动力学建模较为直观，但求解过程复杂，需要求解的变量多，迭代次数多，计算工作量大，并且牛顿欧拉法只能表示出机构的显性运动，其中柔性球铰的弹性变形产生的应变能无法体现。而拉格朗日法为能量法，在分析过程中对机构的整体的动能以及势能都考虑进去。在动力学建模过程中更加准确。

在基于柔性球铰的并联微操作机构的动力学建模过程中，需要考虑柔性球铰因柔性变形所储存的应变能。因此，在动力学建模过程中，需要求解出柔性球铰的角度位移。但柔性球铰具有空间三转转动的自由度，这使得动力学模型计算过程复杂，不易求解。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明考虑到柔性球铰的运动特性以及其运动范围微小，求解球铰角位移与动平台位姿之间的关系，进而得到具有柔性球铰的并联微操作机构的动力学模型。

本发明所采用的技术方案是：一种基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，所述微操作机构包括三个子系统，分别为机构的呈120°分布的三条支链。每个子系统分别由一个滑块、两条平行安装的从动杆、四个柔性球铰以及动平台组成；

其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1：基于伪刚体模型，分别建立三个子系统中的滑块和柔性球铰的角位移与动平台之间的运动关系；

将柔性球铰等效为具有恒定刚度的运动关节，且运动关节与柔性球铰的运动特征一致；将子系统中两个平行安装和运动规律一致的从动杆视为一根等效从动杆。因此可得到机构的伪刚体模型；利用封闭矢量法建立机构的三个子系统的独立矢量方程。将三个子系统的独立矢量方程联合求解得到机构输入与输出的雅克比矩阵，即驱动构件(滑块)与动平台之间的运动关系；然后在柔性球铰处建立坐标系，利用坐标变换法，求出柔性球铰的角位移与动平台位置姿态的关系；

步骤2：根据机构构件的运动学特性，考虑柔性关节变形产生的弹性变形势能，在给定的坐标系下建立机构的动能与势能；

利用滑块和柔性球铰的角位移与动平台位姿的关系，考求出各构件在动平台上选定的坐标系下的动能与重力势能和柔性关节变形所储存的弹性势能，整理得到机构的总势能V和总动能T；

步骤3：将机构的总势能V和总动能T带入拉格朗日方程，整理得到机构的动力学模型。

作为优选，步骤1中，第i(i＝1,2,3)个子系统的独立矢量方程为：

P_iP+PO+OA_i+A_iB_i＝P_iB_i (1)

式中，i＝1,2,3；PP_i为动平台的质点到柔性球铰的位置矢量，PO为动平台相对静平台的位置矢量，OA_i为静平台的质点到柔性球铰的位置矢量，A_iB_i为滑块的位置矢量；P_iB_i为从动杆的位置矢量，

将三个子系统的矢量方程联合求解并求导并写成矩阵形式，可得机构整个系统输入速度与输出速度的关系为

式中

为机构滑块的输入速度，

为动平台的输出速度，J为机构雅克比矩阵。

作为优选，步骤1中，在静平台中心处建立固定参考坐标系，在柔性球铰的中心处建立局部参考坐标系，在不同的空间坐标系中表达出柔性球铰的位姿；通过坐标变换，可求出关于柔性球铰的角度位移的表达式，即柔性球铰的角度与动平台位置姿态之间的关系：

ψ_i＝J_fiP (3)

式中ψ_i＝[α_i β_i γ_i]^Tα_i、β_i、γ_i为柔性球铰绕着其轴线分别旋转的角位移， J_fi是关于ψ_i的雅可比矩阵，P＝[x y z]^T为动平台的位置姿态。

作为优选，步骤2中，柔性球铰变形储存的应变能为：

式中，K_b为柔性球铰的刚度矩阵；

K_b＝diag(k_bm k_bm k_bn) (5)

由于柔性球铰两个方向的弯曲刚度相同，式(5)中均用k_bm表示；k_bn为柔性球铰扭转刚度。

作为优选，步骤2中，机构的总动能为滑块动能T_b、从动杆动能T_c、动平台动能T_p之和：T＝T_b+T_p+T_c；机构的总势能为滑块势能V_b、从动杆势能V_c、动平台势能V_p以及柔性球铰的弹性变形势能V_k之和：V＝V_b+V_p+V_c+V_k。

作为优选，步骤3中，由第二类拉格朗日方程知：

L＝T-V (7)

式中q＝[x,y,z]^T为统广义坐标，

为统的广义速度，F为驱动力；

将上述机构的总势能V和总动能T代入拉格朗日方程，则可得机构的动力学方程，将其写成矩阵形式可表示为：

式中，M为机构的质量矩阵，K为机构的刚度矩阵，G为机构的重力矩阵， F为驱动力矩阵；

为统的广义加速度；

根据动力学方程中的质量矩阵M和刚度矩阵K，得到微操作机构无阻尼弹性振动的固有频率的表达式为：

|K-ω₀ ²M|＝0 (9)其中，f₀＝ω₀/2π，f₀为机构的固有频率。

本发明还提供了一种基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构，其特征在于：采用基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法建模后制作而成。

本发明公开了一种基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，利用拉格朗日法建立机构的动力学模型。首先，基于伪刚体模型，分别利用封闭矢量法和坐标变换法得到了机构输入与输出的运动关系和柔性球铰角位移与动平台位姿的关系。然后，在指定坐标系下求解得到机构构件的总动能、总重力势能以及柔性球铰的弹性变形势能。将机构的总动能与总势能代入拉格朗日方程，整理可得机构的动力学方程，进而得到机构的固有频率表达式。由 MATLAB软件进行数值算例分析得到机构固有频率理论解，同时，利用ANSYS 有限元软件进行仿真分析，对比二者结果验证所建立的动力学理论模型的正确性。本发明专利对基于柔性球铰传递力与运动的微操作机构的动力学建模具有重要指导意义。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施实例或现有技术中的技术方案，下面将对实施实例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施实例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施实例提供的3-PSS柔性并联微操作机构的结构示意图；

图2为本发明实施实例提供的3-PSS柔性并联微操作机构运动简图；

图3为本发明实施实例提供的3-PSS柔性并联微操作机构的伪刚体模型以及坐标系示意图；

图4为本发明实施实例提供的3-PSS柔性并联微操作机构动力学建模方法的流程示意图；

图5为本发明实施实例提供的3-PSS柔性并联微操作机构单个子系统示意图；

图6、7、8分别为本发明实施实例提供的并联微操作机构三组模态仿真的结果示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施实例中的附图，对本发明实施实例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施实例仅仅是本发明一部分实施实例，而不是全部的实施实例。基于本发明中的实施实例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施实例，都属于本发明保护的范围。

本发明实施实例首先进行机构介绍：本实施实例的研究对象采用一种3-PSS 型柔性并联微操作机构，3-PSS型柔性并联微操作机构是将3-PSS型Delta并联机构中的普通球铰替换成柔性球铰设计而成，由压电陶瓷运动平台驱动，该微操作器结构如图1所示：包括机架1、滑块2、动平台3、压电陶瓷运动平台4、从动杆5、柔性球铰6；压电陶瓷运动平台3上设置有第一螺纹孔和第二螺纹孔；压电陶瓷运动平台4为三组，呈120°对称分布通过第一螺纹孔安装在机架1上，均能在机架1上独立做竖直方向上的上下运动；滑块2为三组，通过第二螺纹孔分别安装在压电陶瓷运动平台4上，在压电陶瓷运动平台4的驱动下，做竖直方向上的独立直线运动；从动杆5六根，两两为一组平行设置，两端均通过柔性球铰6分别与滑块2和动平台3连接；通过压电陶瓷运动平台4驱动滑块2在竖直方向上做直线运动来实现动平台3的精确移动。

该机构具有空间三平移的自由度，且支链的两从动杆运动状态相同，其运动简图如图2所示。

本发明对3-PSS型柔性并联微操作机构进行动力学建模，具体实施步骤如图 4所示。

步骤1：获取并联微操作机构的子系统，基于伪刚体模型，建立每个子系统的构件之间的运动关系。

具体的，如图5所示，3-PSS柔性并联微操作机构可以看作为三个具有相似结构的支链加上末端的约束关系组成的。因此，若将动平台P处的约束去掉，则并联机构被分割为3个相似结构的支链。将这三个支链分别作为并联机构分割出来的三个子系统，通过建立子系统的矢量方程得到机构驱动机构(滑块)与动平台之间的关系并且利用坐标变换法求解出子系统中的柔性球铰的角位移与动平台之间的位姿关系。通过末端的约束关系，将三个子系统组合在一起，从而得到机构的总动能与总势能。利用拉格朗日方程可得到并联机构动力学解析模型。

将柔性球铰等效为具有恒定刚度的运动关节，且运动关节与柔性球铰的运动特征一致，建立3-PSS柔性并联微操作机构的伪刚体模型。由螺旋理论可知，支链上的两从动杆的运动特性一致，为了简便分析，将支链上的两从动杆视为一个等效从动杆，二者运动状态一致，且等效从动杆的质量是原来从动杆的两倍，且杆上的柔性球铰的变形量不变，其刚度是原来的两倍。因此，进而得机构的等效伪刚体模型，如图3所示。

为了方便分析，设三个滑块的初始位置质心点A_0i所形成的等边三角形为静平台，且在其中心点O处建立固定坐标系O{x,y,z}；在动平台的中心点P处建立动坐标系P{x_p,y_p,z_p}，动坐标系的x、y轴分别与固定坐标系的x、y轴平行；同时两坐标系的z轴重合。柔性并联微操作机构的静、动平台的半径为r_a、r_p；从动杆的长度均为l。在初始状态下，动、静平台之间的垂直距离为h；滑块的质心和下端柔性球铰的中心点B_i重合。静平台中心点O到滑块质心点A_i的位置矢量OA_i与固定坐标系的x轴的夹角为

支链i(i＝1,2,3)与固定坐标系z轴的夹角为θ_i，如图3所示。

由于该微操作机构在空间上具有三平移自由度，假设动平台在参考坐标系中平移了一个小的位移x，y，z。那么，相对于参考坐标系O{x，y，z}的动坐标系 P{x_p，y_p，z_p}的变换矩阵可以表示为

将机构的子系统可以看成为一个封闭的矢量环。如图5所示。根据闭环矢量法，第i(i＝1,2,3)子系统的独立矢量方程为：

P_iP+PO+OA_i+A_iB_i＝P_iB_i (11)

设任意滑块的输入位移A_iB_i的大小为b_i，将公式(11)展开可得：

E_r＝r_p-r_a

下同；

式中，E_r为静平台半径与动平台半径之差。

将式(12)对时间t求导，并写成矩阵形式，则机构输入与输出的关系为：

其中，

J₁＝[z+h-b₁ z+h-b₂ z+h-b₃]

其中，式中

为滑块的输入速度，

为动平台的输出速度，J为机构雅克比矩阵。

根据螺旋理论分析可知，在运动过程中，同一子系统的从动杆上端柔性球铰与下端柔性球铰的角位移大小相等、方向相反。因此只需分析从动杆B_iP_i下端的柔性球铰的角位移与动平台位姿的关系即可。

为了方便计算分析，在任意从动杆B_iP_i下端柔性球铰的中心点B_i处建立局部坐标系

在初始状态下，坐标系

和坐标系

重合。其中，坐标系

随着机构的运动而变化且其坐标系z轴分别与从动杆的中心轴线重合。如图4所示，局部坐标系

是由固定坐标系O{x,y,z}平移至从动杆B_iP_i的下端柔性球铰的中心B_i处，然后绕其z轴旋转

再绕其y轴旋转-θ_i后得到，故坐标系

相对与固定坐标系O{x，y，z}的正交变换矩阵为：

当动平台运动时，设柔性球铰绕着其轴线分别旋转了α_i、β_i、γ_i。由于柔性球铰的转动角度微小，故sα_i≈α_i,cα_i≈1，以此类推。则坐标系

相对坐标系

的齐次坐标变换为：

在t时，在局部坐标系

下，点P_i的位置矢量为P_i＝(0 0 l)^T；故点P_i在固定坐标下的位置矢量为：

在t时，在动坐标系P{x_p,y_p,z_p}，下，点P_i的位置矢量为

故点P_i在固定坐标下的位置矢量可表达为：

使得式(16)(17)的右端相等，展开并化简可得角位移α_i、β_i。

由式(13)可知，当动平台沿着z轴方向运动时，滑块同步输出，此时柔性球铰不发生变形。因此在分析柔性球铰与动平台位姿关系时，只需考虑动平台在 xoy平面运动时，柔性球铰转动角位移与动平台位姿之间的关系。由螺旋理论分析可知，该柔性并联微操作器在运动过程中柔性球铰只分别绕其两转动轴线旋转了α_i、β_i，设柔性球铰的微小角位移为ψ_i＝[α_i β_i 0]^T，则柔性球铰的角位移与动平台位姿关系为ψ_i＝J_fiP，式中J_fi是关于ψ_i的雅可比矩阵。

由于并联机构三个子系统的结构相似，因此，三个子系统的运动学关系也是相似的。针对其他类型的含有柔性球铰的空间并联机构，可以根据其运动特点，利用多组不同的坐标变换求解出柔性球铰扭动角度和弯曲角度，由于3-PSS柔性并联微操作机构的柔性球铰的扭转自由度被抑制，因此利用一组坐标转换，便可得到柔性球铰的角位移与平台的关系。

步骤2：确定并联微操作机构构件的运动特性，考虑柔性球铰的弹性应变能，得到机构的总势能与总动能。

选择变量q(x，y，z)作为广义坐标。微型操纵器的势能和动能都应根据选择的坐标表示，以获得动力学模型。机构的总动能为滑块、动平台和从动杆动能的总和，其总势能包括机构的重力势能以及由柔性球铰因弹性变形储存的应变能。

柔性并联微操作机构工作时，滑块沿着垂直方向平移，故滑块的动能与势能分别为：

式中b_i、

分别为滑块的输入位移与速度，m_b为滑块的质量，g为重力加速度。

机构的动平台有沿着x、y、z三个方向的平动自由度，故其动能和势能可表达为：

V_p＝m_pg(z+h) (21)

式中，m_p为动平台的质量。

支链上的两从动杆的运动状态相同，且从动杆的质量较小，故假设从动杆的质量集中于杆的两端。假设从动杆的质量均匀地分布在其两端。以此方式，可以认为在从动杆的上端和下端处的分布质量的运动分别与移动平台和滑块一致。因此，所有从动杆的总动能和总势能可以分别表示为：

式中m_c为一条从动杆的质量；

动平台的输出是由柔性球铰的变形传递实现的，柔性球铰变形储存的应变能为：

由上述分析可知，柔性球铰的扭转自由度被抑制，因此柔性球铰的刚度矩阵 K_b为：

K_b＝diag(k_bm k_bm 0) (25)

式中k_bm为柔性球铰的弯曲刚度矩阵。

机构的柔性球铰为圆弧型柔性球铰，且柔性球铰的刚度与柔性球铰的最小厚度t_b、切削半径R以及最大切削角度θ_m的有关。

步骤3：根据构件与平台之间的关系，将机构的总势能和总势能代入拉格朗日方程，展开可得机构的动力学模型。

柔性并联微操作机构的总动能和总势能分别为：

T＝T_b+T_p+T (26)

V＝V_b+V_p+V_c+V_k (27)

由第二类拉格朗日方程可知：

L＝T-V (29)

式中，q为系统广义坐标，

为系统的广义速度，F为驱动力。

柔性并联微操作机构的滑块位移和柔性球铰弯曲角变形都较微小，为了简化计算，可将雅可比矩阵J、J_fi视为常数矩阵。将上述总动能和总势能代入拉格朗日方程，可得机构的动力学方程：

其中，

M＝m_pE+m_bJ^TJ+m_cJ^TJ+m_cE

E_h＝diag(1 1 0)

式中

为系统的广义速度，M为机构的质量矩阵，K为机构的刚度矩阵，G 为机构的重力矩阵，F为驱动力矩阵，E为3×3的单位矩阵。

根据式(30)中的质量矩阵M和刚度矩阵K，可通过求解式(31)得到3-PSS柔性并联微操作机构无阻尼弹性振动的固有频率。

|K-ω₀ ²M|＝0 (31)

其中，f₀＝ω₀/2π，f₀为机构的固有频率。

本发明实施实例可以进行柔性微操作并联机构的动力学仿真。

为了验证机构动力学模型的正确性，分别进行数值算例分析和有限元仿真分析。选择机构的材料为65Mn钢，弹性模量E为200Gpa，泊松比μ为0.3，密度ρ为7.85g/cm³。机构的几何参数如表一 所示。

表一：机构的三组几何参数

根据表中的参数可以得到柔性球铰的弯曲刚度对5.18N/m，将表中三组结构的几何参数代入机构固有频率表达式(31)中，利用MATLAB软件进行理论计算，求得机构的三个主要运动方向的固有频率。为了验证动力学建模的有效性，首先利用solidwork软件建立机构三维模型，然后导入ANSYS有限元软件进行模态分析，得到如图6、7、8所示的三组不同参数的机构前三阶固有频率。理论算例与仿真分析结果对比如表所示。其相对误差均在允许的范围内，故验证了建立的动力学模型的正确性。

表二：理论计算和仿真分析结果对比

应当理解的是，本说明书未详细阐述部分均属于现有技术；上述针对较佳实施实例的描述较为详细，并不能因此而认为是对本发明专利保护范围的限制，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明权利 要求所保护的范围情况下，还可以做出替换或变行，均落入本发明的保护范围之内，本发明的请求保护范围应所附权利要求书为准。

Claims (7)

1.一种基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，所述微操作机构包括三个子系统，分别为机构的呈120°分布的三条支链；每个子系统分别由一个滑块、两条平行安装的从动杆、四个柔性球铰以及动平台组成；

其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1：基于伪刚体模型，分别建立三个子系统中的滑块和柔性球铰的角位移与输出动平台之间的运动关系；

将柔性球铰等效为具有恒定刚度的运动关节，且运动关节与柔性球铰的运动特征一致；将子系统中两个平行安装和运动规律一致的从动杆视为一根等效从动杆，因此得到机构的伪刚体模型；利用封闭矢量法建立机构的三个子系统的独立矢量方程；将三个子系统的独立矢量方程联合求解得到机构输入与输出的雅克比矩阵，即滑块与动平台之间的运动关系；然后在柔性球铰的中心处建立局部坐标系，利用坐标变换法，求出柔性球铰的角位移与动平台位置姿态的关系；

步骤2：根据机构构件的运动学特性，考虑柔性关节变形产生的弹性变形势能，在给定的坐标系下建立机构的动能与势能；

利用滑块和柔性球铰的角位移与动平台位姿的关系，求出各构件在动平台上选定的坐标系下的动能与重力势能和柔性关节变形所储存的弹性势能，整理得到机构的总势能V和总动能T；

步骤3：将机构的总势能V和总动能T带入拉格朗日方程，整理得到机构的动力学模型。

2.根据权利要求1所述的基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，其特征在于：步骤1中，第i个子系统的独立矢量方程为：

P_iP+PO+OA_i+A_iB_i＝P_iB_i (1)

式中，i＝1,2,3；PP_i为动平台的质点到柔性球铰的位置矢量，PO为动平台相对静平台的位置矢量，OA_i为静平台的质点到柔性球铰的位置矢量，A_iB_i为滑块的位置矢量；P_iB_i为从动杆的位置矢量，

将三个子系统的矢量方程联合求解并求导并写成矩阵形式，可得机构整个系统输入速度与输出速度的关系为：

式中

为机构滑块的输入速度，

为动平台的输出速度，J为机构雅克比矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，其特征在于：步骤1中，在机构的静平台中心处建立固定参考坐标系，在柔性球铰处建立局部参考坐标系， 在不同的坐标系中表达出柔性球铰的位姿；通过坐标变换，求出关于柔性球铰的角度位移的表达式，即柔性球铰的角度与动平台位置姿态之间的关系：

ψ_i＝J_fiP (3)

式中ψ_i＝[α_i β_i γ_i]^T，α_i、β_i、γ_i为柔性球铰绕着其轴线分别旋转的相对角位移，J_fi是关于ψ_i的雅可比矩阵，P＝[x y z]^T为动平台的位置姿态。

4.根据权利要求3所述的基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，其特征在于：步骤2中，柔性球铰变形储存的应变能为：

式中，K_b为柔性球铰的刚度矩阵；

K_b＝diag(k_bm k_bm k_bn) (5)

由于柔性球铰两个方向的弯曲刚度相同，式(5)中均用k_bm表示；k_bn为柔性球铰扭转刚度。

5.根据权利要求1所述的基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，其特征在于：步骤2中，机构的总动能为滑块动能T_b、从动杆动能T_c以及动平台动能T_p之和：T＝T_b+T_p+T_c；机构的总势能为滑块势能V_b、从动杆势能V_c、动平台势能V_p以及柔性球铰的弹性变形势能V_k之和：V＝V_b+V_p+V_c+V_k。

6.根据权利要求3所述的基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构动力学建模方法，其特征在于：步骤3中，由第二类拉格朗日方程知：

式中L＝T-V，q＝[x,y,z]^T为统广义坐标，

为统的广义速度，F为驱动力；

将上述机构的总势能V和总动能T代入拉格朗日方程，得机构的动力学方程，将其写成矩阵形式为：

式中，M为机构的质量矩阵，K为机构的刚度矩阵，G为机构的重力矩阵，F为驱动力矩阵；

为统的广义加速度；

根据动力学方程中的质量矩阵M和刚度矩阵K，得到微操作机构无阻尼弹性振动的固有频率的表达式为：

|K-ω₀ ²Μ|＝0 (8)

其中，f₀＝ω₀/2π，f₀为机构的固有频率。

7.一种基于柔性球铰的空间三平移并联微操作机构，其特征在于：采用权利要求1-6任意一项所述的动力学建模方法，建模后制作而成。

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