CN113067515A - 一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法。对于三相永磁同步电机，首先构建以dq轴定子磁链为控制对象的价值函数，消除了权重系数；接着根据预测参考电压矢量的相角，由取整函数确定参考电压矢量所在的扇区，从而由价值函数选取最优和次最优电压矢量；最后根据广义乘子法确定各个电压矢量的占空比。该方法采取更优的占空比计算方法，避免占空比不满足约束的条件的二次调整，实现了占空比的最优计算，在减小转矩和磁链脉动的同时，提高了系统的稳态性能。

Description

一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控 制方法

技术领域

本发明涉及一种永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，属于电机驱动及控制领域。

背景技术

永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有结构简单、体积小、效率高等优点，因此在工业上有着非常广阔的应用前景。模型预测转矩控制(Modelpredictive torque control,MPTC)以其实现简单，动态响应快等优点逐渐被应用于PMSM驱动及其控制领域。而传统MPTC需要调整权重系数，并且权重系数的调节缺乏一致的指导策略。模型预测磁链控制(Model predictive flux control,MPFC)可以消除权重，减少计算负担。而在传统的MPFC中，在七个电压矢量中选择一个最优矢量，然后作用于整个控制周期，因此转矩脉动和转矩脉动较大。最优占空比MPFC策略虽然可以调节矢量幅值和大小，但只能在一定程度上减小转矩和磁链脉动。

发明内容

技术问题：针对上述现有技术，提出一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，在将定子磁链和电磁转矩转化为等效定子磁链矢量的控制消除权重的同时，能够有效减少备选矢量的数量，并且通过在一个控制周期内作用三个矢量，能够大大减小转矩和磁链脉动，提高系统的稳态性能。

技术方案：一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，包括如下步骤：

步骤1：由电流传感器获取三相电流i_a、i_b、i_c并由编码器获取电机电角度θ_e及电角速度ω_e，并利用Clark/Park变换计算定子电流dq轴分量i_d、i_q；

步骤2：由转速环PI控制器输出得到电磁转矩的参考值

步骤3：获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与d轴的夹角δ(k)，以及ψ_s(k)与(k+1)时刻磁链参考值之间的增量角Δδ(k+1)；

步骤4：获取(k+1)时刻参考电压矢量αβ轴的分量

并确定参考电压矢量所在扇区，选出组成该扇区的两个有源电压矢量；

步骤5：获取(k+1)时刻磁链参考值dq轴的分量

步骤6：获取(k+1)时刻磁链预测值dq轴的分量ψ_d(k+1)、ψ_q(k+1)；

步骤7：计算价值函数值，选取最优电压矢量和次最优电压矢量；

步骤8：以磁链误差最小为目标，构建乘子罚函数计算各个电压矢量的占空比。

进一步的，所述步骤1中，由公式(1)获得电机电角速度ω_e，经公式(2)的Clark 变换后得到定子电流αβ轴的分量i_α、i_β，再经公式(3)的Park变换后得到定子电流的dq轴分量i_d、i_q；

进一步的，所述步骤3中，首先根据式(4)获取k时刻dq轴的磁链分量ψ_d(k)、ψ_q(k)，接着通过公式(5)获取k时刻αβ轴的磁链分量ψ_α(k)、ψ_β(k)，再由公式(6)获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与α轴的夹角θ_s，然后通过公式(7)获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与d轴的夹角δ(k)；将式(8)所示的dq轴定子磁链方程代入公式(9)所示的电磁转矩T_e方程后对δ求导，得到如式(10)所示的电磁转矩微分方程，再结合一阶欧拉公式由公式(10)推导出如公式(11)所示的增量角Δδ(k+1)：

δ(k)＝θ_s-θ_e (7)

其中，L_d、L_q分别是dq轴电感分量，ψ_f表示永磁体磁链，i_d(k)、i_q(k)分别为 k时刻定子电流dq轴分量，n_p表示电机极对数，T_e(k)表示k时刻电磁转矩测量值， dTe(k)/dδ(k)表示k时刻转矩Te(k)对δ(k)角的导数。

进一步的，所述步骤4中，首先由公式(12)得到(k+1)时刻电压参考值αβ轴的分量

再由公式(13)和公式(14)得到(k+1)时刻参考电压矢量与α轴的夹角

最后由公式(15)所示的取整函数判断参考电压矢量所在扇区：

其中，

为定子磁链的参考值，θ_s为k时刻磁链测量值ψ_s(k)与α轴的夹角， T_s为采样时间；R_s为定子电阻；i_α(k)、i_β(k)为k时刻定子电流的αβ轴分量测量值；

其中j∈{1,2,3,4,5,6}，对应六个扇区；当j＝1时，选取的两个有源矢量为 u₄、u₆；当j＝2时，选取的两个有源矢量为u₆、u₂；当j＝3时，选取的两个有源矢量为u₂、u₃；当j＝4时，选取的两个有源矢量为u₃、u₁；当j＝5时，选取的两个有源矢量为u₁、u₅；当j＝6时，选取的两个有源矢量为u₅、u₄。

进一步的，所述步骤5中，首先根据公式(16)得到(k+1)时刻的磁链参考角δ^ref，将公式(16)代入公式(17)后，得到如式(17)所示的(k+1)时刻磁链参考值dq轴的分量

δ^ref＝δ(k)+Δδ(k+1) (16)

其中，

为定子磁链的参考值。

进一步的，所述步骤6中，由步骤4筛选出的电压矢量通过公式(18)、(19) 得到(k+1)时刻dq轴磁链预测值ψ_d(k+1)、ψ_q(k+1)：

式中，i_d(k+1)、i_q(k+1)为(k+1)时刻预测定子电流的dq轴分量，R_s为定子电阻， T_s为采样时间，L_d、L_q分别是dq轴电感分量，i_d(k)、i_q(k)分别为k时刻定子电流 dq轴分量，u_d(k)、u_q(k)为k时刻电压矢量dq轴分量，ψ_f表示永磁体磁链。

进一步的，所述步骤7中，由公式(20)定义dq轴磁链参考值与预测值的误差E_d(u_i,d)、E_q(u_i,q)：

式中，u_i,d表示有源电压矢量u_i的d轴分量，u_i,q表示有源电压矢量u_i的q轴分量， i∈{1,2,3,4,5,6}；

构建如式(21)所示的价值函数：

通过步骤4确定扇区后，备选电压矢量由原来的七个电压矢量减少到两个，在误差函数计算时，仅需要计算两个电压矢量对应的磁链误差，将使得价值函数最小的电压矢量记为u_opt以及使得价值函数次最小的电压矢量记为u_sub，即得到最优电压矢量和次最优电压矢量。

进一步的，所述步骤8中：设u₁为最优电压矢量u_opt，作用时间为t₁，u₂为次最优电压矢量u_sub，作用时间为t₂，u₀为零矢量，作用时间为t₀；首先计算出 u₀、u₁和u₂单独作用下的dq轴预测磁链值，再计算出相应的dq轴磁链参考值与预测值的误差：E_d(u_0,d)、E_q(u_0,q)、E_d(u_1,d)、E_q(u_1,q)、E_d(u_2,d)及E_q(u_2,q)，通过调制 u₀、u₁和u₂三个电压矢量，使得如式(22)所示的误差函数最小；

式中，T_s为采样时间，参数g₀，g₁及g₂由式(23)给出：

问题进一步转化为在0<t₀<T_s，、0<t₁<T_s、0<t₂<T_s及t₀+t₁+t₂＝T_s约束条件下求函数式(22)最小值的问题；利用广义乘子法解决该问题，构建如式(24)所示的误差评估函数L(t,σ_k,γ_k)：

式中，σ_k为k次迭代采用的罚因子，γ_k为k次迭代采用的乘子，取初始乘子γ₁＝0，初始罚因子σ₁为1，且σ_k+1＝2σ_k，k＝1,2,3,4······；

令

求得如式(25)所示的minL(t,σ_k,γ_k)的最优解，设最优解为： t；

式中参数D，D₀，D₁及D₂如公式(26)所示：

其中参数n，m的表达式如公式(27)所示：

若此时|f(t)|<1e^-6，则迭代终止，此时t为f(t)的近似最优解；若|f(x)|>1e^-6，则按照式(28)所示的乘子迭代公式进行迭代，直到满足迭代终止条件|f(t)|<1e^-6；

γ_k+1＝γ_k-σ_k(t₀+t₁+t₂-T_s) (28)

由此计算出的占空比d₀，d₁，d₂的表达式如式(29)所示：

有益效果：1)构建以dq轴定子磁链为控制对象的价值函数，消除了传统 MPTC中的权重系数；

2)通过取整函数确定参考电压矢量扇区的方法，减少备选电压矢量的数量，减少在预测磁链值的计算量；

3)在一个控制周期内作用三个电压矢量，减小系统的稳态误差，达到更好的控制效果；

4)构建广义乘子法函数，计算计及范围约束的三个电压矢量的占空比，避免了占空比的二次调整，可直接作用于逆变器。

附图说明

图1为本发明一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法的控制框图，图中：1-转子位置电机速度检测模块、2-负载角计算模块、 3-预测磁链计算模块、4-电压矢量筛选模块、5-磁链误差计算模块、6-广义乘子法模块；

图2为本发明一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法的电压矢量图；

图3为本发明一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法的稳态仿真图；

图4为本发明一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法的变转速动态仿真图；

图5为本发明一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法的变负载转矩动态仿真图。

具体实施方式

下面结合附图并通过实施例对本发明作进一步的详细说明，以下实施例是对本发明的解释而本发明并不局限于以下实施例。

如图1所示，一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，包括如下步骤：

步骤1：由电流传感器获取三相电流i_a、i_b、i_c并由编码器获取电机电角度θ_e及电角速度ω_e，并利用Clark/Park变换计算定子电流dq轴分量i_d、i_q。

具体地，通过电机编码器获得电机电角度θ_e，由公式(1)获得电机电角速度ω_e，经公式(2)的Clark变换后得到定子电流αβ轴的分量i_α、i_β，再经公式(3)的Park变换后得到定子电流的dq轴分量i_d、i_q；

步骤2：由转速环PI控制器输出得到电磁转矩的参考值Trefe。

步骤3：获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与d轴的夹角δ(k)，以及ψ_s(k)与k+1时刻磁链参考值之间的增量角Δδ(k+1)。

具体地，首先根据式(4)获取k时刻dq轴的磁链分量ψ_d(k)、ψ_q(k)，接着通过公式(5)获取k时刻αβ轴的磁链分量ψ_α(k)、ψ_β(k)，再由公式(6)获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与α轴的夹角θ_s，然后通过公式(7)获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与d轴的夹角δ(k)；将式(8)所示的dq轴定子磁链方程代入公式(9)所示的电磁转矩T_e方程后对δ求导，得到如式(10)所示的电磁转矩微分方程，再结合一阶欧拉公式由公式(10)推导出如公式(11)所示的增量角Δδ(k+1)方程：

δ(k)＝θ_s-θ_e (7)

其中，L_d、L_q分别是dq轴电感分量，ψ_f表示永磁体磁链，i_d(k)、i_q(k)分别为 k时刻定子电流的dq轴分量，n_p表示电机极对数，T_e(k)表示k时刻电磁转矩测量值，dTe(k)/dδ(k)表示k时刻转矩Te(k)对δ(k)角的导数。

步骤4：获取(k+1)时刻参考电压矢量dq轴的分量u_α ^ref(k+1)、u_β ^ref(k+1)，并确定参考电压矢量所在扇区，选出组成该扇区的两个有源电压矢量。

具体地，首先由公式(12)得到(k+1)时刻电压参考值αβ轴的分量

再由公式(13)和公式(14)得到(k+1)时刻参考电压矢量与α轴的夹角

最后由公式(15)所示的取整函数判断参考电压矢量所在扇区：

其中，

为定子磁链的参考值，T_s为采样时间，R_s为定子电阻，i_α(k)、i_β(k) 为k时刻定子电流的αβ轴分量测量值。

其中j∈{1,2,3,4,5,6}，对应六个扇区。如图2所示，当j＝1时，选取的两个有源矢量为u₄、u₆；当j＝2时，选取的两个有源矢量为u₆、u₂；当j＝3时，选取的两个有源矢量为u₂、u₃；当j＝4时，选取的两个有源矢量为u₃、u₁；当j＝5 时，选取的两个有源矢量为u₁、u₅；当j＝6时，选取的两个有源矢量为u₅、u₄。

步骤5：获取(k+1)时刻磁链参考值dq轴的分量

和

具体地，首先根据公式(16)得到(k+1)时刻的磁链参考角δ^ref，将公式(16)代入公式(17)后，得到如式(17)所示的(k+1)时刻磁链参考值dq轴的分量

δ^ref＝δ(k)+Δδ(k+1) (16)

其中，

为定子磁链的参考值。

步骤6：获取(k+1)时刻磁链预测值dq轴的分量ψ_d(k+1)和ψ_q(k+1)。

具体地，由步骤4筛选出的电压矢量通过公式(18)、(19)得到(k+1)时刻dq 轴磁链预测值ψ_d(k+1)、ψ_q(k+1)：

式中，i_d(k+1)、i_q(k+1)为(k+1)时刻预测定子电流的dq轴分量，u_d(k)、u_q(k) 为k时刻电压矢量dq轴分量。

步骤7：计算价值函数值，选取最优电压矢量和次最优电压矢量。

具体地，由公式(20)定义dq轴磁链参考值与预测值的误差：

式中，u_i,d表示有源电压矢量u_i的d轴分量，u_i,q表示有源电压矢量u_i的q轴分量， i∈{1,2,3,4,5,6}。

构建如式(21)所示的价值函数：

通过步骤4确定扇区后，备选电压矢量由原来的七个电压矢量减少到两个，在误差函数计算时，仅需要计算两个电压矢量对应的磁链误差，将使得价值函数最小的电压矢量(最优电压矢量)记为u_opt以及使得价值函数次最小的电压矢量(次最优电压矢量)记为u_sub。

步骤8：以磁链误差最小为目标，构建乘子罚函数计算各个电压矢量的占空比。

具体地，为了方便描述，设u₁为最优电压矢量u_opt，作用时间为t₁，u₂为次最优电压矢量u_sub，作用时间为t₂，u₀为零矢量，作用时间为t₀。首先由式(18) 及式(19)计算出u₀、u₁和u₂单独作用下的dq轴预测磁链值，再由式(20)计算出相应的dq轴磁链参考值与预测值的误差：E_d(u_0,d)、E_q(u_0,q)、E_d(u_1,d)、E_q(u_1,q)、 E_d(u_2,d)及E_q(u_2,q)，通过调制u₀、u₁和u₂三个电压矢量，使得如式(22)所示的误差函数最小。

式中，参数g₀，g₁及g₂由式(23)给出。

问题进一步转化为在0<t₀<T_s，、0<t₁<T_s、0<t₂<T_s及t₀+t₁+t₂＝T_s约束条件下求函数式(22)最小值的问题。利用广义乘子法解决该问题，构建如式(24)所示的误差评估函数L(t,σ_k,γ_k):

式中，σ_k为k次迭代采用的罚因子，γ_k为k次迭代采用的乘子，取初始乘子γ₁＝0，初始罚因子σ₁为1，且σ_k+1＝2σ_k，k＝1,2,3,4······。

令▽L(t,σ_k,γ_k)＝0，可求得如式(25)所示的minL(t,σ_k,γ_k)的最优解，设最优解为：t。

式中参数D，D₀，D₁及D₂如公式(26)所示：

其中参数n，m的表达式如公式(27)所示：

若此时|f(t)|<1e^-6，则迭代终止，此时t为f(t)的近似最优解。若|f(x)|>1e^-6，则按照式(28)所示的乘子迭代公式进行迭代，直到满足迭代终止条件|f(t)|<1e^-6。

γ_k+1＝γ_k-σ_k(t₀+t₁+t₂-T_s) (28)

由此计算出的占空比d₀，d₁，d₂的表达式如式(29)所示：

由计及限制条件的广义乘子法可知，计算所得d₀，d₁，d₂均在0～1范围内，不要经过二次调整，可直接作用于逆变器，且计算所得结果为最优解，可大大减小系统的稳态误差。

在直流母线电压300V条件下实施本发明公开的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法。

在给定转速400r/min，负载转矩4N·m条件下进行稳态仿真。稳态仿真结果如图3所示，从图中可以看出三相电流正弦度高，转速平稳，转矩脉动小。

在给定负载转矩4N·m，给定转速在1s时由400r/min突变到500r/min条件下进行变转速动态仿真。变转速动态仿真结果如图4所示，在给定转速发生突变时，电机转速在0.1s内达到给定转速且无明显超调，转矩瞬间波动0.5N·m 但快速恢复到稳定状态，在突变瞬间电流无明显畸变，仍能保持较好的正弦度。

在给定转速400r/min，负载转矩在1s时由2N·m突变到4N·m条件下进行变负载转矩动态仿真。变负载转矩动态仿真结果如图5所示，在给定负载转矩发生突变时，电机转速出现较小的波动且在0.05s内达到给定转速，输出转矩能瞬间到达给定值，在突变瞬间电流无明显畸变，实现了负载转矩突变时电流平滑过渡。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：由电流传感器获取三相电流i_a、i_b、i_c并由编码器获取电机电角度θ_e及电角速度ω_e，并利用Clark/Park变换计算定子电流dq轴分量i_d、i_q；

步骤2：由转速环PI控制器输出得到电磁转矩的参考值

步骤3：获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与d轴的夹角δ(k)，以及ψ_s(k)与(k+1)时刻磁链参考值之间的增量角Δδ(k+1)；

步骤4：获取(k+1)时刻参考电压矢量αβ轴的分量

并确定参考电压矢量所在扇区，选出组成该扇区的两个有源电压矢量；

步骤5：获取(k+1)时刻磁链参考值dq轴的分量

步骤6：获取(k+1)时刻磁链预测值dq轴的分量ψ_d(k+1)、ψ_q(k+1)；

步骤7：计算价值函数值，选取最优电压矢量和次最优电压矢量；

步骤8：以磁链误差最小为目标，构建乘子罚函数计算各个电压矢量的占空比。

2.根据权利要求1所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤1中，由公式(1)获得电机电角速度ω_e，经公式(2)的Clark变换后得到定子电流αβ轴的分量i_α、i_β，再经公式(3)的Park变换后得到定子电流的dq轴分量i_d、i_q；

3.根据权利要求1所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤3中，首先根据式(4)获取k时刻dq轴的磁链分量ψ_d(k)、ψ_q(k)，接着通过公式(5)获取k时刻αβ轴的磁链分量ψ_α(k)、ψ_β(k)，再由公式(6)获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与α轴的夹角θ_s，然后通过公式(7)获取k时刻磁链测量值ψ_s(k)与d轴的夹角δ(k)；将式(8)所示的dq轴定子磁链方程代入公式(9)所示的电磁转矩T_e方程后对δ求导，得到如式(10)所示的电磁转矩微分方程，再结合一阶欧拉公式由公式(10)推导出如公式(11)所示的增量角Δδ(k+1)：

δ(k)＝θ_s-θ_e (7)

其中，L_d、L_q分别是dq轴电感分量，ψ_f表示永磁体磁链，i_d(k)、i_q(k)分别为k时刻定子电流dq轴分量，n_p表示电机极对数，T_e(k)表示k时刻电磁转矩测量值，dTe(k)/dδ(k)表示k时刻转矩Te(k)对δ(k)角的导数。

4.根据权利要求1所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤4中，首先由公式(12)得到(k+1)时刻电压参考值αβ轴的分量

再由公式(13)和公式(14)得到(k+1)时刻参考电压矢量与α轴的夹角

最后由公式(15)所示的取整函数判断参考电压矢量所在扇区：

其中，

为定子磁链的参考值，θ_s为k时刻磁链测量值ψ_s(k)与α轴的夹角，T_s为采样时间；R_s为定子电阻；i_α(k)、i_β(k)为k时刻定子电流的αβ轴分量测量值；

其中j∈{1,2,3,4,5,6}，对应六个扇区；当j＝1时，选取的两个有源矢量为u₄、u₆；当j＝2时，选取的两个有源矢量为u₆、u₂；当j＝3时，选取的两个有源矢量为u₂、u₃；当j＝4时，选取的两个有源矢量为u₃、u₁；当j＝5时，选取的两个有源矢量为u₁、u₅；当j＝6时，选取的两个有源矢量为u₅、u₄。

5.根据权利要求1所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤5中，首先根据公式(16)得到(k+1)时刻的磁链参考角δ^ref，将公式(16)代入公式(17)后，得到如式(17)所示的(k+1)时刻磁链参考值dq轴的分量

δ^ref＝δ(k)+Δδ(k+1) (16)

其中，

为定子磁链的参考值。

6.根据权利要求1所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤6中，由步骤4筛选出的电压矢量通过公式(18)、(19)得到(k+1)时刻dq轴磁链预测值ψ_d(k+1)、ψ_q(k+1)：

式中，i_d(k+1)、i_q(k+1)为(k+1)时刻预测定子电流的dq轴分量，R_s为定子电阻，T_s为采样时间，L_d、L_q分别是dq轴电感分量，i_d(k)、i_q(k)分别为k时刻定子电流dq轴分量，u_d(k)、u_q(k)为k时刻电压矢量dq轴分量，ψ_f表示永磁体磁链。

7.根据权利要求1所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤7中，由公式(20)定义dq轴磁链参考值与预测值的误差E_d(u_i,d)、E_q(u_i,q)：

式中，u_i,d表示有源电压矢量u_i的d轴分量，u_i,q表示有源电压矢量u_i的q轴分量，i∈{1,2,3,4,5,6}；

构建如式(21)所示的价值函数：

通过步骤4确定扇区后，备选电压矢量由原来的七个电压矢量减少到两个，在误差函数计算时，仅需要计算两个电压矢量对应的磁链误差，将使得价值函数最小的电压矢量记为u_opt以及使得价值函数次最小的电压矢量记为u_sub，即得到最优电压矢量和次最优电压矢量。

8.根据权利要求7所述的一种计及占空比约束的永磁同步电机三矢量模型预测磁链控制方法，其特征在于，所述步骤8中：设u₁为最优电压矢量u_opt，作用时间为t₁，u₂为次最优电压矢量u_sub，作用时间为t₂，u₀为零矢量，作用时间为t₀；首先计算出u₀、u₁和u₂单独作用下的dq轴预测磁链值，再计算出相应的dq轴磁链参考值与预测值的误差：E_d(u_0,d)、E_q(u_0,q)、E_d(u_1,d)、E_q(u_1,q)、E_d(u_2,d)及E_q(u_2,q)，通过调制u₀、u₁和u₂三个电压矢量，使得如式(22)所示的误差函数最小；

f(t)＝g₀t₀ ²+g₁t₁ ²+g₂t₂ ²,(0＜t₀＜T_s,0＜t₁＜T_s,0＜t₂＜T_s,t₀+t₁+t₂＝T_s) (22)

式中，T_s为采样时间，参数g₀，g₁及g₂由式(23)给出：

问题进一步转化为在0<t₀<T_s，、0<t₁<T_s、0<t₂<T_s及t₀+t₁+t₂＝T_s约束条件下求函数式(22)最小值的问题；利用广义乘子法解决该问题，构建如式(24)所示的误差评估函数L(t,σ_k,γ_k)：

式中，σ_k为k次迭代采用的罚因子，γ_k为k次迭代采用的乘子，取初始乘子γ₁＝0，初始罚因子σ₁为1，且σ_k+1＝2σ_k，k＝1,2,3,4······；

令▽L(t,σ_k,γ_k)＝0，求得如式(25)所示的minL(t,σ_k,γ_k)的最优解，设最优解为：t；

式中参数D，D₀，D₁及D₂如公式(26)所示：

其中参数n，m的表达式如公式(27)所示：

若此时|f(t)|<1e^-6，则迭代终止，此时t为f(t)的近似最优解；若|f(x)|>1e^-6，则按照式(28)所示的乘子迭代公式进行迭代，直到满足迭代终止条件|f(t)|<1e^-6；

γ_k+1＝γ_k-σ_k(t₀+t₁+t₂-T_s) (28)

由此计算出的占空比d₀，d₁，d₂的表达式如式(29)所示：

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