CN113051523B - 一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置 - Google Patents

一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置 Download PDF

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CN113051523B CN202110283185.1A CN202110283185A CN113051523B CN 113051523 B CN113051523 B CN 113051523B CN 202110283185 A CN202110283185 A CN 202110283185A CN 113051523 B CN113051523 B CN 113051523B
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Abstract

本发明涉及光学计算技术领域，且公开了一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，包括以下步骤：S1：搭建光学装置：搭建若干组由光导材料制成的圆盘形状的光导圆盘。该一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，通过其适用于待乘矩阵规模较大且为固定值的场景，例如在信息检索场景，待检索的信息往往被表达为矩阵
Figure DDA0003851023510000011
(m远大于n)，该矩阵为固定量，唯有使用者的检索语句对应的矩阵

Description

一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置
技术领域
本发明涉及光学计算技术领域，具体为一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置。
背景技术
矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。近些年兴起的深度学习以及计算机图像处理等技术也和矩阵乘法高度相关。而矩阵相乘对计算资源消耗较大，如何降低矩阵乘法的复杂度，从而减少对计算资源的消耗成为一个重要研究方向。在很长的时间内，人们认为矩阵乘在算法层面是无法优化的，而自Strassen算法伊始，复杂度边界便被不断降低，目前最快的方法是Coppersmith–Winograd算法。Volker Strassen在1969年提出了复杂度为
Figure GDA0003851023500000011
的矩阵乘算法。这是历史上第一次将矩阵乘的计算复杂度降低到O(n3)以下。Strassen算法提出之后，学者们不断尝试继续降低复杂度，因为
Figure GDA0003851023500000012
的代价还是太高了。矩阵乘算法的复杂度边界终于在Don Coppersmith和Shmuel Winograd的合作下在1990年突破性地降低到了O(n2.376)。由于光具有的并行性、自由空间互连能力以及易于表达二维信息的特性，非常适合解决矩阵运算问题，从20世纪七十年代起,开始了光学向量矩阵乘法的研究，研究者开始寻找用光学方法实现向量矩阵乘法的途径。1978年，美国斯坦福大学的J.W.Goodman首次提出了光学向量矩阵乘法器(OVMM)的理论模型。
目前现有的传统的基于电信号的矩阵乘法器的运算速度有限，能耗高，当前基于光信号的矩阵乘法器效率低下，结构复杂，制造工艺难度高，没有充分利用光信号的特殊物理优势，而且矩阵乘法器的设备需求量与待计算矩阵的规模基本成正比，因此对于极大规模的矩阵来说，计算成本颇高。
发明内容
(一)解决的技术问题
针对现有技术的不足，本发明提供了一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，解决了上述的问题。
(二)技术方案
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，包括以下步骤：
S1：搭建光学装置
搭建若干组由光导材料制成的圆盘形状的光导圆盘，各光导圆盘的上层覆有致密的光信号发射装置，各光导圆盘的下层覆有致密的光信号接收装置。
S2：设置计算矩阵乘法
设矩阵
Figure GDA0003851023500000021
矩阵
Figure GDA0003851023500000022
目标是计算矩阵乘法AB，首先需要通过反向传播算法，计算出能够模拟该矩阵乘法的各个参数，各个光导圆盘拥有m个入射位置，拥有n个出射位置。
S3：设置波幅关系
矩阵A的各个“行”(row)与矩阵B相乘的结果等效于该“行”对应的入射信号抵达接收装置时累积的波幅，这是因为待乘矩阵B各个元素的数值Bij入射位置ui与出射位置dj之间的距离来表示，入射位置ui＝(uixuiy)位于光导圆盘上层，出射接收点dj＝(djxdjy)位于光导圆盘下层，二者的距离dist(ui，dj)越远，则光信号在由ui处前往dj的过程中，波幅被吸收的就越多，波幅下降越多，因此，入射光信号的波幅Am(ui)与出射光信号的波幅Am(dj)之间的关系为：
Figure GDA0003851023500000031
其中c是与光导材料相关的常数，经过简单的数值变换处理进行简化，可以得到ui及dj处对应的数值
Figure GDA0003851023500000032
和
Figure GDA0003851023500000033
之间的关系：
Figure GDA0003851023500000034
将上述关系拓展到多个ui共同射出不同波幅的光信号的场景，则dj处接收到的光信号累积波幅为
Figure GDA0003851023500000035
公式恰好与矩阵乘法的计算公式一致，因此矩阵A的元素Aij与矩阵B的元素Bjk的乘法运算便可由物理行为来表达,Aij对应着波长为λi、入射位置为uj、波幅为Aij数值本身的光束/光信号，元素Aij与元素Bjk的乘积便是
Aij·Bjk＝V(dk)＝V(uj)·Bjk＝||uj-dk||·V(uj)
S4：反向传播算法
利用反向传播算法计算出能够模拟待乘矩阵B的光导圆盘上层入射点和下层出射点的位置分布情况，设存在H个同等配置的光导圆盘，各个光导圆盘对应的权重值为：
h1，h2，h3...hH
根据步骤S3可知，各个圆盘拥有m个上层入射点和n个下层出射点，矩阵B第j行在不同光导圆盘上对应的入射点分别标记为：
Figure GDA0003851023500000041
第k列在不同光导圆盘上对应的出射点分别标记为：
Figure GDA0003851023500000042
期望找到合适的位置分布，使得：
Figure GDA0003851023500000043
其中ε为期望的误差值上限，因此目标函数可以设为：
Figure GDA0003851023500000044
对该目标函数分别针对期望获得的参数进行求导，可得各参数的梯度表达式：
Figure GDA0003851023500000051
Figure GDA0003851023500000052
Figure GDA0003851023500000053
其中
Figure GDA0003851023500000054
于是可得各参数的更新方法(update rule)：
Figure GDA0003851023500000055
Figure GDA0003851023500000056
Figure GDA0003851023500000057
再经过反复迭代即可获得期望的参数值。
S5：基于参数进行搭建
根据前面步骤获取的参数来搭建光导圆盘，便可实现基于光导材料的快速矩阵乘法计算，将矩阵A的各元素用光信号来表示，鉴于不同波长的光信号可以叠加且互不干扰，因此可将位于同一“行”(row)的元素赋予同样的波长，各个元素对应的光信号的波幅与该元素的数值成正比，数值越大，波幅越大，借助各光导圆盘上层覆盖的发射装置，将矩阵A各元素对应的光信号同时发射到指定的位置，再将各圆盘下层接收到的光信号的波幅进行累加，得到不同波长光信号的波幅累加值，并将其转化为数值，得到矩阵乘法的结果。
优选的，所述S1步骤中，其光导圆盘为常规的光导材料掺杂定量的二氧化锗制成。
优选的，所述S2步骤中的参数包括入射位置、出射位置和各光导圆盘的权重值。
优选的，所述S2步骤中矩阵A和B及其矩阵乘法AB，将待乘矩阵B用光导装备上下层光信号入射及出射点的位置来描述，将矩阵A通过不同波频的光信号在各光导圆盘上层指定位置进行投射来模拟，从而将矩阵乘法AB的结果通过各光导圆盘下层的各出射位置的光信息的属性来表达。
优选的，所述S4步骤中利用反向传播算法，针对给定的待乘矩阵，找到最优的参数设置。
优选的，所述的最优的参数设置包括：光导圆盘的数量及其各自的权重值、各光信号在各光导圆盘上层的入射位置、各光信号在各光导圆盘下层的出射位置。
优选的，所述的光信息的属性可为波幅和波长。
(三)有益效果
与现有技术相比，本发明提供了一种一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，具备以下有益效果：
1、该一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，通过充分利用光的自然属性，能够将传统的基于电信号的信息处理机制，转化为基于光信号的信息处理机制，极大降低了能力消耗，大幅度提升运算速度的上限，为光学计算机的建设与应用提供了更多的可能性。
2、该一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，通过其适用于待乘矩阵规模较大且为固定值的场景，例如在信息检索场景，待检索的信息往往被表达为矩阵
Figure GDA0003851023500000061
(m远大于n)，该矩阵为固定量，唯有使用者的检索语句(query)对应的矩阵
Figure GDA0003851023500000071
为变量(矩阵Q的规模往往远小于矩阵C)，一旦将矩阵C在各光导圆盘中的参数计算好，以后的矩阵相乘过程中便无需进行二次计算，能够将矩阵乘法的计算耗时缩短至微秒级以内，且耗时不会随着矩阵C(待检索信息)规模的增长而变长。
3、该一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，通过有限数量的光导装置，借以恰当的工艺及结构，便可实现无限规模的矩阵乘法。任何矩阵(经过归一化)均可表达为若干个具备不同的上下层位置分布的光导圆盘的线性组合，理论上，光导圆盘数量越多，对待乘矩阵的拟合能力越强，但根据数学原理及实验数据表明，即使m再增大若干个数量级，所需光导圆盘的数量也不会增多。
具体实施方式
下面将结合本发明的实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明提供一种技术方案：一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，包括以下步骤：
S1：搭建光学装置
搭建若干组由光导材料制成的圆盘形状的光导圆盘，光导圆盘为常规的光导材料掺杂定量的二氧化锗制成，各光导圆盘的上层覆有致密的光信号发射装置，各光导圆盘的下层覆有致密的光信号接收装置。
S2：设置计算矩阵乘法
设矩阵
Figure GDA0003851023500000072
矩阵
Figure GDA0003851023500000073
目标是计算矩阵乘法AB，首先需要通过反向传播算法，计算出能够模拟该矩阵乘法的各个参数包括入射位置、出射位置和各光导圆盘的权重值，各个光导圆盘拥有m个入射位置，拥有n个出射位置，矩阵A和B及其矩阵乘法AB，将待乘矩阵B用光导装备上下层光信号入射及出射点的位置来描述，将矩阵A通过不同波频的光信号在各光导圆盘上层指定位置进行投射来模拟，从而将矩阵乘法AB的结果通过各光导圆盘下层的各出射位置的光信息的属性可为波幅和波长来表达。
S3：设置波幅关系
矩阵A的各个“行”(row)与矩阵B相乘的结果等效于该“行”对应的入射信号抵达接收装置时累积的波幅，这是因为待乘矩阵B各个元素的数值Bij入射位置ui与出射位置dj之间的距离来表示，入射位置ui＝(uixuiy)位于光导圆盘上层，出射接收点dj＝(djxdjy)位于光导圆盘下层，二者的距离dist(ui，dj)越远，则光信号在由ui处前往dj的过程中，波幅被吸收的就越多，波幅下降越多，因此，入射光信号的波幅Am(ui)与出射光信号的波幅Am(dj)之间的关系为：
Figure GDA0003851023500000081
其中c是与光导材料相关的常数，经过简单的数值变换处理进行简化，可以得到ui及dj处对应的数值
Figure GDA0003851023500000082
和
Figure GDA0003851023500000083
之间的关系：
Figure GDA0003851023500000084
将上述关系拓展到多个ui共同射出不同波幅的光信号的场景，则dj处接收到的光信号累积波幅为
Figure GDA0003851023500000091
公式恰好与矩阵乘法的计算公式一致，因此矩阵A的元素Aij与矩阵B的元素Bjk的乘法运算便可由物理行为来表达,Aij对应着波长为λi、入射位置为uj、波幅为Aij数值本身的光束/光信号，元素Aij与元素Bjk的乘积便是
Aij·Bjk＝V(dk)＝V(uj)·Bjk＝||uj-dk||·V(uj)
S4：反向传播算法
利用反向传播算法计算出能够模拟待乘矩阵B的光导圆盘上层入射点和下层出射点的位置分布情况，设存在H个同等配置的光导圆盘，各个光导圆盘对应的权重值为：
h1，h2，h3...hH
根据步骤S3可知，各个圆盘拥有m个上层入射点和n个下层出射点，矩阵B第j行在不同光导圆盘上对应的入射点分别标记为：
Figure GDA0003851023500000092
第k列在不同光导圆盘上对应的出射点分别标记为：
Figure GDA0003851023500000093
期望找到合适的位置分布，使得：
Figure GDA0003851023500000101
其中ε为期望的误差值上限，因此目标函数可以设为：
Figure GDA0003851023500000102
对该目标函数分别针对期望获得的参数进行求导，可得各参数的梯度表达式：
Figure GDA0003851023500000103
Figure GDA0003851023500000104
Figure GDA0003851023500000105
其中
Figure GDA0003851023500000106
于是可得各参数的更新方法(update rule)：
Figure GDA0003851023500000111
Figure GDA0003851023500000112
Figure GDA0003851023500000113
再经过反复迭代即可获得期望的参数值包括：光导圆盘的数量及其各自的权重值、各光信号在各光导圆盘上层的入射位置、各光信号在各光导圆盘下层的出射位置，利用反向传播算法，针对给定的待乘矩阵，找到最优的参数设置。
S5：基于参数进行搭建
根据前面步骤获取的参数来搭建光导圆盘，便可实现基于光导材料的快速矩阵乘法计算，将矩阵A的各元素用光信号来表示，鉴于不同波长的光信号可以叠加且互不干扰，因此可将位于同一“行”(row)的元素赋予同样的波长，各个元素对应的光信号的波幅与该元素的数值成正比，数值越大，波幅越大，借助各光导圆盘上层覆盖的发射装置，将矩阵A各元素对应的光信号同时发射到指定的位置，再将各圆盘下层接收到的光信号的波幅进行累加，得到不同波长光信号的波幅累加值，并将其转化为数值，得到矩阵乘法的结果。
实施例：
选用常规的光导材料(二氧化硅)掺杂定量的二氧化锗制成3组光导圆盘，每组光导圆盘直径为10毫米，厚度为1.5毫米。
在各光导圆盘上层覆盖一层液晶面板，并使20种处于不同波长的光束射入该面板，接入电流控制各波长光束的通过情况，从而能够将特定波长波幅的光束精准(精准度不低于0.001毫米)射入光导圆盘特定位置的能力。
在光导圆盘下层覆盖致密的能够感知光束波长与波幅的光敏传感器，用于感知从光导圆盘下层射出的光信号的分布情况。
当前任务为计算矩阵乘法AB，已知待乘矩阵
Figure GDA0003851023500000121
为固定量：
array([[0.94795167,0.59108731,0.57124488,0.61902366],[0.28221418,0.9044776,0.32208507,0.38334889],[0.42695304,0.33903709,0.28377041,0.90892387],[0.9022124,0.87637329,0.15653231,0.3179196],[0.51629658,0.961453,0.47847731,0.18341953]])
利用反向传播算法，可得3个光导圆盘上层的各个入射点(每个光导圆盘拥有5个入射点，即u1,u2...u5)坐标：
array([[[0.83238348,0.29556171],[0.26376183,0.73454498],[0.09704944,0.27249654],[0.68537353,0.16646709],[0.59945425,0.79077064]],
[[0.7737064,0.54258947],[0.26572815,0.67957375],[0.23635305,0.51934895],[0.15889263,0.30507943],[0.78480194,0.73301815]],
[[0.9095225,0.49935858],[0.16661862,0.5208936],[0.6196427,0.83049941],[0.09388091,0.27948775],[0.25608695,0.62475413]]])
各个出射点(每个光导圆盘拥有4个出射点，即d1,d2...d4)坐标：
array([[[0.10276762,0.95620465],[0.11244293,-0.0993868],[0.36696761,0.18910681],[0.8395188,0.71997876]],
[[0.64888221,1.06336624],[0.38740046,0.02728775],[0.73799304,0.1070019],[0.72107388,0.14608823]],
[[0.52660724,0.88424505],[0.98877532,0.64170661],[0.26511683,0.3658017],[0.0918918,0.28588736]]])
3个光导圆盘各自的权重值(即h1,h2,h3)：
array([0.91415987,-0.3599498,0.44376531])
如此坐标设置能够保证对于待乘矩阵B中的任意元素Bjy能够表达为：
Figure GDA0003851023500000141
对于任意矩阵
Figure GDA0003851023500000142
其元素Aij通过将波长为λi并照射至uj在各光导圆盘上层所对应的位置(即
Figure GDA0003851023500000143
)的光束来表达。将矩阵A对应的光信号射入三组光导圆盘，各光导圆盘底层可以接收到特定的光信号，再将其进行累加可得最终的矩阵相乘结果。
本发明的有益效果是：通过充分利用光的自然属性，能够将传统的基于电信号的信息处理机制，转化为基于光信号的信息处理机制，极大降低了能力消耗，大幅度提升运算速度的上限，为光学计算机的建设与应用提供了更多的可能性；通过其适用于待乘矩阵规模较大且为固定值的场景，例如在信息检索场景，待检索的信息往往被表达为矩阵
Figure GDA0003851023500000144
(m远大于n)，该矩阵为固定量，唯有使用者的检索语句(query)对应的矩阵
Figure GDA0003851023500000145
为变量(矩阵Q的规模往往远小于矩阵C)，一旦将矩阵C在各光导圆盘中的参数计算好，以后的矩阵相乘过程中便无需进行二次计算，能够将矩阵乘法的计算耗时缩短至微秒级以内，且耗时不会随着矩阵C(待检索信息)规模的增长而变长；通过有限数量的光导装置，借以恰当的工艺及结构，便可实现无限规模的矩阵乘法，任何矩阵(经过归一化)均可表达为若干个具备不同的上下层位置分布的光导圆盘的线性组合，理论上，光导圆盘数量越多，对待乘矩阵的拟合能力越强，但根据数学原理及实验数据表明(下图表为部分实验数据)
Figure GDA0003851023500000151
光导圆盘的数量与待乘矩阵的行列数量的关系为：
Figure GDA0003851023500000152
即，对于一个n*m的待乘矩阵(m远大于n)，光导圆盘的数量主要取决于n，即使m再增大若干个数量级，所需光导圆盘的数量也不会增多。
尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (7)

1.一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，包括以下步骤：
S1：搭建光学装置
搭建若干组由光导材料制成的圆盘形状的光导圆盘，各光导圆盘的上层覆有致密的光信号发射装置，各光导圆盘的下层覆有致密的光信号接收装置；
S2：设置计算矩阵乘法
设矩阵
Figure FDA0003851023490000011
矩阵
Figure FDA0003851023490000012
目标是计算矩阵乘法AB，首先需要通过反向传播算法，计算出能够模拟该矩阵乘法的各个参数，各个光导圆盘拥有m个入射位置，拥有n个出射位置；
S3：设置波幅关系
矩阵A的各个“行”(row)与矩阵B相乘的结果等效于该“行”对应的入射信号抵达接收装置时累积的波幅，这是因为待乘矩阵B各个元素的数值Bij入射位置ui与出射位置dj之间的距离来表示，入射位置ui＝(uixuiy)位于光导圆盘上层，出射接收点dj＝(djxdjy)位于光导圆盘下层，二者的距离dist(ui，dj)越远，则光信号在由ui处前往dj的过程中，波幅被吸收的就越多，波幅下降越多，因此，入射光信号的波幅Am(ui)与出射光信号的波幅Am(dj)之间的关系为：
Figure FDA0003851023490000013
其中c是与光导材料相关的常数，经过简单的数值变换处理进行简化，可以得到ui及dj处对应的数值
Figure FDA0003851023490000014
和
Figure FDA0003851023490000015
之间的关系：
Figure FDA0003851023490000021
将上述关系拓展到多个ui共同射出不同波幅的光信号的场景，则dj处接收到的光信号累积波幅为
Figure FDA0003851023490000022
公式恰好与矩阵乘法的计算公式一致，因此矩阵A的元素Aij与矩阵B的元素Bjk的乘法运算便可由物理行为来表达，Aij对应着波长为λi、入射位置为uj、波幅为Aij数值本身的光束/光信号，元素Aij与元素Bjk的乘积便是
Aij·Bjk＝V(dk)＝V(uj)·Bjk＝||uj-dk||·V(uj)
S4：反向传播算法
利用反向传播算法计算出能够模拟待乘矩阵B的光导圆盘上层入射点和下层出射点的位置分布情况，设存在H个同等配置的光导圆盘，各个光导圆盘对应的权重值为：
h1，h2，h3...hH
根据步骤S3可知，各个圆盘拥有m个上层入射点和n个下层出射点，矩阵B第j行在不同光导圆盘上对应的入射点分别标记为：
Figure FDA0003851023490000031
第k列在不同光导圆盘上对应的出射点分别标记为：
Figure FDA0003851023490000032
期望找到合适的位置分布，使得：
Figure FDA0003851023490000033
其中ε为期望的误差值上限，因此目标函数可以设为：
Figure FDA0003851023490000034
对该目标函数分别针对期望获得的参数进行求导，可得各参数的梯度表达式：
Figure FDA0003851023490000035
Figure FDA0003851023490000036
Figure FDA0003851023490000037
其中
Figure FDA0003851023490000041
于是可得各参数的更新方法(update rule)：
Figure FDA0003851023490000042
Figure FDA0003851023490000043
Figure FDA0003851023490000044
再经过反复迭代即可获得期望的参数值；
S5：基于参数进行搭建
根据前面步骤获取的参数来搭建光导圆盘，便可实现基于光导材料的快速矩阵乘法计算，将矩阵A的各元素用光信号来表示，鉴于不同波长的光信号可以叠加且互不干扰，因此可将位于同一“行”(row)的元素赋予同样的波长，各个元素对应的光信号的波幅与该元素的数值成正比，数值越大，波幅越大，借助各光导圆盘上层覆盖的发射装置，将矩阵A各元素对应的光信号同时发射到指定的位置，再将各圆盘下层接收到的光信号的波幅进行累加，得到不同波长光信号的波幅累加值，并将其转化为数值，得到矩阵乘法的结果。
2.根据权利要求1所述的一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，所述S1步骤中，其光导圆盘为常规的光导材料掺杂定量的二氧化锗制成。
3.根据权利要求1所述的一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，所述S2步骤中的参数包括入射位置、出射位置和各光导圆盘的权重值。
4.根据权利要求1所述的一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，所述S2步骤中矩阵A和B及其矩阵乘法AB，将待乘矩阵B用光导装备上下层光信号入射及出射点的位置来描述，将矩阵A通过不同波频的光信号在各光导圆盘上层指定位置进行投射来模拟，从而将矩阵乘法AB的结果通过各光导圆盘下层的各出射位置的光信息的属性来表达。
5.根据权利要求1所述的一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，所述S4步骤中利用反向传播算法，针对给定的待乘矩阵，找到最优的参数设置。
6.根据权利要求5所述的一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，所述的最优的参数设置包括：光导圆盘的数量及其各自的权重值、各光信号在各光导圆盘上层的入射位置、各光信号在各光导圆盘下层的出射位置。
7.根据权利要求4所述的一种用于快速计算矩阵乘法的光学装置，其特征在于，所述的光信息的属性可为波幅和波长。
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