CN113034640A - 一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法 - Google Patents

Abstract

一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，包括以下步骤：步骤1，在计算机中输入原始测试图像x，所有测试图像均为256×256像素的灰度图像；步骤2，设置采样率，将测试图像排列为一维向量的形式，生成采样矩阵，通过随机采样输入图像的傅里叶变换系数来生成CS测量，得到测量值；步骤3，将得到的测量值和采样矩阵作为输入，输入到提出的联合算法的重构模型中，利用交替方向乘子法迭代求得恢复图像

恢复图像为256×256像素；步骤4，选择CS重构算法进行恢复图像与测试图像主观和客观上的比较，客观评估算法重构性能选择峰值信噪比和结构相似度作为评价指标。本发明可以实现更加精确、高质量的图像恢复结果。

Description

一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构 方法

技术领域

本发明属于图像重构算法的技术领域，涉及一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法。

背景技术

近年来，压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论被提出，这是一种突破了奈奎斯特采样定理频率限制的全新信号采样方式。压缩感知理论指出若信号在某个变换域是稀疏的或可稀疏表示的情况下，可以以采样和数据压缩同时进行的方式，通过使用随机高斯矩阵或部分傅里叶矩阵生成的少量随机测量实现稀疏信号的完美重构。压缩感知方法具有采样率低、采集效率高等优点，目前已被广泛应用于包括3D成像，视频采集，图像加密传输，核磁共振和遥感雷达等各个领域。

信号的精确、高质量重构是压缩感知研究的核心问题，在图像的重构过程中，图像的先验信息起到了至关重要的作用，如何充分发掘图像的先验信息从而构造有效的约束条件成为了图像重构的关键。最常用的图像先验是稀疏先验，即基于图像的稀疏表示构建稀疏模型求解，经典的重构算法有求解基于l₀范数最小化模型的贪婪算法，包括匹配追踪算法，正交匹配追踪算法，子空间追踪算法，压缩采样匹配追踪等；以及求解基于l₁范数近似稀疏模型的凸优化算法，包括基追踪算法，迭代收缩阈值法，梯度投影法，全变分算法等。其中，全变分算法利用图像的梯度稀疏先验约束图像信号进行重构，能在去除噪声的同时更好地保留图像的边缘信息。然而，在全变分算法中仍然存在阶梯效应等问题。为此，许多变体被提出并逐渐应用于CS重构，如分数阶全变分、重加权全变分和双边全变分等。

利用图像稀疏先验的经典重构算法已经取得了较好的图像重构性能。最近，基于图像非局部自相似先验的图像恢复模型得到了广泛关注。随着非局部相似性先验在图像去噪领域的应用，许多的研究者也将其应用于CS重构中。有研究人员通过发掘图像的结构化稀疏性与非局部相似性之间的关系，提出了一种非局部低秩正则约束的图像重构算法，该算法充分利用了相似图像块的低秩特性，有效去除图像中的冗余信息与伪影，结合图像的稀疏编码实现了优异的图像恢复结果。

现有的利用图像非局部自相似性先验的重构算法，均利用块匹配方法得到相似图像块，由于图像中存在一定量的重复结构，并且存在噪声的干扰，基于低秩替代稀疏约束进行优化不可避免会去除这部分结构，导致重构图像的边缘存在过平滑和信息退化的问题。对此，本发明将双边全变分约束作为全局信息先验加入到基于非局部低秩的重构模型中，利用双边全变分算子对图像边缘的保持作用，增强重构图像的纹理细节。

发明内容

为了解决基于非局部低秩的重构算法恢复图像的边缘存在过平滑和信息退化的问题，本发明提供了一种改进方式，即将双边全变分作为全局信息先验加入进去，得到了一种新的联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，可以实现更加精确、高质量的图像恢复结果。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，包括以下步骤：

步骤1，在计算机中输入原始测试图像x，所有测试图像均为256×256像素的灰度图像；

步骤2，设置采样率rates，将测试图像排列为一维向量的形式x∈R^N×1，生成采样矩阵Φ∈R^M×N，通过随机采样输入图像的傅里叶变换系数来生成CS测量，得到测量值y∈R^M×1；

y＝Φx

步骤3，将得到的测量值y和采样矩阵Φ作为输入，输入到提出的联合算法的重构模型中，利用交替方向乘子法(ADMM)迭代求得恢复图像

恢复图像为256×256像素；

步骤4，选择CS重构算法进行恢复图像与测试图像主观和客观上的比较，客观评估算法重构性能选择峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)作为评价指标。

进一步，所述步骤3中，根据图像x的稀疏先验，传统的凸优化算法写成以下无约束形式：

其中，

为重构的保真项，||x||₁为信号的稀疏正则项，λ为适当选择的正则化参数。

定义双边全变分如下：

其中，

表示图像在水平方向上平移l个像素，

表示图像在垂直方向上平移t个像素，

表示图像x在水平与垂直的各尺度下的差分结果；α(0＜α≤1)用于控制该正则项的空间衰减，p(p≥1)为滤波核的窗口尺寸，权重

ε是一个防止除数为0的极小正常数，值为2.2204e-16，权重w_b会根据图像x进行迭代更新。

基于图像非局部自相似先验的图像恢复模型主要有两个部分组成：一个是用于表征图像自相似性的块匹配策略，另一个是用于表征稀疏性约束的低秩近似；图像的块匹配策略即对一幅图像x进行相似块的块分组，对于一个图像块x_i，大小为n×n，在搜索窗口s×s内基于欧式距离搜索与之相似的m个图像块，每个图像块按列展开构成相似块矩阵X_i，大小为n²×m；由于这些图像块具有相似结构，所形成的矩阵X_i具有低秩特性；实际的图像x中还存在噪声污染，因此将相似块矩阵建模为：X_i＝L_i+N_i，其中L_i和N_i分别表示低秩矩阵和高斯噪声矩阵，然后通过求解以下优化问题来恢复出低秩矩阵L_i：

其中，

是由每个图像块通过块匹配后组成的相似块矩阵，即X_i，R_i为对应的块匹配操作；

其中，σ_i(L_i)对应于L_i中的第i个奇异值，w＝[w₁,w₂,...,w_n],w_i≥0是分配给对应σ_i(L_i)的权重。权重w_i＝1/(σ_i(X)+ε)，ε是一个防止除数为0的极小正常数，值为2.2204e-16。

所述步骤3中，所述联合算法的重构模型为：

其中，λ₁和λ₂为正则化参数，为了便于计算，对双边全变分项进行简化，用β替代

令

简写为以下形式：

提出的联合算法为凸优化算法，采用交替方向乘子法(ADMM)进行迭代求解，首先引入辅助变量进行替换：

s.t.x＝u,Qx＝z

利用增广拉格朗日函数将上式转变为无约束形式：

其中，η₁和η₂是惩罚参数，a和b是拉格朗日乘子，然后采用以下的乘子迭代方式：

其中，k为迭代次数，总的迭代次数为K次；根据交替方向乘子法，将原问题分解为以下四个子问题来求解。

L_i子问题的求解

该加权核范数的优化问题一般采用奇异值阈值(SVT)操作来近似求解：

其中，U∑V^T为相似块矩阵X_i的奇异值分解(SVD)，S_w,τ(∑)为阈值算子，对对角矩阵∑中的每一个元素执行阈值操作：

这里，τ＝μ/2λ₁，w_i为设定的权重，

u子问题的求解

上式有一个闭式解：

z子问题的求解

上式根据软阈值收缩来求解：

z^k+1＝soft(Qx^k-b^k,λ₂βw_b/η₂)

其中，软阈值收缩算子soft(x,t)＝sgn(x)·max(|x|-t,0)，权重w_b根据下式进行更新：

x子问题的求解

上式有一个闭式解：

x^k+1＝(Φ^TΦ+η₁I+η₂Q^TQ)^-1(Φ^Ty+η₁(u^k+a^k)+η₂Q^T(z^k+b^k))

最终迭代求得恢复图像

本发明的有益效果主要表现在：相较于传统的CS图像重构算法，提出的联合算法可以充分利用图像的非局部自相似性先验信息得到优异的图像恢复结果，而针对非局部低秩重构的图像边缘存在过平滑和信息退化的问题，加入的双边全变分作为全局信息先验约束，保留了恢复图像更多的边缘，增强了图像的纹理细节。

附图说明

图1为本发明中联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法的流程图。

图2为本发明中使用的标准测试图像，其中，(a)是Boats；(b)是Cameraman；(c)是House；(d)是Lena；(e)是Monarch；(f)是Parrots。

图3为本发明中提出的联合算法的算法流程图。

图4为本发明中提出的算法与对比算法在10％采样率下重构House图像的恢复结果，其中，(a)是原始图像；(b)是TVAL3算法，PSNR＝22.51dB，SSIM＝0.7433；(c)是TVNLR算法，PSNR＝26.54dB，SSIM＝0.7615；(d)是BM3D-CS算法，PSNR＝29.57dB，SSIM＝0.7956；(e)是NLR-CS算法，PSNR＝33.71dB，SSIM＝0.8566；(f)本发明提出的算法，PSNR＝34.77dB，SSIM＝0.8774。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参考图1～图4，一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，包括以下步骤：

步骤1，在计算机中输入原始测试图像x，所有测试图像均为256×256像素的灰度图像；

所用的测试图像x参考图2所示。

步骤2，设置采样率rates，将测试图像排列为一维向量的形式x∈R^N×1，生成采样矩阵Φ∈R^M×N，通过随机采样输入图像的傅里叶变换系数来生成CS测量，得到测量值y∈R^M×1；

y＝Φx

采样率

N＝256×256＝65536，取10％即0.1的采样率，M＝6553。在计算机中生成采样矩阵Φ，Φ为部分傅里叶矩阵。

步骤3，将得到的测量值y和采样矩阵Φ作为输入，输入到提出的联合算法中，利用交替方向乘子法(ADMM)迭代求得恢复图像

恢复图像为256×256像素；

根据图像x的稀疏先验，传统的凸优化算法写成以下无约束形式：

其中，

为重构的保真项，||x||₁为信号的稀疏正则项，λ为适当选择的正则化参数；

定义双边全变分如下：

其中，

表示图像在水平方向上平移l个像素，

表示图像在垂直方向上平移t个像素，

表示图像x在水平与垂直的各尺度下的差分结果，α(0＜α≤1)用于控制该正则项的空间衰减，p(p≥1)为滤波核的窗口尺寸，权重

ε是一个防止除数为0的极小正常数，值为2.2204e-16，权重w_b会根据图像x进行迭代更新；

基于图像非局部自相似先验的图像恢复模型主要有两个部分组成：一个是用于表征图像自相似性的块匹配策略，另一个是用于表征稀疏性约束的低秩近似。图像的块匹配策略即对一幅图像x进行相似块的块分组；对于一个图像块x_i，大小为n×n，在搜索窗口s×s内基于欧式距离搜索与之相似的m个图像块，每个图像块按列展开构成相似块矩阵X_i，大小为n²×m。由于这些图像块具有相似结构，所形成的矩阵X_i具有低秩特性；实际的图像x中还存在噪声污染，因此可将相似块矩阵建模为：X_i＝L_i+N_i，其中L_i和N_i分别表示低秩矩阵和高斯噪声矩阵，然后可以通过求解以下优化问题来恢复出低秩矩阵L_i：

其中，

是由每个图像块通过块匹配后组成的相似块矩阵，即X_i，R_i为对应的块匹配操作；

其中，σ_i(L_i)对应于L_i中的第i个奇异值，w＝[w₁,w₂,...,w_n],w_i≥0是分配给对应σ_i(L_i)的权重，权重w_i＝1/(σ_i(X)+ε)，ε是一个防止除数为0的极小正常数，值为2.2204e-16。

所述联合算法的重构模型为：

其中，λ₁和λ₂为正则化参数，为了便于计算，对双边全变分项进行简化，用β替代

令

简写为以下形式：

提出的联合算法为凸优化算法，采用交替方向乘子法(ADMM)进行迭代求解，首先引入辅助变量进行替换：

s.t.x＝u,Qx＝z

利用增广拉格朗日函数将上式转变为无约束形式：

其中，η₁和η₂是惩罚参数，a和b是拉格朗日乘子。然后采用以下的乘子迭代方式：

其中，k为迭代次数。总的迭代次数为K次。根据交替方向乘子法，可以将原问题分解为以下四个子问题来求解；

L_i子问题的求解

该加权核范数的优化问题一般采用奇异值阈值(SVT)操作来近似求解：

其中，U∑V^T为相似块矩阵X_i的奇异值分解(SVD)，S_w,τ(∑)为阈值算子，对对角矩阵∑中的每一个元素执行阈值操作：

这里，τ＝μ/2λ₁，w_i为设定的权重，

u子问题的求解

上式有一个闭式解：

z子问题的求解

上式根据软阈值收缩来求解：

z^k+1＝soft(Qx^k-b^k,λ₂βw_b/η₂)

其中，软阈值收缩算子soft(x,t)＝sgn(x)·max(|x|-t,0)。权重w_b根据下式进行更新：

x子问题的求解

上式有一个闭式解：

x^k+1＝(Φ^TΦ+η₁I+η₂Q^TQ)^-1(Φ^Ty+η₁(u^k+a^k)+η₂Q^T(z^k+b^k))。

参考图3的算法流程图，具体的实施步骤如下：

(1)输入测量值y和采样矩阵Φ，使用离散余弦变换(DCT)获得初始估计x¹；

(2)根据选定的采样率0.1，设置参数：λ₁＝1.5，λ₂＝0.15，α＝0.7，p＝2，μ＝1，η₁＝η₂＝0.01，K＝100；设置拉格朗日乘子：a＝b＝0；设置权重的初始值：w_b＝1，w_i＝[1,1,...,1]^T；

外循环：for k＝1,2,...,K do

(3)利用块匹配策略对图像进行相似块分组，设置图像块大小n＝6，搜索窗尺寸s＝20，相似块数量m＝45，得到相似块矩阵X_i，大小为6²×45，令

内循环：for i＝1,2,...,m do；

(4)更新权重

计算

End for

(5)计算

(6)计算z^k+1＝soft(Qx^k-b^k,λ₂βw_b/η₂)，更新权重

(7)计算x^k+1＝(Φ^TΦ+η₁I+η₂Q^TQ)^-1(Φ^Ty+η₁(u^k+a^k)+η₂Q^T(z^k+b^k))；

(8)更新拉格朗日乘子

End for

(9)输出最后的重构图像

步骤4，选择几种当前主流的CS重构算法进行恢复图像与测试图像主观和客观上的比较，客观评估算法重构性能选择峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)作为评价指标。

PSNR和SSIM的计算公式如下：

其中，MSE为均方误差，x为测试图像，y为恢复图像，大小均为256×256像素，这里PSNR值越大，y和x越接近，说明图像质量越好。μ_x，μ_y是x和y的均值，σ_x，σ_y分别是x和y的标准差。σ_xy是两个图像之间的协方差。C₁，C₂是小的正常数。SSIM的值介于0和1之间，值越大，图像质量越好。

主观视觉比较参考图4，客观评估结果参考表1和表2。

表1

表2

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims (4)

1.一种联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1，在计算机中输入原始测试图像x，所有测试图像均为256×256像素的灰度图像；

步骤2，设置采样率rates，将测试图像排列为一维向量的形式x∈R^N×1，生成采样矩阵Φ∈R^M×N，通过随机采样输入图像的傅里叶变换系数来生成CS测量，得到测量值y∈R^M×1；

y＝Φx

步骤3，将得到的测量值y和采样矩阵Φ作为输入，输入到提出的联合算法的重构模型中，利用交替方向乘子法(ADMM)迭代求得恢复图像

恢复图像为256×256像素；

步骤4，选择CS重构算法进行恢复图像与测试图像主观和客观上的比较，客观评估算法重构性能选择峰值信噪比PSNR和结构相似度SSIM作为评价指标。

2.如权利要求1所述的联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，其特征在于，所述步骤3中，根据图像x的稀疏先验，传统的凸优化算法写成以下无约束形式：

其中，

为重构的保真项，||x||₁为信号的稀疏正则项，λ为适当选择的正则化参数。

定义双边全变分如下：

其中，

表示图像在水平方向上平移l个像素，

表示图像在垂直方向上平移t个像素，

表示图像x在水平与垂直的各尺度下的差分结果；α(0＜α≤1)用于控制该正则项的空间衰减，p(p≥1)为滤波核的窗口尺寸，权重

ε是一个防止除数为0的极小正常数，值为2.2204e-16，权重w_b会根据图像x进行迭代更新；

基于图像非局部自相似先验的图像恢复模型主要有两个部分组成：一个是用于表征图像自相似性的块匹配策略，另一个是用于表征稀疏性约束的低秩近似；图像的块匹配策略即对一幅图像x进行相似块的块分组，对于一个图像块x_i，大小为n×n，在搜索窗口s×s内基于欧式距离搜索与之相似的m个图像块，每个图像块按列展开构成相似块矩阵X_i，大小为n²×m；由于这些图像块具有相似结构，所形成的矩阵X_i具有低秩特性；实际的图像x中还存在噪声污染，因此将相似块矩阵建模为：X_i＝L_i+N_i，其中L_i和N_i分别表示低秩矩阵和高斯噪声矩阵，然后通过求解以下优化问题来恢复出低秩矩阵L_i：

其中，

是由每个图像块通过块匹配后组成的相似块矩阵，即X_i，R_i为对应的块匹配操作；

其中，σ_i(L_i)对应于L_i中的第i个奇异值，w＝[w₁,w₂,...,w_n],w_i≥0是分配给对应σ_i(L_i)的权重。权重w_i＝1/(σ_i(X)+ε)，ε是一个防止除数为0的极小正常数，值为2.2204e-16。

3.如权利要求1或2所述的联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，其特征在于，所述步骤3中，所述联合算法的重构模型为：

其中，λ₁和λ₂为正则化参数，对双边全变分项进行简化，用β替代

令

简写为以下形式：

提出的联合算法为凸优化算法，采用交替方向乘子法(ADMM)进行迭代求解，首先引入辅助变量进行替换：

s.t.x＝u,Qx＝z

利用增广拉格朗日函数将上式转变为无约束形式：

其中，η₁和η₂是惩罚参数，a和b是拉格朗日乘子，然后采用以下的乘子迭代方式：

其中，k为迭代次数，总的迭代次数为K次；根据交替方向乘子法，将原问题分解为以下四个子问题来求解。

L_i子问题的求解

该加权核范数的优化问题一般采用奇异值阈值(SVT)操作来近似求解：

其中，U∑V^T为相似块矩阵X_i的奇异值分解(SVD)，S_w,τ(∑)为阈值算子，对对角矩阵∑中的每一个元素执行阈值操作：

这里，τ＝μ/2λ₁，w_i为设定的权重，

u子问题的求解

上式有一个闭式解：

z子问题的求解

上式根据软阈值收缩来求解：

z^k+1＝soft(Qx^k-b^k,λ₂βw_b/η₂)

其中，软阈值收缩算子soft(x,t)＝sgn(x)·max(|x|-t,0)，权重w_b根据下式进行更新：

x子问题的求解

上式有一个闭式解：

x^k+1＝(Φ^TΦ+η₁I+η₂Q^TQ)^-1(Φ^Ty+η₁(u^k+a^k)+η₂Q^T(z^k+b^k))

最终迭代求得恢复图像

4.如权利要求1或2所述的联合双边全变分与非局部低秩正则的压缩感知图像重构方法，其特征在于，所述步骤4中，PSNR和SSIM的计算公式如下：

其中，MSE为均方误差，x为测试图像，y为恢复图像，大小均为256×256像素，μ_x，μ_y是x和y的均值，σ_x，σ_y分别是x和y的标准差，σ_xy是两个图像之间的协方差，C₁，C₂是小的正常数，SSIM的值介于0和1之间，值越大，图像质量越好。

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