CN113033602B - 一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法 - Google Patents

一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法 Download PDF

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CN113033602B CN202110158280.9A CN202110158280A CN113033602B CN 113033602 B CN113033602 B CN 113033602B CN 202110158280 A CN202110158280 A CN 202110158280A CN 113033602 B CN113033602 B CN 113033602B
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Abstract

本发明公开了一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法。与现有大多数表示学习方法不同的是，去除噪声后的原始数据样本被选用为字典，低秩和稀疏双重约束使得表示系数张量分别有效地捕获了样本数据的全局结构和局部结构，表示系数张量的低秩约束用来捕获样本数据的全局结构，而稀疏约束用来获取样本数据的局部结构；张量l2,1‑范数用来度量由多个样本组成的张量噪声，可以有效处理噪声样本和离群值样本。本发明可以直接在三维张量上进行子空间学习，在人脸图像聚类实验和彩色图像去噪实验的结果表明，本发明不仅可以有效地获得张量数据的子空间结构，而且可以有效地滤除噪声的同时恢复图像样本。

Description

一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法
技术领域
本发明属于智能信息处理技术领域，尤其涉及一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法。
背景技术
张量作为多维数据的表示形式，可以有效地保持每个维度上原始数据的特征，在机器学习和图像处理中具有重要的应用。稀疏表示(SR)源自信号处理中的压缩感知理论，由于SR在人脸识别中的成功应用，自提出以来，SR就受到了极大的关注，并已迅速扩展到其他领域。稀疏约束能有效地保持数据样本中的局部信息，稀疏是对向量中非零元素的度量，低秩是矩阵中非零奇异值数目的度量。随着稀疏模型在机器学习和计算机视觉中的成功应用，低秩模型也成为新的研究热点。低秩约束不仅可以获取数据的全局结构，而且对于较大的离群值和噪声具有鲁棒性。
张量不同于向量或矩阵，定义一个适合张量的稀疏度量，难度较大。根据张量-张量积(t-product)，Kilmer等人将基于矩阵的奇异值分解(SVD)扩展到张量SVD(t-SVD)，并根据张量管秩的定义成功地将低秩应用于张量。张量管秩不仅可以测量张量数据的稀疏度，而且与矩阵稀疏度的定义(即低秩)具有一致性的关系。因此，基于张量管秩提出的张量鲁棒主成分分析(TRPCA) 可以有效滤除张量数据中的噪声，但无法获得数据样本的子空间结构。在张量子空间定义的基础上，将基于矩阵的低秩表示(LRR)扩展到张量LRR(TLRR)，TLRR可以直接找到数据位于张量数据空间中的张量低秩子空间结构。但是， TLRR存在如下缺陷：首先，只有在张量子空间是独立的假设下才能实现精确的聚类，对于实际数据集，此假设过于严格，通常更合理的假设是实际数据来自不相交的子空间或更复杂的子空间。其次，l1-范数用于度量由多个样本组成的张量噪声可能存在偏差，因为不同的样本包含不同类别的噪声。
发明内容
针对上述背景技术中指出的不足，本发明提供了一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，旨在解决上述背景技术中基于矩阵的低秩表示扩展到张量模型存在的问题。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：
一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，包括以下步骤：
(1)设定目标函数如下：
Figure RE-GDA0003045447050000021
其中，
Figure RE-GDA0003045447050000022
是原始噪声数据张量，
Figure RE-GDA0003045447050000023
是字典，
Figure RE-GDA0003045447050000024
是低秩稀疏表示系数张量，
Figure RE-GDA0003045447050000025
是稀疏噪声，r≤min(n1,n2)是字典的数量，α和β是两个加权参数，并且
Figure RE-GDA0003045447050000026
是用来表征稀疏噪声
Figure RE-GDA0003045447050000027
的张量范数，在所述目标函数中考虑
Figure RE-GDA00030454470500000211
和
Figure RE-GDA00030454470500000212
两个值，
Figure RE-GDA00030454470500000213
-范数用于仅由一个样本组成的张量，而
Figure RE-GDA00030454470500000214
-范数用于由多个样本组成的张量；
(2)所述目标函数作为优化问题
首先将目标函数的优化问题转换为以下函数的等效优化问题：
Figure RE-GDA0003045447050000028
然后使用乘数交替方向法ADMM解决等效优化问题，利用相应的增广拉格朗日函数，通过固定变量，分别交替更新
Figure RE-GDA0003045447050000029
和
Figure RE-GDA00030454470500000210
以解决优化问题；
(3)当所有变量更新差值小于预定阈值时，输出相似系数张量，对相似系数张量沿第三维度进行求和得到相似系数矩阵，最后利用谱聚类方法如N-cut，得到最终聚类结果。
优选地，所述增广拉格朗日函数如下：
Figure RE-GDA0003045447050000031
其中，μ是惩罚参数，
Figure RE-GDA0003045447050000032
和
Figure RE-GDA0003045447050000033
是拉格朗日乘子。
优选地，所述
Figure RE-GDA0003045447050000034
的更新过程如下：
通过求解下列优化问题来优化所述增广拉格朗日函数中的
Figure RE-GDA0003045447050000035
Figure RE-GDA0003045447050000036
其中，
Figure RE-GDA0003045447050000037
将优化问题(4)转化为复数域并解决，优化问题(4)的等价问题如下：
Figure RE-GDA0003045447050000038
由于
Figure RE-GDA0003045447050000039
是一个块对角矩阵，优化问题(5)通过下列等价问题来解决：
Figure RE-GDA00030454470500000310
通过奇异阈值SVT运算符解决，SVT运算符
Figure RE-GDA00030454470500000311
定义为：
Figure RE-GDA00030454470500000312
其中，
Figure RE-GDA00030454470500000313
是奇异值分解，而
Figure RE-GDA00030454470500000314
是收缩算子，则优化问题(7)的闭式解为：
Figure RE-GDA00030454470500000315
得到
Figure RE-GDA00030454470500000316
优选地，所述
Figure RE-GDA00030454470500000317
的更新过程如下：
由于所述拉格朗日函数是不受约束的，因此，式(3)关于
Figure RE-GDA00030454470500000318
的最小化如下：
Figure RE-GDA0003045447050000041
其中，
Figure RE-GDA0003045447050000042
和
Figure RE-GDA0003045447050000043
式(9)是一个涉及可变张量
Figure RE-GDA0003045447050000044
的凸问题，包含t-product运算，通过使用 DFT把式(9)转换为复数域，通过优化每个正面切片来获得最优解，然后通过逆DFT进行变换，从式(9)获得：
Figure RE-GDA0003045447050000045
得出式(10)的闭式解为：
Figure RE-GDA0003045447050000046
优选地，所述
Figure RE-GDA0003045447050000047
的更新过程如下：
通过求解下列优化问题来优化所述增广拉格朗日函数中的
Figure RE-GDA0003045447050000048
Figure RE-GDA0003045447050000049
其中，
Figure RE-GDA00030454470500000410
通过收缩算子∑η(x)以封闭的形式求解优化问题(12)的解为
Figure RE-GDA00030454470500000411
优选地，所述
Figure RE-GDA00030454470500000412
的更新过程如下：
通过求解下列优化问题来优化所述增广拉格朗日函数中的
Figure RE-GDA00030454470500000413
Figure RE-GDA00030454470500000414
令
Figure RE-GDA00030454470500000415
则式(12)表示如下：
Figure RE-GDA00030454470500000416
对于
Figure RE-GDA00030454470500000418
-范数和
Figure RE-GDA00030454470500000419
-范数，优化问题(14)的求解分别如下：
如果
Figure RE-GDA00030454470500000420
则优化问题(14)的解为：
Figure RE-GDA00030454470500000417
如果
Figure RE-GDA00030454470500000510
则求解优化问题(14)时使用下列引理，
引理：对于张量
Figure RE-GDA0003045447050000051
和正标量η，如果
Figure RE-GDA0003045447050000052
是下列式子的最优解，
Figure RE-GDA0003045447050000053
则
Figure RE-GDA0003045447050000054
的第j个侧面切片
Figure RE-GDA0003045447050000055
为：
Figure RE-GDA0003045447050000056
当n3＝1时，退化为矩阵列向量的
Figure RE-GDA00030454470500000511
-范数优化问题，根据所述引理，优化问题(14)的解为：
Figure RE-GDA0003045447050000057
优选地，所述
Figure RE-GDA0003045447050000058
和μ更新如下：
Figure RE-GDA0003045447050000059
相比于现有技术的缺点和不足，本发明具有以下有益效果：
(1)本发明提供的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法中，选择去噪张量数据作为字典，对表示系数张量执行低秩和稀疏的双重约束，采用表示系数张量的低秩约束来捕获样本数据的全局结构，而使用稀疏约束来获取样本数据的局部结构；对于由多个样本组成的张量，采用鲁棒的l2,1-范数来度量噪声。人脸图像聚类实验和实际图像去噪实验的结果表明，本发明不仅可以有效地获得张量数据的子空间结构，而且可以有效地滤除噪声的同时恢复图像样本。
(2)与大多数直接使用原始样本构成字典的子空间聚类方法不同，本发明采用了具有更高表达能力的去噪样本作为字典。本发明在目标函数优化时采用了一种基于乘数交替方向法(ADMM)的高效迭代更新算法。与现有技术相比，在人脸图像上进行聚类和对真实图像进行去噪的数值实验验证了本发明在揭示张量子空间中的有效性。
附图说明
图1是本发明实施例提供的基于张量低秩稀疏表示的聚类方法流程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
1、设定目标函数如下：
Figure RE-GDA0003045447050000061
其中，
Figure RE-GDA0003045447050000062
是原始噪声数据张量；
Figure RE-GDA0003045447050000063
是字典；
Figure RE-GDA0003045447050000064
是低秩稀疏表示系数张量；
Figure RE-GDA0003045447050000065
是稀疏噪声；r≤min(n1,n2)是字典的数量，α和β是两个加权参数，并且
Figure RE-GDA0003045447050000066
是用来表征稀疏噪声
Figure RE-GDA0003045447050000067
的张量范数；在所述目标函数中考虑
Figure RE-GDA0003045447050000068
和
Figure RE-GDA0003045447050000069
两个值，
Figure RE-GDA00030454470500000610
-范数用于仅由一个样本组成的张量，而
Figure RE-GDA00030454470500000611
-范数用于由多个样本组成的张量。
2、目标函数作为优化问题
为了使目标函数更容易解决，首先将目标函数的优化问题转换为以下函数的等效优化问题：
Figure RE-GDA00030454470500000612
然后使用乘数交替方向法ADMM解决等效优化问题，相应的增广拉格朗日函数如下：
Figure RE-GDA0003045447050000071
其中，μ是惩罚参数，
Figure RE-GDA0003045447050000072
和
Figure RE-GDA0003045447050000073
是拉格朗日乘子。执行乘数交替方向法 ADMM，通过固定变量，分别交替更新
Figure RE-GDA0003045447050000074
和
Figure RE-GDA0003045447050000075
以解决优化问题；即求解某一变量时，同时固定其他变量。
(1)更新
Figure RE-GDA0003045447050000076
通过求解下列优化问题来优化增广拉格朗日函数中的
Figure RE-GDA0003045447050000077
Figure RE-GDA0003045447050000078
其中，
Figure RE-GDA0003045447050000079
将优化问题(4)转化为复数域并解决，优化问题(4)的等价问题如下：
Figure RE-GDA00030454470500000710
由于
Figure RE-GDA00030454470500000711
是一个块对角矩阵，优化问题(5)通过下列等价问题来解决：
Figure RE-GDA00030454470500000712
通过奇异阈值SVT运算符解决，SVT运算符
Figure RE-GDA00030454470500000713
定义为：
Figure RE-GDA00030454470500000714
其中，
Figure RE-GDA00030454470500000715
是奇异值分解，而
Figure RE-GDA00030454470500000716
是收缩算子，则优化问题(7)的闭式解为：
Figure RE-GDA00030454470500000717
得到
Figure RE-GDA00030454470500000718
(2)更新
Figure RE-GDA00030454470500000719
由于拉格朗日函数(3)是不受约束的，因此，式(3)关于
Figure RE-GDA00030454470500000720
的最小化如下：
Figure RE-GDA0003045447050000081
其中，
Figure RE-GDA0003045447050000082
和
Figure RE-GDA0003045447050000083
式(9)是一个涉及可变张量
Figure RE-GDA0003045447050000084
的凸问题，包含t-product运算，为了获得式(9)的最优解，通过使用DFT把式(9)转换为复数域，通过优化每个正面切片来获得最优解，然后通过逆DFT进行变换，从式(9)获得：
Figure RE-GDA0003045447050000085
得出式(10)的闭式解为：
Figure RE-GDA0003045447050000086
(3)更新
Figure RE-GDA0003045447050000087
通过求解下列优化问题来优化增广拉格朗日函数中的
Figure RE-GDA0003045447050000088
Figure RE-GDA0003045447050000089
其中，
Figure RE-GDA00030454470500000810
通过收缩算子∑η(x)以封闭的形式求解优化问题(12)的解为：
Figure RE-GDA00030454470500000811
(4)更新
Figure RE-GDA00030454470500000812
通过求解下列优化问题来优化增广拉格朗日函数中的
Figure RE-GDA00030454470500000813
Figure RE-GDA00030454470500000814
令
Figure RE-GDA00030454470500000815
则式(12)表示如下：
Figure RE-GDA00030454470500000816
对于
Figure RE-GDA00030454470500000817
-范数和
Figure RE-GDA00030454470500000818
-范数，优化问题(14)的求解分别如下：
如果
Figure RE-GDA00030454470500000819
则优化问题(14)的类似于变量
Figure RE-GDA00030454470500000820
的解，则解为：
Figure RE-GDA00030454470500000821
如果
Figure RE-GDA00030454470500000822
则求解优化问题(14)时使用下列引理，
引理：对于张量
Figure RE-GDA00030454470500000823
和正标量η，如果
Figure RE-GDA00030454470500000824
是下列式子的最优解，
Figure RE-GDA0003045447050000091
则
Figure RE-GDA0003045447050000092
的第j个侧向切片
Figure RE-GDA0003045447050000093
为：
Figure RE-GDA0003045447050000094
当n3＝1时，退化为矩阵列向量的
Figure RE-GDA0003045447050000095
-范数优化问题，根据所述引理，优化问题(14)的解为：
Figure RE-GDA0003045447050000096
(5)更新
Figure RE-GDA0003045447050000097
和μ：
Figure RE-GDA0003045447050000098
3、更新后，检查所有变量的最大更新差值小于预定阈值的停止准则， ADMM求解方程(1)的全过程由算法1给出：
Figure RE-GDA0003045447050000099
Figure RE-GDA0003045447050000101
本发明基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法流程图如图1所示。
本发明通过基于张量低秩稀疏表示的图像聚类(TLRSR)中，表示系数张量同时受到低秩和稀疏约束的影响，采用表示系数张量的低秩约束来捕获样本数据的全局结构，而使用稀疏约束来获取样本数据的局部结构。表示系数张量的每个侧面切片是给定字典下原始样本的重新表示。数据样本的稀疏表示理想地对应于其自身子空间中几个原子的组合，对于给定的数据样本，稀疏约束自动选择一些始终靠近它并属于同一子空间的原子。因此，表示系数张量中属于同一子空间的侧面切片对应的管具有较大的值，而其他子空间中的侧面切片的管则接近于零或等于零；同时受到低秩和稀疏约束的学习表示系数矩阵已被证明可以获得更精确的子空间表征能力。另外，本发明采用具有更高表达能力的去噪样本作为字典，选择张量l2,1-范数来测量数据样本中的噪声，l2,1-范数对张量侧面切片的异常值和噪声具有鲁棒性；采用的张量l2,1-范数可以对不同的样本进行不同的度量，这有助于消除噪声并揭示样本的潜在本质子空间结构。
在人脸图像聚类实验中，在3个标准人脸样本库：扩展YaleB、PIE(包括光照和姿态变化)和FRDUE上的聚类结果对应的正确率(Accuracy)分别为： 85.93％、93.25％和84.26％；归一化互信息(Normalized mutual information) 分别为92.00％、97.77％和95.03％；纯度(Purity)分别为87.82％、94.92％和8 7.46％。与相关基于矩阵和张量的低秩和稀疏表示的子空间学习方法相比，本发明提出的TLRSR方法在3个实验数据库和3个常用聚类评价准则下均得到了最高的聚类结果。在彩色图像去噪实验中，在标准图像数据库Kodak上的2 4张500x500分辨率随机改变10％和20％像素的情况下，TLRSR得到的平均峰值信噪比(PSNR)分别为32.91dB和29.70dB，比在实验中PSNR排名第二的 R-TLRR方法分别高出1.37dB和0.48dB。人脸图像聚类实验和彩色图像去噪实验的结果表明，本发明提出的TLRSR不仅可以有效地获得张量数据的子空间结构，而且可以有效地滤除噪声的同时恢复图像样本。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)设定目标函数如下：
Figure FDA0003665208330000011
其中，
Figure FDA0003665208330000012
是原始噪声数据张量，
Figure FDA0003665208330000013
是字典；
Figure FDA0003665208330000014
是低秩稀疏表示系数张量，
Figure FDA0003665208330000015
是稀疏噪声，r≤min(n1,n2)是字典的数量，α和β是两个加权参数，并且
Figure FDA0003665208330000016
是用来表示稀疏噪声
Figure FDA0003665208330000017
的张量范数，在所述目标函数中考虑
Figure FDA0003665208330000018
和
Figure FDA0003665208330000019
两个值，
Figure FDA00036652083300000110
-范数用于仅由一个样本构成的张量，而
Figure FDA00036652083300000111
-范数用于由多个样本组成的张量；
(2)所述目标函数作为优化问题
首先将目标函数的优化问题转换为下列函数的等价优化问题：
Figure FDA00036652083300000112
然后使用乘数交替方向法ADMM求解上述优化问题，利用相应的增广拉格朗日函数，通过固定其他变量，分别交替更新
Figure FDA00036652083300000113
和C以解决优化问题；
(3)当所有变量更新差值小于预定阈值时，输出相似系数张量，对所述相似系数张量沿第三维度进行求和得到相似系数矩阵，最后利用谱聚类方法N-cut，得到最终聚类结果。
2.如权利要求1所述的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，所述增广拉格朗日函数如下：
Figure FDA00036652083300000114
其中，μ是惩罚参数，
Figure FDA0003665208330000021
和
Figure FDA0003665208330000022
是拉格朗日乘子。
3.如权利要求1所述的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，所述J的更新过程如下：
通过求解下列优化问题来优化所述增广拉格朗日函数中的J：
Figure FDA0003665208330000023
其中，
Figure FDA0003665208330000024
将优化问题(4)等价转化到复数域并解决，优化问题(4)的等价问题如下：
Figure FDA0003665208330000025
由于
Figure FDA0003665208330000026
是一个块对角矩阵，优化问题(5)通过下列等价问题来解决：
Figure FDA0003665208330000027
通过奇异阈值SVT运算符解决，SVT运算符Sη定义为：
Figure FDA0003665208330000028
其中，
Figure FDA0003665208330000029
是奇异值分解，而
Figure FDA00036652083300000210
是收缩算子，则优化问题(7)的闭式解为：
Figure FDA00036652083300000211
得到
Figure FDA00036652083300000212
4.如权利要求1所述的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，所述
Figure FDA00036652083300000213
的更新过程如下：
由于所述拉格朗日函数是不受约束的，因此，式(3)关于
Figure FDA00036652083300000214
的最小化如下：
Figure FDA00036652083300000215
其中，
Figure FDA0003665208330000031
和
Figure FDA0003665208330000032
式(9)是一个涉及可变张量
Figure FDA0003665208330000033
的凸问题，包含t-product运算，通过使用DFT把式(9)转换至复数域，通过优化每个前向切片来获得最优解，然后通过逆DFT变换，从式(9)获得：
Figure FDA0003665208330000034
得出式(10)的闭式解为：
Figure FDA0003665208330000035
其中，
Figure FDA0003665208330000036
表示单位张量。
5.如权利要求1所述的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，所述C的更新过程如下：
通过求解下列优化问题来优化所述增广拉格朗日函数中的C：
Figure FDA0003665208330000037
其中，
Figure FDA0003665208330000038
通过收缩算子∑η(x)以封闭的形式求解优化问题(12)的解为
Figure FDA0003665208330000039
6.如权利要求1所述的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，所述
Figure FDA00036652083300000310
的更新过程如下：
通过求解下列优化问题来优化所述增广拉格朗日函数中的
Figure FDA00036652083300000311
Figure FDA00036652083300000312
令
Figure FDA00036652083300000313
则式(13)表示如下：
Figure FDA00036652083300000314
对于
Figure FDA00036652083300000315
-范数和
Figure FDA00036652083300000316
-范数，优化问题(14)的求解分别如下：
如果
Figure FDA00036652083300000317
则优化问题(14)的解为：
Figure FDA00036652083300000318
如果
Figure FDA0003665208330000041
则求解优化问题(14)时使用下列引理，
引理：对于张量
Figure FDA0003665208330000042
和正标量η，如果
Figure FDA0003665208330000043
是下列式子的最优解，
Figure FDA0003665208330000044
则
Figure FDA0003665208330000045
的第j个侧向切片
Figure FDA0003665208330000046
为：
Figure FDA0003665208330000047
当n3＝1时，退化为矩阵列向量的
Figure FDA0003665208330000048
-范数优化问题，根据所述引理，优化问题(14)的解为：
Figure FDA0003665208330000049
7.如权利要求2所述的基于张量低秩稀疏表示的图像聚类方法，其特征在于，所述
Figure FDA00036652083300000410
和μ更新如下：
Figure FDA00036652083300000411
Figure FDA00036652083300000412
其中，
Figure FDA00036652083300000413
表示迭代更新的权重因子，取值为1.1～1.5。
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