CN112989556A - 一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，属于电力系统安全稳定分析领域。针对传统时域仿真法暂态稳定分析效率低和雅可比算法无法计算非光滑动力系统最大Lyapunov指数的问题，采用非线性动力系统最大Lyapunov指数理论与切换系统相结合的方式，利用雅可比补偿矩阵对保护动作时刻的最大Lyapunov指数进行切换补偿且无需确定时间观测窗口，较大程度上地提高了判别的准确性和快速性。

Description

一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法

技术领域

本发明涉及电力系统安全稳定分析领域，特别是涉及一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法。

背景技术

我国电网历经多年建设，已经成为世界上规模最大、电压等级最高、运行控制最复杂的电网。但是随着电网规模的不断扩大，不同区域之间电网的互联愈发紧密，电网的拓扑结构和运行方式日益复杂，电力系统安全稳定运行所面临的形式更加严峻。近年来，世界范围内多次发生大面积停电事故，造成了巨大的经济损失和严重的社会影响，事故分析表明暂态失稳往往是造成大面积停电事故的主要原因。因此，研究一种精准、快速的暂态稳定判别方法对于保证电力系统安全稳定运行具有重要的现实意义。

时域仿真法作为暂态稳定分析最成熟可靠的方法，具有广泛的模型适用性，在电力系统规划、设计、安全稳定校核等工作中发挥着巨大的作用。但是传统的时域仿真法不能提供稳定程度的定量信息，其本身并不包含暂态稳定性的判据，工程上一般需要对系统轨迹进行长时间的仿真并根据人工经验来判断系统稳定性。Lyapunov指数作为分析非线性动力系统的重要参量，能够量化分析系统动力学参数与运动稳定性之间的关系。其中，最大Lyapunov指数可定量描述系统受到扰动后长期的动态行为，仅通过其符号特征即可直观判断出系统稳定情况，可以有效解决上述问题。目前，基于QR分解法的雅可比算法能以较高精度计算光滑动力系统的最大Lyapunov指数，因此受到了广泛应用。

如今我国电网的运行特性发生了深刻变化，局部故障对全局稳定的影响更加显著，受扰系统的稳定形态更加复杂多变，并发性故障和继发性故障增多，保护动作更为频繁。当保护装置动作如断路器跳开或重合闸投切时，电磁功率的突变会导致系统的雅可比矩阵不连续或者不存在，致使相轨迹出现非光滑点。因此，电力系统的暂态过程实际属于非线性分段光滑动态过程，其可以被看作一类切换系统的动态响应。而基于QR分解法的雅可比算法并不适用于切换系统，其无法计及保护动作对电力系统暂态稳定性的影响，不能对系统的暂态稳定情况进行精确评估。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，用以提高电力系统的暂态稳定分析效率。

为实现上述目的，本发明提供了如下方案：一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，首先，获取故障后各台发电机的运行数据；其次，根据各台发电机的运行数据和转子运动方程计算系统各时刻的雅可比矩阵；再根据切换系统的几何模型和相空间几何规律计算保护动作时刻的雅可比补偿矩阵；然后，根据基于QR分解法的雅可比算法计算系统在该故障场景下的最大Lyapunov指数曲线；最后，根据最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势判断系统的暂态稳定性。

一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法的具体步骤如下：

步骤1：获取故障后各台发电机的运行数据。利用电力系统仿真软件模拟待分析的故障场景，获取故障后第i台发电机的功角δ_i、转速差Δω_i、惯性时间常数T_ji、机械功率P_mi、电磁功率P_ei和发电机阻尼系数D_i，i＝1、2、3……n为电力系统中所有发电机的台数。

以第n台发电机的功角作为参考角度，角速度以同步转速为参考，形成第i台发电机的转子运动方程：

步骤2：根据各台发电机的运行数据和转子运动方程计算系统各时刻的雅可比矩阵J(t)：

其中，0为n-1阶零阵；A为n-1×n阶矩阵，其前n-1列为对角阵，其对角元为同步转速ω₀，最后一列元素均为-ω₀；B为n×n-1阶矩阵，其第l行第m列元素为

C为n阶对角阵，其第i个对角元为-D_i/T_ji；

步骤3：根据切换系统的几何模型和相空间几何规律计算保护动作时刻的雅可比补偿矩阵；

保护动作时，发电机的电磁功率P_e会瞬间发生变化，P_e的突变会导致系统的雅可比矩阵不连续，进而使得发电机转速差Δω不光滑，相轨迹出现非光滑点。因此，考虑保护动作影响后的电力系统暂态过程为非光滑动态过程，符合切换系统的动力学特性。

P_e的突变可以被看成一个切换条件，而引起P_e突变的保护动作可以被看成一个切换事件，其改变了系统的运行方式，使得系统进入下一连续动力系统且不会引起系统状态变量的突变。整个过程可以被视作一系列切换系统的动态响应。

根据切换系统的几何模型和相空间相邻轨迹的几何规律计算切换点，即保护动作时刻的雅可比补偿矩阵J_S：

J_S＝I+(f₂(x)/||f₁(x)||-e)(e-dtanθ)^T

其中，I为单位方向矩阵；f₁(x)和f₂(x)分别为切换面两侧的n维连续子系统；e＝f₁(x)/||f₁(x)||是轨迹x₁(t)的切向量；r是切换面的单位法向量；θ是r和e的夹角；d是垂直于e的单位向量；其中，d和r的表达式为

步骤4：根据基于QR分解法的雅可比算法计算系统的最大Lyapunov指数曲线，其具体步骤如下：

(1)利用轨线变分方程和步骤2中的雅可比矩阵J(t)求解积分矩阵Q(t)；轨线变分方程表达式为：

(2)对积分矩阵Q(t)进行QR分解；

(3)利用QR分解后得到的正交矩阵Q，作为新的单位方向矩阵代入轨线变分方程式继续计算下一时刻的积分矩阵；

利用QR分解后得到的上三角矩阵R的对角线元素|ρ₁|、|ρ₂|、…、|ρ_n|计算t时刻的Lyapunov指数：

(4)在保护动作时刻，对步骤2中的雅可比补偿矩阵J_S和前一时刻分解后得到的正交矩阵Q的乘积J_SQ进行QR分解，将得到的矩阵R的对角线元素用于Lyapunov指数的切换补偿，矩阵Q作为新的单位方向矩阵代入轨线变分方程式继续计算；

(5)计算t时刻数值最大的Lyapunov指数：

λ_m(t)＝max(λ_i(t))

(6)生成最大Lyapunov指数随时间变化的曲线；

步骤5：根据最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势判断系统的暂态稳定性。

观测最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势，结合最大Lyapunov指数稳定判别准则判断系统的暂态稳定性。具体的判别依据为：

在最后一次保护动作后，若最大Lyapunov指数曲线的符号特征连续1.5s为正，则判断系统失稳；若最大Lyapunov指数曲线的符号特征连续0.5s为负，则判断系统稳定。

采用上述技术方法所产生的有益效果在于：

(1)本发明将非线性动力系统的最大Lyapunov指数理论应用于电力系统的暂态稳定分析，有效地提高了暂态稳定判别效率；

(2)本发明利用切换系统的几何模型和相空间几何规律推导切换面的雅可比补偿矩阵并对最大Lyapunov指数进行切换补偿，考虑了保护动作对电力系统暂态过程的影响，提高了暂态稳定判别结果的准确性

(3)本发明的暂态判别依据解决了传统Lyapunov指数暂态稳定分析方法时间观测窗口难以确定的问题，较大程度上地缩短了判别时间。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法的流程示意图；

图2为本发明实施例的切换系统几何模型；

图3为本发明实施例的系统结构图；

图4为本发明实施例的效果比较图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

实施例

图1为本发明一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法的流程示意图。如图1所示，包括以下步骤：

步骤1：获取故障后各台发电机的运行数据。利用电力系统仿真软件模拟待分析的故障场景，获取故障后第i台发电机的功角δ_i、转速差Δω_i、惯性时间常数T_ji、机械功率P_mi、电磁功率P_ei和发电机阻尼系数D_i，i＝1、2、3……n为电力系统中所有发电机的台数。

以第n台发电机的功角作为参考角度，角速度以同步转速为参考，形成第i台发电机的转子运动方程：

步骤2：根据各台发电机的运行数据和转子运动方程计算系统各时刻的雅可比矩阵J(t)：

其中，0为n-1阶零阵；A为n-1×n阶矩阵，其前n-1列为对角阵，其对角元为同步转速ω₀，最后一列元素均为-ω₀；B为n×n-1阶矩阵，其第l行第m列元素为

C为n阶对角阵，其第i个对角元为-D_i/T_ji；

步骤3：根据切换系统的几何模型和相空间几何规律计算保护动作时刻的雅可比补偿矩阵；

保护动作时，发电机的电磁功率P_e会瞬间发生变化，P_e的突变会导致系统的雅可比矩阵不连续，进而使得发电机转速差Δω不光滑，相轨迹出现非光滑点。因此，考虑保护动作影响后的电力系统暂态过程为非光滑动态过程，符合切换系统的动力学特性。

P_e的突变可以被看成一个切换条件，而引起P_e突变的保护动作可以被看成一个切换事件，其改变了系统的运行方式，使得系统进入下一连续动力系统且不会引起系统状态变量的突变。整个过程可以被视作一系列切换系统的动态响应。

根据切换系统的几何模型和相空间相邻轨迹的几何规律计算切换点，即保护动作时刻的雅可比补偿矩阵J_S：

J_S＝I+(f₂(x)/||f₁(x)||-e)(e-dtanθ)^T

其中，I为单位方向矩阵；f₁(x)和f₂(x)分别为切换面两侧的n维连续子系统；e＝f₁(x)/||f₁(x)||是轨迹x₁(t)的切向量；r是切换面的单位法向量；θ是r和e的夹角；d是垂直于e的单位向量；其中，d和r的表达式为

步骤4：根据基于QR分解法的雅可比算法计算系统的最大Lyapunov指数曲线，其具体步骤如下：

(1)利用轨线变分方程和步骤2中的雅可比矩阵J(t)求解积分矩阵Q(t)；轨线变分方程表达式为：

(2)对积分矩阵Q(t)进行QR分解；

(3)利用QR分解后得到的正交矩阵Q，作为新的单位方向矩阵代入轨线变分方程式继续计算下一时刻的积分矩阵；

利用QR分解后得到的上三角矩阵R的对角线元素|ρ₁|、|ρ₂|、…、|ρ_n|计算t时刻的Lyapunov指数：

(4)在保护动作时刻，对步骤2中的雅可比补偿矩阵J_S和前一时刻分解后得到的正交矩阵Q的乘积J_SQ进行QR分解，将得到的矩阵R的对角线元素用于Lyapunov指数的切换补偿，矩阵Q作为新的单位方向矩阵代入轨线变分方程式继续计算；

(5)计算t时刻数值最大的Lyapunov指数：

λ_m(t)＝max(λ_i(t))

(6)生成最大Lyapunov指数随时间变化的曲线；

步骤5：根据最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势判断系统的暂态稳定性。

观测最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势，结合最大Lyapunov指数稳定判别准则判断系统的暂态稳定性。具体的判别依据为：

在最后一次保护动作后，若最大Lyapunov指数曲线的符号特征连续1.5s为正，则判断系统失稳；若最大Lyapunov指数曲线的符号特征连续0.5s为负，则判断系统稳定。

对于实施例公开的系统而言，由于其与实施例公开的方法相对应，所以描述的比较简单，相关之处参见方法部分说明即可。

本实例使用的IEEE 16机68节点系统如图3所示。该系统一共有68个节点，其中发电机节点16个，负荷节点27个。带圆圈中的数字表示发电机编号，不带圆圈的数字表示节点编号。利用电力系统暂态稳定分析工具包PSAT对故障场景进行仿真计算，仿真时间为10s，仿真步长为0.01s。发电机采用E_q’模型，机械输出功率保持恒定且考虑系统阻尼的影响。利用MATLAB程序实现仿真运行数据的分析计算。

设置线路5-8靠近节点5处在t＝1s时发生永久性三相短路故障，t＝1.2s时保护切除该线路，t＝1.7s时重合闸动作，重合于永久故障，t＝1.95s时再次切除线路。图4(a)为上述故障场景的发电机相对功角曲线；图4(b)为利用传统雅可比方法和本发明方法计算得到的最大Lyapunov指数曲线；

图4(a)的发电机功角曲线在经历短时间振荡后逐渐趋于平稳，系统暂态稳定。与此同时，图4(b)中本发明方法的最大Lyapunov指数随时间变化的曲线逐渐趋向于负值，根据稳定判别依据可以在最后一次保护动作后2.03s判断出系统暂态稳定。而传统方法的最大Lyapunov指数随时间变化的曲线在仿真结束阶段仍存在正负波动的情况，其在t＝7.52s时才第一次由正过负，根据判别依据会被误判为暂态失稳。通过本实例两种方法的对比可知，本发明方法利用雅可比补偿矩阵对保护动作时刻最大Lyapunov指数进行切换补偿，较大程度上地提高了判别的准确性和快速性。

本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上，本说明书内容不应理解为对发明的限制。

Claims (6)

1.一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1：获取故障后各台发电机的运行数据；

步骤2：根据各台发电机的运行数据和转子运动方程计算系统各时刻的雅可比矩阵；

步骤3：根据切换系统的几何模型和相空间几何规律计算保护动作时刻的雅可比补偿矩阵；

步骤4：根据基于QR分解法的雅可比算法计算系统的最大Lyapunov指数曲线；

步骤5：根据最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势判断系统的暂态稳定性；

2.根据权利要求1所述的一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，其特征在于，所述的步骤1具体如下，利用电力系统仿真软件模拟待分析的故障场景，获取故障后第i台发电机的功角δ_i、转速差Δω_i、惯性时间常数T_ji、机械功率P_mi、电磁功率P_ei和发电机阻尼系数D_i，i＝1、2、3……n为电力系统中所有发电机的台数。

以第n台发电机的功角作为参考角度，角速度以同步转速为参考，形成第i台发电机的转子运动方程：

3.根据权利要求1所述的一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，其特征在于，所述的步骤2具体如下，利用各台发电机的运行数据和转子运动方程计算系统各时刻的雅可比矩阵J(t)：

其中，0为n-1阶零阵；A为n-1×n阶矩阵，其前n-1列为对角阵，其对角元为同步转速ω₀，最后一列元素均为-ω₀；B为n×n-1阶矩阵，其第l行第m列元素为

C为n阶对角阵，其第i个对角元为-D_i/T_ji。

4.根据权利要求1所述的一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，其特征在于，所述的步骤3具体如下，保护动作时，发电机的电磁功率P_e会瞬间发生变化，P_e的突变会导致系统的雅可比矩阵不连续，进而使得发电机转速差Δω不光滑，相轨迹出现非光滑点。因此，考虑保护动作影响后的电力系统暂态过程为非光滑动态过程，符合切换系统的动力学特性。

P_e的突变可以被看成一个切换条件，而引起P_e突变的保护动作可以被看成一个切换事件，其改变了系统的运行方式，使得系统进入下一连续动力系统且不会引起系统状态变量的突变整个过程可以被视作一系列切换系统的动态响应。

根据切换系统的几何模型和相空间相邻轨迹的几何规律计算切换点，即保护动作时刻的雅可比补偿矩阵J_S：

J_S＝I+(f₂(x)/||f₁(x)||-e)(e-dtanθ)^T

其中，I为单位方向矩阵；f₁(x)和f₂(x)分别为切换面两侧的n维连续子系统；e＝f₁(x)/||f₁(x)||是轨迹x₁(t)的切向量；r是切换面的单位法向量；θ是r和e的夹角；d是垂直于e的单位向量；其中，d和r的表达式为

5.根据权利要求1所述的一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，其特征在于，所述的步骤4具体如下，

(1)利用轨线变分方程和步骤2中的雅可比矩阵J(t)求解积分矩阵Q(t)；轨线变分方程表达式为：

(2)对积分矩阵Q(t)进行QR分解；

(3)利用QR分解后得到的正交矩阵Q，作为新的单位方向矩阵代入轨线变分方程式继续计算下一时刻的积分矩阵；

利用QR分解后得到的上三角矩阵R的对角线元素|ρ₁|、|ρ₂|、…、|ρ_n|计算t时刻的Lyapunov指数：

(4)在保护动作时刻，对步骤2中的雅可比补偿矩阵J_S和前一时刻分解后得到的正交矩阵Q的乘积J_SQ进行QR分解，将得到的矩阵R的对角线元素用于Lyapunov指数的切换补偿，矩阵Q作为新的单位方向矩阵代入轨线变分方程式继续计算；

(5)计算t时刻数值最大的Lyapunov指数：

λ_m(t)＝max(λ_i(t))

(6)生成最大Lyapunov指数随时间变化的曲线。

6.根据权利要求1所述的一种基于切换系统最大Lyapunov指数的暂态稳定判别方法，其特征在于，所述的步骤5具体如下，观测最大Lyapunov指数曲线随时间变化的趋势，结合最大Lyapunov指数稳定判别准则判断系统的暂态稳定性。具体的判别依据为：

在最后一次保护动作后，若最大Lyapunov指数曲线的符号特征连续1.5s为正，则判断系统失稳；若最大Lyapunov指数曲线的符号特征连续0.5s为负，则判断系统稳定。

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