CN112975981A - 考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法，该方法基于摄动理论推导出并混联机器人的原始几何误差模型，并提出过约束并混联构型中的变形误差、被动误差和结构误差三种误差种类；进一步根据机器人关节链的闭环约束和最小势能原理，建立满足闭环约束和最小势能原理约束下的变形误差、被动误差与结构误差的映射关系；根据并混联机器人的原始几何误差模型和变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，得到所述结构误差的列矢量与运动输出端位姿误差的映射关系。采用上述方案的本发明解决了现有技术中的过约束并混联机器人几何误差建模不准确、不通用的技术问题，从而更准确、通用地建立过约束并混联机器人的几何误差模型。

Description

考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法

技术领域

本发明涉及机器人技术领域，尤其涉及一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法。

背景技术

具有过约束结构的并混联机器人中存在公共约束或冗余约束，相对于传统的串联机器人具有刚度高、承载能力大等优点，因此过约束并混联机器人在工业领域得到越来越多的关注。运动精度是这类过约束并混联机器人在工业应用中的重要性能指标。相对于传统串联机器人和机床，过约束并混联机器人因较少的误差累积，在理论上具有更高的运动精度，但由于装配、加工等造成的机器人的几何误差的存在，还需要对过约束并混联机器人进行运动学标定才能发挥其精度优势，其中几何误差建模是运动学标定中的一项核心内容。

过约束的并混联机器人由于闭链约束和几何误差而产生内力从而导致部件变形，相比于非过约束并混联机器人和传统机器人具有几何误差建模难度大、要求高的特点，目前过约束并混联机器人的几何误差建模存在两个显著问题：1)模型不够准确，没有在几何误差模型中结合部件变形的影响，对精度提升存在负面影响；2)建模方法不够通用，需要针对机构进行特定的建模过程，几何误差建模的效率较低，难以自动化构造误差模型。

目前针对过约束并混联机器人的几何误差建模方法较少，为更好地分析、建立并混联机器人的几何误差模型，需要考虑部件变形在几何误差模型中的影响，基于摄动理论和最小势能原理，进一步提出新的准确且通用的考虑部件变形的几何误差模型建立方法。因此，针对过约束并混联机器人的特点，提出一种准确通用的考虑零件变形的几何误差建模方法对改善过约束并混联机器人的精度具有重要意义。

发明内容

本申请旨在至少在一定程度上解决相关技术中的技术问题之一。

为此，本申请的第一个目的在于提出一种考虑零件变形的过约束并混联机器人的几何误差建模方法，以克服已有几何建模方法的不足之处，用来解决过约束并混联机器人的几何误差建模问题，从而更准确、通用地建立过约束并混联机器人的几何误差模型。

本申请的第二个目的在于提出一种计算机设备。

本申请的第三个目的在于提出一种非临时性计算机可读存储介质。

为达上述目的，本申请的第一方面实施例提出了一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法，包括：

步骤S10，基于摄动理论建立并混联机器人的原始几何误差模型，并提出过约束并混联构型中的被动误差、结构误差和变形误差三种误差种类；

步骤S20，根据所述并混联机器人的关节链的闭环约束和最小势能原理，确定所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系；

步骤S30，根据所述的原始几何误差模型和所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系，基于矩阵分解和仿真方法提取线性无关的最优结构误差组合；

步骤S40，根据所述的最优结构误差组合与所述的运动输出端位姿误差的映射关系，确定所述并混联机器人的几何误差模型。

本申请实施例的建立并混联机器人的原始几何误差模型的方法，包括以下步骤：

步骤S11，建立所述并混联机器人的齐次矩阵传递关系；

步骤S12，基于摄动理论将所述的齐次矩阵传递关系转化为含几何误差的齐次矩阵方程；

步骤S13，将所述的齐次矩阵方程中二阶及以上的几何误差项去除，得到所述并混联机器人的原始几何误差模型，所述原始几何误差模型中的误差包括被动误差和结构误差；

步骤S14，在步骤S13中引入变形误差，所述变形误差为机构中柔性件的变形量组成的列矢量，将步骤S14中所述的原始几何误差模型转化为包含被动误差、结构误差和变形误差的几何误差模型。

可选地，在本申请实施例的步骤S11中，所述齐次矩阵传递关系的公式为：

T_E＝∏T_i，j

其中，T_E为运动输出端的位姿矩阵，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的齐次转换矩阵。

在步骤S12中，所述含几何误差的齐次矩阵方程为：

T_E+δT_E＝Π(T_i，j+δT_i，j)

其中，δT_E是T_E对应的几何误差矩阵，δT_i，j是T_i，j对应的几何误差矩阵。

在步骤S13中，所述原始几何误差模型的公式为：

其中，δb_E、ω_E分别代表运动输出端的位置、姿态误差，∈_I、∈_II代表机构被动误差、结构误差组成的列矢量，M_i，I、M_i，II是相应的映射矩阵。

在步骤S14中，所述原始几何误差模型的公式转化为：

其中，引用的变形误差∈_c表示机构中柔性件的变形量组成的列矢量，M_i，c为变形误差的映射矩阵。

可选地，在本申请实施例的步骤S14中，将所述原始几何误差模型的公式转化为关于被动误差、结构误差和变形误差的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

其中，∈_I、∈_II代表机构被动误差、结构误差组成的列矢量，∈_c代表机构中柔性件的变形量，即变形误差组成的列矢量，M_I、M_II与M_c分别是约束方程中被动误差、结构误差和变形误差相应的系数矩阵。

根据所述最小势能原理，确定所述变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，其映射关系公式为：

∈_c＝G_c∈_II，∈_I＝G_I∈_II

其中，G_c和G_I分别是变形误差、被动误差与结构误差间的映射矩阵

根据所述的原始几何误差模型和所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系公式为：

其中，δb_E、ω_E分别代表运动输出端的位置、姿态误差，M′为运动输出端位姿误差与结构误差间的等价映射矩阵。

基于矩阵分解和仿真方法，从确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系公式中提取线性无关的最优结构误差组合，所述最优结构误差组合的公式为：

其中，M是最优结构误差∈与运动输出端位姿误差间的误差映射矩阵，

代表在考虑柔性变形下共有n项互不相关的结构误差。

可选地，在本申请实施例中，建立所述并混联机器人的齐次矩阵传递关系，其中，所述齐次矩阵传递关系的公式为：

其中，T_E为运动输出端的位姿矩阵，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的齐次转换矩阵，R_E为运动输出端姿态矩阵，b_E为运动输出端位置矢量。

对所述运动输出端的位姿矩阵取一阶摄动，得到如下公式：

其中，δT_E是T_E对应的几何误差矩阵，

为运动输出端姿态误差ω_E对应的叉乘矩阵，δb_E为运动输出端位置误差。

通过上述一阶摄动取几何误差的过程，将所述齐次矩阵传递关系的公式转化为：

T_E+δT_E＝Π(T_i，j+δT_i，j)

其中，δT_i，j是T_i，j对应的几何误差矩阵，也就是说实际的齐次转换矩阵在考虑几何误差下是T_i，j+δT_i，j。

将所述的齐次矩阵方程中二阶及以上的几何误差项去除，得到所述并混联机器人的原始几何误差模型，其中，所述原始几何误差模型的公式为：

其中，δb_E为运动输出端位置误差，ω_E为运动输出端姿态误差，∈_I为被动误差组成的列矢量，∈_II为结构误差组成的列矢量，M_i，I和M_i，II分别为∈_I和∈_II相应的映射矩阵。

在上式中引入变形误差，所述原始几何误差模型的公式转化为：

其中，∈_c代表机构中柔性件的变形量组成的列矢量，即变形误差组成的列矢量。

根据所述齐次转化矩阵对应的几何误差矩阵中几何误差表达的完备性，所述变形误差的映射矩阵通过误差的几何意义从所述的被动误差和结构误差分别对应的映射矩阵的相应列中抽取得到，其中抽取公式为：

M_i，c＝[M_i，I M_i，II]P

其中，

是列满秩矩阵，每列均为仅有一非零项为1的单位向量。

可选地，在本申请实施例中，确定所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系具体包括以下步骤：

通过所述原始几何误差模型得出不同关节链之间映射的所述运动输出端的误差完全一致，具体通过下述公式表示：

将上式转化为关于所述的被动误差、结构误差和变形误差的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

作为SVD奇异值分解：

其中，

为单位正交矩阵，

为对角正定矩阵，r是M_I矩阵的秩，被动误差和结构误差的约束方程表示为：

其中

表示只在第k分量有非零值的单位矢量，

为当前位姿下结构误差和变形误差受到机器人关节链的闭环约束的表示。在满足上式约束条件下，通过最小势能原理确定变形误差∈_c与结构误差∈_II的映射关系：

其中K是∈_c对应的综合刚度矩阵，具有对称正定性。结合∈_c、∈_I和∈_II的约束方程可以确定被动误差∈_I与结构误差∈_II的映射关系：

其中，∈_I为被动误差组成的列矢量，∈_II为结构误差组成的列矢量，∈_c为变形误差组成的列矢量，G_c和G_I分别是变形误差、被动误差与结构误差间的映射矩阵。

可选地，在本申请实施例的步骤S30中，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系表示为：

其中M′_i＝M_i，IG_I+M_i，II+M_i，cG_c，对于特定的机构常量参数，机器人运动输出端第k个位姿对应的误差映射矩阵记为M′_k，则在运动输出端工作空间内随机抽取s个位姿点，由堆叠不同位姿下的约束矩阵M′_k得到总约束矩阵，所述总约束矩阵的公式为：

其中，对M′_ALL矩阵进行列主元的QR分解，经所述QR分解后得到的公式为：

其中，

为单位正交矩阵，

为可逆上三角矩阵，

为普通矩阵，

为置换矩阵；

其中，所述结构误差对运动输出端的影响通过其余误差的线性组合得到：

其中，A_M的列矢量可以通过R_M的列矢量线性组合得到，即上式∈可以描述∈_II的任意组合对运动输出端的影响，且根据列主元选择方法，∈中结构误差代表最灵敏的误差组合；

将所述最优结构误差组合∈代入所述原始几何误差模型与运动输出端位姿误差的映射关系的公式中，得到最终的几何误差模型及相应运动输出端的误差映射矩阵，其公式为：

其中，δb_E为运动输出端位置误差，ω_E为运动输出端姿态误差，M是最优结构误差∈与运动输出端位姿误差间的误差映射矩阵，

代表在考虑柔性变形下共有n项互不相关的结构误差。

为达上述目的，本申请的第二方面实施例提出了一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，实现本申请的第一方面实施例所述的方法。

本申请的第三方面实施例一种非临时性计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现本申请的第一方面实施例所述的方法。

本申请附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本申请的实践了解到。

附图说明

本发明上述的和/或附加的方面和优点从下面结合附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为本发明实施例所提供的一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法的流程示意图；

图2为一种典型的过约束并混联机器人构型；

图2中：1-第一滑块；2-第二滑块；3-第三滑块；4-下定平台；5-第一杆件；6-第二杆件；7-第三杆件；8-上定平台。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

图1为本发明实施例所提供的一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的通用几何误差建模方法的流程示意图。

如图1所示，一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法包括以下步骤：

步骤S10，基于摄动理论建立并混联机器人的原始几何误差模型，并提出过约束并混联构型中的被动误差、结构误差和变形误差三种误差种类；

步骤S20，根据所述并混联机器人的关节链的闭环约束和最小势能原理，确定所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系；

步骤S30，根据所述的原始几何误差模型和所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系，基于矩阵分解和仿真方法提取线性无关的最优结构误差组合；

步骤S40，根据所述的最优结构误差组合与所述的运动输出端位姿误差的映射关系，确定所述并混联机器人的几何误差模型。

本申请实施例的建立并混联机器人的原始几何误差模型的方法，包括以下步骤：

步骤S11，建立所述并混联机器人的齐次矩阵传递关系；

步骤S12，基于摄动理论将所述的齐次矩阵传递关系转化为含几何误差的齐次矩阵方程；

步骤S13，将所述的齐次矩阵方程中二阶及以上的几何误差项去除，得到所述并混联机器人的原始几何误差模型，所述原始几何误差模型中的误差包括被动误差和结构误差；

步骤S14，在步骤S13中引入变形误差，所述变形误差为机构中柔性件的变形量组成的列矢量，将步骤S14中所述的原始几何误差模型转化为包含被动误差、结构误差和变形误差的几何误差模型。

可选地，在本申请实施例的步骤S11中，所述齐次矩阵传递关系的公式为：

T_E＝∏T_i，j

其中，T_E为运动输出端的位姿矩阵，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的齐次转换矩阵。

在步骤S12中，所述含几何误差的齐次矩阵方程为：

T_E+δT_E＝Π(T_i，j+δT_i，j)

其中，δT_E是T_E对应的几何误差矩阵，δT_i，j是T_i，j对应的几何误差矩阵。

在步骤S13中，所述原始几何误差模型的公式为：

其中，δb_E、ω_E分别代表运动输出端的位置、姿态误差，∈_I、∈_II代表机构被动误差、结构误差组成的列矢量，M_i，I、M_i，II是相应的映射矩阵。

在步骤S14中，所述原始几何误差模型的公式转化为：

其中，引用的变形误差∈_c表示机构中柔性件的变形量组成的列矢量，M_i，c为变形误差的映射矩阵。

可选地，在本申请实施例的步骤S14中，将所述原始几何误差模型的公式转化为关于被动误差、结构误差和变形误差的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

其中，∈_I、∈_II代表机构被动误差、结构误差组成的列矢量，∈_c代表机构中柔性件的变形量，即变形误差组成的列矢量，M_I、M_II与M_c分别是约束方程中被动误差、结构误差和变形误差相应的系数矩阵。

根据所述最小势能原理，确定所述变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，其映射关系公式为：

∈_c＝G_c∈_II，∈_I＝G_I∈_II

其中，G_c和G_I分别是变形误差、被动误差与结构误差间的映射矩阵

根据所述的原始几何误差模型和所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系公式为：

其中，δb_E、ω_E分别代表运动输出端的位置、姿态误差，M′为运动输出端位姿误差与结构误差间的等价映射矩阵。

基于矩阵分解和仿真方法，从确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系公式中提取线性无关的最优结构误差组合，所述最优结构误差组合的公式为：

其中，M是最优结构误差∈与运动输出端位姿误差间的误差映射矩阵，

代表在考虑柔性变形下共有n项互不相关的结构误差。

可选地，在本申请实施例中，建立所述并混联机器人的齐次矩阵传递关系，其中，所述齐次矩阵传递关系的公式为：

其中，T_E为运动输出端的位姿矩阵，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的齐次转换矩阵，R_E为运动输出端姿态矩阵，b_E为运动输出端位置矢量。

对所述运动输出端的位姿矩阵取一阶摄动，得到如下公式：

其中，δT_E是T_E对应的几何误差矩阵，

为运动输出端姿态误差ω_E对应的叉乘矩阵，δb_E为运动输出端位置误差。

通过上述一阶摄动取几何误差的过程，将所述齐次矩阵传递关系的公式转化为：

T_E+δT_E＝Π(T_i，j+δT_i，j)

其中，δT_i，j是T_i，j对应的几何误差矩阵，也就是说实际的齐次转换矩阵在考虑几何误差下是T_i，j+δT_i，j。

将所述的齐次矩阵方程中二阶及以上的几何误差项去除，得到所述并混联机器人的原始几何误差模型，其中，所述原始几何误差模型的公式为：

其中，δb_E为运动输出端位置误差，ω_E为运动输出端姿态误差，∈_I为被动误差组成的列矢量，∈_II为结构误差组成的列矢量，M_i，I和M_i，II分别为∈_I和∈_II相应的映射矩阵。

在上式中引入变形误差，所述原始几何误差模型的公式转化为：

其中，∈_c代表机构中柔性件的变形量组成的列矢量，即变形误差组成的列矢量。

根据所述齐次转化矩阵对应的几何误差矩阵中几何误差表达的完备性，所述变形误差的映射矩阵通过误差的几何意义从所述的被动误差和结构误差分别对应的映射矩阵的相应列中抽取得到，其中抽取公式为：

M_i，c＝[M_i，I M_i，II]P

其中，

是列满秩矩阵，每列均为仅有一非零项为1的单位向量。

可选地，在本申请实施例中，确定所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系具体包括以下步骤：

通过所述原始几何误差模型得出不同关节链之间映射的所述运动输出端的误差完全一致，具体通过下述公式表示：

将上式转化为关于所述的被动误差、结构误差和变形误差的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

作为SVD奇异值分解：

其中，

为单位正交矩阵，

为对角正定矩阵，r是M_I矩阵的秩，被动误差和结构误差的约束方程表示为：

其中

表示只在第k分量有非零值的单位矢量，

为当前位姿下结构误差和变形误差受到机器人关节链的闭环约束的表示。在满足上式约束条件下，通过最小势能原理确定变形误差∈_c与结构误差∈_II的映射关系：

其中K是∈_c对应的综合刚度矩阵，具有对称正定性。结合∈_c、∈_I和∈_II的约束方程可以确定被动误差∈_I与结构误差∈_II的映射关系：

其中，∈_I为被动误差组成的列矢量，∈_II为结构误差组成的列矢量，∈_c为变形误差组成的列矢量，G_c和G_I分别是变形误差、被动误差与结构误差间的映射矩阵。

可选地，在本申请实施例的步骤S30中，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系表示为：

其中M′_i＝M_i，IG_I+M_i，II+M_i，cG_c，对于特定的机构常量参数，机器人运动输出端第k个位姿对应的误差映射矩阵记为M′_k，则在运动输出端工作空间内随机抽取s个位姿点，由堆叠不同位姿下的约束矩阵M′_k得到总约束矩阵，所述总约束矩阵的公式为：

其中，对M′_ALL矩阵进行列主元的QR分解，经所述QR分解后得到的公式为：

其中，

为单位正交矩阵，

为可逆上三角矩阵，

为普通矩阵，

为置换矩阵；

其中，所述结构误差对运动输出端的影响通过其余误差的线性组合得到：

其中，A_M的列矢量可以通过R_M的列矢量线性组合得到，即上式∈可以描述∈_II的任意组合对运动输出端的影响，且根据列主元选择方法，∈中结构误差代表最灵敏的误差组合；

将所述最优结构误差组合∈代入所述原始几何误差模型与运动输出端位姿误差的映射关系的公式中，得到最终的几何误差模型及相应运动输出端的误差映射矩阵，其公式为：

其中，δb_E为运动输出端位置误差，ωE为运动输出端姿态误差，M是最优结构误差∈与运动输出端位姿误差间的误差映射矩阵，

代表在考虑柔性变形下共有n项互不相关的结构误差。

为了使本领域技术人员更好的理解本申请，现以为一种典型的并混联机器人构型为例下面参考附图描述本发明实施例的方法和装置。

图1所示为本发明一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法的流程示意图。图2所示为一种典型的并混联机器人构型，该五自由度混联机器人包括一个三自由度并联机构和一个与并联机构串接的两自由度串联机构。三自由度并联机构包括上定平台8、下定平台4、并联动平台7和三个分支组件1、2、3。三个分支组件中结构相同的第一分支组件1和第二分支组件2处于同一平面并穿过上定平台8，与上定平台8通过转动铰链连接。第三分支组件3穿过下定平台4并与下定平台4用转动铰链连接。第一分支组件1、第二分支组件2的前端与并联动平台7通过转动铰链连接，第三分支组件3的前端与并联动平台7固连。两自由度姿态串联机构包括C型构件5和A型构件6。C型构件5与并联动平台7用转动铰链连接。A型构件6的第-端设有与刀柄连接的配合孔，该孔.所在平面作为机器人的运动输出端动平台，第二端与C型构件通过转动铰链接。C型构件5、A型构件6和三个分支组件1、2、3作为机器人的五个驱动轴。

进一步地，在本申请实施例中，一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的通用几何误差建模方法，方法包括以下步骤：

具体地，第一步建立并混联机器人的齐次矩阵传递关系：

其中，T_E为运动输出端位姿误差，R_E为运动输出端姿态矩阵，b_E为运动输出端位置矢量，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的D-H转换矩阵。第1支链中，T_1，1和T_1，2代表第1分支与上定平台连接的虎克铰对应的两个旋转关节，T_1，3代表第1分支上的滑移关节，T_1，4和T_1，5代表第1分支与并联动平台连接的虎克铰对应的两个旋转关节，T_1，6代表并联机构与串联机构连接点处相对于第1分支与并联动平台连接点的位置变换矩阵，T_1，7和T_1，8代表串联机构的两个旋转关节，T_1，9代表A型构件第二端相对于运动输出端动平台的位置变换矩阵。第3分支中，T_3，1、T_3，2和T_3，3代表第3分支与下定平台连接的球铰对应的三个旋转关节，T_3，4代表第3分支上的滑移关节，T_3，5的定义与T_1，6类似，T_3，6、T_3，7、T_3，8与T_1，7、T_1，8、T_1，9表示相同的物理含义具有完全一致的数学表达。第2支链与第1支链结构完全类似。整体机构共具有20个物理数学意义上互不相同的T_i，j矩阵，即T_1，i(i＝1...9)、T_2，i(i＝1...9)、T_3，i(i＝1...8)，其中T_1，i(i＝7...9)、T_2，i(i＝7...9)和T_3，i(i＝6...8)是物理意义上完全等价的齐次矩阵。

对运动输出端T_E取一阶摄动，可以得到

其中

是运动输出端姿态误差ω_E对应的叉乘矩阵，δb_E是运动输出端位置误差。对矩阵

R_i，j是结构传递前后的姿态变换矩阵，b_i，j是当前坐标系原点至下-矩阵对应坐标系原点的矢量在当前坐标系下的列阵表示，则

其中

是姿态误差，δb_i，j是位置误差。具体地，在T_i，j表示旋转关节时，ω_i，j是关节旋转轴线和旋转角度误差，δb_i，j是坐标系原点偏差；在T_i，j表示滑移关节时，ω_i，j是滑移方向误差，δb_i，j是滑移长度误差和坐标系原点偏差；在T_i，j表示固连结构时，ω_i，j和δb_i，j表示坐标系转换中的姿态误差和原点位置偏差。

该并混联机器人原始几何误差模型具有60个姿态误差和60个位置误差，共具有120项几何误差。通过上述一阶摄动取几何误差过程，可以将理想的齐次矩阵方程T_E＝ΠT_i，j转几何误差的齐次矩阵方程：

T_E+δT_E＝∏(T_i，j+δT_i，j)

其中，对于并混联构型，机器人存在关节上的闭环，即存在被动、随动的运动关节，其状态受到其余驱动关节影响，如旋转被动关节在其被动旋转自由度上的旋转角度。该性质对应在几何误差模型中，可以表示为在被动关节对应的齐次矩阵T_i，j上，几何误差在被动关节的被动自由度上的分量应当具有随机器人位姿变化而变化的能力，将该分量定义为被动误差，其余分量作为结构误差。即，被动误差和结构误差定义在结构齐次矩阵T_i，j上，区别在于能否随机器人位姿变化而改变。将上式所有被动误差列矢量记为

结构误差列矢量记为

并将上式去除二阶及以上的误差项即得到机器人的原始几何误差模型：

其中M_i，I、M_i，II是第i支链几何误差和运动输出端位姿误差间的映射矩阵，∈_I具有11项被动姿态误差，∈_II具有109项结构误差。在上式中引入变形误差

表示机构中柔性件的变形量组成的列矢量：

可选地，这里选择三个分支组件1、2、3的变形量作为∈_c。根据δT_i，j中几何误差表达的完备性，∈_c的映射矩阵M_i，c可以通过误差的几何意义从M_i，I、M_i，II的相应列中抽取得到。具体地，与∈_c中变形误差具有相同几何误差意义的∈_I、∈_II包括ω_1，3、δb_1，3、ω_1，4、δb_1，4、ω_2，3、δb_2，3、ω_2，4、δb_2，4、ω_3，4、δb_3，4、ω_3，5、δb_3，5共36项，即M_i，c可以通过抽取相应[M_i，IM_i，II]矩阵的36列得到：

M_i，c＝[M_i，IM_i，II]P

其中

是列满秩矩阵，每列均为仅有一非零项为1的单位向量，n_I＝11，n_II＝109，nc＝36。

具体地，第二步对于第一步得到的原始几何误差模型，不同支链间映射的运动输出端误差完全一致：

上式可以转化为关于∈_I、∈_I和∈_II的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

作SVD分解：

其中

为单位正交矩阵，

为对角正定矩阵。∈_I和∈_II的约束方程可以表示为：

其中e_k表示只在第k分量有非零值的单位矢量，

为当前位姿下结构误差和变形误差受到机器人关节链的闭环约束的表示。在满足上式约束条件下，通过最小势能原理确定变形误差∈_c与结构误差ξ_II的映射关系：

其中K是∈_c对应的综合刚度矩阵，具有对称正定性。具体的可以表示为：

K＝diag(K₁，K₂，K₃)

其中K₁、K₂和K₃分别是第一、第二和第三分支组件的刚度矩阵。结合∈_c、∈_I和∈_II的约束方程可以确定被动误差∈_I与结构误差∈_II的映射关系：

具体地，第三步根据第二步所述的确定变形误差、被动误差与结构误差的映射关系，几何误差和运动输出端位姿误差的映射关系可以表示为：

其中M′_i＝M_i，IG_I+M_i，II+M_i，cG_c。根据结构误差约束的定义，上式右侧对于不同支链是完全等价的，即所有支链上的结构误差系数矩阵M′_i是一致的，不妨记为误差映射矩阵M′：

对于特定的机构常量参数，机器人运动输出端第k个位姿对应的误差映射矩阵记为M′_k，则在运动输出端工作空间内随机抽取1000个位姿点满足对应的M′_ALL列矢量张成的空间稳定的要求，堆叠不同位姿下的约束矩阵M′_k得到总约束矩阵：

对M′_ALL矩阵进行列主元的QR分解：

其中，

为单位正交矩阵，

为可逆上三角矩阵，

为普通矩阵，

为置换矩阵。M′_ALL矩阵非列满秩时意味着结构误差相对于运动输出端位姿误差的映射关系小完全线性独立，即某些结构误差对运动输出端的影响可以通过其余误差的线性组合得到，也就是说这部分结构误差可以在几何误差模型中被其余误差替代：

上述QR分解中，A_M的列矢量可以通过R_M的列矢量线性组合得到，即上式∈中结构误差可以描述∈_II的任意组合对运动输出端的影响，且根据列主元选择方法，∈中中结构误差代表最灵敏的误差组合，对于后续的辨识补偿等工作具有正向的意义。将

代入误差映射关系，得到最终的几何误差模型及相应运动输出端的误差映射矩阵：

具体地，其中

代表共有56项混联机器人中互不相关的结构误差，可以表示为：

为了实现上述实施例，本发明还提出一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，实现如上述任一所述的方法。

为了实现上述实施例，本发明还提出一种非临时性计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现如上述任一所述的方法。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不必须针对的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。此外，在不相互矛盾的情况下，本领域的技术人员可以将本说明书中描述的不同实施例或示例以及不同实施例或示例的特征进行结合和组合。

此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括至少一个该特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是至少两个，例如两个，三个等，除非另有明确具体的限定。

流程图中或在此以其他方式描述的任何过程或方法描述可以被理解为，表示包括一个或更多个用于实现定制逻辑功能或过程的步骤的可执行指令的代码的模块、片段或部分，并且本发明的优选实施方式的范围包括另外的实现，其中可以不按所示出或讨论的顺序，包括根据所涉及的功能按基本同时的方式或按相反的顺序，来执行功能，这应被本发明的实施例所属技术领域的技术人员所理解。

在流程图中表示或在此以其他方式描述的逻辑和/或步骤，例如，可以被认为是用于实现逻辑功能的可执行指令的定序列表，可以具体实现在任何计算机可读介质中，以供指令执行系统、装置或设备(如基于计算机的系统、包括处理器的系统或其他可以从指令执行系统、装置或设备取指令并执行指令的系统)使用，或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用。就本说明书而言，"计算机可读介质"可以是任何可以包含、存储、通信、传播或传输程序以供指令执行系统、装置或设备或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用的装置。计算机可读介质的更具体的示例(非穷尽性列表)包括以下：具有一个或多个布线的电连接部(电子装置)，便携式计算机盘盒(磁装置)，随机存取存储器(RAM)，只读存储器(ROM)，可擦除可编辑只读存储器(EPROM或闪速存储器)，光纤装置，以及便携式光盘只读存储器(CDROM)。另外，计算机可读介质甚至可以是可在其上打印所述程序的纸或其他合适的介质，因为可以例如通过对纸或其他介质进行光学扫描，接着进行编辑、解译或必要时以其他合适方式进行处理来以电子方式获得所述程序，然后将其存储在计算机存储器中。

应当理解，本发明的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。在上述实施方式中，多个步骤或方法可以用存储在存储器中且由合适的指令执行系统执行的软件或固件来实现。如，如果用硬件来实现和在另一实施方式中一样，可用本领域公知的下列技术中的任一项或他们的组合来实现：具有用于对数据信号实现逻辑功能的逻辑门电路的离散逻辑电路，具有合适的组合逻辑门电路的专用集成电路，可编程门阵列(PGA)，现场可编程门阵列(FPGA)等。

本技术领域的普通技术人员可以理解实现上述实施例方法携带的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件完成，所述的程序可以存储于一种计算机可读存储介质中，该程序在执行时，包括方法实施例的步骤之一或其组合。

此外，在本发明各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个模块中。上述集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。

上述提到的存储介质可以是只读存储器，磁盘或光盘等。尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (9)

1.一种考虑部件变形的过约束并混联机器人的误差建模方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

步骤S10，基于摄动理论建立并混联机器人的原始几何误差模型，并提出过约束并混联构型中的被动误差、结构误差和变形误差三种误差种类；

步骤S20，根据所述并混联机器人的关节链的闭环约束和最小势能原理，确定所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系；

步骤S30，根据所述的原始几何误差模型和所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系，基于矩阵分解和仿真方法提取线性无关的最优结构误差组合；

步骤S40，根据所述的最优结构误差组合与所述的运动输出端位姿误差的映射关系，确定所述并混联机器人的几何误差模型。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的建立并混联机器人的原始几何误差模型包括以下步骤：

步骤S11，建立所述并混联机器人的齐次矩阵传递关系；

步骤S12，基于摄动理论将所述的齐次矩阵传递关系转化为含几何误差的齐次矩阵方程；

步骤S13，将所述的齐次矩阵方程中二阶及以上的几何误差项去除，得到所述并混联机器人的原始几何误差模型，所述原始几何误差模型中的误差包括被动误差和结构误差；

步骤S14，在步骤S13中引入变形误差，所述变形误差为机构中柔性件的变形量组成的列矢量，将步骤S14中所述的原始几何误差模型转化为包含被动误差、结构误差和变形误差的几何误差模型。

3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，在步骤S11中，所述齐次矩阵传递关系的公式为：

T_E＝ΠT_i，j

其中，T_E为运动输出端的位姿矩阵，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的齐次转换矩阵。

在步骤S12中，所述含几何误差的齐次矩阵方程为：

T_E+δT_E＝Π(T_i，j+δT_i，j)

其中，δT_E是T_E对应的几何误差矩阵，δT_i，j是T_i，j对应的几何误差矩阵。

在步骤S13中，所述原始几何误差模型的公式为：

其中，δb_E、ω_E分别代表运动输出端的位置、姿态误差，∈_I、∈_II代表机构被动误差、结构误差组成的列矢量，M_i，I、M_i，II是相应的映射矩阵。

在步骤S14中，所述原始几何误差模型的公式转化为：

其中，引用的变形误差∈_c表示机构中柔性件的变形量组成的列矢量，M_i，c为变形误差的映射矩阵。

4.如权利要求3所述的方法，其特征在于，将步骤S14中所述原始几何误差模型的公式转化为关于被动误差、结构误差和变形误差的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

其中，∈_I、∈_II代表机构被动误差、结构误差组成的列矢量，∈_c代表机构中柔性件的变形量，即变形误差组成的列矢量，M_I、M_II与M_c分别是约束方程中被动误差、结构误差和变形误差相应的系数矩阵。

根据所述最小势能原理，确定所述变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，其映射关系公式为：

∈_c＝G_c∈_II，∈_I＝G_I∈_II

其中，G_c和G_I分别是变形误差、被动误差与结构误差间的映射矩阵

根据所述的原始几何误差模型和所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系公式为：

其中，δb_E、ω_E分别代表运动输出端的位置、姿态误差，M′为运动输出端位姿误差与结构误差间的等价映射矩阵。

基于矩阵分解和仿真方法，从确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系公式中提取线性无关的最优结构误差组合，所述最优结构误差组合的公式为：

其中，M是最优结构误差∈与运动输出端位姿误差间的误差映射矩阵，

代表在考虑柔性变形下共有n项互不相关的结构误差。

5.如权利要求1所述的方法，其特征在于，建立所述并混联机器人的齐次矩阵传递关系，其中，所述齐次矩阵传递关系的公式为：

其中，T_E为运动输出端的位姿矩阵，T_i，j为是机器人第i支链第j结构对应的齐次转换矩阵，R_E为运动输出端姿态矩阵，b_E为运动输出端位置矢量。

对所述运动输出端的位姿矩阵取一阶摄动，得到如下公式：

其中，δT_E是T_E对应的几何误差矩阵，

为运动输出端姿态误差ω_E对应的叉乘矩阵，δb_E为运动输出端位置误差。

通过上述一阶摄动取几何误差的过程，将所述齐次矩阵传递关系的公式转化为：

T_E+δT_E＝Π(T_i，j+δT_i，j)

其中，δT_i，j是T_i，j对应的几何误差矩阵，也就是说实际的齐次转换矩阵在考虑几何误差下是T_i，j+δT_i，j。

将所述的齐次矩阵方程中二阶及以上的几何误差项去除，得到所述并混联机器人的原始几何误差模型，其中，所述原始几何误差模型的公式为：

其中，δb_E为运动输出端位置误差，ω_E为运动输出端姿态误差，∈_I为被动误差组成的列矢量，∈_II为结构误差组成的列矢量，M_i，I和M_i，II分别为∈_I和∈_II相应的映射矩阵。

在上式中引入变形误差，所述原始几何误差模型的公式转化为：

其中，∈_c代表机构中柔性件的变形量组成的列矢量，即变形误差组成的列矢量。

根据所述齐次转化矩阵对应的几何误差矩阵中几何误差表达的完备性，所述变形误差的映射矩阵通过误差的几何意义从所述的被动误差和结构误差分别对应的映射矩阵的相应列中抽取得到，其中抽取公式为：

M_i，c＝[M_i，I M_i，II]P

其中，

是列满秩矩阵，每列均为仅有一非零项为1的单位向量。

6.如权利要求3或5所述的方法，其特征在于，确定所述的变形误差、被动误差与结构误差之间的映射关系具体包括以下步骤：

通过所述原始几何误差模型得出不同关节链之间映射的所述运动输出端的误差完全一致，具体通过下述公式表示：

将上式转化为关于所述的被动误差、结构误差和变形误差的约束方程：

M_I∈_I+M_II∈_II+M_c∈_c＝0

作为SVD奇异值分解：

其中，

为单位正交矩阵，

为对角正定矩阵，r是M_I矩阵的秩，被动误差和结构误差的约束方程表示为：

其中

表示只在第k分量有非零值的单位矢量，

为当前位姿下结构误差和变形误差受到机器人关节链的闭环约束的表示。在满足上式约束条件下，通过最小势能原理确定变形误差∈_c与结构误差∈_II的映射关系：

其中K是∈_c对应的综合刚度矩阵，具有对称正定性。结合∈_c、∈_I和∈_II的约束方程可以确定被动误差∈_I与结构误差∈_II的映射关系：

其中，∈_I为被动误差组成的列矢量，∈_II为结构误差组成的列矢量，∈_c为变形误差组成的列矢量，G_c和G_I分别是变形误差、被动误差与结构误差间的映射矩阵。

7.如权利要求3或5所述的方法，其特征在于，在步骤S30中，确定所述结构误差的列矢量与所述并混联机器人的运动输出端位姿误差的映射关系表示为：

其中M′_i＝M_i，IG_I+M_i，II+M_i，cG_c，对于特定的机构常量参数，机器人运动输出端第k个位姿对应的误差映射矩阵记为M′_k，则在运动输出端工作空间内随机抽取s个位姿点，由堆叠不同位姿下的约束矩阵M′_k得到总约束矩阵，所述总约束矩阵的公式为：

其中，对M′_ALL矩阵进行列主元的QR分解，经所述QR分解后得到的公式为：

其中，

为单位正交矩阵，

为可逆上三角矩阵，

为普通矩阵，

为置换矩阵；

其中，所述结构误差对运动输出端的影响通过其余误差的线性组合得到：

其中，A_M的列矢量可以通过R_M的列矢量线性组合得到，即上式∈可以描述∈_II的任意组合对运动输出端的影响，且根据列主元选择方法，∈中结构误差代表最灵敏的误差组合；

将所述最优结构误差组合∈代入所述原始几何误差模型与运动输出端位姿误差的映射关系的公式中，得到最终的几何误差模型及相应运动输出端的误差映射矩阵，其公式为：

其中，δb_E为运动输出端位置误差，ω_E为运动输出端姿态误差，M是最优结构误差∈与运动输出端位姿误差间的误差映射矩阵，

代表在考虑柔性变形下共有n项互不相关的结构误差。

8.一种计算机设备，其特征在于，包括存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，实现如权利要求1-7中任一所述的方法。

9.一种非临时性计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序被处理器执行时实现如权利要求1-7中任一所述的方法。

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