CN112906213A - 一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，涉及电子设备寿命预测技术领域。针对现有新研、小样本条件下机载电子设备剩余寿命预测方法未能综合考虑非线性、测量误差、隐含退化特性以及漂移/扩散系数同步更新的问题，本发明的方法首先基于Wiener过程建立带测量误差的非线性隐含退化模型，引入漂移系数更新机制，并采用EKF‑EM算法更新设备的退化状态与模型参数，提升了方法的鲁棒性，实现了方法在小样本或单台设备条件下的可靠计算；然后，将比例关系引入退化建模，以克服传统方法无法同步更新漂移系数与扩散系数的弊端，进一步提升了剩余寿命预测的准确性。
Description
技术领域
本发明涉及电子设备寿命预测技术领域，特别是涉及一种机载电子设备剩 余寿命自适应预测方法。
背景技术
机载电子设备是指飞机上由各类电子元器件所组成的，应用电子技术和软 件来执行多样化军事任务的重要设备。为了应对现代战争网络化、信息化程度 的不断提升，机载电子设备的构成日益复杂、功能愈发多样、性能更加完善， 有力推动了航空装备战斗力的形成与提升。据统计，机载电子设备占现代飞机 采购成本的比重已经高达30％～50％。随着机载电子设备在现代飞机中的全面应 用，其故障数量日趋庞大，新型战机机载电子设备的故障数占比已超过全机总 故障的40％。因此，准确分析机载电子设备性能状态观测数据，科学预测其剩 余寿命，对于合理安排维修计划，确保任务完成与飞行安全都具有重要意义。
目前，利用传感器获取机载电子设备的退化信息，构建基于Wiener过程 的退化模型，进而预测其剩余寿命的方法已成为主流，并在激光器、LED、航 空锂电池、陀螺仪等机载电子产品中得到了应用。在上述研究中，都需要大量 同类设备的历史退化数据作为支撑才能在一定程度上确保剩余寿命预测的准确 性。然而，大量退化数据的获取在针对新研、小批量、高可靠产品时是难以实 现的。针对日益复杂多样的任务需求和航空装备高价值、长寿命的现实制约， 机载电子产品的研制和生产也变得更加灵活多样，呈现出多批次、小批量的特 点，导致无法满足传统机载电子设备剩余寿命预测方法大样本量的要求，致使 剩余寿命预测的准确性无法得到有效保证。为实现小样本甚至单台设备条件下 剩余寿命的准确预测，研究人员利用随机滤波技术，开发了利用当前观测数据 实时更新退化模型参数与状态的剩余寿命自适应预测方法，但总体研究成果较 少。虽然有诸多研究人员对电子设备的剩余寿命进行了预测研究，但目前的技 术仍然无法实现对小样本或单台机载电子设备剩余寿命的可靠预测。
发明内容
本发明提供的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，可以解决现有 技术中存在的问题。
本发明提供了一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，包括以下步骤：
基于非线性Wiener过程构建带比例关系的设备隐含退化模型；
引入漂移系数更新机制，在所述退化模型的基础上建立设备退化过程的状 态转移方程，并采用扩展卡尔曼滤波EKF算法同步更新设备退化状态与漂移系 数；
输入设备的退化状态的观测数据，采用期望最大化-扩展卡尔曼滤波 EM-EKF算法实现对所述退化模型中未知参数的自适应估计；
在退化状态与漂移系数更新和退化模型中未知参数自适应估计的基础上， 基于全概率公式计算设备剩余寿命的概率密度函数。
本发明中的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，针对现有新研、 小样本条件下机载电子设备剩余寿命预测方法未能综合考虑非线性、测量误差、 隐含退化特性以及漂移/扩散系数同步更新的问题，首先基于Wiener过程建立 带测量误差的非线性隐含退化模型，引入漂移系数更新机制，并采用EKF-EM 算法更新设备的退化状态与模型参数，提升了算法的鲁棒性，实现了方法在小 样本或单台设备条件下的可靠计算；然后，将比例关系引入退化建模，以克服 传统方法无法同步更新漂移系数与扩散系数的弊端，进一步提升了剩余寿命预 测的准确性；最后，基于单台新研微机械陀螺仪的状态观测数据，验证了本发 明方法的有效性与优越性。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将 对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见 地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技 术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得 其他的附图。
图1为本发明中预测方法的流程图；
图2为微机械陀螺仪退化路径；
图3为本发明方法和对比方法的均方根误差对比；
图4为本发明方法和对比方法的运行时间对比；
图5为采用本发明方法的参数自适应估计情况；
图6为本发明方法和对比方法的剩余寿命预测结果；
图7为本发明方法和对比方法的参数估计情况对比；
图8为本发明方法和对比方法的剩余寿命预测轨迹；
图9为本发明方法和对比方法对应的MSE曲线。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清 楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是 全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造 性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
参照图1，本发明提供了一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，该 方法的主要流程为：首先，基于非线性Wiener过程构建带比例关系的设备隐含 退化模型；其次，引入漂移系数更新机制，在退化模型的基础上建立设备退化 过程的状态转移方程，并采用EKF(扩展卡尔曼滤波)算法同步更新设备退化 状态与漂移系数；然后，采用EM-EKF(期望最大化-扩展卡尔曼滤波)算法实 现对退化模型中未知参数的自适应估计；最后，在退化状态与漂移系数更新和 退化模型中未知参数自适应估计的基础上，基于全概率公式计算出设备剩余寿 命的概率密度函数。
下面对方法的每一个步骤进行详细说明。
带比例关系的设备隐含退化模型
基本线性Wiener退化模型可以表示为：
X(t)＝X(0)+αt+βB(t) (1)
其中，X(0)表示设备在初始时刻的性能退化量，且常令X(0)＝0；α用以描 述设备的退化速率，称之为漂移系数；β用以描述设备退化过程随时间不确定 性的程度，称为扩散系数；而B(t)为标准布朗运动，且B(t)～N(0,t)；一般情况下， B(t)与α相互独立。
进一步，考虑到外界环境对设备退化过程的影响，非线性退化模型适用性 更强，因此在式(1)线性退化模型的基础上，通过对退化过程进行非线性化处 理，即可得到更具一般意义的非线性退化模型：
其中，
表示时间t的非线性函数，θ表示未知参数。
进一步分析可知，设备的退化过程随时间变化呈现出不确定性。其既表现 在退化速率α的不确定性，也体现在不确定程度β的不确定性。因此，为了同 步描述α与β随时间的不确定性，本发明给出引理1：
引理1：若设备退化过程满足Wiener过程，且退化机理不发生变化，则漂 移系数α与扩散系数β具有比例关系，具体可表示为：
ρ＝β2/α (3)
可得带比例关系的设备隐含退化模型为：
目前，机载电子设备的性能退化数据多基于传感器进行获取，受其运行环 境的限制与传感器生产工艺的制约，直接获取设备的真实性能退化数据X(t)几 乎是不可能的，仅能得到带有测量误差的隐含退化数据Y(t)。由此，可建立带 测量误差的隐含比例退化模型：
Y(t)＝H(X(t)|τ)+v (5)
其中，Y(t)表示通过传感器获取的设备性能退化状态量；H(X(t)|τ)用以表 征设备的隐含退化特性，是设备真实退化量X(t)的线性/非线性函数，而τ则表 示未知参数；v为测量误差，且满足
此外，一般认为v独立于B(t)与 α。
基于EKF的退化状态在线更新
由于传统卡尔曼滤波具有线性高斯性，因此难以处理非线性退化过程。为 此，本发明采用扩展卡尔曼滤波方法，以实现对隐含比例退化模型状态的在线 更新。首先，给出扩展卡尔曼滤波的相关定义，具体如表2所示。
表2扩展卡尔曼滤波参数定义
进一步，基于式(5)构建的隐含比例退化模型，可得设备退化过程的状态 转移方程为：
其中，tk,k＝1,2,…,M为第k个状态监测时刻(且t0＝0)，Xk＝X(tk)，Yk＝Y(tk)，Y1:k＝[Y1,Y2,…Yk]T，εk-1～N(0,tk-tk-1)，噪声信号
且独立于εk-1。
运用扩展卡尔曼滤波方法，首先需对非线性函数进行线性化处理。基于幂 级数的基本性质，将tk时刻设备性能退化观测量Yk＝H(Xk|τ)+v在
处进行泰 勒展开，可得：
其中，H′(·)为非线性函数的一阶导数，ο为高阶无穷小。忽略高阶无穷小 项，将式(7)带入式(6)可得线性化处理后设备退化的状态转移方程为：
令Zk＝[Xk,αk]T，
则可将式 (8)转化为：
进一步可得：
其中，
Lk＝[Jk,0]，Wk-1的协方差为
易知，式(10)即为扩展卡尔曼滤波的标准状态空间方程。基于扩展卡尔曼 滤波的基本性质，可得设备状态转移矩阵为：
易知：
f2＝αk-1 (13)
将式(12)与(13)带入(11)可得：
由此，可实现对设备真实退化状态Xk和漂移系数αk的在线更新，具体过程 如下：
1)状态预测：
2)协方差预测：
3)滤波增益：
4)状态更新：
5)协方差更新：
Pk|k＝Pk|k-1-KkLkPk|k-1 (19)
给定退化状态均值与方差的初始值
与P00，利用扩展卡尔曼滤波更新公 式(8)～(19)，即可同步更新设备的退化状态和漂移系数。
基于EM-EKF的参数自适应估计
针对退化模型中的未知参数，本发明基于上述退化状态在线更新过程，采 用EM-EKF算法对其进行自适应估计。采用ψ表示退化模型中的未知参数，则 易知
若已知设备退化状态的观测数据Y1:k，利用式(10)即可得到未知参数ψ关于 设备性能退化状态Z0:k与观测数据Y1:k的联合对数似然函数：
基于上述分析可得：
Zi|Zi-1,ψ～N(f(Zi-1),Qi-1) (22)
将式(21)～(23)带入式(20)，并除去常数项可得：
假设第j次迭代后退化模型参数的估计值为
基于EM算法，可知第j+1次迭代的计算过 程分为E步和M步。
E步：在第j次估计结果ψ(j)的基础上，对似然函数L(ψ)求解关于隐含状态 Z的期望，可得：
M步：对式(25)求极大值。由于式(25)隐含变量较多，无法直接对其进行最 大化，为此，本发明采用RTS平滑器对式(25)进行处理。若令：
i＝k,k-1,…,0 (29)
其中，i表示RTS后向平滑的迭代次数。假设RTS平滑器的均值、方差以 及协方差矩阵分别为
则基于RTS平滑器与扩展卡尔曼滤波的基本 原理，可得：
其中，Di为RTS平滑器的滤波增益。一般情况下，可令
的初始 值等于扩展卡尔曼滤波中的状态量，即：
其中，
进一步，对非线性函数f(Zi-1)进行线性化处理可得：
将式(37)带入(27)可得：
易知：
由此可将式(38)转化为：
进一步可得：
将式(40)～(42)带入(25)可得：
为求E(L(ψ))最大时对应的
可令E(L(ψ))关于
的偏导数等于零，由此可得：
将
带入式(43)，并采用MATLAB软件中基于单 纯形法的fminsearch函数求解其最大值，即可得到参数估计值
与
不断对E步和M步进行迭代，直至|ψ(j+1)-ψ(j)|小于给定阈值停止迭代，即 可实现对退化模型中未知参数的自适应估计。
设备剩余寿命自适应预测
设备的寿命也称首达时间，是指设备从初始状态开始直至首次达到失效阈 值所用的时长。具体可表示为：
T＝inf{t:X(t)≥ω|ω＞0} (48)
其中，ω表示设备的失效阈值。
同理可得，tk时刻设备剩余寿命lk的定义为：
L＝inf{lk:X(tk+lk)≥ω|ω＞0} (49)
针对式(4)所示退化模型，其剩余寿命概率密度函数为：
由式(5)可知，设备的退化状态Zk为包含真实退化量X与漂移系数α的二维 正态分布。则基于二维正态分布条件分布的基本性质，可得：
则利用全概率公式，可得满足隐含比例退化特性设备剩余寿命的概率密度 函数为：
实例分析
微机械陀螺仪是基于纳米工艺制造出的新型电子设备，由于其抛弃了传统 陀螺仪的旋转部件，因此避免了机械磨损对陀螺仪性能的影响，从而极大延长 了使用寿命，降低了功耗与尺寸，因此被广泛应用于航空、航天、制导弹药等 领域。本发明基于单台某型新研微机械陀螺仪的退化试验数据进行分析，具体 如图2所示，其中检测时间间隔为1天(24h)，试验截止时间为第416天(9984h)。 由图2易知，微机械陀螺仪的退化路径既显示出明显的非单调属性，又呈现出 强烈的非线性特征，因而适于采用非线性Wiener过程对其进行建模分析。
衡量微机械陀螺仪退化状态的核心性能指标为陀螺仪的零偏，零偏值越大 表明微机械陀螺仪性能越差。一般情况下，当零偏超过0.6°/h时，可认为微机 械陀螺仪性能不能满足精度要求，即发生失效。由图2可知，该微机械陀螺仪 在第412天(9888h)时的性能退化量首次超过失效阈值0.6°/h，表明该设备在 9888h时失效，即该设备的真实寿命为T＝9888h。
实例算法性能分析
为便于分析，记本发明所提剩余寿命自适应预测方法为M0，文献An improvedWiener process model with adaptive drift and diffusion for online remaininguseful life prediction[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2019,127:370-387提出的仅考虑比例退化模型的剩余寿命预测方法为M1，而 将考虑隐含退化建模但不考虑漂移系数与扩散系数比例关系的剩余寿命预测预 测方法记为M2。其中，本发明所提算法在进行参数自适应估计时，可以随机 生成参数初值，具有较强的鲁棒性。而上述文献的参数初值则采用的是MLE 估计值，从而导致该算法需要复数以上的设备历史退化数据才能运行，且估计 准确性与退化数据量成正比，造成其鲁棒性较差。为了更为直观验证本发明所 提算法的优势，随机生成1000组退化参数初值，并将其分别代入本发明算法和 上述文献算法，仿真得到2组各1000条退化数据。进一步，通过考察不同方法 对设备真实退化过程的拟合性，实现对算法性能的验证。
本发明采用均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)作为模型拟合性 的判别标准，其计算公式为：
其中，N表示数据总量；ξk表示第k个仿真性能退化数据；ξk′则示第k个真 实性能退化数据。
图3给出了M0与M1的RMSE情况。由图3可知，本发明算法的RMSE 值明显小于上述文献的RMSE值，从而验证了本发明方法鲁棒性更好，表明本 发明所提方法可以实现对小样本甚至单一样本数据的准确估计与预测。
图4给出了不同算法针对1000组仿真数据的运行时间(运行环境为CPU： Inteli7-8700，内存：8G，操作系统：Windows 7旗舰版)。进一步分析可以发 现，M0较M1算法的运行时间更低，表明本发明所提算法在提升算法鲁棒性的 前提下仍保持了较低的时间复杂度，具备更为优越的性能。
实例参数自适应估计
工程经验表明，电子类产品退化过程近似满足幂函数，且隐含退化过程近 似满足指数函数。为此，本发明假设非线性函数
隐含退化函数 H(X(t)|τ)＝τ0+τ1exp(X(t))。基于本发明提出的参数自适应估计方法，通过随机 设置参数初值，即可对退化模型参数进行自适应估计，具体结果如图5所示。
实例剩余寿命预测
在参数自适应估计结果的基础上，结合微机械陀螺仪性能退化实测数据即 可同步更新其退化状态，从而实现对设备剩余寿命的自适应预测，剩余寿命预 测情况详见图6。
由图6(a)可知，M0与M1对应剩余寿命概率密度函数曲线均可以包含设备 的真实剩余寿命，但M0对应曲线较M1明显更窄，说明在保证剩余寿命预测 准确性的基础上，M0较M1预测的不确定性更低，性能更优。究其原因，主要 是由于M1忽略了设备真实退化状态的隐含属性，导致对应的退化模型难以准 确反映设备的真实退化规律，从而增大了预测的不确定性，导致了更宽的置信 区间，降低了预测的精度。而由图6(b)可知，整体上M0与M2均可以较为准 确的预测设备的剩余寿命，且M0与M2在设备初始运行阶段的预测效果差别 不大，但随着运行时间的增长，M0方法的优越性逐步显现，其对应的剩余寿 命概率分布更加集中，表明M0的预测精度逐步高于M2。而造成上述情况的主 要原因是，M2将退化过程的扩散系数β视为固定值，而M0则认为扩散系数等 价于比例系数ρ与漂移系数α的乘积。由图7可知，在设备运行初期，设备状 态观测数据较少，估计退化模型参数的不确定性较大，此时M2中β2的估计值 与M0中ρ×α差别不大，从而导致M0与M2的剩余寿命概率密度函数区别不大；而随着状态观测数据的逐渐增多，参数估计值的不确定性逐步降低，β2的 估计值将逐步大于ρ×α值，从而导致在设备运行的中后期M0的预测精度高于 M2。
进一步，本发明采用期望原则E(lk)来拟合不同方法的剩余寿命预测轨迹， 具体如图8所示。其中，深色区域代表剩余寿命预测的20％置信区间，而横坐 标λ表示经归一化处理的设备运行时间，即λ＝tk/T。工程实践中认为，剩余寿 命预测轨迹落入置信区间的部分越多，表明预测结果越准确。由图8可知，M0 与M2对应剩余寿命预测轨迹在置信区间内的部分要远多于M1，因此表明M1 剩余寿命预测的准确性要低于M0与M2。进一步分析可以发现，M0与M2剩 余寿命预测轨迹重合度较高，表明M0与M2差别不大，但由于M0偏离真实 剩余寿命的程度更低，从而表明M0的预测性能优于M2。
为了更为直观的说明本发明所提方法的优势，引入均方误差(Mean SquareError，MSE)作为衡量标准。若MSE值越小，则表明预测越准确，性能越优 良。MSE的具体计算公式为：
将M0、M1与M2预测结果带入上式，即可得到不同方法对应MSE曲线， 详见图9。
由图9易知，M1对应MSE值最大，而M0对应的MSE值最小，从而再 次证明了本发明所提方法具有更加良好的剩余寿命预测性能。进一步分析还可 发现，在设备运行初期，M0与M2的MSE曲线差异极小，而随着时间的增长， M0与M2都整体呈现下降趋势，但M0的下降程度逐步高于M2，这表明随着 观测数据的增多，本发明所提方法预测的准确性逐步提升，且优于M2，该结 论也与前发明分析结果相一致。
尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基 本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要 求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发 明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及 其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。
Claims (6)
1.一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
基于非线性Wiener过程构建带比例关系的设备隐含退化模型；
引入漂移系数更新机制，在所述退化模型的基础上建立设备退化过程的状态转移方程，并采用扩展卡尔曼滤波EKF算法同步更新设备退化状态与漂移系数；
输入设备的退化状态的观测数据，采用期望最大化-扩展卡尔曼滤波EM-EKF算法实现对所述退化模型中未知参数的自适应估计；
在退化状态与漂移系数更新和退化模型中未知参数自适应估计的基础上，基于全概率公式计算设备剩余寿命的概率密度函数。
2.如权利要求1所述的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，其特征在于，构建带比例关系的设备隐含退化模型的方法为：
基本线性Wiener退化模型表示为：
X(t)＝X(0)+αt+βB(t) (1)
其中，X(0)表示设备在初始时刻的性能退化量，α用以描述设备的退化速率，称为漂移系数，β用以描述设备退化过程随时间不确定性的程度，称为扩散系数，B(t)为标准布朗运动；
考虑到外界环境对设备退化过程的影响，在式(1)线性退化模型的基础上，通过对退化过程进行非线性化处理，得到非线性退化模型：
其中，
表示时间t的非线性函数，θ表示未知参数；
若设备退化过程满足Wiener过程，且退化机理不发生变化，则漂移系数α与扩散系数β具有比例关系：
ρ＝β2/α (3)
得到带比例关系的退化模型为：
基于测量误差v，建立带测量误差的隐含比例退化模型，即带比例关系的设备隐含退化模型：
Y(t)＝H(X(t)|τ)+v (5)
其中，Y(t)表示通过传感器获取的设备性能退化状态量；H(X(t)|τ)用以表征设备的隐含退化特性，是设备真实退化量X(t)的线性/非线性函数，τ表示未知参数，测量误差v满足
3.如权利要求2所述的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，其特征在于，采用扩展卡尔曼滤波EKF算法同步更新设备退化状态与漂移系数的方法为：
基于式(5)构建的带比例关系的设备隐含退化模型，可得设备退化过程的状态转移方程为：
其中，tk,k＝1,2,…,M为第k个状态监测时刻，Xk＝X(tk)，Yk＝Y(tk)，Y1:k＝[Y1,Y2,…Yk]T，εk-1～N(0,tk-tk-1)，噪声信号
对式(6)中的非线性函数进行线性化处理，得到线性化处理后设备退化的状态转移方程为：
其中，H′(·)为非线性函数的一阶导数，令Zk＝[Xk,αk]T，
则将式(7)转化为：
进一步得：
其中，
Lk＝[Jk,0]，Wk-1的协方差为
式(10)即为扩展卡尔曼滤波的标准状态空间方程，基于扩展卡尔曼滤波的基本性质，得设备状态转移矩阵为：
由：
f2＝αk-1 (12)
将式(11)与(12)带入(10)得：
给定退化状态均值与方差的初始值
与P0|0，并结合状态预测方程、协方差预测方程、滤波增益方程、状态更新方程和协方差更新方程，利用扩展卡尔曼滤波更新公式，同步更新设备的退化状态Xk和漂移系数αk。
4.如权利要求3所述的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，其特征在于，所述状态预测方程、协方差预测方程、滤波增益方程、状态更新方程和协方差更新方程分别为：
状态预测：
协方差预测：
滤波增益：
状态更新：
协方差更新：
Pk|k＝Pk|k-1-KkLkPk|k-1 (18)。
5.如权利要求3所述的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，其特征在于，采用期望最大化-扩展卡尔曼滤波EM-EKF算法实现对所述退化模型中未知参数的自适应估计的方法为：
采用ψ表示退化模型中的未知参数：
若已知设备退化状态的观测数据Y1:k，利用式(9)得到未知参数ψ关于设备性能退化状态Z0:k与观测数据Y1:k的联合对数似然函数：
基于上述分析得：
Zi|Zi-1,ψ～N(f(Zi-1),Qi-1) (21)
将式(20)～(22)带入式(19)，并除去常数项得：
假设第j次迭代后退化模型中未知参数的估计值为
采用期望最大化EM算法，对算法中的E步和M步不断进行迭代，直至|ψ(j+1)-ψ(j)|小于给定阈值停止迭代，实现对退化模型中未知参数的自适应估计，其中在期望最大化EM算法的M步对隐含状态期望求极大值时，采用RTS平滑器对隐含状态期望进行处理，在处理结果上采用扩展卡尔曼滤波EKF算法求解隐含状态期望求极大值。
6.如权利要求2所述的一种机载电子设备剩余寿命自适应预测方法，其特征在于，在退化状态与漂移系数更新和退化模型中未知参数自适应估计的基础上，基于全概率公式计算设备剩余寿命的概率密度函数的方法为：
tk时刻设备剩余寿命lk的定义为：
L＝inf{lk:X(tk+lk)≥ω|ω＞0} (24)
其中，ω表示设备的失效阈值；针对式(4)所示退化模型，其剩余寿命概率密度函数为：
由式(5)可知，设备的退化状态Zk为包含真实退化量X与漂移系数α的二维正态分布，则基于二维正态分布条件分布的基本性质，得：
经过对退化状态与漂移系数更新和未知参数自适应估计后，利用全概率公式，得满足隐含比例退化特性设备剩余寿命的概率密度函数为：
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