CN112904417B - 一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种预压固定介质地震波传播有限差分模拟方法，包括以下步骤：1)利用声弹性技术中描述预压应力环境下的弹性波传播方程，描述在预压固体条件下波的传播情况；2)利用已知的岩石弹性模量，建立均匀层状介质模型；3)用旋转交错网格有限差分方法差分弹性波传播方程；4)在步骤2)中的均匀层状介质模型边界应用不分裂卷积完全匹配层吸收边界；5)在不同应力场条件下用旋转交错网格有限差分方法对均匀层状介质模型进行声弹性模拟，检验模拟精度；6)建立双层介质模型，重复步骤3)‑5)，进行预压固体介质地震波传播有限差分模拟，得到不同应力场下的地震波场。
Description
技术领域
本发明涉及一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法，属于地震勘探领域。
背景技术
随着地震勘探领域的不断发展，人们对于油气藏的开发已经不再拘泥于浅部，地震勘探技术也逐渐向深部油气藏以及复杂构造油气藏方向转变。深部以及复杂构造储层受到周围环境压力、应力影响较大，深部储层动态力学参数与浅部状态完全不同。深部储层的岩石介质，会受到较强的地层压力甚至是复杂应力的影响。常规的地震波弹性理论是假设介质受无穷小应力下波在介质中的传播理论，未考虑介质在承受较大的地层压力以及复杂应力条件下波的传播情况，从而传统勘探地震学方法无法获得真实深部储层结构，也无法获得真实反映深部地下结构的地震剖面。
因此我们在进行地震波模拟时需要增加预压应力项，也就是我们要用到声弹性理论来模拟深层岩石中弹性波的传播情况，声弹性理论是经典线弹性理论的进一步拓展，我们将经典线弹性理论的Hook定律向外推广就得到了声弹性理论。进行声弹性模拟即模拟预压固体介质中地震波的传播时，情况比传统地震波模拟时更加多样更加复杂，这就要求我们建立一种有效的有限差分模拟技术来精确地模拟预压应力条件下波在介质中的传播。
旋转交错网格是近年来发展起来的一种空间差分技术，旋转交错网格中，所有的应力分量被定义在整点处，而速度分量被定义在半点处。旋转交错网格有限差分方法相较于传统交错网格甚至规则网格技术拥有更宽松的稳定性条件，更能适应复杂介质情况，得到更加准确的模拟结果。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的是提供一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案，一种预压固定介质地震波传播有限差分模拟方法，包括以下步骤：
1)利用声弹性技术中描述预压应力环境下的弹性波传播方程，描述在预压固体条件下波的传播情况；
弹性波传播方程如下：
式中，Aαβγδ表示四阶刚度张量，u表示位移分量，ρ0表示初始状态固体介质密度；
其中，Aαβγδ的刚度矩阵形式为：
式中，λ和μ是拉梅常数；A、B、C是岩石的三阶弹性常数；
和
是岩石在不同方向上的应变分量；
将方程(1)改写成为一阶速度应力格式：
式中，ρ表示固定介质密度，τ表示应力，v表示速度；
根据公式(6)和笛卡尔张量表示法，展开重写公式(7)得到声弹性一阶速度应力公式
2)利用已知的岩石弹性模量，建立均匀层状介质模型；
3)用旋转交错网格有限差分方法差分弹性波传播方程；
将方程(7)中速度和应力用旋转交错网格有限差分方法离散，得到的离散格式为：
式中，Cn表示差分系数；L表示阶数；
时间从t到t+Δt，离散时间t＝ndt，dt是时间步长，由式(13)迭代计算得到
4)在步骤2)中的均匀层状介质模型边界应用不分裂卷积完全匹配层吸收边界；
5)在不同应力场条件下用旋转交错网格有限差分方法对均匀层状介质模型进行声弹性模拟；
将不同应力场条件带入式(6)得到对应刚度矩阵，将对应得到的刚度矩阵分别带入方程(14)中去，然后用步骤3)中的旋转交错网格有限差分方法对应力和速度进行离散，得到不同应力场下的地震波场；
6)建立双层介质模型，重复步骤3)-5)，进行预压固体介质地震波传播有限差分模拟，得到不同应力场下的地震波场。
优选地，在上述步骤1)中，
式中，δαγ是Kronecker符号；Гαβγδ和
分别表示由固体介质有限静态变形引起的四阶刚度张量和第二类Piola-Kirchhoff应力张量；
四阶刚度张量Aαβγδ在预应力状态下围绕材料的弹性常数展开：
式中，
是固定介质预变形引起的体积应变；cαβγδ和cαβγδεη分别是预应力状态下固定介质的二阶和三阶弹性常数；根据对称性，Cεβγδ、Cαεγδ、Cαβfδ、Cαβγε与cαβγδ相同，
是波传播过程中引起的微小应变；
系数Aαβγδ取决于材料弹性常数和预应力位移场，具有与Hookean刚度系数cαβγδ相同的对称性，即
Aαβγδ＝Aβαγδ＝Aαβδγ＝Aγδαβ (4)
故使用以下Voigt压缩符号表示张量指数，将Aαβγδ(α,β,γ,δ＝1,2,3)的指数收缩为Apq(p,q＝1,2,…,6)，从而
11→1,22→2,33→3,23→4,13→5,and 12→6 (5)
根据公式(5)将公式(3)展开，得到刚度矩阵
优选地，在上述步骤4)中，声弹性方程CPML公式推导过程如下：
通过修改复数系数sx并引入辅助变量dx、αx和χx，来开发算法，其中dx表示阻尼曲线，χx≥1和αx≥0代表两个实变量，则有
ψk是一个存储变量，可以重写为
方程(16)使用傅立叶逆变换到等式(17)，
式中，ψk是
的倒数；该等式具有以下形式的迭代解：
方程(18)是通过对式(17)求解一阶微分方程得出的；
声弹性方程一阶速度-应力公式的CPML吸收边界是通过将方程(18)应用于方程(13)来估算旋转算子中的各种存储变量；将存储变量代入方程(15)获得坐标中所有场分量的空间导数，再将所得空间导数代入声弹性一阶速度应力公式(8)得出声弹性方程CPML公式(19)；
优选地，在上述步骤5)中，应力场包括围压应力场、单轴应力场、纯剪切应力场和简单剪切应力场；
①围压条件下：
式中，P表示预压应力场的大小，K表示体积模量；
将(20)代入(6)得到刚度矩阵为，
②单轴应力场条件下：
将(22)代入(6)得到刚度矩阵为
③纯剪切应力场条件下：
式中，E表示杨氏模量；
将(24)代入(6)得到刚度矩阵为
④简单剪切应力场条件下：
将(26)代入(6)得到刚度矩阵为
本发明采用以上技术方案，其具有如下优点：本发明提供的预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法，通过包含应力项的声弹性方程描述预压固体条件下波的传播情况，利用CPML(不分裂卷积完全匹配层吸收边界)技术吸收模型边界，通过在不同应力场条件下用旋转交错网格有限差分方法对均匀层状介质模型进行声弹性模拟，得到比传统弹性理论更准确的地震道集记录，从而能得到更精确的成像结果，对于地下深层结构有更加清晰的认知，解决地下深层岩石无法被准确描述的问题；另外，利用CPML(不分裂卷积完全匹配层吸收边界)技术吸收边界，简化计算量和复杂性，提高计算效率，有效解决PML吸收边界方程众多、计算复杂、计算量大的缺点，同时也具有比PML边界技术更有效的吸收效果；同时，运用旋转交错网格有限差分模拟，其具有比常规的规则网格技术和普通交错网格技术更好的适应性和稳定性，能够提高计算效果。
附图说明
图1为本公开实施例提供的一种预压固定介质地震波传播有限差分模拟方法的的流程图；
图2为旋转交错网格有限差分算子示意图；
图3为不同大小围压应力场条件下的模拟地震波场；
图4为不同大小单轴应力场条件下的模拟地震波场；
图5为不同大小纯剪切应力场条件下的模拟地震波场；
图6为不同大小简单剪切应力场条件下的模拟地震波场；
图7为不同应力场条件下双层介质的地震波场，图7a为不同围压应力场条件下双层介质的地震波场；图7b为不同大小单轴应力场条件下的地震波场；图7c为不同大小纯剪切应力场条件下的地震波场；图7d为不同大小简单剪切应力场条件下的地震波场。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。然而应当理解，附图的提供仅为了更好地理解本发明，它们不应该理解成对本发明的限制。
如图1所示，本公开实施例提供的一种预压固定介质地震波传播有限差分模拟方法，其包括以下步骤：
1)利用声弹性技术中描述预压应力环境下的弹性波传播方程(即声弹性方程)，并结合岩石物理实验验证声弹性理论的正确性，描述在预压固体条件下波的传播情况；
弹性波传播方程如下：
式中，Aαβγδ表示四阶刚度张量，u表示位移分量，ρ0表示初始状态固体介质密度；其中，
式中，δαγ是Kronecker符号；Гαβγδ和
分别表示由固体介质有限静态变形引起的四阶刚度张量和第二类Piola-Kirchhoff应力张量；
四阶刚度张量Aαβγδ可以在预应力状态下围绕材料的弹性常数展开：
式中，
是固定介质预变形引起的体积应变；cαβγδ和cαβγδεη分别是预应力状态下固定介质的二阶和三阶弹性常数；根据对称性，Cεβγδ，Cαεγδ，Cαβεδ，Cαβγε与cαβγδ相同，
是波传播过程中引起的微小应变。
系数Aαβγδ取决于材料弹性常数和预应力位移场，它们实际上类似于广义胡克定律的刚度系数cαβγδ，也就是说，它们具有与Hookean刚度系数cαβγδ相同的对称性，即
Aαβγδ＝Aβαγδ＝Aαβδγ＝Aγδαβ (4)
在这项研究中，我们仅考虑各向同性介质中的均匀预变形。为方便起见，我们使用以下Voigt压缩符号表示张量指数，以将Aαβγδ(α,β,γ,δ＝1,2,3)的指数收缩为Apq(p,q＝1,2,…,6)，从而
11→1,22→2,33→3,23→4,13→5,and 12→6 (5)
根据公式(5)将公式(3)展开，得到刚度矩阵
式中，λ和μ是拉梅常数；A、B、C是岩石的三阶弹性常数；
和
是岩石在不同方向上的应变分量；
将方程(1)改写成为一阶速度应力格式：
式中，ρ表示固定介质密度，τ表示应力，v表示速度。
根据公式(6)和笛卡尔张量表示法，展开重写公式(7)得到声弹性一阶速度应力公式
2)利用已知的岩石弹性模量，建立均匀层状介质模型；
3)用旋转交错网格有限差分方法差分声弹性方程；
SSG-FD方法在地震学中被广泛地用来模拟弹性波的传播，该方法将速度分量、应力分量和物理属性交叉存储在四个网格中。通过对相邻网格的几何平均值进行速度和应力更新，可以调用密度和剪切模量的插值。该平均对均质基本单元，弹性参数中的弱异质性以及单元表面的恒定应力分量有效。介质中的强烈异质性会降低数值精度，尤其会引起计算不稳定。可以通过定义一个网格中的速度分量以及另一个网格中的应力分量和弹性参数来定义近年来的RSG-FD来避免该问题，如图2所示。RSG-FD方法在高对比度非均质介质中具有更好的性能，并被用于解决一阶速度应力声弹方程。
如图2所示，RSG技术计算沿网格对角线方向的空间导数，然后沿法线坐标轴对结果进行插值，以获得笛卡尔坐标系中沿水平和垂直方向的空间导数。我们将空间导数的方向从水平和垂直方向x和z旋转到对角线方向
和
到
式中，
沿水平和垂直方向的一阶空间导数变为
通过公式(10)，很容易定义微分算子
和
并在时域场中沿x和z方向执行空间导数，得到：
结合公式(10)和(11)，可以通过沿新方向的导数的线性组合将x和z方向的空间导数旋转到菱形单元的新网格，得到
将方程(7)中速度和应力用旋转交错网格有限差分方法离散，得到的离散格式为：
式中，Cn表示差分系数；L表示阶数；
时间从t到t+Δt，离散时间t＝ndt，dt是时间步长，通过式(13)迭代计算得到
4)为了更好地模拟在地下介质中地震波实际传播情况，在步骤2)中的均匀层状介质模型边界应用不分裂卷积完全匹配层(CPML)吸收边界；
传统的PML吸收边界无法处理掠入射时的反射，尤其是对于低频分量，因为PML扩展函数将原点作为其极点。CPML吸收边界将极点移到复平面中的虚拟轴，因此提高了波的吸收效果。此外，通过引入辅助变量来避免需要存储过去波场的卷积计算，CPML吸收边界在计算上是有效的。CPML边界的实现不需要分裂速度场和应力场，并且很容易合并到RSG-FD程序中。
通过修改复数系数sx并引入辅助变量dx、αx和χx，来开发算法，其中dx表示阻尼曲线，χx≥1和αx≥0代表两个实变量，则有
ψk是一个存储变量，可以重写为
方程(16)使用傅立叶逆变换到等式(17)，
式中，ψk是
的倒数；该等式具有以下形式的迭代解：
方程(18)是通过对式(17)求解一阶微分方程简单得出的。
声弹性方程一阶速度-应力公式的CPML吸收边界可以通过将方程(18)应用于方程(13)来估算旋转算子中的各种存储变量；将存储变量代入方程(15)获得坐标中所有场分量的空间导数，再将所得空间导数代入速度应力公式方程(8)得出声弹性方程CPML公式(19)。
5)在不同应力场条件下用旋转交错网格有限差分方法对均匀层状介质模型进行声弹性模拟，得到不同应力场下的地震波场；
①围压条件下：
式中，P表示预压应力场的大小，K表示体积模量；
将(20)代入(6)，
②单轴应力场条件下：
将(22)代入(6)得到
③纯剪切应力场条件下：
式中，E表示杨氏模量；将(24)代入(6)得到
④简单剪切应力场条件下：
将(26)代入(6)得到
根据上面不同应力条件下得到的刚度矩阵，我们将其分别带入方程(14)中去，然后用步骤3)中的旋转交错网格有限差分方法对应力和速度进行离散，得到0Mpa、10Mpa、30Mpa、50Mpa不同围压应力场下的地震波场(如图3所示)；0Mpa、10Mpa、30Mpa、50Mpa不同单轴应力场下的地震波场(如图4所示)；0Mpa、10Mpa、30Mpa、50Mpa不同纯剪切应力场下的地震波场(如图5所示)；0Mpa、10Mpa、20Mpa、30Mpa不同简单剪切应力场下的地震波场(如图6所示)。
6)建立双层介质模型，重复步骤3)-5)，得到不同围压应力场、单轴应力场、纯剪切应力场和简单剪切应力场下的地震波场(如图7所示)。
常规的地震波弹性理论是假设介质受无穷小应力下波在介质中的传播理论，未考虑介质在承受较大的地层压力以及复杂应力条件下波的传播情况，从而传统勘探地震学方法无法获得真实深部储层结构，也无法获得真实反映深部地下结构的地震剖面。而在本申请中，通过声弹性理论来模拟深层岩石中弹性波的传播情况，得到比传统弹性理论更准确的地震道集记录，从而能得到更精确的成像结果，准确地展示了预压应力介质中波的传播规律以及压力对于地震波走时以及相位的影响，对于深层超深层地震波的传播规律具有指导意义，能让我们对于地下深层结构有更加清晰的认知；该模拟方法可应用于深层、超深层地震波成像以及反演地层压力中去，对于深层油气田的开发也可以创造很高的生产价值。
本发明仅以上述实施例进行说明，各部件的结构、设置位置及其连接都是可以有所变化的。在本发明技术方案的基础上，凡根据本发明原理对个别部件进行的改进或等同变换，均不应排除在本发明的保护范围之外。
Claims (4)
1.一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)利用声弹性技术中描述预压应力环境下的弹性波传播方程，描述在预压固体条件下波的传播情况；
弹性波传播方程如下：
式中，Aαβγδ表示四阶刚度张量，u表示位移分量，ρ0表示初始状态固体介质密度；
其中，Aαβγδ的刚度矩阵形式为：
式中，λ和μ是拉梅常数；A、B、C是岩石的三阶弹性常数；
和
是岩石在不同方向上的应变分量；
将方程(1)改写成为一阶速度应力格式：
式中，ρ表示固定介质密度，τ表示应力，v表示速度；
根据公式(6)和笛卡尔张量表示法，展开重写公式(7)得到声弹性一阶速度应力公式
2)利用已知的岩石弹性模量，建立均匀层状介质模型；
3)用旋转交错网格有限差分方法差分弹性波传播方程；
将方程(7)中速度和应力用旋转交错网格有限差分方法离散，得到的离散格式为：
式中，Cn表示差分系数；L表示阶数；
时间从t到t+Δt，离散时间t＝ndt，dt是时间步长，由式(13)迭代计算得到
4)在步骤2)中的均匀层状介质模型边界应用不分裂卷积完全匹配层吸收边界；
5)在不同应力场条件下用旋转交错网格有限差分方法对均匀层状介质模型进行声弹性模拟，得到不同应力场下的地震波场；
将不同应力场条件带入式(6)得到对应刚度矩阵，将对应得到的刚度矩阵分别带入方程(14)中去，然后用步骤3)中的旋转交错网格有限差分方法对应力和速度进行离散，得到不同应力场下的地震波场；
6)建立双层介质模型，重复步骤3)-5)，进行预压固体介质地震波传播有限差分模拟，得到不同应力场下的地震波场。
2.如权利要求1所述的一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法，其特征在于，在上述步骤1)中，
式中，δαγ是Kronecker符号；Гαβγδ和
分别表示由固体介质有限静态变形引起的四阶刚度张量和第二类Piola-Kirchhoff应力张量；
四阶刚度张量Aαβγδ在预应力状态下围绕材料的弹性常数展开：
式中，
是固定介质预变形引起的体积应变；cαβγδ和cαβγδεη分别是预应力状态下固定介质的二阶和三阶弹性常数；根据对称性，Cεβγδ、Cαεγδ、Cαβεδ、Cαβγε与cαβγδ相同，
是波传播过程中引起的微小应变；
系数Aαβγδ取决于材料弹性常数和预应力位移场，具有与二阶弹性常数cαβγδ相同的对称性，即
Aαβγδ＝Aβαγδ＝Aαβδγ＝Aγδαβ (4)
故使用以下Voigt压缩符号表示张量指数，将Aαβγδ的指数收缩为Apq，其中α,β,γ,δ＝1,2,3，p,q＝1,2,…,6，从而
11→1,22→2,33→3,23→4,13→5,and 12→6 (5)
根据公式(5)将公式(3)展开，得到刚度矩阵
3.如权利要求1所述的一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法，其特征在于，在上述步骤4)中，声弹性方程CPML公式推导过程如下：
通过修改复数系数sx并引入辅助变量dx、αx和χx，来开发算法，其中dx表示阻尼曲线，χx≥1和αx≥0代表两个实变量，则有
ψk是一个存储变量，可以重写为
方程(16)使用傅立叶逆变换到等式(17)，
式中，ψk是
的倒数；该等式具有以下形式的迭代解：
方程(18)是通过对式(17)求解一阶微分方程得出的；
声弹性方程一阶速度-应力公式的CPML吸收边界是通过将方程(18)应用于方程(13)来估算旋转算子中的各种存储变量；将存储变量代入方程(15)获得坐标中所有场分量的空间导数，再将所得空间导数代入声弹性一阶速度应力公式(8)得出声弹性方程CPML公式(19)；
4.如权利要求1所述的一种预压固体介质地震波传播有限差分模拟方法，其特征在于，在上述步骤5)中，应力场包括围压应力场、单轴应力场、纯剪切应力场和简单剪切应力场；
①围压条件下：
式中，P表示预压应力场的大小，K表示体积模量；
将(20)代入(6)得到刚度矩阵为，
②单轴应力场条件下：
将(22)代入(6)得到刚度矩阵为
③纯剪切应力场条件下：
式中，E表示杨氏模量；
将(24)代入(6)得到刚度矩阵为
④简单剪切应力场条件下：
将(26)代入(6)得到刚度矩阵为
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