CN112836672A - 一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法 - Google Patents

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CN112836672A CN202110216073.4A CN202110216073A CN112836672A CN 112836672 A CN112836672 A CN 112836672A CN 202110216073 A CN202110216073 A CN 202110216073A CN 112836672 A CN112836672 A CN 112836672A
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Abstract

本发明涉及一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，属于图像识别与分类和模式识别领域。包括数据预处理；构建近邻图并初始化；采用交替迭代优化目标函数；本发明还提出了一种基于上述数据降维方法的人脸识别方法，对人脸图像进行降维得到投影矩阵和低维数据，对低维数据采用无监督聚类算法进行聚类，得到各类别的聚类中心；根据待分类图像与各个聚类中心之间的欧式距离并取欧式距离最小的聚类中心，则该聚类中心所属的类别就是新人脸图像的类别。在低维空间内进行人脸识别，可以降低数据的存储量，减小数据的计算量，提高计算效率，最终提高人脸识别技术的实时性和识别精度。

Description

一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法
技术领域
本发明涉及一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，属于图像识别与分类和模式识别领域。
背景技术
数据降维技术是图像分类和模式识别领域的一个重要的研究课题。在大数据背景下，在实际应用场景中直接获取的原始数据量是巨大的，这些数据的高维度和高冗余对数据存储和数据处理造成了极大的困难，并且提高了对数据存储和处理的硬件平台的要求。数据降维是对原始高维数据进行特征提取和维度约减处理，在保证降维后的数据仍然保留原始数据包含的大部分信息的同时，尽可能降低数据的维度，以提高数据存储和处理效率，降低对硬件和后续数据处理算法的要求。由于数据降维能减少数据维度和需要的存储空间，节约模型训练计算时间，提高后面应用算法的准确度，数据降维技术已经被广泛应用于模式识别、计算机视觉、高光谱图像处理等领域。数据经过降维处理后，数据量大幅减少，可以提高后续数据分类的速度和精度。
近来，基于图嵌入的无监督降维方法受到关注，基于图嵌入的降维方法将样本点视为图结点，节点之间的权重值代表节点之间的距离，近邻图构建之后再对样本进行降维处理。但传统的基于图嵌入降维方法近邻图需要提前构建，近邻图构建好坏与降维后效果有直接关系，近邻图构建与降维算法分开处理导致降维算法效果不显著。
占善华等人(《自适应图嵌入的鲁棒稀疏局部保持投影》，计算机工程与设计,2020,41(08):2296-2301.)提出了一种自适应嵌入的鲁棒性稀疏局部保持投影的降维方法，其将图学习和降维学习融入到一个联合学习框架中。虽然提出的模型考虑到稀疏性、鲁棒性等综合性因素，但模型中参数过多，模型冗余，无法权衡参数和性能之间的关系，而参数的选取对模型性能有重要影响，导致模型在实际应用中较为困难。
目前，在图像识别领域中，由于数据的维度较高，给识别或分类过程造成了较大困难，导致识别或分类速度较慢。降维能够将多维指标转化为少量的综合指标的技术，一般被作为预处理步骤。目前针对人脸识别系统，常用的降维技术为主成分分析技术，即PCA，通过PCA技术，能进行有用信息的提取和特征降维，得到低维的特征空间。在低维特征空间中，分类和识别的速度和精度都被有效提升，但由于PCA技术仅令降维后数据方差最大，即仅考虑了数据的整体信息，而不考虑数据之间的局部结构，故分类精度受限。
发明内容
要解决的技术问题
针对目前近邻图构建方法与数据降维算法步骤分离导致降维效果不显著的缺陷，导致后面的人脸识别效率低和精度不高的问题，本发明提出一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法和基于数据降维后的人脸识别方法。
技术方案
一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：数据预处理
采用主成分分析PCA对原始数据
Figure BDA0002953119450000021
进行预处理得到数据矩阵X∈Rd×n，其中，n为样本点的数量，d'为样本点的维度，d为经PCA处理后样本点的维度；
步骤2：构建近邻图并初始化
根据数据矩阵X∈Rd×n，构建近邻图G＝(X,S)，其中G表示构建的近邻图，X为近邻图中的节点集合，S表示节点之间相连的远近关系，其每个元素Sij表示第i个节点与第j个节点之间的距离；权重矩阵S是通过最小化以下问题：
Figure BDA0002953119450000022
其中，幂指数因子r用来调节权重的大小，xi∈Rd×1,i＝1,2,...,n为矩阵X的第i个列向量，即为第i个样本点的坐标；
步骤3：交替迭代优化目标函数
设投影矩阵
Figure BDA0002953119450000031
d1为低维空间的维度，投影矩阵W将数据从d维空间映射到d1＜＜d维空间；为了保证投影后数据在统计学意义上不相关，添加约束WTStW＝I，
Figure BDA0002953119450000032
为全局散度矩阵，
Figure BDA0002953119450000033
为数据矩阵，
Figure BDA0002953119450000034
为单位矩阵，
Figure BDA0002953119450000035
为元素均为1的矩阵；目标函数如下所示：
Figure BDA0002953119450000036
其中，去噪矩阵
Figure BDA00029531194500000312
表示子空间内去除噪声的近似矩阵，
Figure BDA00029531194500000313
为F的第i行向量的转置，λ为正则化参数；
目标函数中的第一项可进行以下化简：
Figure BDA0002953119450000037
其中
Figure BDA0002953119450000038
为拉普拉斯矩阵，维度为n×n；
Figure BDA0002953119450000039
为度矩阵，是一个对角阵，
Figure BDA00029531194500000310
维度为n×n；Sr为相似度矩阵，其每一个元素为权值矩阵S中每一个元素的r次方，维度为n×n；则目标函数可化简为下式：
Figure BDA00029531194500000311
采用交替迭代法求解上述目标函数，得到投影矩阵W，则数据降维后的数据矩阵为Y＝WTX。
优选地：步骤1中的数据为人脸图像或高光谱图像。
优选地：步骤2中r取1.1。
一种基于数据降维方法的人脸识别方法，其特征在于采用所述的降维方法对人脸图像进行降维得到投影矩阵和低维数据，对低维数据采用无监督聚类算法进行聚类，得到各类别的聚类中心；当摄像头采集到新的人脸图像后，利用得到的投影矩阵对新图片进行降维处理，得到低维的投影坐标，计算计算低维投影坐标与各个聚类中心之间的欧式距离并取欧式距离最小的聚类中心，则该聚类中心所属的类别就是新人脸图像的类别。
有益效果
本发明提出的一种自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，有益效果如下：
(1)通过发明步骤1提出了一种新的近邻图的构建方法，避免了传统k近邻图构建时对噪声敏感。该种近邻图的构建方法不仅能用于数据降维算法中，同时可以扩展到聚类等其他需要构建近邻图的算法中。
(2)通过发明步骤3将近邻图的学习与数据降维中投影矩阵的学习融合到一个框架中，在子空间中不断更新近邻图的构建，最终可得到一个合理的近邻图，该构建方法能自适应地寻找合理的近邻图，适用于不同类型的数据集。
(3)本发明提出一种基于图嵌入降维的人脸识别方法。在降维处理步骤中，通过近邻图的不断更新构建最优的近邻图，以此来更好地保持数据的局部结构，同时把数据的整体信息考虑在内，得到包含更加有效特征的低维数据。在低维空间内进行人脸识别，可以降低数据的存储量，减小数据的计算量，提高计算效率，最终提高人脸识别技术的实时性和识别精度。
附图说明
图1降维方法流程图
图2基于降维方法的人脸识别方法流程图
具体实施方式
现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：
本发明基于一种自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，其基本流程图如图1所示，其具体步骤如下：
步骤一：数据预处理。原始数据矩阵为X'∈Rd'×n，其中，n为样本点的数量，d'为样本点的维度，由于原始空间中不可避免地存在零空间，故首先利用主成分分析(PrincipalComponent Analysis，PCA)对原始数据进行预处理。主成分分析是对数据的协方差矩阵进行特征值分解，特征值越大，则选取对应的特征向量作为投影矩阵时包含的有用信息越多。若选取前d个最大的特征值对应的特征向量，满足
Figure BDA0002953119450000051
的值在95％-99％，即保持95％-99％原始数据的能量，使得后续算法速度更快。得到的数据矩阵为X∈Rd×n，d为经PCA处理后样本点的维度。
步骤二：构建近邻图并初始化。根据数据矩阵X∈Rd×n，构建近邻图G＝(X,S)，其中G表示构建的近邻图，X为近邻图中的节点集合，S表示节点之间相连的远近关系，其每个元素Sij表示第i个节点与第j个节点之间的距离。权重矩阵S是通过最小化以下问题：
Figure BDA0002953119450000052
其中，幂指数因子r用来调节权重的大小，经验值为1.1，xi∈Rd×1,i＝1,2,...,n为矩阵X的第i个列向量，即为第i个样本点的坐标。该式表明，权重矩阵是通过计算高维空间内样本点之间的距离来衡量的，样本点之间的距离越小，则对应权重矩阵中的元素值越大，即两个样本点为近邻的可能性越大，反之，则权重矩阵中的元素值越小。
步骤三：交替迭代优化目标函数。设投影矩阵
Figure BDA0002953119450000054
d1为低维空间的维度，投影矩阵W将数据从d维空间映射到d1＜＜d维空间。为了保证投影后数据在统计学意义上不相关，添加约束WTStW＝I,St∈Rn×n为全局散度矩阵，
Figure BDA0002953119450000053
X∈Rd×n为数据矩阵，I∈Rn×n为单位矩阵，1∈Rn×1为元素均为1的矩阵。目标函数如下所示：
Figure BDA0002953119450000061
其中，去噪矩阵
Figure BDA0002953119450000069
表示子空间内去除噪声的近似矩阵，
Figure BDA00029531194500000610
为F的第i行向量的转置，λ为正则化参数，其取值一般较大。
目标函数中的第一项可进行以下化简，
Figure BDA0002953119450000062
其中
Figure BDA0002953119450000063
为拉普拉斯矩阵，维度为n×n；
Figure BDA0002953119450000064
为度矩阵，是一个对角阵，
Figure BDA0002953119450000065
维度为n×n；Sr为相似度矩阵，其每一个元素为权值矩阵S中每一个元素的r次方，维度为n×n。则目标函数可化简为下式：
Figure BDA0002953119450000066
该目标函数的求解方法为交替迭代法。固定S，求解F和W，其次固定F和W，求解S，把求得的S作为初始值S0再次进行迭代。求解步骤如下所示：
步骤3.1：固定S，求解F和W。
固定S，因目标函数对F无约束，故目标函数对F的偏导数为0，此时的优化函数为
Figure BDA0002953119450000067
将上式对F求偏导，并令等式为0可得下式。
Figure BDA0002953119450000068
可得
F＝PXTW (7)
其中
Figure BDA0002953119450000071
为正定实对称矩阵。在这里可以看出，当λ较大时，
Figure BDA0002953119450000072
接近0，则F＝XTW为子空间内去除噪声的数据矩阵。将F代入到目标函数中，可得下式，采用下式求解W。
Figure BDA0002953119450000073
其中，M＝X(I-P)XT，为正定实对称矩阵，此时目标函数为下式
Figure BDA0002953119450000074
采用拉格朗日乘子法求解上式，可得W为(St)-1M的前d'个最小的特征值对应的特征向量组成的矩阵，当W的最优值求解出来后，代入(7)式，可得F的最优值。
步骤3.2：固定W，F求S。
通过步骤3.1后，得到最优W和F，固定这两个参数后，此时的目标函数为
Figure BDA0002953119450000075
观察上式，发现其对任意一个样本i,i＝1,2,...,n独立。对每一个i，目标函数可写成下式。
Figure BDA0002953119450000076
其中，1∈Rn×1为元素均为1的向量。
采用拉格朗日法求解上式，
Figure BDA0002953119450000081
其中，
Figure BDA0002953119450000082
η为拉格朗日乘子，可得sij(i≠j)的最优解为
Figure BDA0002953119450000083
从上式可看出，η应该取正值。根据KKT条件，βi≥0,βisi＝0。在权值矩阵S中，定义sii＝0。故当i≠j时，βij＝0，此时sij可通过(13)计算；当i＝j时，sij＝0。
另外有si1＝1，则有下式
Figure BDA0002953119450000084
可取
Figure BDA0002953119450000085
当η确定后，观察式(15)，可以得到当两个样本点之间的距离较小时，sij的取值较大，反之，则越小，与上述的基本假设相一致。
至此，S更新完毕，重新进行下一次迭代运算，直到算法收敛。求解结束后，可得到投影矩阵W，则数据降维后的数据矩阵为Y＝WTX。
下面结合图3对实际人脸识别方法实例说明本发明的具体实施方式，但本发明的技术内容不限于所述的范围。
本发明提出一种基于降维数据的人脸识别方法，包括以下步骤：
步骤一：构建人脸数据库，进行识别人脸图像的采集，并进行数据预处理。假设人脸图像张数为n，大小为32×32，则可根据人脸图像的灰度值将每张图片可以拉长为维度为1024的向量，对原始数据采用PCA进行预处理，保留原始数据95％的能量，得到维度为273，则数据矩阵X∈R273×n。
步骤二：构建近邻图并初始化。根据数据矩阵X∈Rd×n，构建近邻图G＝(X,S)，其中G表示构建的近邻图，X为近邻图中的节点集合，S表示节点之间相连的远近关系，其每个元素Sij表示第i个节点与第j个节点之间的距离。初始权重矩阵S是通过最小化以下问题：
Figure BDA0002953119450000091
步骤三：交替迭代优化目标函数。设低维空间的维度为30，则投影矩阵W∈R273×30。为了保证投影后数据在统计学意义上不相关，添加约束WTStW＝I,St∈Rn×n为全局散度矩阵，表达式为
Figure BDA0002953119450000092
其包含了数据的整体信息。X∈R273×n为数据矩阵，I∈Rn×n为单位矩阵，1∈Rn×1为元素均为1的矩阵。目标函数如下所示：
Figure BDA0002953119450000093
其中，去噪矩阵F∈Rn×30，表示子空间内去除噪声的近似矩阵，fi∈R30×1为F的第i行向量的转置，λ为正则化参数，其取值一般较大。
目标函数中的第一项可进行以下化简，
Figure BDA0002953119450000094
其中
Figure BDA0002953119450000095
为拉普拉斯矩阵，维度为n×n；
Figure BDA0002953119450000096
为度矩阵，是一个对角阵，
Figure BDA0002953119450000097
维度为n×n；Sr为相似度矩阵，其每一个元素为权值矩阵S中每一个元素的r次方，维度为n×n。则目标函数可化简为下式：
Figure BDA0002953119450000098
该目标函数的求解方法为交替迭代法，在步骤(2)中已得到S0，则固定S＝S0，求解F和W，其次固定F和W，求解S，把求得的S作为初始值S0再次进行迭代。求解步骤如下所示：
步骤3.1：固定S，求解F和W。
固定S，因目标函数对F无约束，目标函数对F的偏导数为0，此时的优化函数为
Figure BDA0002953119450000101
将上式对F求偏导，并令等式为0可得下式。
Figure BDA0002953119450000102
可用W把F表示出来，得
F＝PXTW (7)
其中
Figure BDA0002953119450000103
为正定实对称矩阵。在这里可以看出，当λ较大时，
Figure BDA0002953119450000104
接近0，则F≈XTW为数据降维后去除了噪声的数据矩阵。将F代入到目标函数中，可得下式，采用下式求解W。
Figure BDA0002953119450000105
其中，M＝X(I-P)XT，为正定实对称矩阵，此时目标函数为下式
Figure BDA0002953119450000106
采用拉格朗日乘子法求解上式，可得W为(St)-1M的前30个最小的特征值对应的特征向量组成的矩阵，当W的最优值求解出来后，代入(7)式，可得F的最优值。
步骤3.2：固定W，F求S。
固定W，F后，此时的目标函数为
Figure BDA0002953119450000111
观察上式，发现其对任意一个样本i,i＝1,2,...,n独立。对每一个i，目标函数可写成下式。
Figure BDA0002953119450000112
其中，
Figure BDA0002953119450000113
采用拉格朗日法求解上式，拉格朗日函数如下
Figure BDA0002953119450000114
其中，
Figure BDA0002953119450000115
η为拉格朗日乘子，可得sij(i≠j)的最优解为
Figure BDA0002953119450000116
从上式可看出，η应该取正值。根据KKT条件，βi≥0,βisi＝0。在权值矩阵S中，定义sii＝0。故当i≠j时，βij＝0，此时sij可通过(13)计算；当i＝j时，sij＝0。
另外有si1＝1，则有下式
Figure BDA0002953119450000117
可取
Figure BDA0002953119450000118
当η确定后，观察式(15)，可以得到当两个样本点之间的距离较小时，sij的取值较大，反之，则越小，与上面的基本假设相一致，S更新完毕，此时计算目标函数的值。若两次迭代产生的目标函数值之差的绝对值满足一定精度(如10-6)，则停止迭代，得到最后的Wopt和Sopt。求解结束后，可得到投影矩阵Wopt∈R273×30，则数据降维后的数据矩阵为
Figure BDA0002953119450000121
对低维数据采用无监督聚类算法进行聚类，得到各类别的聚类中心。
步骤四：当摄像头采集到新的人脸图像后，利用得到的投影矩阵Wopt对新图片进行降维处理，得到低维的投影坐标，计算低维投影坐标与各个聚类中心之间的欧式距离并取欧式距离最小的聚类中心，则该聚类中心所属的类别就是新人脸图像的类别。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明公开的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：数据预处理
采用主成分分析PCA对原始数据
Figure FDA0002953119440000011
进行预处理得到数据矩阵X∈Rd×n，其中，n为样本点的数量，d'为样本点的维度，d为经PCA处理后样本点的维度；
步骤2：构建近邻图并初始化
根据数据矩阵X∈Rd×n，构建近邻图G＝(X,S)，其中G表示构建的近邻图，X为近邻图中的节点集合，S表示节点之间相连的远近关系，其每个元素Sij表示第i个节点与第j个节点之间的距离；权重矩阵S是通过最小化以下问题：
Figure FDA0002953119440000012
其中，幂指数因子r用来调节权重的大小，xi∈Rd×1,i＝1,2,...,n为矩阵X的第i个列向量，即为第i个样本点的坐标；
步骤3：交替迭代优化目标函数
设投影矩阵
Figure FDA0002953119440000013
d1为低维空间的维度，投影矩阵W将数据从d维空间映射到d1＜＜d维空间；为了保证投影后数据在统计学意义上不相关，添加约束WTStW＝I，
Figure FDA0002953119440000014
为全局散度矩阵，
Figure FDA0002953119440000015
为数据矩阵，
Figure FDA0002953119440000016
为单位矩阵，
Figure FDA0002953119440000017
为元素均为1的矩阵；目标函数如下所示：
Figure FDA0002953119440000018
其中，去噪矩阵
Figure FDA0002953119440000019
表示子空间内去除噪声的近似矩阵，
Figure FDA00029531194400000110
为F的第i行向量的转置，λ为正则化参数；
目标函数中的第一项可进行以下化简：
Figure FDA00029531194400000111
其中
Figure FDA0002953119440000021
为拉普拉斯矩阵，维度为n×n；
Figure FDA0002953119440000022
为度矩阵，是一个对角阵，
Figure FDA0002953119440000023
维度为n×n；Sr为相似度矩阵，其每一个元素为权值矩阵S中每一个元素的r次方，维度为n×n；则目标函数可化简为下式：
Figure FDA0002953119440000024
采用交替迭代法求解上述目标函数，得到投影矩阵W，则数据降维后的数据矩阵为Y＝WTX。
2.根据权利要求1所述的基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，其特征在于步骤1中的数据为人脸图像或高光谱图像。
3.根据权利要求1所述的基于自适应近邻图嵌入的无监督数据降维方法，其特征在于步骤2中r取1.1。
4.一种基于权利要求1所述的数据降维方法的人脸识别方法，其特征在于采用权利要求1所述的降维方法对人脸图像进行降维得到投影矩阵和低维数据，对低维数据采用无监督聚类算法进行聚类，得到各类别的聚类中心；当摄像头采集到新的人脸图像后，利用得到的投影矩阵对新图片进行降维处理，得到低维的投影坐标，计算计算低维投影坐标与各个聚类中心之间的欧式距离并取欧式距离最小的聚类中心，则该聚类中心所属的类别就是新人脸图像的类别。
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