CN112836164A - 一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法 - Google Patents

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CN112836164A CN202110015803.4A CN202110015803A CN112836164A CN 112836164 A CN112836164 A CN 112836164A CN 202110015803 A CN202110015803 A CN 202110015803A CN 112836164 A CN112836164 A CN 112836164A
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Abstract

本发明公开了一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法，属于混杂动态系统研究领域。随机因素和脉冲因素广泛存在于现实世界中，导致系统状态在无法预知的情况下，短时间内遭受突变，影响系统正常运行。而现有研究脉冲系统的模型不能很好地体现脉冲的瞬时特性，同时脉冲的随机性也未能得到很好地体现。因此本发明在传统脉冲模型基础上，建立二维指标模型，分析带随机脉冲干扰的离散时间线性系统的稳定性问题，结合随机脉冲的特征，通过求解最终得到脉冲子序列稳定性判据和系统全局稳定性判据。

Description

一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法
技术领域
本发明涉及一种基于二维指标模型，使得带随机脉冲干扰的离散时间线性系统达到稳定的判定方法，属于混杂动态系统研究领域。
背景技术
在现实世界中，许多动态过程可能会受到外界干扰，导致系统状态发生突变。当在一个大的时间尺度上去描述系统时，这些突变发生的时间极短，可近似忽略，此时可把干扰导致系统状态突变的过程理想的视为脉冲现象。脉冲系统近年来得到的许多学者的关注，已有文献大多针对一般系统固定时刻发生脉冲的系统进行分析，而事实上，脉冲发生在不确定的随机时刻。比如，在生物界中，生物种群的繁衍受到随机自然灾害的影响，导致种群数量及物种基因的突变；在社会经济方面，大规模经济环境的突变对商品供求的冲击、突发的社会事件对金融和股票市场产生的波动、电路系统中开关的闭合对电路的影响等，这些干扰大多都是无法预知发生时刻的随机干扰。
针对脉冲触发时刻为随机的情况，由于系统的解依赖于脉冲发生的时刻，而这又是未知的，研究难度相比确定脉冲系统来说难度更大，所以研究成果相对较少。
传统研究离散时间脉冲的模型中，一个脉冲动作消耗了一个时间周期，这不能很好地体现脉冲的瞬时性，实质上是一个切换系统。因此，脉冲模型需要进一步改进。
稳定性是控制系统意向重要的性能指标，也是系统能正常运行的基本前提条件，在系统分析与综合的定性研究中处于十分重要的地位。
发明内容
针对现今脉冲动态系统研究领域，本发明介绍了一种基于二维指标模型，使得带随机脉冲干扰的离散时间系统达到稳定的方法，首先构建带随机脉冲干扰的离散时间系统二维指标模型，再对脉冲时刻进行采样分析，得到一个为马尔科夫链的脉冲子序列，据此结合状态堆叠法得到脉冲子序列稳定性判断依据，最后根据脉冲子序列的收敛情况，得到系统全局稳定的判断依据。
本发明采用如下技术方案：
一种基于二维指标模型的带随机脉冲干扰的离散时间线性系统稳定性研究方法，该方法包括如下步骤：
步骤1：构建带随机脉冲干扰的离散时间线性系统二维指标模型；
步骤2：对脉冲时刻进行采样，得到一个为马尔科夫链的脉冲子序列；
步骤3：基于步骤2中马尔科夫链及状态堆叠法，使均方稳定等价于状态堆叠形式的渐进稳定，得到脉冲子序列稳定性判据
步骤4：根据脉冲子序列稳定情况，得到系统全局稳定性的判断依据。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本发明实施例的进一步理解，构成本申请的一部分，并不构成对本发明实施例的限定；
图1是本发明分析流程图。
图2是系统更新方式示意图，实线为实际状态演变过程。
图3为状态堆叠算法示意过程。
具体实施方式
本发明介绍了一种基于二维指标模型，使得带随机脉冲干扰的离散时间线性系统达到稳定的方法，首先构建带随机脉冲干扰的离散时间系统二维指标模型，再对脉冲时刻进行采样分析，得到一个为马尔科夫链的脉冲子序列，再结合状态堆叠法，得到脉冲子序列稳定性判断依据，最后根据脉冲子序列的收敛情况，得到系统全局稳定的判断依据。本发明包括以下步骤：
步骤1：构建带随机脉冲干扰的离散时间线性系统二维指标模型
传统研究离散时间脉冲系统的模型为：
Figure BDA0002886731240000021
式中x表示系统状态变量；A表示步进时刻系统状态更新矩阵，J表示脉冲时刻系统状态更新矩阵；τα表示脉冲时刻；α表示第α次脉冲。
以上模型中，每个脉冲动作消耗一个采样周期，不能很好体现脉冲的瞬时性，其本质是切换系统。而在实际系统中，脉冲动作瞬时发生，在宏观时间尺度上描述系统时，脉冲动作耗时相比于采样周期和步进过程可忽略不计，为改变传统离散脉冲系统模型的局限性，所以构建如下的二维指标模型：
Figure BDA0002886731240000022
式中t表示时间指标，j表示脉冲发生次数。式中第一个方程表示非脉冲时刻的步进过程，A表示步进过程系统矩阵，在非脉冲时刻，时间指标t增加1，脉冲指标j保持不变；第二个方程表示脉冲时刻的跳跃过程，J表示跳跃过程系统矩阵，在脉冲时刻，时间指标t保持不变，脉冲指标j增加1，式中τα表示的脉冲时刻是个有界齐次独立增量的随机过程，因此脉冲之间的间隔是独立同分布的。
对任意初始状态x0∈Rn和脉冲时刻序列，确定一个混合指标序列对(tk,jk),k∈Z+，(t0,j0)＝(0,0)满足如下条件：
Figure BDA0002886731240000031
则该序列就是带随机脉冲干扰的离散时间线性系统混杂域的解，用x(tk,jk；x0)来表示，k表示系统状态更新次数。
又，为了限制在同一时刻发生的脉冲次数，防止Zeno现象的发生，引入由下式确定的辅助变量γ(t,j)：
Figure BDA0002886731240000032
其中γ(0,0)＝0。
则系统模型最终形式为：
Figure BDA0002886731240000033
步骤2：对脉冲时刻进行采样，得到一个为马尔科夫链的脉冲子序列
如图2所示系统，由于系统全局的解不是马尔科夫链，难以直接判定其稳定性，因此需要对系统脉冲进行采样分析。由于脉冲时刻是一个有界齐次增量的随机过程，因此随机脉冲之间的间隔是独立同分布的，据此前提条件得到脉冲时刻的解，即一个齐次的马尔科夫链。可先分析子序列的解的收敛性进而分析系统全局解的收敛性。
步骤3：基于步骤2中马尔科夫链及状态堆叠法，使均方稳定等价于状态堆叠形式的渐进稳定，得到脉冲子序列稳定性判据
(1)状态堆叠法
状态堆叠法是将系统状态矩阵元素按列进行拉直的一种运算，若不使用状态堆叠法，需要使系统状态均方阵的每个元素趋于0，这难以实现，而使用该方法后，使均方稳定等价于状态堆叠形式的渐进稳定。图3为状态堆叠算法示意过程。
(2)脉冲子序列稳定性判断依据
由图2可得脉冲时刻τα的状态为：
Figure BDA0002886731240000034
令：
Figure BDA0002886731240000035
Figure BDA0002886731240000041
Figure BDA0002886731240000042
又由(5)式得：
Figure BDA0002886731240000043
式中ωα＝τα+1-τα，表示脉冲间隔，E(·)表示数学期望，T表示矩阵转置。联立上式得：
Figure BDA0002886731240000044
则脉冲子系统均方稳定的充要判据为：
Figure BDA0002886731240000045
式中
Figure BDA0002886731240000046
表示满足脉冲子系统稳定的初始向量的一组基，e表示基向量。
步骤4：根据脉冲子序列稳定情况，得到系统全局稳定性的判断依据
由图2中系统状态更新方式可知，对任意更新次数k，有
Figure BDA00028867312400000410
则系统任意时刻状态表示为：
Figure BDA0002886731240000047
式中α*表示在[0:tk-1]时间内发生的脉冲次数。由于脉冲时刻是有界齐次独立增量，则存在一个最大脉冲间隔ωm有：ωα≤ωm。
又有：
Figure BDA0002886731240000048
式中ρ(·)表示矩阵谱半径，联立上式可得：
Figure BDA0002886731240000049
由此得到系统全局的收敛性，等价变换后得系统全局的均方稳定判据：
ρ((BTB)-1QωB)＜1 (16)
式中B表示向量组
Figure BDA0002886731240000051
的极大线性无关组。
据此就得到一种基于二维指标模型的带随机脉冲干扰的离散时间线性系统稳定性的判定方法。
以上实施方案仅用于说明本发明，而并非对本发明的限制，有关技术领域的普通技术人员，在不脱离本发明的精神和范围的情况下，还可以做出各种变化和变型，因此所有等同的技术方案也属于本发明的保护范畴。

Claims (5)

1.一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法，其特征在于具体方法包括以下步骤：
步骤1)构建带随机脉冲干扰的离散时间线性系统二维指标模型；
步骤2)对脉冲时刻进行采样，得到一个为马尔科夫链的脉冲子序列；
步骤3)基于步骤2中马尔科夫链及状态堆叠法，使均方稳定等价于状态堆叠形式的渐进稳定，得到脉冲子序列稳定性判据；
步骤4)根据脉冲子序列稳定情况，得到系统全局稳定性的判断依据。
2.根据权利要求1所述的一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法，其特征在于：所述步骤1)构建带随机脉冲干扰的离散时间线性系统二维指标模型，传统模型中，每个脉冲动作消耗一个采样周期，本质是切换系统，不能很好体现脉冲瞬时性。在宏观时间尺度上，脉冲动作耗时相比采样周期和步进过程可忽略不计，为改变传统模型局限性，构建如下二维指标模型：
Figure FDA0002886731230000011
其中，x表示系统状态变量，A表示步进时刻系统状态更新矩阵，J表示脉冲时刻系统状态更新矩阵，τα表示的脉冲时刻是个有界齐次独立增量的随机过程，α表示第α次脉冲，γ(t,j)为防止Zeno现象发生的辅助变量。
3.根据权利要求1所述的一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法，其特征在于：所述步骤2)对脉冲时刻进行采样，得到一个为马尔科夫链的脉冲子序列，系统的解不是马尔科夫链，又因脉冲时刻是一个有界齐次独立增量的随机过程，因此脉冲间隔是独立同分布的随机变量，据此条件得到脉冲时刻的解，即一个齐次的马尔科夫链。
4.根据权利要求1所述的一种基于二维指标模型的随机脉冲系统稳定性判定方法，其特征在于：所述步骤3)基于步骤2中马尔科夫链及状态堆叠法，使均方稳定等价于状态堆叠形式的渐进稳定，得到脉冲子序列稳定性判据，
脉冲时刻τα的状态为：
Figure FDA0002886731230000012
令：
Figure FDA0002886731230000013
Figure FDA0002886731230000014
Figure FDA0002886731230000015
联立上式及系统模型得：
Figure FDA0002886731230000021
式中ωα＝τα+1-τα，表示脉冲间隔，E(·)表示数学期望，T表示矩阵转置，联立上式得：
Figure FDA0002886731230000022
则脉冲子系统均方稳定的充要判据为：
Figure FDA0002886731230000023
式中
Figure FDA0002886731230000024
Figure FDA0002886731230000025
表示满足脉冲子系统稳定的初始向量的一组基，e表示基向量。
5.根据权利要求1所述的一种基于二维指标模型的随机脉冲离散系统稳定性判定方法，其特征在于：所述步骤4)根据脉冲子序列稳定情况，得到系统全局稳定性的判断依据，由系统状态更新方式可知，对任意更新次数k，有
Figure FDA00028867312300000210
则系统任意时刻状态表示为：
Figure FDA0002886731230000026
式中α*表示在[0:tk-1]时间内发生的脉冲次数。由于脉冲时刻是有界齐次独立增量，则存在一个最大脉冲间隔ωm有ωα≤ωm，
又有：
Figure FDA0002886731230000027
式中ρ(·)表示矩阵谱半径，联立上式可得：
Figure FDA0002886731230000028
由此得到系统全局的收敛性，等价变换后得系统全局的均方稳定判据：
ρ((BTB)-1QωB)＜1
式中B表示向量组
Figure FDA0002886731230000029
的极大线性无关组。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN114371617A (zh) * 2021-12-13 2022-04-19 重庆邮电大学 基于脉冲控制的具有切换拓扑结构的多智能体系统的分组一致性控制方法

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CN114371617A (zh) * 2021-12-13 2022-04-19 重庆邮电大学 基于脉冲控制的具有切换拓扑结构的多智能体系统的分组一致性控制方法

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