CN112653647A

CN112653647A - 一种多载波信号调制方法

Info

Publication number: CN112653647A
Application number: CN202011594689.7A
Authority: CN
Inventors: 杨大伟; 张磊; 刘传辉; 王红星; 康家方; 刘锡国
Original assignee: Naval Aeronautical University
Current assignee: Naval Aeronautical University
Priority date: 2020-12-29
Filing date: 2020-12-29
Publication date: 2021-04-13
Anticipated expiration: 2040-12-29
Also published as: CN112653647B

Abstract

本发明涉及一种多载波信号调制方法，属于无线通信技术领域。包括以下步骤：对输入比特信息数据进行分组；分组后的二进制信号由CPM映射器转换为复数信号；PSWF各阶子载波信号的产生以及PSWF多载波调制；发射信号经高斯信道发射到达接收端；接收端对接收到的信号进行PSWF正交子载波组匹配；对上一步获得的信号进行CPM解映射，将解映射出的比特数据合并，输出数据。该方法不会损失系统频带利用率，通过将多载波PSWF系统输入信号增加CPM映射，改变调制指数参数，可以获得带外衰减较快的调制信号功率谱密度特性，还可以有效降低现有多载波PSWF调制信号的峰均功率比值，减小因功率放大器导致的信号失真，以及可提高现有多载波PSWF解调性能。

Description

一种多载波信号调制方法

技术领域

本发明涉及一种多载波信号调制方法，具体说是一种多载波PSWF-CPM联合调制方法，属于无线通信技术领域。

背景技术

椭圆球面波函数(Prolate Spheroidal Wave Functions,PSWF)信号，是由美国贝尔实验室D.Slepian与O.Pollak等人于1961年提出的一类完备正交带限函数集合，该信号具有最佳时频能量聚集性、时间带宽积灵活可控性、完备双正交性、时域奇偶对称性等优良基础特性，在雷达、超宽带通信、卫星通信、光学、数学等领域都有所应用，在相同参数条件下，零阶PSWF又是PSWF函数集中最优时频能量聚集性信号。

多载波调制技术是移动通信主流热点研究技术之一，它是将带宽高速数据流串并转化为并行多路的相对低速的数据流，再将数据调制到正交的多个子载波上，多载波调制技术可在有限的频谱资源上提升频谱效率，并且能够在有效的频带内提供可靠的数据传输。目前，正交频分复用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是应用最广泛的多载波传输方式。由于多载波PSWF调制信号由多路子载波脉冲叠加而成，调制信号码元会出现高峰值，所以调制信号同常用多载波传输技术一样，具有较高的峰值平均功率比(Peak to average power ratio,PAPR)，这不但会增加模/数和数/模转换的复杂性，也易受功率放大器非线性特性的影响，造成信号非线性失真，导致发射信号严重的带内失真和带外干扰，降低射频功率放大器的效率，从而降低系统性能。

公开号为CN101409697A的专利，公开了一种基于椭圆球面波信号的多载波时域正交调制解调方法，其原理框图如图1所示。该方法是在基于子信道构建方法的基础上，采用时频域优良特性的PSWF信号设计时域正交子载波脉冲组，通过多路PSWF正交子载波并行加载信息的多载波信息传输方案。该方法中PSWF信号的产生是将所需的时间带宽积参数代入椭圆球面波函数的积分表达式，并由数值解法求得其近似数值解，即可得到在该参数下的PSWF子载波时域波形信号。在发送端，将串并转换后的数据信息，分别加载到PSWF子载波信号上；在接收端，接收信号通过与PSWF各阶子载波分别求相关，即可实现对信息数据的解调。该调制方法能以较小的复杂度使得多载波传输系统达到更高的频带利用率和功率效率，可比基于OFDM技术的调制方法更快的速率接近理论极限值2Baud/Hz，是一种具有发展前途和应用前景的调制方法。但是该方法也存在多载波调制信号峰均功率比值高等问题，因此进一步提高基于PSWF的多载波时域正交调制信号性能、降低峰均功率比也是需要进一步研究和解决的问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种可提高现有多载波PSWF调制解调系统性能，不会损失系统频带利用率、减小信号失真的多载波信号调制方法。

为了解决上述技术问题，本发明提供如下技术方案：

一种多载波信号调制方法，其特殊之处在于：包括以下步骤：

(1)对输入比特信息数据进行分组：将串行输入二进制比特周期为T_b的比特流b_i分为k组，i＝1,2,…，每组为N个比特组成的比特流数据块，用a_k,n表示，其中：k＝1,2,…，n＝1,2,…,N，N也表示第N路子载波，a_k,n为满足CPM调制器输入信息符号序列值±1(二进制)，a_1,n表示第一组N个比特数据块，a_2,n表示第二组N个比特数据块，依次类推a_k,n表示第k组N个比特数据块；

(2)分组后的二进制信号由连续相位调制(Continue phase modulation,CPM)映射器转换为复数信号：将上一步得到的{a_k,n}数据块由CPM映射器分别转换为相应的复数{c_k,n}，c_k,n的数学表达式为：

c_k,n＝cos(θ_k,n)+j sin(θ_k,n)

式中：θ_k,n表示直到kT时的所有符号的累积记忆相位值，其表达式为：

式中：h为调制指数，T为比特数据块间隔且T＝NT_b，φ₀为初始映射点，默认为零，相位角θ_k,n不仅与当前时刻数据有关，而且与之前数据也有关；

(3)PSWF各阶子载波信号的产生以及PSWF多载波调制：PSWF各阶子载波信号，是根据椭圆球面波函数积分方程定义式，利用时间带宽积等参数，产生时域正交PSWF子载波组，其积分方程表达式为：

式中：ψ_i(c,t)是带限于[-Ω,Ω]，又在时域区间[-T/2,T/2]上集中分布的共i阶椭圆球面波函数，i＝0,1,2,…,kn-1，c＝TΩ是其时间带宽积，λ_i是对应于ψ_i(c,t)的特征值，例如：ψ₀(c,t)是0阶PSWF信号，λ₀就是对应于ψ₀(c,t)的特征值，各阶PSWF信号相对应各自的特征值；

经CPM映射输出后的复数信号数据分别与k组N个时域PSWF多载波信号相乘，经PSWF多载波调制后，在时域进行叠加，产生多载波PSWF-CPM联合调制信号s(t)，即发射信号，其数学表达式为：

0≤t<∞

式中：ψ_i(c,t)为时间带宽积c，在时间区间[-T/2，T/2]上，在时域产生的共k组n阶PSWF信号；

(4)发射信号经高斯信道发射到达接收端，接收端接收的信号r(t)可以表示为：

r(t)＝s(t)+n(t)

式中：n(t)表示单边功率谱密度为n₀的加性高斯白噪声信号；

(5)接收端对接收到的信号进行PSWF正交子载波组匹配：

利用PSWF各阶子载波信号之间的正交性，先对接收信号r(t)与各阶PSWF子载波信号分别求相关相乘，获得CPM解映射器输入复数信号{d’_k,p}，{d’_k,p}的数学表达式为：

d'_k,p(t)＝＜r(t)·ψ_k,i(c,t)＞,0<i＜kn-1...

(6)对上一步获得的信号进行CPM解映射，解调出信息数据：

通过对上一步得到的复数信号{d’_k,p}，利用CPM信号的多符号检测(Multiplesymbol detection,MSD)算法进行解映射处理，可以恢复出k组且每组为N个比特组成的比特流数据块，用a’_k,n表示，其中：k＝1,2,…，n＝1,2,…,N；

由于CPM信号具有记忆性，一个符号周期内的信号由当前输入符号和之前符号状态共同决定，充分利用这种信号间记忆的关联特性，通过一组互相关器在当前和未来D个信号传输间隔上观测信号，对当前信息符号进行判决，当接收端收到一个符号信号时，并不立即进行判决，而是要持续观察后继3～5个符号后，再对这一符号进行判决，从而减少判决错误，提高接收机解调性能。为不失一般性，以二进制输入比特数据为例实现该检测过程，其实现过程可先采用简化符号表示复数信号d'_k,p(t)为：

d'_k,p(t)＝z(t,a_k,1,A_j),0≤t<DT_b

其中：z(t,a_k,1,A_j)是与数据符号序列{a_k,1,A_j}相对应的CPM映射信号，D为观察符号间隔，a_k,1为要检测的第一个符号，A_j是a_k,1之后D-1个比特的所有可能的数据序列：

A_j＝{a_k,2,a_k,3，…,a_k,D},j＝2^D-1

对于相关检测，信号初始相位已知，为不失一般性假定为0。最佳接收为第一符号检测器，需要计算第一个符号的估计值，因此把2^D个序列分成两组即：

式中：每组包含2^D-1个序列，因为{a_k,2,a_k,3，…,a_k,D}有2^D-1种可能的组合，最佳接收需要使似然函数最大化的一组序列，并将该组序列第一个符号作为估计值。在功率谱密度为n₀的高斯信道下，与PSWF子载波求相关后的信号d’_k,p(t)，在某一A_j条件下的似然值为：

要得到a_k,1的非条件似然值，需要对A_j的概率密度进行平均。由于A_j有m＝2^D-1种不同的可能性，对应每一种可能的A_j，其离散概率密度函数(Probability densityfunction,PDF)为：

f(A_j)＝1/2^D-1

因此两个可能的似然函数为(忽略共同因子1/2^D-1)：

然后接收机选择出l₁与l₂中最大者对应的数据符号a_k,1，如果相关器的输出定义为x_λ,j(λ＝1,2,j＝1,2,…,m)，那么x_λ,j的表达式为：

那么似然函数可以表示为：

在高信噪比(Signal noise ratio,SNR)条件下有：

其中：

x_Λ＝max{x_λj；j＝1,2,…,m}

由于exp()是单调函数，所以x_Λ可以作为用于判决的等价参数。

简而言之，MSD相关解调如果在持续时间为DT_b的相关运算间隔中的初始相位已知，假设在第kT个传输间隔中CPM需要解映射的信号为d’_k,p(t)，那么在检测符号a_k,1时，在D个信号间隔上，将接收信号r(t)与各阶PSWF子载波求相关后的信号符号{d’_k,p}，与本地参考信号

和

分别进行互相关运算，在某一(j＝1,2,…,2^D-1)条件下的似然值为

和

将该似然值代入下式似然比例检测公式，得l的表达式：

式中：A_j表示输入信息符号序列分别为1或-1时，由CPM映射器产生的参考序列矩阵，且j＝1,2,…2^D-1；通过l表达式得到判决变量，利用最大似然比与相关值得关系，依次对信息序列做出判决，在后续的传输间隔D中，类似于滑动窗的检测结构，以同样的方式对后续接收信息符号序列进行检测、解调和转换恢复出k组且每组为N个比特组成的比特流数据块，用a’_k,n表示，其中：k＝1,2,…，n＝1,2,…,N，并将a’_k,n由双极性码转换为二进制0或1，其中：-1转换为0,1转换为1，然后将k组比特流数据块合并、转换为串行比特数据输出b_i。

相比正交频分复用多载波传输技术，基于椭圆球面波信号(PSWF)的多载波调制方法能够达到以下技术效果：

一、PSWF信号本身就具有比矩形脉冲等信号更佳的能量聚集性，更高的频谱性能和较小的带外泄漏，且多载波PSWF信号不需要保护间隔，增加CPM映射方式不会损失系统频带利用率；

二、将多载波PSWF信号与CPM调制技术相结合的PSWF-CPM联合调制信号模型，充分利用了PSWF信号的优良特性和CPM技术优势，由于CPM调制方式的相位连续性相当于引入了编码性能，因此在相邻的PSWF载波信号之间引入了记忆特性，在一定程度上，可以降低现有多载波PSWF系统调制信号的峰均功率比值，而且利用CPM信号不同的检测解调方法，可以获得不同的多载波PSWF-CPM系统的误码性能，尤其是利用MSD检测方法，在接收端通过观察D个符号周期信号，来达到对一个符号的最优检测，进而可以进一步提升多载波PSWF-CPM系统误码性能。

三、通过将多载波PSWF系统输入信号增加CPM映射，改变调制指数参数，可以获得带外衰减较快的调制信号功率谱密度特性，还可以有效降低现有多载波PSWF调制信号的峰均功率比值，减小因功率放大器导致的信号失真，尤其是在调制指数为0.5时，可降低PAPR约2.43dB；在接收端，通过采用CPM多符号检测方法，特别是5符号周期检测时，在高信噪比条件下，该系统检测性能可以优于相关检测，且符号数越大，解调性能越好。

附图说明

为了更清晰地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1：本发明的调制原理框图；

图2：图1中发射信号调制原理图；

图3：实施例1中多载波PSWF-CPM信号映射相位树(二进制)；

图4：实施例1中多载波PSWF-CPM信息映射星座图；

图5：实施例1中多符号检测原理图；

图6:多载波PSWF-CPM调制信号功率谱密度；

图7:多载波PSWF-CPM调制信号峰均功率比；

图8:不同子载波PSWF-CPM调制信号峰均功率比；

图9:PSWF-CPM信号不同检测方法解调性能。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。

如图1-2所示的多载波信号调制方法，包括以下步骤：

(2)分组后的二进制信号由CPM映射器转换为复数信号：将上一步得到的{a_k,n}数据块由CPM映射器转换为相应的复数{c_k,n}，c_k,n的数学表达式为：

c_k,n＝cos(θ_k,n)+j sin(θ_k,n)

图3是相位角θ_k,n在二进制条件下、调制指数为0.5时的相位树(即可能的相位路径)；

(3)PSWF各阶子载波信号的产生以及PSWF多载波调制：PSWF各阶子载波信号，是根据椭圆球面波函数积分方程定义式利用时间带宽积等参数，产生时域正交PSWF子载波组，其积分方程表达式为：

经CPM映射输出后的复数信号数据，星座映射如图4所示，分别与k组N个时域PSWF多载波信号相乘，经PSWF多载波调制后，在时域进行叠加，产生多载波PSWF-CPM联合调制信号s(t)，即发射信号，其数学表达式为：

0≤t<∞

式中：ψ_i(c,t)为时间带宽积c，在时间区间[-T/2，T/2]上，在时域产生的共k组n阶PSWF信号；s(t)实现原理框图如图2所示(以单数据块为例(k＝1))；

r(t)＝s(t)+n(t)

(5)接收端对接收到的信号进行PSWF正交子载波组匹配：

d'_k,p(t)＝＜r(t)·ψ_k,i(c,t)＞,0<i＜kn-1

(6)对上一步获得的信号进行CPM解映射，解调出信息数据：

d'_k,p(t)＝z(t,a_k,1,A_j),0≤t<DT_b

A_j＝{a_k,2,a_k,3，…,a_k,D},j＝2^D-1

f(A_j)＝1/2^D-1

因此两个可能的似然函数为(忽略共同因子1/2^D-1)：

那么似然函数可以表示为：

在高信噪比(Signal noise ratio,SNR)条件下有：

其中：

x_Λ＝max{x_λj；j＝1,2,…,m}

和

和

将该似然值代入下式似然比例检测公式，得l的表达式：

式中：A_j表示输入信息符号序列分别为1或-1时，由CPM映射器产生的参考序列矩阵，且j＝1,2,…2^D-1；通过l表达式得到判决变量，利用最大似然比与相关值的关系，依次对信息序列做出判决，在后续的传输间隔D中，类似于滑动窗的检测结构，以同样的方式对后续接收信息符号序列进行检测、解调和转换恢复出k组且每组为N个比特组成的比特流数据块，用a’_k,n表示，其中：k＝1,2,…，n＝1,2,…,N，并将a’_k,n由双极性码转换为二进制0或1，其中：-1转换为0,1转换为1，然后将k组比特流数据块合并、转换为串行比特数据输出b_i；图5是以N比特一个数据块{d’_p}为例，多符号检测原理图。

根据多载波PSWF-CPM信号调制解调原理，结合计算机数值仿真，以N个比特信息组成的一个数据块为例，实现对多载波PSWF-CPM联合调制信号的功率谱密度特性、峰均功率比、以及解调误码性能的仿真分析，仿真具体参数设置如表1所示。

表1 仿真参数设置

为了便于清楚的对比不同调制方式信号性能，仿真图中，将多载波PSWF调制(Multi-carrier modulation based on PSWF,PSWF-MCM)用‘PSWF-MCM’表示，不同映射方式以括号备注形式示意，如采用PAM调制的PSWF多载波调制信号(简称‘PSWF-MCM(PAM)’)、采用QPSK映射方式的PSWF多载波调制信号(简称‘PSWF-MCM(QPSK)’)、采用CPM调制的PSWF多载波调制信号(简称‘PSWF-MCM(CPM)’或‘PSWF-MCM(CPFSK)’)。

图6给出了基于椭圆球面波信号的多载波不同调制方式的功率谱密度性能。由图6可知，PSWF-MCM(PAM)信号与PSWF-MCM(QPSK)信号具有相同的功率谱密度特性。采用连续相位调制中的CPFSK映射方式，当调制指数h为0.5时，得到的PSWF多载波调制信号(PSWF-MCM(CPFSK))与PSWF-MCM(PAM)信号、PSWF-MCM(QPSK)信号功率谱密度性能基本一致，而当调制指数h趋于0或者h趋于1时，PSWF-MCM(CPFSK)调制信号功率谱带外衰减可以较快，信号能量聚集度基本不变且旁瓣较低，通过改变CPM调制指数参数，有利于获得频谱特性较好的调制信号。

当PSWF子载波个数为64时，PSWF时间带宽积c为70Hz·s，采用CPFSK的连续相位调制映射方式，调制指数分别为有理数h＝0.25，h＝0.5，h＝0.75。PSWF-MCM(PAM)信号、PSWF-MCM(QPSK)信号、PSWF-MCM(CPM)信号峰均功率比性能如图7所示。

由图7可知，PSWF-MCM(PAM)调制信号的峰均功率比值是最高的，且在互补累计分布函数(Complementary cumulative distribution function,CCDF)，即CCDF＝10^-4时，其PAPR值约为9.09dB，采用QPSK映射后的PSWF-MCM(QPSK)调制信号，在CCDF＝10^-4时，其PAPR值约为7.36dB，相比原多载波PSWF调制信号降低了约1.73dB，而采用CPFSK映射方式的PSWF-MCM(CPM)调制信号，在调制指数h＝0.5、CCDF＝10^-4时，其PAPR值相比多载波PSWF调制信号降低约为2.43dB，在该条件下可降低原多载波系统的PAPR值最大，而当调制指数h趋于0或者h趋于1时，可降低的PAPR值有所减小。

由此可知，采用CPM映射方式的PSWF-MCM信号，相比现有多载波PSWF调制信号，可降低功率放大器非线性特性对其产生的影响。

表2 不同调制方式PAPR值

表3 不同调制指数PAPR值

图8是PSWF子载波数分别为64、32时，采用CPFSK映射方式，PSWF-MCM(CPM)调制信号的峰均功率比图。

当子载波个数为32时，在CCDF＝10^-4时，PSWF-MCM(PAM)调制信号PAPR值约为8.64dB，而采用CPM(CPFSK)映射后的，PSWF-MCM(PAM)调制信号PAPR值降低了约2.36dB，与表2中子载波个数为64时，相同参数条件下，可降低原多载波PSWF调制信号PAPR约2.43值接近，由此可以得出，随着子载波数的增加，多载波PSWF调制通过增加CPM映射方式，可以有效降低原PSWF-MCM(PAM)调制信号的PAPR值，且随着子载波数的增加，对PAPR的抑制性能较好。

不同子载波数和调制参数，PSWF-MCM(PAM)调制信号PAPR值详见表4。

表4 不同子载波数PAPR值

图9是子载波数为64，PSWF的时间带宽积为70Hz·s，调制指数h为0.5时，不同调制方式情况下的误码率性能。分别对PSWF-MCM(PAM)信号相关检测、PSWF-MCM(QPSK)信号解调和PSWF-MCM(CPM)相关检测、差分检测、多符号检测性能进行了分析对比。

由图9可知，PSWF-MCM(CPM)相关检测与PSWF-MCM(PAM)信号、PSWF-MCM(QPSK)信号具有相同的误码性能；在误码率(Bit error ratio,BER)为10^-4时，PSWF-MCM(CPM)相位差分检测方法，比PSWF-MCM(CPM)相关检测误码性能略低约0.23dB，而采用5符号周期检测法得到的PSWF-MCM(CPM)信号解调误码性能略好于相关检测约0.21dB，且符号数越大，检测、误码性能越好。

上面所述的实施例仅是本发明的优选实施方式进行描述，并非对本发明的构思和范围进行限定，在不脱离本发明设计构思的前提下，本领域中普通工程技术人员对本发明的技术方案作出的各种变型和改进均应落入本发明的保护范围，本发明的请求保护的技术内容，已经全部记载在技术要求书中。

Claims

1.一种多载波信号调制方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)对输入比特信息数据进行分组；

(2)分组后的二进制信号由CPM映射器转换为复数信号；

(3)PSWF各阶子载波信号的产生以及PSWF多载波调制；

(4)发射信号经高斯信道发射到达接收端；

(5)接收端对接收到的信号进行PSWF正交子载波组匹配；

(6)对上一步获得的信号进行CPM解映射，将解映射出的比特数据合并，输出数据。

2.根据权利要求1所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(1)对输入比特信息数据进行分组为将串行输入二进制比特周期为T_b的比特流b_i分为k组，i＝1,2,…，每组为N个比特组成的比特流数据块，用a_k,n表示，其中：k＝1,2,…，n＝1,2,…,N，N也表示第N路子载波，a_k,n为满足CPM调制器输入信息符号序列值±1(二进制)，a_1,n表示第一组N个比特数据块，a_2,n表示第二组N个比特数据块，依次类推a_k,n表示第k组N个比特数据块。

3.根据权利要求1或2所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(2)分组后的二进制信号由CPM映射器转换为复数信号：将上一步得到的{a_k,n}数据块由CPM映射器分别转换为相应的复数{c_k,n}，c_k,n的数学表达式为：

c_k,n＝cos(θ_k,n)+jsin(θ_k,n)

式中：h为调制指数，T为比特数据块间隔且T＝NT_b，φ₀为初始映射点，默认为零，相位角θ_k,n不仅与当前时刻数据有关，而且与之前数据也有关。

4.根据权利要求3所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(3)PSWF各阶子载波信号的产生以及PSWF多载波调制：PSWF各阶子载波信号，是根据椭圆球面波函数积分方程定义式，利用时间带宽积等参数，产生时域正交PSWF子载波组，其积分方程表达式为：

式中：ψ_i(c,t)是带限于[-Ω,Ω]，又在时域区间[-T/2,T/2]上集中分布的共i阶椭圆球面波函数，i＝0,1,2,…,kn-1，c＝TΩ是其时间带宽积，λ_i是对应于ψ_i(c,t)的特征值，各阶PSWF信号相对应各自的特征值；

式中：ψ_i(c,t)为时间带宽积c，在时间区间[-T/2，T/2]上，在时域产生的共k组n阶PSWF信号。

5.根据权利要求4所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(4)发射信号经高斯信道发射到达接收端，接收端接收的信号r(t)可以表示为：

r(t)＝s(t)+n(t)

式中：n(t)表示单边功率谱密度为n₀的加性高斯白噪声信号。

6.根据权利要求5所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(5)接收端对接收到的信号进行PSWF正交子载波组匹配：

d'_k,p(t)＝＜r(t)·ψ_k,i(c,t)＞,0<i＜kn-1。

7.根据权利要求6所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(6)对第(5)步获得的信号进行CPM解映射，解调出信息数据：

通过对上一步得到的复数信号{d’_k,p}，利用CPM信号的多符号检测算法进行解映射处理，解调出信息数据。

8.根据权利要求7所述的一种多载波信号调制方法，其特征在于：所述步骤(6)对第(5)步获得的信号进行CPM解映射，解调出信息数据：

先简化符号表示复数信号d'_k,p(t)为：

d'_k,p(t)＝z(t,a_k,1,A_j),0≤t<DT_b

A_j＝{a_k,2,a_k,3，…,a_k,D},j＝2^D-1

对于相关检测，信号初始相位为0；

最佳接收为第一符号检测器，需要计算第一个符号的估计值，把2^D个序列分成两组即：

式中：每组包含2^D-1个序列，因为{a_k,2,a_k,3，…,a_k,D}有2^D-1种可能的组合，最佳接收需要使似然函数最大化的一组序列，并将该组序列第一个符号作为估计值；在功率谱密度为n₀的高斯信道下，与PSWF子载波求相关后的信号d’_k,p(t)，在某一A_j条件下的似然值为：

对A_j的概率密度进行平均；

由于A_j有m＝2^D-1种不同的可能性，对应每一种可能的A_j，其离散概率密度函数为：

f(A_j)＝1/2^D-1

两个可能的似然函数为：

接收机选择出l₁与l₂中最大者对应的数据符号a_k,1，相关器的输出定义为x_λ,j(λ＝1,2,j＝1,2,…,m)，那么x_λ,j的表达式为：

似然函数表示为：

在高信噪比条件下：

其中：

x_Λ＝max{x_λj；j＝1,2,…,m}

似然值为

和

将该似然值代入似然比例检测公式，得l的表达式：

式中：A_j表示输入信息符号序列分别为1或-1时，由CPM映射器产生的参考序列矩阵，且j＝1,2,…2^D-1；通过l表达式得到判决变量，利用最大似然比与相关值的关系，依次对信息序列做出判决，在后续的传输间隔D中，以同样的方式对后续接收信息符号序列进行检测、解调和转换恢复出k组且每组为N个比特组成的比特流数据块，用a’_k,n表示，其中：k＝1,2,…，n＝1,2,…,N，并将a’_k,n由双极性码转换为二进制0或1，其中：-1转换为0,1转换为1，然后将k组比特流数据块合并、转换为串行比特数据输出b_i。