CN112651091B - 一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，采用刚体链和虚拟链相互转化的方法，可将实际刚体链转化为只存在转动副(和球副)的虚拟链，因此除了要求解第一个虚拟链段的起点坐标位置外，只需要求解各个虚拟链段起点处的方向角，由此可以对虚拟链方向角设置统一的变化上限来求解。而且，由于虚拟链中各链段的结构是简化了链段的结构，每个链段都是线性的，只需考虑其起点和终点(即节点)，因此在求解过程中极大地减小了计算量，可以提高计算速度。

Description

一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法
技术领域
本发明涉及可变形刚体机构设计技术领域，特别是一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法。
背景技术
许多机械系统通过改变其几何形状执行功能。可控地改变形状可使机构更有效地在多种工作环境中发挥作用，或者执行多个任务，具有这种能力的系统通常被称为自适应或变形机构。变形机构的典型应用例如变形飞机机翼、有源孔径天线以及光学系统的可变形反射镜等。刚体机构通常由传统的机械部件组成，如刚性连杆、铰链、齿轮、凸轮等。这种机构用由转动副连接、移动副连接或球副连接的刚体组成的链的边缘形状去拟合一系列目标形状，刚体机构综合过程中便需要设计这个刚体链。在平面情况中，刚体链可视为由形状和大小均不变的M链段以及有特定曲率、长度可变的C链段组成，链段之间以固定角度“熔合”连接(F连接)或以转动副(R连接)相连。在空间情况中，刚体链可视为由M链段和曲率与挠度均相等、长度可变的H链段组成，链段之间以固定角度“熔合”连接(F连接)或以球副(S连接)相连。
现有的技术中，为了要求解连续的刚体链的位置和方向，除了要求解第一个链段的起点坐标位置外，还需要分别求解各个链段起点处的方向角以及C链段(或H链段)的长度。由于角度和长度是两种不同量纲的物理量，在求解过程中难以用统一的标准衡量它们的变化，因此难以找到合适的权重分配规则来进行求解。而且各个链段形状复杂，求解过程中需要对链段上的每个坐标点都进行计算，因此计算量巨大，计算速度慢。
发明内容
本发明提供一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，解决了现有技术中对刚体链段最终位置的求解过程中无法设置统一的变化上限以及计算量大、耗时长的技术问题。
本发明的可变形刚体链是可变形刚体机构中用于构成目标轮廓形状的一组相连的链段。在可变形刚体机构的综合理论中，目标轮廓分成开放轮廓(首尾两端无几何约束条件)、封闭轮廓(首尾相连)以及固定端轮廓(首尾两端有位置和/或方向约束)三类；
封闭轮廓的起点和终点之间可采用转动副连接(称为封闭R轮廓)或者熔合连接(称为封闭F轮廓)。固定端轮廓的端点处与机架可采用转动副连接(称为R类型)或者移动副连接(称为P类型)，R类型的端点位置固定，P类型的端点位置与方向均固定。根据两端点的类型不同，固定端轮廓可以分为RR、RP，PR和PP四种类型。
平面链段类型包括两种：形状和大小均不变的M链段(具有任意二维曲线外形)以及有固定曲率、长度可变的C链段(外形为一段圆弧)。空间链段类型包括两种：形状和大小均不变的M链段(具有任意三维曲线外形)以及有固定曲率和挠度、长度可变的H链段(外形为一段圆柱螺旋线)。对于平面刚体链，各链段之间的连接方式包括以转动副相连(称为R连接)和以特定角度进行“熔合”连接(称为F连接)。对于空间刚体链，各链段之间的连接类型包括以球副相连(称为S连接)和F连接。从机构的角度来看，M链段即一个刚性连杆，C链段即两个或两个以上曲率相同、由移动副相连的刚性连杆，H链段即两个或两个以上曲率和挠度相同、由移动副相连的刚性连杆。
因此一条平面可变形刚体链实际上是由若干个以移动副和转动副连接的具有二维曲线外形的刚体构成，而一条空间可变形刚体链是由若干个以移动副和球副连接的具有三维曲线外形的刚体构成。在可变形刚体机构的综合过程中，需设计一条平面(或空间)可变形刚体链来拟合一组平面(或空间)目标轮廓曲线形状。
本发明采用的技术方案如下：
一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，所述刚体链的链段包括M链段、C链段和H链段，所述方法包含平面和空间两种情形下的可变形刚体机构综合过程中的可变形刚体链与虚拟链的相互转换方法；
所述虚拟链包括：对可变形平面刚体链进行设计时，将由刚体链转化为的全部由R连接的线性刚性连杆；以及对可变形空间刚体链进行设计时，将刚体链转化为的全部由R连接和/或S连接的线性刚性连杆；
所述方法包括以下步骤：
S1：设计计算起点的刚体链，所述刚体链包含多个相互独立的部分，每个部分包括至少一个链段，将各链段转化为对应的虚拟链段；对于包含至少两个链段的部分，根据设计方案在两个链段之间添加F连接；
S2：将位于F连接处两侧对应的两个相邻的线性虚拟链段简化为一个线性虚拟链段，其起点和终点是原来两相邻虚拟链段上远离F连接点的端点；
S3：重复S2步，直至所有的虚拟链段之间均不存在F连接，只存在R连接和/或S连接(只针对三维的情况)或还未连接；
S4：采用MATLAB的fmincon函数求解虚拟链的位置：以各虚拟链段之间应首尾相连为已知条件，求解出第一个虚拟链段的起点坐标位置以及所有虚拟链段的方向，使得虚拟链段上各节点在连接前后的位移的平方和最小，且满足轮廓首尾两端的几何约束条件，由此得到连接后虚拟链上各节点的坐标位置
Figure BDA0002847131350000021
此步骤实现了将未连接的虚拟链之间通过R连接或S连接成连续链。
具体地，求解过程使用非线性函数进行迭代求解的，每一次迭代求解的结果都是满足所给出的约束条件同时也使各个链段也是首尾相连的，设定迭代次数，在迭代完成之后会输出节点位移平方和最小的结果，输出的参数为虚拟链段起点坐标位置和各链段方向，然后根据参数确定节点位置。
S5：检索实际刚体链：将虚拟链段转换回实际刚体链，即根据各虚拟链段在连接后的旋转和平移，计算出实际刚体链段连接后的旋转和平移以及C链段或H链段的长度变化，得到连接后的实际刚体链。
所述S1步中，一个M链段所对应的虚拟链段为一个连接所述M链段起点和终点的线性链段，所述虚拟链段的长度为所述M链段两端点之间的直线距离。
所述S1步中，一个C链段所对应的虚拟链段为两个由R连接的线性链段，所述转动副位于C链段所在圆弧的圆心处，两个由R连接的线性链段的另外两个端点分别位于所述C链段的起点和终点处，两个由R连接的线性链段的长度均为C链段所在圆弧的半径；
所述S1步中，一个H链段为一段圆柱螺旋线，根据其曲率半径定义一个具有相同半径的圆柱，且H链段的起点、终点分别位于所述圆柱的上、下底圆的圆周上，一个H链段所对应的虚拟链段为四个线性链段，其中：第一虚拟链段是连接H链段起点与上底圆圆心的线性链段；第四虚拟链段是连接H链段终点和下底圆圆心的线性链段；第二和第三虚拟链段是两条相等长度的线性链段，其长度大于圆柱高度的一半；第一、第二、第三虚拟链段在同一平面上；第一与第二虚拟链段之间、第二与第三虚拟链段之间采用R连接，第三与第四虚拟链段之间采用S连接；
当C链段的曲率趋近于零时，其所在圆弧的圆心位于C链段的无穷远处，此时可以设定一个曲率阈值，当C链段曲率低于阈值时，可认为C链段为一带有移动副的直杆；此时，C链段所对应的虚拟链段为两个由R连接的等长线性链段，所述R连接的转动副位于C链段的中垂线上，两线性链段的另外两个端点位于C链段的起点和终点处，两线性链段的长度大于C链段最大长度的一半。
平面刚体链的链段包括M链段和C链段；空间刚体链的链段包括M链段和H链段；刚体链上链段的数量比不包括起点和终点的连接处的数量多一个；
平面刚体链对应的虚拟链的链段数量L为：
L＝2C+(q-C)-(q-1-R)＝C+R+1 (1)
式(1)中，C是C链段的数量，q是实际刚体链段的总数量，R是实际刚体链中R连接的数量；
R个R连接将实际刚体链分为R+1个部分，根据实际刚体链生成的虚拟链也包含R+1个部分，每个部分中包含的各链段相互连接，各个部分之间相互独立(还未添加R连接)，每个虚拟链段的两端点称为节点，添加R连接之前虚拟链中的节点数目J为：
Figure BDA0002847131350000031
其中Je为虚拟链第e个部分所含节点数目，Ce为实际刚体链第e个部分所含C链段个数。
空间刚体链对应的虚拟链的链段数量L为：
L＝4H+(q-H)-(q-1-S)＝3H+S+1 (3)
式(3)中，H是H链段的数量，q是实际刚体链段的总数量，S是实际刚体链中S连接的数量；S个S连接将实际刚体链分为S+1个部分，根据实际刚体链生成的虚拟链也包含S+1个部分，则虚拟链中节点的数量J为：
Figure BDA0002847131350000041
式(4)中Je为虚拟链第e个部分所含节点数目，He为实际刚体链第e个部分所含H链段个数。
仅建立F连接的实际刚体链所对应的虚拟链并未实现完全连接，需要求出连接后虚拟链段的方向和位置，并使虚拟链段上各节点的位移平方和最小，即目标函数为：
Figure BDA0002847131350000042
式(5)中，p是被拟合轮廓的数量，R+1或S+1为仅添加了F连接后的虚拟链被应添加转动副或球副处分隔开的部分数量，Je为虚拟链第e个部分的节点数；
Figure BDA0002847131350000043
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，
Figure BDA0002847131350000044
为加上R连接或S连接之前第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，T为转置符号，
Figure BDA0002847131350000045
即为第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点在加上R连接或S连接前后坐标位置的偏移量的平方。
根据实际链添加连接的约束条件，虚拟链在建立连接时也应满足依次首尾相连的条件，即：
Figure BDA0002847131350000046
式(6)中，Je为虚拟链第e个部分所含节点数目，
Figure BDA0002847131350000047
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第Je个节点(即最后一个节点)的坐标位置，
Figure BDA0002847131350000048
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e+1个部分上的第一个节点的坐标位置。
封闭型和固定端点型轮廓对实际刚体链首尾具有约束条件，相应地，对虚拟链也有约束条件；对于封闭轮廓，虚拟链上的第一个节点和最后一个节点必须重合，即：
Figure BDA0002847131350000049
式(7)中，n＝R+1或S+1为虚拟链被应添加转动副或球副处分隔开的部分数量，Jn即为虚拟链最后一个部分所包含的节点数目，
Figure BDA00028471313500000410
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链最后一个部分上的最后一个节点的坐标位置，
Figure BDA00028471313500000411
的含义为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链第一个部分上的第一个节点的坐标位置。
当封闭轮廓的起点(即终点)处采用F连接时，应保证各轮廓上虚拟链起点处和终点处之间的夹角保持不变，即：
Figure BDA00028471313500000412
式(8)中，n＝R+1或S+1为虚拟链被应添加转动副或球副处分隔开的部分数量，Jn为虚拟链最后一个部分所包含的节点数目；
Figure BDA00028471313500000413
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第一个部分上由第一个节点
Figure BDA0002847131350000051
指向第二个节点
Figure BDA0002847131350000052
的方向角，即为第j个轮廓上虚拟链起点处的方向角；
Figure BDA0002847131350000053
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链的最后一个部分上由倒数第二个节点
Figure BDA0002847131350000054
指向最后一个节点
Figure BDA0002847131350000055
的方向角，即为第j个轮廓上虚拟链终点处的方向角；
Figure BDA0002847131350000056
分别为第一个轮廓上虚拟链起点处与终点处的方向角。
对于固定端轮廓，各轮廓上第一个虚拟链段的起点以及最后一个虚拟链段的终点应各自重合，即：
Figure BDA0002847131350000057
Figure BDA0002847131350000058
式(9)中的
Figure BDA0002847131350000059
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链第一个部分上的第一个节点(即起点)的坐标位置，式(10)中的
Figure BDA00028471313500000510
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链第n个部分上的第Jn个节点(即终点)的坐标位置，它们分别与第一个轮廓上的虚拟链的起点和终点的位置重合。
当固定端轮廓起点的方向固定时，各轮廓上第一个虚拟链段的起点处方向相同，即：
Figure BDA00028471313500000511
式(11)中变量的含义与式(8)中相同。
当固定端轮廓终点的方向固定时，各轮廓上最后一个虚拟链段的终点处方向相同，即：
Figure BDA00028471313500000512
式(12)中变量的含义与式(8)中相同。
针对平面刚体链，在根据连接后的虚拟链检索实际刚体链的过程中，M链段的位置可以根据虚拟链段的节点位置直接确定；而构成C链段的虚拟链夹角相比较于连接之前会发生变化，意味着C链段的中心角发生了变化，为使C链段上的离散点和原轮廓仍保持对应，需要调整C链段上离散点的间距，如果C链段与相邻链段的连接方式为F连接，则在调整过程中要保证F连接处夹角不变。
针对空间刚体链，在根据连接后的虚拟链检索实际刚体链的过程中，M链段的位置可以根据虚拟链段的节点位置直接确定；而构成H链段的虚拟链夹角相较于连接之前会发生变化，意味着H链段的长度会发生了变化；为使H链段上的离散点和原轮廓仍保持对应，需要调整H链段上离散点的间距，如果H链段与相邻链段的连接方式为F连接，则在调整过程中要保证F连接处夹角不变。
本发明的有益效果如下：
本发明可将实际刚体链转化为只存在转动副(和球副)的虚拟链，因此只需要求解第一个虚拟链段的起点坐标与各个虚拟链段的方向角，由此可以对虚拟链方向角设置统一的变化上限来求解。而且由于虚拟链中各链段的结构是简化了链段的结构，每个链段都是线性的，只需考虑其起点和终点(即节点)，在求解过程中只需要计算少量虚拟链节点的位置，与现有技术需要计算链段上所有坐标点的位置相比极大减少了计算量，可以有效节省计算时间。
本发明适用于各种类型的平面和空间刚体机构形状轮廓，包括：开放轮廓、封闭轮廓和固定端轮廓。
附图说明
图1是本发明的一个M链段对应的虚拟链段的示意图。
图2是本发明的一个C链段对应的虚拟链段的示意图。
图3是本发明的由F连接相连的一个M链段和一个C链段所对应的虚拟链段的示意图。
图4是本发明的由F连接相连的两个C链段所对应的虚拟链段的示意图。
图5是本发明的一个H链段对应的虚拟链段的示意图。
图6是本发明的一条未添加R连接的固定端RP轮廓的实际刚体链及其对应的虚拟链的示意图。
图7是本发明的一条添加了R连接的固定端RP轮廓的实际刚体链及其对应的虚拟链的示意图。
图8是本发明的一条未添加R连接的封闭R轮廓的实际刚体链及其对应的虚拟链的示意图。
图9是本发明的一条添加了R连接的封闭R轮廓的实际刚体链及其对应的虚拟链的示意图。
图10是本发明的一条未添加S连接的开放轮廓的实际刚体链及其对应的虚拟链的示意图。
图11是本发明的一条添加了S连接的开放轮廓的实际刚体链及其对应的虚拟链的示意图。
图12是本发明设计方法的流程图。
具体实施方式
以下结合附图说明本发明的具体实施方式。
如图12所示，本实施例的一种基于可变形刚体机构综合理论的平面刚体链连接方法，平面刚体链包括M链段和C链段，设计方法包括以下几个步骤：
步骤S1：将实际刚体链的各部分的链段分别转化为对应的虚拟链段；
具体地，如图1所示，一个M链段所对应的虚拟链段为连接其起点和终点的一个线性链段，其长度为M链段两端点之间的直线距离；如图2所示，一个C链段所对应的虚拟链段为两个由R连接的线性链段，该转动副位于C链段所在圆弧的圆心处，两线性链段的另外两个端点位于C链段的起点和终点处，两线性链段的长度均为C链段所在圆弧的半径。
步骤S2：根据设计方案，在初始的刚体链的链段之间如果添加了F连接的，以固定角度的F连接相连的两个实际刚体链段，其相应的位于连接处两侧的两个相邻的线性虚拟链段应简化为一个线性虚拟链段，其起点和终点是原来两相邻虚拟链段上远离F连接处的端点。
如图3所示，对M链段、C链段进行步骤S1操作，M链段和C链段之间采用F连接，然后得到如图3所示的简化后的虚拟链。
步骤S3：对如图4所示的两个C链段分别进行步骤S1操作，然后进行两次步骤S2操作，得到如图4所示的简化后的虚拟链。
摘选一组固定端RP型轮廓中的一条轮廓，其分段类型向量为：
V＝[MCMCMC]
连接类型为：
W＝[FFRFF]
通过多次的步骤S1/S2操作可得轮廓对应的未建立连接的虚拟链包括两个连续部分，共五个链段，节点数量为七个，其实际轮廓、仅添加熔合连接(F连接)的刚体链及其对应的虚拟链的示意图如图6所示。
步骤S4：采用MATLAB的fmincon函数求解方程：
Figure BDA0002847131350000071
式中，p是被拟合轮廓的数量，R+1为仅添加了F连接后的虚拟链被应添加转动副处分隔开的部分数量，Je为虚拟链第e个部分的节点数；
Figure BDA0002847131350000072
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，
Figure BDA0002847131350000073
为加上R连接或S连接之前第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，T为转置符号，
Figure BDA0002847131350000074
即为第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点在加上R连接前后坐标位置的偏移量的平方。
由于轮廓类型为固定端(RP型)，因此轮廓起点和终点处的约束条件如下：
轮廓起点处具有位置约束，即各轮廓上第一部分的虚拟链段的第一个节点位置重合：
Figure BDA0002847131350000075
轮廓终点处具有位置约束，即各轮廓上第n个部分(最后一部分)的虚拟链段的第Jn个(最后一个)节点位置重合：
Figure BDA0002847131350000076
式中n＝R+1或S+1，表示虚拟链的最后一部分，Jn表示封闭轮廓最后一个部分所包含的节点数目。
轮廓终点处还具有方向约束，即各轮廓上第n个部分(最后一部分)的虚拟链段的终点处的方向角相同：
Figure BDA0002847131350000077
式中
Figure BDA0002847131350000078
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链的最后一个部分上由倒数第二个节点
Figure BDA0002847131350000079
指向最后一个节点
Figure BDA00028471313500000710
的方向角，即为第j个轮廓上虚拟链终点处的方向角。
求解得到虚拟链的实际位置，以各虚拟链段之间应首尾相连为已知条件，求解出第一个虚拟链段的起点坐标位置以及所有虚拟链段的方向，使得虚拟链段上各节点在连接前后的位移的平方和最小，且满足轮廓首尾两端的几何约束条件，由此得到连接后虚拟链上各节点的坐标位置
Figure BDA0002847131350000081
步骤S5：检索实际刚体链，将虚拟链段转换回实际刚体链，即根据各虚拟链段在连接后的旋转和平移，计算出实际刚体链段连接后的旋转和平移以及C链段的长度变化，得到连接后的实际刚体链。其实际轮廓、添加熔合连接和转动副连接的刚体链及其对应的虚拟链的示意图如图7所示。
同样地，摘选一组封闭R轮廓中的一条轮廓，其分段类型向量为：
V＝[MCMCMC]
连接类型为：
W＝[FFRFF]
通过多次的步骤S1/S2操作可得轮廓对应的未建立连接的虚拟链包括两部分，包括五个分段，节点数量为七个，其实际轮廓、仅添加熔合连接的刚体链及其对应的虚拟链的示意图如图8所示。
采用MATLAB的fmincon函数求解方程：
Figure BDA0002847131350000082
式中，p是被拟合轮廓的数量，R+1为仅添加了F连接后的虚拟链被应添加转动副处分隔开的部分数量，Je为虚拟链第e个部分的节点数；
Figure BDA0002847131350000083
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，
Figure BDA0002847131350000084
为加上R连接或S连接之前第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，T为转置符号，
Figure BDA0002847131350000085
即为第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点在加上R连接前后坐标位置的偏移量的平方。
由于轮廓类型为封闭R型，因此轮廓起点/终点处的约束条件如下：
轮廓起点与终点的位置相同，即各轮廓上虚拟链第一部分的第一个节点位置与最后一部分的最后一个节点位置重合：
Figure BDA0002847131350000086
n＝R+1或S+1，表示虚拟链的最后一部分，Jn表示封闭轮廓最后一个部分所包含的节点数目，
Figure BDA0002847131350000087
的含义为加上R连接之后第j个轮廓上虚拟链最后一个部分上的最后一个节点的坐标位置，
Figure BDA0002847131350000088
的含义为加上R连接之后第j个轮廓上虚拟链第一个部分上的第一个节点的坐标位置。
求解得到虚拟链的实际位置并检索实际刚体链，其实际轮廓、添加熔合连接和转动副连接的刚体链及其对应的虚拟链的示意图如图9所示。
本实施例的一种基于可变形刚体机构综合理论的空间刚体链连接方法，空间刚体链包括M链段和H链段，设计方法包括以下几个步骤：
包括以下几个步骤：
步骤S1：如图1所示，一个M链段所对应的虚拟链段为连接其起点和终点的一个线性链段，其长度为M链段两端点之间的直线距离。如图5所示，一个H链段所对应的虚拟链段为四个由球副和转动副相连的线性链段，圆柱螺旋线是具有相同曲率和挠度的曲线，H链段即为圆柱螺旋线。第一个连接副(R连接)为转动副和第三个连接副为球副(S连接)位于H链段所经过圆柱的上下表面的圆心，第一链段的起始点位于H链段的起点，第四链段的终止点位于H链段的终点。因此第一个和第三个连接副所在位置的连线与第一和第四链段垂直。第二和第三链段位于第一和第三连接副连线的直线所在平面。第二和第三链段的长度大于所有轮廓在该H段位置处的圆柱螺旋线高度的最大值的二分之一，且所有轮廓上第二和第三链段的长度均相等，第二和第三链段之间采用转动副连接(R连接)。
摘选一组开放轮廓中的一条轮廓，其分段类型向量为：
V＝[MH]
连接类型为：
W＝[G]
由于连接类型中没有F连接，因此无需对虚拟链进行简化。
通过步骤S1操作可得轮廓对应的未建立连接的虚拟链包括两部分，包括五个分段，节点数量为七个，其实际轮廓、刚体链及其对应的虚拟链的示意图如图10所示。
步骤S2：采用MATLAB的fmincon函数求解方程：
Figure BDA0002847131350000091
式中，p是被拟合轮廓的数量，R+1为仅添加了F连接后的虚拟链被应添加转动副处分隔开的部分数量，Je为虚拟链第e个部分的节点数；
Figure BDA0002847131350000092
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，
Figure BDA0002847131350000093
为加上R连接或S连接之前第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，T为转置符号，
Figure BDA0002847131350000094
即为第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点在加上R连接前后坐标位置的偏移量的平方。
由于轮廓类型为开放轮廓，因此没有额外约束条件。
步骤S3：求解得到虚拟链的实际位置并检索实际刚体链，其实际轮廓、添加转动副连接的刚体链及其对应的虚拟链的示意图如图11所示。
本发明的设计过程中，设计得到各链段的外形后，F连接已根据设计方案添加在需要的链段之间，接下来需要将未连接的链段用转动副(或球副)连接起来，即添加R连接(或S连接)，使得刚体链连续。添加R连接(或S连接)之前，各链段位于各轮廓上相应部分的距离最小处。添加R连接(或S连接)后，各链段首尾之间有位置约束，即后一链段的起点与前一链段的终点位置重合，且刚体链还应满足首尾两端可能具有的方向和位置约束(针对封闭轮廓和固定端轮廓)。在连接前后各链段的方向与位置会改变，而且在R连接(或S连接)数量不足的情况下，C链段(或H链段)的长度也可能发生改变以满足上述约束条件。
为求解连接后各链段的方向与位置，将平面刚体链转化为全部以转动副连接线性刚体链段而成的虚拟链，将空间刚体链转化为全部由转动副和球副连接线性刚体链段而成的虚拟链。如此只需要求解虚拟链的起点与虚拟链上各刚体的方向，而不需要求解移动副的位移，之后再将虚拟链转化为原先的刚体链即可得到相连的、满足首尾方位约束的、处于离目标轮廓最小距离处的刚体链。
本发明的虚拟链与实际刚体链的主要区别在于：
平面刚体链中的链段分为M链段和C链段，其中M链段是具有固定二维形状和大小的刚体，C链段是若干个由移动副连接的有固定曲率的刚体，且链段之间的连接方式应为转动副连接(称为R连接)或以固定角度“熔合”(称为F连接)；空间刚体链中的链段分为M链段和H链段，此时M链段是具有固定三维形状和大小的刚体，H链段是若干个由移动副连接的有固定曲率和挠度的刚体，且链段之间的连接方式应为球副连接(称为S连接)或F连接；
虚拟链中的各链段均为线性的刚体链段，其长度固定，且平面链段之间的连接方式均应为R连接，空间链段之间的连接方式应为S连接和R连接。
本发明的虚拟链以简洁的形式表征了实际的刚体链，其结构尺寸由实际刚体链决定。将只建立了F连接、未建立R连接(或S连接)的实际刚体链转换为虚拟链后，只需适当调整虚拟链中各转动副(和球副)的角度，使其满足相应的约束条件，再将调整后的虚拟链转换回实际刚体链，即可使实际刚体链连续、满足首尾约束条件、并且位于离轮廓的距离最小的位置。

Claims (9)

1.一种基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，所述刚体链的链段包括M链段、C链段和H链段，其特征在于，所述虚拟链包括：将可变形平面刚体链转化为的全部由R连接的线性刚性连杆，以及将可变形空间刚体链转化为的全部由R连接和/或S连接的线性刚性连杆；所述方法包括以下步骤：
S1：设计计算起点的刚体链，所述刚体链包含多个相互独立的部分，每个部分包括至少一个链段，将各链段转化为对应的虚拟链段；对于包含至少两个链段的部分，根据设计方案在两个链段之间添加F连接；
S2：将位于F连接处两侧对应的两个相邻的线性虚拟链段简化为一个线性虚拟链段，其起点和终点是原来两相邻虚拟链段上远离F连接点的端点；
S3：重复S2步中的简化虚拟链的步骤，直至所有的虚拟链段之间均不存在F连接，只存在R连接和/或S连接或还未连接；
S4：求解虚拟链的位置：以各虚拟链段之间应首尾相连为已知条件，求解出第一个虚拟链段的起点坐标位置以及所有虚拟链段的方向，使得虚拟链段上各节点在连接前后的位移的平方和最小，且满足轮廓首尾两端的几何约束条件，由此得到连接后虚拟链上各节点的坐标位置
Figure FDA0002847131340000011
S5：检索实际刚体链：将虚拟链段转换回实际的刚体链，即根据各虚拟链段在连接后的旋转和平移，计算出实际刚体链的各部分连接后的旋转和平移以及C链段或H链段的长度变化，得到连接后的实际刚体链的方向与位置。
2.根据权利要求1所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，所述S1步中，一个M链段所对应的虚拟链段为一个连接所述M链段起点和终点的线性链段，所述虚拟链段的长度为所述M链段两端点之间的直线距离；一个C链段所对应的虚拟链段为两个由R连接的线性链段，所述转动副位于C链段所在圆弧的圆心处，两个由R连接的线性链段的另外两个端点分别位于所述C链段的起点和终点处，两个由R连接的线性链段的长度均为C链段所在圆弧的半径；一个H链段为一段圆柱螺旋线，根据其曲率半径定义一个具有相同半径的圆柱，且H链段的起点、终点分别位于所述圆柱的上、下底圆的圆周上，一个H链段所对应的虚拟链段为四个线性链段，其中：第一虚拟链段是连接H链段起点与上底圆圆心的线性链段；第四虚拟链段是连接H链段终点和下底圆圆心的线性链段；第二和第三虚拟链段是两条相等长度的线性链段，其长度大于圆柱高度的一半；第一、第二、第三虚拟链段在同一平面上；第一与第二虚拟链段之间、第二与第三虚拟链段之间采用R连接，第三与第四虚拟链段之间采用S连接。
3.根据权利要求2所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，当C链段的曲率趋近于零时，其所在圆弧的圆心位于C链段的无穷远处，此时可以设定一个曲率阈值，当C链段曲率低于阈值时，可认为C链段为一带有移动副的直杆；此时，C链段所对应的虚拟链段为两个由R连接的等长线性链段，所述R连接的转动副位于C链段的中垂线上，两线性链段的另外两个端点位于C链段的起点和终点处，两线性链段的长度大于C链段最大长度的一半。
4.根据权利要求1-3之一所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，平面刚体链的链段包括M链段和C链段，空间刚体链的链段包括M链段和H链段，刚体链上链段的数量比不包括起点和终点的连接处的数量多一个；
平面刚体链对应的虚拟链的链段数量L为：
L＝2C+(q-C)-(q-1-R)＝C+R+1 (1)
式(1)中，C是C链段的数量，q是实际刚体链段的总数量，R是实际刚体链中R连接的数量；
R个R连接将实际刚体链分为R+1个部分，根据实际刚体链生成的虚拟链也包含R+1个部分，每个部分中包含的各链段相互连接，各个部分之间还未添加R连接，每个虚拟链段的两端点称为节点，添加R连接之前虚拟链中的节点数目J为：
Figure FDA0002847131340000021
式(2)中，Je为虚拟链第e个部分所含节点数目，Ce为实际刚体链第e个部分中所含C链段的个数；
空间刚体链对应的虚拟链的链段数量L为：
L＝4H+(q-H)-(q-1-S)＝3H+S+1 (3)
式(3)中，H是H链段的数量，q是实际刚体链段的总数量，S是实际刚体链中S连接的数量；S个S连接将实际刚体链分为S+1个部分，根据实际刚体链生成的虚拟链也包含S+1个部分，则虚拟链中节点的数量J为：
Figure FDA0002847131340000022
式(4)中Je为虚拟链第e个部分所含节点数目，He为实际刚体链第e个部分所含H链段个数。
5.根据权利要求4所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，仅建立F连接的实际刚体链所对应的虚拟链并未实现完全连接，需要求出连接后虚拟链段的方向和位置，并使虚拟链段上各节点的位移平方和最小，即目标函数为：
Figure FDA0002847131340000031
式(5)中，p是被拟合轮廓的数量，R+1或S+1为仅添加了F连接后的虚拟链被应添加转动副或球副处分隔开的部分数量，Je为虚拟链第e个部分的节点数；
Figure FDA0002847131340000032
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，
Figure FDA0002847131340000033
为加上R连接或S连接之前第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点的坐标位置，T为转置符号，
Figure FDA0002847131340000034
即为第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第i个节点在加上R连接或S连接前后坐标位置的偏移量的平方；
根据实际链添加连接的约束条件，虚拟链在建立连接时也满足各链段依次首尾相连的条件，即：
Figure FDA0002847131340000035
式(6)中，Je为虚拟链第e个部分所含节点数目，
Figure FDA0002847131340000036
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e个部分上的第Je个节点(即最后一个节点)的坐标位置，
Figure FDA0002847131340000037
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第e+1个部分上的第一个节点的坐标位置。
6.根据权利要求5所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，封闭型和固定端点型轮廓对实际刚体链首尾具有约束条件，相应地，对虚拟链也有约束条件；对于封闭轮廓，虚拟链上的第一个节点和最后一个节点必须重合，即：
Figure FDA0002847131340000038
式(7)中，n＝R+1或S+1为虚拟链被应添加转动副或球副处分隔开的部分数量，Jn即为虚拟链最后一个部分所包含的节点数目，
Figure FDA0002847131340000039
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链最后一个部分上的最后一个节点的坐标位置，
Figure FDA00028471313400000310
的含义为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链第一个部分上的第一个节点的坐标位置；
当封闭轮廓的起点也即终点处采用F连接时，应保证各轮廓上虚拟链起点处和终点处之间的夹角保持不变，即：
Figure FDA00028471313400000311
式(8)中，n＝R+1或S+1为虚拟链被应添加转动副或球副处分隔开的部分数量，Jn为虚拟链最后一个部分所包含的节点数目；
Figure FDA00028471313400000312
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上的虚拟链的第一个部分上由第一个节点
Figure FDA00028471313400000313
指向第二个节点
Figure FDA00028471313400000314
的方向角，即为第j个轮廓上虚拟链起点处的方向角；
Figure FDA00028471313400000315
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链的最后一个部分上由倒数第二个节点
Figure FDA00028471313400000316
指向最后一个节点
Figure FDA00028471313400000317
的方向角，即为第j个轮廓上虚拟链终点处的方向角；
Figure FDA0002847131340000041
与
Figure FDA0002847131340000042
分别为第一个轮廓上虚拟链起点处与终点处的方向角；
对于固定端轮廓，各轮廓上第一个虚拟链段的起点以及最后一个虚拟链段的终点应各自重合，即：
Figure FDA0002847131340000043
Figure FDA0002847131340000044
式(9)中的
Figure FDA0002847131340000045
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链第一个部分上的第一个节点也即起点的坐标位置；
式(10)中的
Figure FDA0002847131340000046
为加上R连接或S连接之后第j个轮廓上虚拟链第n个部分上的第Jn个节点(即终点)的坐标位置，它们分别与第一个轮廓上的虚拟链的起点和终点的位置重合。
7.根据权利要求6所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，
当固定端轮廓起点的方向固定时，各轮廓上第一个虚拟链段的起点处方向相同，即：
Figure FDA0002847131340000047
当固定端轮廓终点的方向固定时，各轮廓上最后一个虚拟链段的终点处方向相同，即：
Figure FDA0002847131340000048
式(11)、式(12)中变量的含义与式(8)中相同。
8.根据权利要求4所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，针对平面刚体链，在根据连接后的虚拟链检索实际刚体链的过程中，M链段的位置可以根据虚拟链段的节点位置直接确定；调整C链段上离散点的间距，如果C链段与相邻链段的连接方式为F连接，则在调整过程中要保证F连接处夹角不变。
9.根据权利要求4所述的基于可变形刚体机构综合理论的刚体链连接方法，其特征在于，针对空间刚体链，在根据连接后的虚拟链检索实际刚体链的过程中，M链段的位置可以根据虚拟链段的节点位置直接确定；调整H链段上离散点的间距，如果H链段与相邻链段的连接方式为F连接，则在调整过程中要保证F连接处夹角不变。
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