CN112613162B - 碳纳米管纤维增强复材有效热传导系数的多尺度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，属于导热材料技术领域。碳纤维增强复合材料在纤维方向上的热传导性能优异，但在横向上的热传导性能较差，通过添加碳纳米管可以显著提高横向热传导性能，对于如何获得添加碳纳米管后复合材料的热传导系数目前还是空白。本发明建立了碳纳米管纤维增强复合材料的热传导等效模型，及该模型的六边形等效单胞及解析表达式，能够快速计算出三相(碳纳米管、碳纤维、树脂基体)复合材料的轴向和横向热传导系数，且该方法的计算程序可封装为一个黑匣子，实现快速的输入输出计算，弥补这种材料热传导计算的空白，具有建模高效、适用范围广、等效精度高、程序实现简单的优点。

Description

碳纳米管纤维增强复材有效热传导系数的多尺度计算方法

技术领域

本发明属于导热材料技术领域，具体涉及一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算建模方法。

背景技术

热耗散在许多领域都是需要重点考虑的问题，比如微电子，运输，换热器、航空航天等。近年来，对各类结构的热管理要求越来越高，在较短时间内把结构产生的温度及时排出，降低结构因为过热导致损坏的几率，延长产品是使用寿命，提高产品的质量。一个合理的热扩散系统能够快速散热，来预防由热应力导致的损伤。选择合适的导热材料来满足特定设计要求非常重要。

纤维增强复合材料由于其高比强度和比刚度，优异的抗疲劳性能，且纤维方向的热传导系数高，被广泛应用于热结构产品的制造。普通的碳纤维增强复合材料的轴向热传导性能主要取决于碳纤维的热扩散性能，但由于高分子基体材料的绝热性，其横向的热传导性能非常差。碳纳米管具有低密度，高热传导性能等优点，常作为增强热传导的添加材料。目前许多实验表明，少量的碳纳米管添加到普通复合材料中都能够大幅提升复合材料的横向热传导性能。

现有涉及碳纳米管复合材料热传导的专利为CN106543645A，公开日期为2017年3月29日。上揭专利为一种碳纳米管导热复合材料的制备方法，实验结果表明填充碳纳米管能够显著提高复合材料的热传导性能。但目前尚未有关于碳纳米管纤维增树脂强复合材料的制备或等效计算模型，亟需一种能够快速、准确获得碳纳米管纤维增强复合材料热传导系数的方法，为实际工程中的材料选择和设计提供参考意见。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，包括碳纳米管增强纤维复合材料的六边形等效单胞及半解析模型，本发明能够快速获取三相(碳纳米管、碳纤维、树脂基体)复合材料的轴向和横向热传导系数，弥补碳纳米管增强纤维复合材料热传导系数计算的空白。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，包括如下步骤：

步骤1：将碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数分为：沿着纤维方向的纵向有效热传导系数

和垂直于纤维方向的横向有效热传导系数

步骤2：根据复合材料中碳纳米管的混合率得到复合材料的纵向有效热传导系数

步骤3：建立横向有效热传导系数的多尺度计算模型：

步骤3.1：对于周期性排列的复合材料结构，建立一个具有重复代表性单胞的多尺度计算模型，所述的多尺度计算模型包含两个尺度的六边形代表性体积元：其中一个是由碳纳米管和基体组成的两相代表性体积元，另一个是由纤维、基体和夹层组成的三相代表性体积元；

所述的夹层为简化的碳纳米管沿纤维表面的周向排布结构，将六边形代表性体积元的边长定义为单胞的尺寸L，将纤维的半径定义为a，将碳纳米管的长度定义为b，当a＝b时，三相代表性体积元即简化为两相代表性体积元；

步骤3.2：建立横向有效热传导系数的模型解析式：

步骤3.2.1：通过求解极坐标下的正交各向异性材料的稳态热传导微分方程，得到复合材料中各相材料温度场的级数展开表达式：

步骤3.2.2：根据步骤3.2.1得到的级数展开表达式，结合热通量与温度场梯度的关系，得到复合材料晶胞中各相组分的相应热通量解析表达式，表示为：

其中，

分别为笛卡尔坐标系下x₂方向和x₃方向的宏观温度梯度；

和

分别表示柱坐标系r方向和柱坐标系θ方向上的热通量，

是第i相的待求未知系数，其中i＝f代表纤维，i＝int代表夹层，i＝m代表基体材料，下标j是待求未知系数的编号；

步骤3.2.3：针对复合材料晶胞中各相材料的诸多未知系数

通过纤维和夹层、夹层和基体界面的温度与热通量连续条件，以及在晶胞边界处的周期性边界条件进行求解；

步骤3.2.4：根据均匀化的傅里叶热传导准则计算整个碳纳米管纤维增强复合材料的横向有效热传导系数

步骤4：根据步骤3建立的横向有效热传导系数的多尺度计算模型，首先计算碳纳米管和基体组成的夹层的正交各向异性等效热传导系数，再计算纤维、基体和夹层组成的三相材料热传导系数

所述的三相材料热传导系数即碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数。

作为本发明的优选，步骤2中所述的纵向有效热传导系数

满足公式：

其中，

和

分别是纤维、基体、夹层和碳纳米管的纵向导热系数，v_f、v_m和v_CNT分别是纤维、基体和夹层中碳纳米管的体积分数。

作为本发明的优选，步骤3.2.1所述的复合材料中各相材料温度场的级数展开表达式具体为：

其中，T⁽ⁱ⁾(r,θ)表示第i相正交各项异形材料在柱坐标系下的温度场表达式，(r,θ)是柱坐标系参数；a是纤维半径，

是ξ的λ_i次方，且

为级数展开的特征值；n是方程参数，是从零开始的正整数；另外对于第i相正交各项异形材料，

是环向热传导系数，

是径向热传导系数。

作为本发明的优选，所述的步骤3.2.3通过建立未知系数的方程组表达式对未知参数进行求解，所述的方程组表达式为：

A·[F_n]^T＝B (4)

其中，

为上述待求未知系数，矩阵A和B分别为所述的连续条件以及所述的周期性边界条件所建立的包含有复合材料晶胞的材料和几何信息的已知矩阵。

作为本发明的优选，步骤3.2.3所述的连续条件指热通量和温度相等。

作为本发明的优选，步骤3.2.3所述的周期性边界条件为：

其中，Q(S_i)表示通过S_i包围的面积的热量，T(S_i)表示S_i包围的面积的温度，S_i(i＝1～6)表示六边形代表性体积元的边界。

作为本发明的优选，步骤3.2.4所述的均匀的傅里叶准则计算公式为：

其中，

表示整个复合材料的均匀热通量矩阵，

表示整个复合材料的均匀温度梯度矩阵，

表示第i相材料的热通量矩阵，v_i表示相对应相的体积分数，下标i＝f,int,m分别用于表示纤维、夹层和基体；K^*为整个复合材料的待求横向导热矩阵，复合材料在x₂方向和x₃方向的有效热传导系数分别为

和

与现有技术相比，本发明的具备的优势在于：

本发明针对碳纳米管纤维增强三相复合材料，建立等效六边形单胞作为计算模型的基础，提出了复合材料的温度场表达式、热通量解析表达式以及基于均匀的傅里叶准则得到的待求横向导热系数表达式，能够实现碳纳米管纤维增强三相复合材料的热传导系数的快速计算。

与传统的仿真计算手段相比，利用本发明的模型获取到的计算结果与最新的仿真技术获取到的结果十分吻合，表明本发明提出的模型具有非常高的准确度，完全可以替代传统的仿真手段。由于本发明的计算量小，计算时间通常只需10秒，计算效率是其他方法远远无法达到的。弥补了三相(碳纳米管、碳纤维、树脂基体)复合材料热传导计算的空白，且该方法为半解析法，计算程序可封装为一个黑匣子，实现快速的输入输出计算，可以为实际工程中的材料选择和设计提供参考意见。

附图说明

图1为一种适用于碳纳米管纤维增强复合材料的多尺度模型；

图2为六边形代表性体积元，其中大六边形中心位置处的黑灰色圆形部分代表纤维相，呈散射状分布的黑色实线代表碳纳米管，剩余白色六边形部分代表树脂基体相，小六边形中心位置处的黑灰色圆形部分代表碳纳米管，剩余白色六边形部分也代表树脂基体相；S_i(i＝1～6)表示单胞的边界，a,b分别表示碳纤维半径和夹层外径，2L和

分别表示单胞的长和宽，x₂x₃表示宏观复合材料的笛卡尔坐标系；y₂y₃表示局部细观微元体笛卡尔坐标系，rθ为y₂y₃转换后的柱坐标系；

图3为碳纳米管纤维增强复合材料热传导系数的计算流程；

图4为本发明提出的模型计算的两相复合材料(夹层结构)和现有技术1中实验值和仿真值的对比图；

图5为本发明提出的模型针对三相复合材料与有限元软件ABAQUS计算结果的对比图。

具体实施方式

结合技术方案和附图，给出本发明的具体实施方式。

请参照图1所示，根据碳纳米管和纤维在树脂基复合材料中的排列特点，同时为了推导和计算简便，本发明进行了适当的简化，具体假设如下：

(1)单向纤维在复合材料中的排列互相平行，碳纳米管垂直于纤维表面周向排布，横向结构为六边形排列，具有周期性特征；

(2)碳纳米管、单向纤维和基体之间紧密连接，互相之间没有接触热阻；

(3)碳纳米管和单向纤维横截面都假设为圆形。

经过假设后，简化的碳纳米管纤维增强复合材料的计算模型如图2所示。对于周期性排列的结构，可以用一个重复的代表性结构单元来代替整个复合材料。该模型为一个多尺度计算模型，包含两个尺度的代表性体积元：由碳纳米管和基体组成的两相代表性体积单元和由纤维，基体和夹层组成的三相代表性体积单元，其中夹层为简化的碳纳米管沿纤维表面的周向排布结构。从结构上看，该复合材料属于横观各向同性，因此只需计算两个方向的热传导系数，(1)沿着纤维方向即纵向的热传导系数

(2)垂直于纤维方向即横向热传导系数

对于平行于纤维方向的热导率满足混合率：

其中，

和

分别是纤维、基体、夹层和碳纳米管的纵向导热系数，v_f、v_m和v_CNT分别是纤维、基体和夹层中碳纳米管的体积分数；

对于横向热传导系数的预测，采用的方法是基于热传导控制方程和代表性结构单元来推导复合材料的横向导热系数的解析表达式，选取的单胞如图2所示，图2中含L的参数为单胞的尺寸，a为纤维的半径，b为碳纳米管的长度，S_i(i＝1～6)为六边形单胞的边界。

本发明的推导求解过程是首次提出的，上述热传导控制方程的数学表征为：

这里参数q_i(i＝r,θ,z)为柱坐标系下三个方向r,θ,z的热通量。

与其他数值方法不同，本发明不需要对周期性单胞内部进行网格划分，而是采用Trefftz方法的概念，直接通过求解极坐标下的正交各向异性材料的稳态热传导微分方程从而得到复合材料各相材料温度场的级数展开表达式为：

其中，T⁽ⁱ⁾(r,θ)表示柱坐标系下的温度场表达式，(r,θ)是柱坐标系参数；a是纤维半径，

是ξ的λ_i次方，且

为级数展开的特征值，n是方程参数，是从零开始的正整数；另外对于第i相正交各项异形材料(如纤维、夹层或基体)，

是环向热传导系数，

是径向热传导系数；

是第i相的待求未知系数，其中i＝f代表纤维，i＝int代表夹层，i＝m代表基体材料。

通过热通量与温度梯度的关系，可以得到微元体内各相组分的热通量密度表达式：

其中，

分别为笛卡尔坐标系下x₂方向和x₃方向的宏观温度梯度；

和

分别表示柱坐标系r方向和柱坐标系θ方向上的热通量。

之后通过在纤维和夹层、夹层和基体界面的连续条件(热通量和温度相等)，以及本发明提出的周期性边界条件：

求得温度场和热通量表达式中的未知系数

其中Q(S_i)表示通过面积S_i的热量，T(S_i)表示面积S_i的温度。

求得了热通量的表达式之后，整个复合材料的横向热传导系数由均匀的傅里叶准则获得，其数学表述为：

其中，

表示整个复合材料的均匀热通量矩阵，

表示整个复合材料的均匀温度梯度矩阵，

表示第i相材料的热通量矩阵，v_i表示相对应相的体积分数，下标i(i＝f,int,m)分别用于表示纤维、夹层和基体；K^*为整个复合材料的待求的横向导热矩阵，因而复合材料在x_k(k＝2,3)方向的有效导热性参数分别为k₂₂＝K^*(1,1)和k₃₃＝K^*(2,2)。本实施例中，求解上述积分时在MATLAB软件中用高斯积分实现。

当碳纳米管的长度为零，即夹层不存在时(a＝b)，上述模型可简化为适用于两相的复合材料，即为本发明提出的计算夹层横向导热系数的模型。

根据上述步骤建立的横向热传导系数的多尺度计算模型，首先计算碳纳米管和基体组成的夹层的正交各向异性等效热传导系数，再计算纤维、基体和夹层组成的三相材料热传导系数，所述的三相材料热传导系数即碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数。

在本发明的一项具体实施中，将上述模型用于由树脂基体，碳纳米管，碳纤维(热传导系数分别为0.21W/mK，150W/mK，500W/mK)组成的三相复合材料的热传导系数的预测。

当碳纤维体积分数为10％时，

当碳纤维体积分数为20％时，

当碳纤维体积分数为30％时，

当碳纤维体积分数为40％时，

当碳纤维体积分数为50％时，

当碳纤维体积分数为60％时，

图4为本发明提出的模型计算的两相复合材料(夹层结构)和现有技术1中实验值和仿真值的对比，图5为本发明提出的模型针对三相复合材料与有限元软件ABAQUS计算结果的对比。模型在计算时，是利用现有技术1中提供的基本参数。列举图4和图5主要是想表明本方法的计算精度，可以看出与其他方法的计算结果几乎吻合，和实验值在横向导热系数上存在误差，主要原因为实验中碳纳米管的排列系数不为1，即非完美排列。三相复合材料的计算结果与有限元结果吻合很好，表明本发明提出的模型在数值方法中具有非常高的准确度。同时在利用本发明提出的模型计算时，通常只需10秒，计算效率是其他方法远远无法达到的。

因此，采用本发明提出的多尺度模型计算的碳纳米管纤维增强三相复合材料的热通量表达式

可以迅速计算出其导热系数。

请参照图1至图3，本发明碳纳米管纤维增强三相复合材料的快速导热系数解析计算方法，将复合材料细观结构分为三个尺度及坐标体系，及宏观尺度x＝(x₁,x₂,x₃)、微观尺度y＝(y₁,y₂,y₃)、纳观尺度z＝(z₁,z₂,z₃)。其中宏观尺度用于描述材料均匀化后的有效模量；微观尺度用于描述材料细观结构中纤维、夹层以及基体的力学性能；而夹层的力学性能通过纳观尺度中碳纳米管与嵌入基体的性能得到。

其主要包括以下步骤：

一、将碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数分为：沿着纤维方向的纵向热传导系数

和垂直于纤维方向的横向热传导系数

其中纵向有效热传导系数

满足公式：

其中，

和

分别是纤维、基体、夹层和碳纳米管的纵向导热系数，v_f、v_m和v_CNT分别是纤维、基体和夹层中碳纳米管的体积分数；

二、建立横向有效热传导系数的多尺度计算模型：

2.1)对于周期性排列的结构，可以用一个重复的代表性结构单元来代替整个复合材料进行分析。该模型为一个多尺度计算模型，包含两个尺度的代表性体积元：由纳米尺度的碳纳米管和嵌入基体组成的两相代表性体积单元和更高一级的微观尺度下由纤维，基体和夹层组成的三相代表性体积单元，其中纳米尺度代表性单元的热传导系数将作为微观单元的夹层输入参数。

其中夹层为简化的碳纳米管沿纤维表面的周向排布结构，L的参数为单胞的尺寸，a为纤维的半径，b为碳纳米管的长度，当a＝b时，单胞即简化为两相结构体积单元。下述求解过程是针对三相复合材料的，因此当涉及到夹层的热传导系数的计算步骤时，可直接令a＝b便可得到表达式和结果。

2.2)如图3所示，整个复合材料的横向热传导系数是先计算碳纳米管和树脂基体组成的环形夹层的正交各向异性等效热传导系数，再计算碳纳米管纤维增强三相材料热传导系数。横向热传导系数的模型解析式具体获取步骤如下：

2.2.1)与其他数值方法不同，本发明不需要对周期性单胞内部进行网格划分，而是采用Trefftz方法的概念，直接通过求解极坐标下的正交各向异性材料的稳态热传导微分方程从而得到复合材料各相材料温度场的级数展开表达式为：

其中，T⁽ⁱ⁾(r,θ)表示柱坐标系下的温度场表达式，(r,θ)是柱坐标系参数；a是纤维半径，

是ξ的λ_i次方，且

为级数展开的特征值，n是方程参数，是从零开始的正整数；另外对于第i相正交各项异形材料(如纤维、夹层或基体)，

是环向热传导系数，

是径向热传导系数；

是第i相的待求未知系数，其中i＝f代表纤维，i＝int代表夹层，i＝m代表基体材料；下标j是未知系数的编号，是cos和sin项的不同系数，为了求解方便而设立的。

2.2.2)在步骤2.2.1)的基础上可以通过热通量与温度场梯度的关系可以得到复合材料晶胞中各相组分的相应热通量

和

解析表达：

其中，

分别为笛卡尔坐标系下x₂方向和x₃方向的宏观温度梯度(即施加荷载)(如附图2)；

和

分别表示柱坐标系r方向和柱坐标系θ方向上的热通量。

2.2.3)上述两个步骤分别涉及到晶胞中各相材料的诸多未知系数

本发明通过纤维和夹层、夹层和基体界面的温度与热通量连续条件，以及在晶胞边界处的周期性边界条件

进行求解，建立未知系数的方程组表达式为：

A·[F_n]^T＝B (4)

其中，

为上述待求未知系数，矩阵A和B分别为上述连续以及边界条件所建立的已知矩阵，主要包含有复合材料晶胞的材料和几何信息。Q(S_i)表示通过S_i包围的面积的热量，T(S_i)表示S_i包围的面积的温度，S_i(i＝1～6)表示六边形代表性体积元的边界。

2.2.4)由步骤2.2.3)得到了温度场以及热通量所含有的未知系数后，便可以得到复合材料晶胞的局部分布情况。因此下一步便可以计算材料的有效宏观热传导率。根据均匀化的傅里叶热传导准则计算整个碳纳米管纤维增强复合材料的横向热传导系数，所述的均匀的傅里叶准则计算公式为：

其中，

表示整个复合材料的均匀热通量矩阵，

表示整个复合材料的均匀温度梯度矩阵，

表示第i相材料的热通量矩阵，v_i表示相对应相的体积分数，下标i(i＝f,int,m)分别用于表示纤维、夹层和基体；K^*为整个复合材料的待求的横向导热矩阵，因而复合材料在x_k(k＝2,3)方向的有效热传导系数分别为

和

三、根据步骤二建立的横向热传导系数的多尺度计算模型，首先计算碳纳米管和基体组成的夹层的正交各向异性等效热传导系数，再计算纤维、基体和夹层组成的三相材料热传导系数，所述的三相材料热传导系数即碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数。

以上操作中碳纳米管纤维增强复合材料的等效计算过程为本发明独创、从未被公开且其工作方式与任何现有文献记载均不相同。

与现有技术相比，本方法的性能指标提升在于：不用做实验便能计算出新型碳纳米管纤维增强复合材料的热传导系数，且所有过程均封装为程序，计算效率非常高。

上述具体实施可由本领域技术人员在不背离本发明原理和宗旨的前提下以不同的方式对其进行局部调整，本发明的保护范围以权利要求书为准且不由上述具体实施所限，在其范围内的各个实现方案均受本发明之约束。

Claims (7)

1.一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：将碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数分为：沿着纤维方向的纵向有效热传导系数

和垂直于纤维方向的横向有效热传导系数

步骤2：根据复合材料中碳纳米管的混合率得到复合材料的纵向有效热传导系数

步骤3：建立横向有效热传导系数的多尺度计算模型：

步骤3.1：对于周期性排列的复合材料结构，建立一个具有重复代表性单胞的多尺度计算模型，所述的多尺度计算模型包含两个尺度的六边形代表性体积元：其中一个是由碳纳米管和基体组成的两相代表性体积元，另一个是由纤维、基体和夹层组成的三相代表性体积元；

所述的夹层为简化的碳纳米管沿纤维表面的周向排布结构，将六边形代表性体积元的边长定义为单胞的尺寸L，将纤维的半径定义为a，将碳纳米管的长度定义为b，当a＝b时，三相代表性体积元即简化为两相代表性体积元；

步骤3.2：建立横向有效热传导系数的模型解析式：

步骤3.2.1：通过求解极坐标下的正交各向异性材料的稳态热传导微分方程，得到复合材料中各相材料温度场的级数展开表达式：

步骤3.2.2：根据步骤3.2.1得到的级数展开表达式，结合热通量与温度场梯度的关系，得到复合材料晶胞中各相组分的相应热通量解析表达式，表示为：

其中，

分别为笛卡尔坐标系下x₂方向和x₃方向的宏观温度梯度；

和

分别表示柱坐标系r方向和柱坐标系θ方向上的热通量，

是第i相的待求未知系数，其中i＝f代表纤维，i＝int代表夹层，i＝m代表基体材料，下标j是待求未知系数的编号；

步骤3.2.3：针对复合材料晶胞中各相材料的诸多未知系数

通过纤维和夹层、夹层和基体界面的温度与热通量连续条件，以及在晶胞边界处的周期性边界条件进行求解；

步骤3.2.4：根据均匀化的傅里叶热传导准则计算整个碳纳米管纤维增强复合材料的横向有效热传导系数

步骤4：根据步骤3建立的横向有效热传导系数的多尺度计算模型，首先计算碳纳米管和基体组成的夹层的正交各向异性等效热传导系数，再计算纤维、基体和夹层组成的三相材料热传导系数

所述的三相材料热传导系数即碳纳米管纤维增强复合材料的有效热传导系数。

2.根据权利要求1所述的一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，步骤2中所述的纵向有效热传导系数

满足公式：

其中，

和

分别是纤维、基体、夹层和碳纳米管的纵向导热系数，v_f、v_m和v_CNT分别是纤维、基体和夹层中碳纳米管的体积分数。

3.根据权利要求1所述的一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，步骤3.2.1所述的复合材料中各相材料温度场的级数展开表达式具体为：

其中，T⁽ⁱ⁾(r,θ)表示第i相正交各项异形材料在柱坐标系下的温度场表达式，(r,θ)是柱坐标系参数；a是纤维半径，

是ξ的λ_i次方，且

为级数展开的特征值；n是方程参数，是从零开始的正整数；另外对于第i相正交各项异形材料，

是环向热传导系数，

是径向热传导系数。

4.根据权利要求1所述的一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，所述的步骤3.2.3通过建立未知系数的方程组表达式对未知参数进行求解，所述的方程组表达式为：

A·[F_n]^T＝B (4)

其中，

为上述待求未知系数，矩阵A和B分别为所述的连续条件以及所述的周期性边界条件所建立的包含有复合材料晶胞的材料和几何信息的已知矩阵。

5.根据权利要求1或4所述的一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，步骤3.2.3所述的连续条件指热通量和温度相等。

6.根据权利要求1或4所述的一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，步骤3.2.3所述的周期性边界条件为：

其中，Q(S_i)表示通过S_i包围的面积的热量，T(S_i)表示S_i包围的面积的温度，S_i(i＝1～6)表示六边形代表性体积元的边界。

7.根据权利要求1所述的一种碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，其特征在于，步骤3.2.4所述的均匀的傅里叶准则计算公式为：

其中，

表示整个复合材料的均匀热通量矩阵，

表示整个复合材料的均匀温度梯度矩阵，

表示第i相材料的热通量矩阵，v_i表示相对应相的体积分数，下标i＝f,int,m分别用于表示纤维、夹层和基体；K^*为整个复合材料的待求横向导热矩阵，复合材料在笛卡尔坐标系下x₂方向和x₃方向的有效热传导系数分别为

和

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