CN112507966B - 基于四元数非凸罚稀疏主成分分析的彩色人脸识别方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于四元数非凸罚稀疏主成分分析的彩色人脸识别方法，属于模式识别和人工智能领域。本发明方法首先利用四元数对彩色图像的红、绿、蓝三通道进行编码，构造四元数矩阵的复表示形式，然后计算四元数协方差矩阵并对其特征分解得到主成分向量，再引入非凸罚L 1/2 范数作为稀疏约束项得到一种新的四元数非凸罚稀疏主成分分析（QHSPCA）优化模型，采用坐标下降法和不动点迭代法求解该模型的稀疏解，最后用最近邻分类器实现人脸识别。在Georgia Tech人脸数据库上的实验表明，本发明提出的QHSPCA方法具有较好的识别性能，计算效率也有所提高。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于四元数非凸罚稀疏主成分分析的彩色人脸识别方法，属于模式识别和人工智能领域。
背景技术
人脸识别技术作为重要的生物特征识别技术之一，被越来越广泛的应用在刑侦安全、视频监控、身份验证、智能支付等各个领域。尽管人脸识别技术有着广阔的应用前景，但是现有的许多方法的识别性能依旧受表情、姿态、光照等因素的影响。与指纹、视网膜等相比，无论是在识别率还是在防伪性上都有着较大差距。
传统主成分分析(PCA)算法会首先将彩色人脸图像进行灰度化处理，但是灰度化处理会造成彩色图像色彩信息的丢失。PCA在灰度图像上提取特征空间，就忽略了彩色图像的跨通道相关性，更易受表情、姿态、光照等因素的影响，从而降低识别率。而且彩色图像的识别具有更广泛的应用场景，因此，越来越多的人脸识别研究致力于有效利用彩色人脸的色彩信息。
四元数主成分分析算法(QPCA)直接建立彩色人脸图像的四元数矩阵模型，而无需将彩色人脸图像转化成灰度图像。通过对四元数协方差矩阵进行特征分解得到主成分向量，并将彩色人脸图像投影到四元数主元空间上，比较其与已知人脸在主元空间的位置，实现对彩色人脸的识别。
由于计算得到的主成分是原始变量的线性组合，并且主成分载荷元素通常非零，因此很难对单个主成分做出解释，且容易受到异常值的影响。稀疏主成分分析(SPCA)就是为了解决这些缺陷而提出的方法，通过增加主成分载荷中零元素个数，使得主成分可以用最少且最有代表性的变量的线性组合来表示。
为了得到稀疏主成分，研究者们做了很多尝试。Cadima等利用硬阈值法，将主成分载荷中绝对值小于给定阈值的元素截断为0，提高了主成分的可解释性，但是这种方法给出的主成分容易识别错误的原始变量。Hausman将载荷的取值固定在离散集中，例如{-1,0,1}，但是该方法得到的载荷稀疏性并不理想，并且稀疏主成分的方差大大减小。I.T.Jolliffe受LASSO的启发，直接将L1范数约束引入到主成分模型当中，提出第一个基于凸优化的稀疏PCA算法，但是L1范数只是L0范数的一种近似，所得的主成分的载荷并不够稀疏。
发明内容
本发明的目的是为解决上述四元数主成分分析方法和稀疏主成分分析方法存在的问题，提出一种基于四元数非凸罚稀疏主成分分析(QHSPCA)的彩色人脸识别方法。
本发明方法首先利用四元数表示法构造彩色图像的四元数样本矩阵，并计算主成分特征空间。为了得到稀疏主成分，将主成分求解表述为弹性网络问题，然后用非凸罚L1/2范数代替L1范数作为稀疏约束项，又由于L1/2范数导致了非凸优化问题，为此本发明采用坐标下降法和不动点迭代法来求解该模型，最后将最优稀疏主成分输入最近邻分类器进行人脸识别。
具体步骤为：
步骤1采用四元数表示法构造训练集和测试集矩阵。彩色图像中每个像素的红、绿、蓝分量可以构成一个纯四元数，则一幅彩色图像就可以表示为一个四元数矩阵。但由于四元数矩阵的计算相对复杂，因此引入四元数的复表示形式来重构等价的四元数矩阵，具体如下：
步骤1.1输入训练集和测试集图像：将每幅a×b像素的彩色图像表示为一个3×n的矩阵，其中ab＝n，提取该矩阵的红、绿、蓝分量分别表示为一个1×n维行向量，将m幅训练集图像的红、绿、蓝向量分别按行排列就可以得到训练集样本矩阵的红、绿、蓝分量矩阵R,G,B∈Rm×n，并对红、绿、蓝分量矩阵进行去均值处理得到输入s幅彩色图像作为测试集，同样有测试集样本矩阵去均值后的红、绿、蓝分量矩阵。
步骤1.2给出训练集和测试集的彩色图像四元数矩阵表示：
其中，Q∈Hm×n为四元数矩阵，C表示图像底色像素矩阵，i,j,k表示虚部三个方向的坐标轴。
步骤1.3利用红、绿、蓝分量矩阵构造四元数矩阵的复表示形式，令Q＝-Qa-Qb*i：
式中，χQ∈C2m×2n是四元数矩阵Q的复表示形式，则由此，可以得到训练集和测试集四元数矩阵的复表示形式χQtrain∈C2m×2n，χQtest∈C2s×2n。
步骤2利用PCA算法求出训练集矩阵的最优四元数正交投影矩阵具体如下：
步骤2.1对χQtrain计算协方差矩阵Φ：
Φ＝χQtrain TχQtrain (3)
步骤2.2对协方差矩阵Φ进行特征分解，选择前k个最大特征值对应的特征向量构成最优四元数正交投影矩阵
步骤3引入L1/2范数，构建四元数非凸罚稀疏主成分分析的弹性网络优化模型。
定义四元数稀疏向量基对于任意的正则参数λ230，若满足
则其中，符号||X||F＝tr(XTX)，tr(·)表示矩阵的迹，符号/>表示L1/2范数的稀疏约束项，λ1,j控制载荷βj的稀疏性，加入/>用于避免当样本数量远小于样本维度的情况下存在的潜在共线性问题。
步骤4弹性网络优化模型求解。
将式(4)的变量分成A和B两个坐标块，固定其中一个坐标块，求解另一个坐标块的子问题，交替求解关于两个变量的子问题直至满足终止条件，具体如下：
步骤4.1算法中的初值均取前k个主成分载荷，即/>
步骤4.2固定令/>并初始化/>则求解式(4)等价于求解k个独立的弹性网络问题
步骤4.3根据求得的计算/>的奇异值分解，并更新/>
其中，U表示左奇异向量矩阵，D表示奇异值矩阵，V表示右奇异向量矩阵。
步骤5利用坐标下降法求解单个弹性网络问题。
又由于加入L1/2正则化项后，该优化函数非凸，因此不能直接通过一阶导方程得出最小值点，故利用不动点迭代法进行数值求解，具体如下：
步骤5.1根据坐标下降法的基本原理，省略和/>的下标，针对/>的第i个分量求解问题(5)，同时固定/>的值不变，在每一轮迭代中只优化/>即相当于求解
其中也就是只用其他固定变量拟合/>的残差。
步骤5.2令将一阶导方程转换为不动点方程
其中输入变量初值作为迭代初值，然后迭代求其数值解/>
步骤6分别将训练集矩阵和测试集矩阵投影到求解所得的四元数稀疏向量基上，其公式如下：
步骤7按照最近邻分类法识别最匹配的人脸。计算Ytest中每一列与Ytrain中所有列的欧氏距离，则Ytrain中对应最小欧式距离的那一列就是与此列最匹配的人脸，即为识别结果。
本发明的有益效果是：
1.利用四元数表示法重构彩色图像样本矩阵，保留了彩色图像的空间结构，大大提高了彩色人脸图像的识别率。
2.引入稀疏正则化项求取稀疏主成分，使主成分具有更好的解释性并降低异常值的影响，不仅提高了识别率还减少了计算时间。
3.本发明用L1/2范数代替L1范数作为稀疏约束项，在保证识别率的情况下，进一步提高了主成分的稀疏性并且缩短了识别时间。
附图说明
图1为本发明方法的流程示意图。
图2为Georgia Tech彩色人脸数据库下五种人脸识别方法的识别率随特征个数变化曲线。
图3为在L1范数和L1/2范数作为稀疏约束项时的SPCA识别率对比曲线，横坐标表示变量累积贡献率。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。
图1表示了一种基于四元数非凸罚稀疏主成分分析的彩色人脸识别方法，包括如下步骤：
1)选取Georgia Tech人脸数据库中50个人每人15幅图像共750幅彩色图像，将每个人的15幅图像按照2：1随机分入训练集和测试集并按顺序进行编号，统一设置每幅图像的像素为20×20，则可以得到训练集样本个数m＝500，测试集样本个数s＝250,变量个数n＝400。
2)提取训练集样本矩阵的红、绿、蓝分量矩阵，并分别进行去均值处理，得到
3)利用红、绿、蓝分量矩阵构造四元数矩阵的复表示形式。令 则/>然后重构训练集四元数样本矩阵得到
对测试集样本矩阵做相同处理，可以得到χQtest∈C2s×2n。
4)对χQtrain计算四元数样本协方差矩阵Φ。
Φ＝χQtrain TχQtrain∈C2n×2n
5)对协方差矩阵Φ进行特征分解，并选择前k个最大特征值对应的特征向量构成四元数正交投影矩阵
6)引入L1/2范数，构建四元数非凸罚稀疏主成分分析的弹性网络优化模型并求解。
Ⅰ.输入初始值
Ⅱ.固定并初始化/>利用坐标下降法分别求解/>中k个
独立的弹性网络问题；
Ⅲ.每个弹性网络问题在每一轮迭代中只优化一个分量即
其中
Ⅳ.采用不动点迭代法求最优解。令将一阶导方程g(x)'＝0转换为不动点方程
其中输入变量初值作为迭代初值，然后迭代求
其数值解
Ⅴ.根据求得的计算奇异值分解，并更新/>
Ⅵ.不断交替求解和/>直至收敛，最终得到四元数稀疏向量基
7)分别将训练集矩阵和测试集矩阵投影到上
8)按照最近邻分类法识别最匹配的人脸。计算Ytest中每一列与Ytrain中所有列的欧氏距离，则Ytrain中对应最小欧式距离的那一列就是与此列最匹配的人脸，输出识别结果。
为了验证本发明所述方法的有效性，分别使用PCA、SPCA、QPCA、QSPCA与QHSPCA在Georgia Tech人脸数据库上的应用效果做对比。图2表示运用五种人脸识别方法计算得到的正确识别率随特征个数变化曲线。从图2可以看出五种识别方法对人脸测试集的正确识别率均随着选择的特征个数的增多而提高，并在特征个数为55时都能达到最大值。其中，QHSPCA的正确识别率是最高的，而PCA的正确识别率最低。表1展示了五种人脸识别方法的正确识别率、错误识别率以及识别整个测试集的CPU计算时间。由表1可知，将QPCA与PCA，QSPCA与SPCA作对比，充分说明了加入四元数来表示彩色图像虽然增大了计算开销，但是能大幅度提高识别率。同时SPCA与PCA，QSPCA与QPCA相比，表明添加稀疏约束项不仅可以提高识别率还能减少计算时间。而QHSPCA与QSPCA相比，虽然识别率接近，但是计算时间缩短了。
图3为在L1范数和L1/2范数作为稀疏约束时的SPCA的识别率对比曲线。通过观察图3可知，L1/2范数对应的曲线在变量累积贡献率为50％时达到最高识别率，之后随着累积贡献率增大而减小，是因为当50％的稀疏变量足够代表整个主成分时，其他多余的变量反而会对结果产生负影响，而L1范数对应的曲线在变量累积贡献率为70％时才达到最高识别率，之后同样呈下降趋势。由此可以证明，在识别率十分接近的情况下，利用L1/2范数约束得到的主成分稀疏性更高。
从上述实验结果可以看出，与PCA，SPCA，QPCA，QSPCA相比，利用本发明提出的四元数非凸罚稀疏主成分分析方法进行人脸识别能达到更好的识别效果，并且本发明采用L1/2范数作为稀疏约束，与L1范数约束相比，在保证识别率的情况下，本发明具有更高的稀疏效率和更少的计算时间。
表1五种识别算法性能比较
| 方法 | PCA | SPCA | QPCA | QSPCA | QHSPCA |
| 正确识别率 | 69.86％ | 72.31％ | 86.44％ | 89.56％ | 90.47％ |
| 错误识别率 | 30.14％ | 27.69％ | 13.56％ | 10.44％ | 9.53％ |
| 识别时间(秒) | 4.4696 | 2.8462 | 6.1860 | 5.3107 | 4.7782 |
Claims (1)
1.基于四元数非凸罚稀疏主成分分析的彩色人脸识别方法，其特征在于该方法包括以下步骤：
步骤1采用四元数表示法构造训练集和测试集矩阵，具体如下：
步骤1.1输入训练集和测试集图像：
将每幅a×b像素的彩色图像表示为一个3×n的矩阵，其中ab＝n；
提取该矩阵的红、绿、蓝分量分别表示为一个1×n维行向量，将m幅训练集图像的红、绿、蓝向量分别按行排列得到训练集样本矩阵的红、绿、蓝分量矩阵R,G,B∈Rm×n，并对红、绿、蓝分量矩阵进行去均值处理得到
输入s幅彩色图像作为测试集，同样得到测试集样本矩阵去均值后的红、绿、蓝分量矩阵；
步骤1.2给出训练集和测试集的彩色图像四元数矩阵表示：
其中，Q∈Hm×n为四元数矩阵，C表示图像底色像素矩阵，i,j,k表示虚部三个方向的坐标轴；
步骤1.3利用红、绿、蓝分量矩阵构造四元数矩阵的复表示形式，令Q＝-Qa-Qb*i：
式中，χQ∈C2m×2n是四元数矩阵Q的复表示形式， 则由此得到训练集和测试集四元数矩阵的复表示形式χQtrain∈C2m×2n，χQtest∈C2m×2n；
步骤2利用PCA算法求出训练集矩阵的最优四元数正交投影矩阵具体如下：
步骤2.1对χQtrain计算协方差矩阵Φ：
Φ＝χQtrain TχQtrain (3)
步骤2.2对协方差矩阵Φ进行特征分解，选择前k个最大特征值对应的特征向量构成最优四元数正交投影矩阵
步骤3引入L1/2范数，构建四元数非凸罚稀疏主成分分析的弹性网络优化模型；
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满足
则其中，符号||X||F＝tr(XTX)，tr(·)表示矩阵的迹，符号表示L1/2范数的稀疏约束项，λ1,j控制载荷βj的稀疏性，加入用于避免当样本数量远小于样本维度的情况下存在的潜在共线性问题；
步骤4弹性网络优化模型求解，具体如下：
步骤4.1设的初值均取前k个主成分载荷，即/>
步骤4.2固定令/>并初始化/>则求解式(4)等价于求解k个独立的弹性网络问题
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步骤7按照最近邻分类法识别最匹配的人脸；
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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