CN112464527A - 一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法 - Google Patents

一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法 Download PDF

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Abstract

一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法，包括：(1)构建亲水表面上的重液滴系统；(2)推导重液滴在规则粗糙亲水表面上的系统无量纲总能量函数：(3)当液滴的接触圆半径rb已知情况下求取液滴轮廓和表观接触角；(4)求取液滴在水平亲水粗糙表面上滞后角和截面轮廓。本发明利用极坐标系对重液滴轮廓进行划分，同时结合MATLAB软件中‘fmicon’函数的进行编程，通过输入给定液滴和表面的几何参数下，就可以快速计算出重液滴界面轮廓曲线和滞后角值，为亲水表面接触角滞后测定实验提供指导作用。

Description

一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法
技术领域
本发明涉及一种水平亲水粗糙表面上重液滴接触角滞后求取方法。
背景技术
接触角滞后现象研究存在于工业、农业、医学、生物学和超亲/疏水材料等诸多领域，在亲/疏水表面上液体的浸润、沸腾、铺展和冷凝等过程中扮演着十分重要的角色。重液滴在理想的光滑、均质表面上处于热力学平衡状态，此时接触角有唯一值。但是实际固体表面有一定粗糙度，由于粗糙度、化学成分的不均匀等原因，三相接触线移动使得实际固体表面上的接触角并非Young方程、Wenzel方程和Cassie方程所预示的取值唯一，而是在前进角和后退角之间变化，它们的差值就是接触角滞后，这种现象被称为接触角滞后现象(CAH)。接触角滞后反映了液滴在表面上移动的难易程度，接触角滞后越小液滴越容易移动。接触角滞后的研究对液滴在固体表面的铺展与运动过程分析和各种亲/疏水表面的应用具有指导作用和重要意义。
目前，表面上重液滴接触角滞后研究方法主要有三种：斜板法,吊片法,增/减体积法等，但目前广泛使用的测定方法是增/减体积法。为了简化接触角滞后计算步骤，节省计算时间，基于该方法利用最小总能量理论结合非线性优化的有限差分法，并利用MATLAB的fmincon函数编程来计算水平亲水表面上液滴接触角滞后。
专利申请号201810413042.6,公开日2018年11月13日,公开了“一种水平规则双粗糙度表面重液滴接触角滞后的计算方法”。此专利针对微纳复合结构的疏水表面,主要讨论了四类液滴润湿状态下,随着液滴浸润深度x1和x2变化,系统总能量与液滴在固体表面接触角之间的联系,确定系统的最小总能量和相应的稳定润湿状态及液滴滞后角。在对重液滴截面轮廓进行划分时，采用直角坐标系进行离散计算量会比较大，同时不适合计算具有亲水特性的粗糙表面上液滴分析，因此本发明采用极坐标系对液滴轮廓曲线划分，大大提高了计算效率，同时适用于亲水粗糙表面分析。
发明内容
本发明要克服现有技术的上述缺点,提供一种给定水平亲水粗糙表面上重液滴接触角滞后求取方法,能够快速计算水平亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后(CAH)。
一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法，步骤如下：
(1)构建亲水表面上的重液滴系统；
亲水表面上的重液滴系统是由液滴和微结构表面区域构成组成，其中表面上周期性分布微米柱，该系统的几何参数为:圆柱的直径d、圆柱间距a和柱高h。液滴在水平表面上的轮廓是轴对称图形，因此，通过液滴截面轮廓可分析出液滴接触角滞后现象。选择极坐标系来分析液滴的轮廓曲线，定义与液滴表观接触面平行且水平右方向为Y轴正方向，将液滴的接触面的对称轴的交点定义为原点O，把垂直于接触面且通过原点的方向定义为Z方向,X正方向为垂直于YOZ平面且由内向外的指向。定义从O点到液滴轮廓曲率上的一点距离为矢径
Figure BDA0002769401960000011
与Z轴正方向之间的夹角为
Figure BDA0002769401960000012
还定义了ha为接触面到液滴顶点的距离，hamax为ha最大值，rb-1为接触圆的半径，rbmax为rb-1的最大值。
(2)推导重液滴在规则粗糙亲水表面上的系统无量纲总能量函数,推导过程如下：
21.构建系统模型几何参数关系式；
表面的粗糙度，即实际固-液接触面积总面积与表观固-液表面积之比：
Figure BDA0002769401960000013
重液滴的体积V1:
Figure BDA0002769401960000021
液滴在亲水粗糙表面上的最大高度hamax可以表示为:
Figure BDA0002769401960000022
Figure BDA00027694019600000210
时，液滴半径的极限值r(0)可以表示为：
Figure BDA0002769401960000023
其中：ha是液滴高度；
液滴接触圆的最大半径rbmax等于一个假想锥的底半径，其顶点为液滴的脐点，锥体积等于液滴的体积，可表示为:
Figure BDA0002769401960000024
Figure BDA0002769401960000025
时，液滴半径的极限值
Figure BDA0002769401960000026
可以表示为:
Figure BDA0002769401960000027
液滴的外表面积Sext-1为：
Figure BDA0002769401960000028
液滴与表面的表观接触面积Sbase-1可以表示为：
Figure BDA0002769401960000029
液滴与表面的三相接触线的表观长度lbase：
lbase＝2πrb (9)
其中rb是液滴的平衡接触圆半径；
在Wenzel状态，实际的固-液接触面积Ssl-1：
Ssl-1＝rghSbase-1 (10)
实际的固-气接触面积Ssv-1：
Figure BDA0002769401960000031
液滴与表面的三相接触线的实际长度lact：
Figure BDA0002769401960000032
选择的粗糙表面为均质的亲水表面，重液滴在该亲水粗糙表面上润湿接触状态为Wenzel状态。因此，可推导Wenzel液滴在该表面上系统总能量方程。
Wenzel润湿接触状态液滴的系统总能量Ew-1等于重力势能Ea-1和界面自由能Eb-1之和。
Ew-1可以表示为：
Ew-1＝Ea-1+Eb-1 (13)
Ea-1可以表示为：
Figure BDA0002769401960000033
式中：ρ是液体密度,g是重力加速度；
Eb-1可以表示为：
Figure BDA0002769401960000034
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，S表示接触面积，γ表示界面张力系数，lv、sl、sv分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
将参数带入公式(14)(15)代入(13)可得重液滴在亲水粗糙表面处于Wenzel润湿接触状态的系统总能量：
Figure BDA0002769401960000035
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，γlv、γsl、γsv分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
当给定该系统几何参数(液滴体积、界面间的表面张力、亲水表面参数等)时，式(16) 中的
Figure BDA0002769401960000036
为常数。简化成系统无量纲总能量E'w-1：
Figure BDA0002769401960000041
式中：ρ是液体密度,g是重力加速度,γlv、γsl、γsv分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
22.优化系统无量纲总能量E′wmin-1和接触圆半径rb；
使用非线性优化算法和有限差分算法获取给定液滴体积为V时的最小系统无量纲总能量E′wmin-1和rb。
a)离散：用n(
Figure BDA0002769401960000042
的等分数)来离散重液滴截面轮廓曲线，在水平亲水粗糙表面上液滴的离散半径
Figure BDA0002769401960000043
可简化为r[i]；
其中：
Figure BDA0002769401960000044
Figure BDA0002769401960000045
优化E′wmin-1；
变量：r[i](i＝1,2,...,n+1)；
优化目标：
Figure BDA0002769401960000046
b)建立约束条件；
Figure BDA0002769401960000047
Figure BDA0002769401960000048
c)搜索：
在约束条件下搜索变量r[i]，利用Matlab函数“fmincon”得到最优解并计算出Wenzel 润湿接触状态下的接触圆半径rb＝r[n+1]和最小无量纲总能量E′wmin-1。
利用Matlab中的“fmincon”函数来搜索E'wmin-1，不断计算直到
Figure BDA0002769401960000051
可接受范围内，这时记录的最小无量纲总能量E'wmin-1、轮廓曲线、三相接触线，根据轮廓曲线可以计算出水平亲水表面上液滴的表观接触角θe,当接触线不是固定时，可求出对应体积的接触圆半径rb，否则将翻倍n的划分，再次进行步骤(2)。
Figure BDA0002769401960000052
Figure BDA0002769401960000055
(3)当液滴的接触圆半径rb已知情况下求取液滴轮廓和表观接触角；
采用与步骤(2)中相同的算法，另外需要在步22的b)中添加r[n+1]＝rb约束，搜索得到亲水表面上已知接触圆半径rb对应的最小无量纲总能量E'wmin-1-fix、以及表观接触角θfix和截面轮廓曲线。
(4)求取液滴在水平亲水粗糙表面上滞后角和截面轮廓；
41.首先，通过步骤(2)算法计算出接触圆半径rb；
42.计算接触圆上得能垒Ebarr：
Figure BDA0002769401960000053
其中：U为液体与固体之间的粘着摩擦，lact为三相接触线的实际长度；
43.计算亲水粗糙表面上液滴的前进角；
a)设置初始体积增量:
Figure BDA0002769401960000054
b)利用步骤(2)中算法计算出体积变化到V1+ΔV1时，得出重液滴在水平亲水表面上系统最小无量纲总能量E′v1+Δv1及对应的轮廓曲线；
c)利用步骤(3)中算法计算出在体积变化到V1+ΔV1和接触圆半径固定为rb时，通过不断的迭代计算得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1+Δv1-fix，表观接触角θfix及对应的轮廓曲线；
d)运用二分法查找,不断通过搜索ΔV1且满足E′v1+Δv1-fix-E′v1+Δv1＝Ebarr时，此时对应的步骤c)中的θfix，即为后退角θa＝θfix，计算结果满足
Figure BDA0002769401960000061
时结束否则，不断循环步骤a)、b)、c)；
44.计算亲水粗糙表面上液滴的后退角；
a)设置初始体积增量:
Figure BDA0002769401960000062
b)利用步骤(2)中算法计算出在体积变化为V1+ΔV1时，得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1-Δv1；
c)利用步骤(3)中算法计算出在体积增量为V1+ΔV1和接触圆半径固定为rb时，通过不断的迭代计算得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1-Δv1-fix，表观接触角θfix，否则不断循环步骤a)、b)、c)；
d)运用二进制迭代法,通过收索ΔV1使得满足E′v1-Δv1-fix-E′v1-Δv1＝Ebarr时，此时对应的步骤c)的θfix，即为后退角θr＝θfix，计算结果满足
Figure BDA0002769401960000063
时结束。否则，不断循环本步骤a)、b)、c)；
45.重液滴在水平亲水粗糙表面上接触角滞后(CAH)计算：
CAH＝θa-θr (26)
本发明的优点：利用极坐标系对重液滴轮廓进行划分，同时结合MATLAB软件中‘fmicon’函数的进行编程，通过输入给定液滴和表面的几何参数下，就可以快速计算出重液滴界面轮廓曲线和滞后角值，为亲水表面接触角滞后测定实验提供指导作用。
附图说明
图1是本发明的实施例的粗糙亲水表面系统图；
图2是本发明的重液滴截面轮廓在极坐标系下离散分析图；
图3是本发明的接触线自由状态下求取系统的E′wmin-1和rb算法流程图；
图4是本发明的已知rb情况下求取系统的E'wmin-1-fix和θfix算法流程图；
图5a是实施例利用增减体积法液滴前进角计算示意图，图5b是液滴后退角的计算示意图；
图6是V变化对接触角滞后CAH的影响关系示意图。
具体实施方式
下面结合附图并通过具体实施例对本发明作进一步说明，以下实施例只是描述性的，不是限定性的，不能以此限定本发明的保护范围。
一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法，步骤如下：
(1)构建亲水表面上的重液滴系统。如图1所示，亲水表面上的重液滴系统是由液滴和微结构表面区域构成组成，其中表面上周期性分布微米柱，该系统的几何参数为:圆柱的直径d、圆柱间距a和柱高h。液滴在水平表面上的轮廓是轴对称图形，因此，通过液滴截面轮廓可分析出液滴接触角滞后现象。选择极坐标系来分析液滴的轮廓曲线，定义与液滴表观接触面平行且水平右方向为Y轴正方向，将液滴的接触面的对称轴的交点定义为原点O，把垂直于接触面且通过原点的方向定义为Z方向,X正方向为垂直于YOZ平面且由内向外的指向。定义从O点到液滴轮廓曲率上的一点距离为矢径
Figure BDA0002769401960000071
与Z轴正方向之间的夹角为
Figure BDA0002769401960000072
还定义了ha为接触面到液滴顶点的距离，hamax为ha最大值，rb-1为接触圆的半径，rbmax为rb-1的最大值，如图2所示。
(2)推导重液滴在粗糙亲水表面上的系统无量纲总能量函数,推导过程如下：
使用非线性优化算法和有限差分算法获取给定液滴体积为V时的E′wmin-1和rb。如图3 所示。
21.构建系统模型几何参数关系式；
表面粗糙度，即实际固-液接触面积与表观固-液接触面积之比：
Figure BDA0002769401960000073
重液滴的体积V1:
Figure BDA0002769401960000074
液滴在亲水表面上的最大高度hamax可以表示为:
Figure BDA0002769401960000075
Figure BDA0002769401960000077
时，液滴半径的极限值r(0)可以表示为：
Figure BDA0002769401960000076
液滴三相接触圆的最大半径rbmax等于一个假想锥的底半径，其顶点为液滴的脐点，锥体积等于液滴的体积，可表示为:
Figure BDA0002769401960000081
Figure BDA0002769401960000082
时，液滴半径的极限值
Figure BDA0002769401960000083
可以表示为:
Figure BDA0002769401960000084
液滴的外表面积Sext-1为：
Figure BDA0002769401960000085
液滴与表面的表观接触面积Sbase-1可以表示为：
Figure BDA0002769401960000086
三相接触线的表观长度lbase：
lbase＝2πrb (9)
其中rb是液滴的平衡接触圆半径；
在Wenzel状态，实际的固-液接触面积Ssl-1
Ssl-1＝rghSbase-1 (10)
实际的固-气接触面积Ssv-1：
Figure BDA0002769401960000087
三相接触线的实际长度lact：
Figure BDA0002769401960000088
选择的粗糙表面为均质的亲水表面，重液滴在该亲水表面上润湿接触状态为Wenzel状态。因此，可推导Wenzel液滴在该表面上系统总能量方程。
Wenzel润湿接触状态液滴的系统总能量Ew-1大约等于重力势能Ea-1和界面自由能Eb-1之和：
Ew-1可以表示为：
Ew-1＝Ea-1+Eb-1 (13)
Ea-1可以表示为：
Figure BDA0002769401960000091
式中：ρ是液体密度,g是重力加速度；
Eb-1可以表示为：
Figure BDA0002769401960000092
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，S表示接触面积，γ表示界面张力系数，lv、sl、 sv分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
将参数带入公式(14)(15)代入(13)可得重液滴在亲水表面处于Wenzel润湿接触状态的系统总能量：
Figure BDA0002769401960000093
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，γlv、γsl、γsv分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
当给定该系统几何参数(液滴体积、界面间的表面张力、亲水表面参数等)时，式(16) 中的
Figure BDA0002769401960000094
为常数。简化成系统无量纲总能量E'w-1：
Figure BDA0002769401960000095
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，γlv、γsl、γsv分别代表液-气、固-液和固-气界面的张力系数，rgh是表面粗糙度因子；
22.当三相接触线移动时系统无量纲总能量Ewmin-1和接触圆半径rb的优化过程：
使用非线性优化算法和有限差分算法获取给定液滴体积为V时的最小系统无量纲总能量E′wmin-1和rb。
a)离散：用n(
Figure BDA0002769401960000101
的等分数)来离散重液滴截面轮廓曲线，在水平亲水粗糙表面上液滴的离散半径
Figure BDA0002769401960000102
可简化为r[i]；
其中：
Figure BDA0002769401960000103
Figure BDA0002769401960000104
变量：r[i](i＝1,2,...,n+1)
优化目标：
Figure BDA0002769401960000105
b)建立约束条件
Figure BDA0002769401960000106
Figure BDA0002769401960000107
c)搜索：
在约束条件下搜索变量r[i]，利用Matlab函数“fmincon”得到最优解并计算出Wenzel 润湿接触状态下的接触圆半径rb-1＝r[n+1]和系统最小无量纲总能量E′wmin-1。
利用Matlab中的“fmincon”函数来搜索E'wmin-1，不断计算直到
Figure BDA0002769401960000108
可接受范围内，这时记录的最小无量纲总能量E'wmin-1、轮廓曲线、三相接触线，根据轮廓曲线可以计算出水平亲水表面上液滴的表观接触角θe,当接触线不是固定时，可求出对应体积的接触圆半径rb-1，否则将翻倍n的划分，再次进行步骤(2)。
Figure BDA0002769401960000111
Figure BDA0002769401960000112
(3)当液滴的接触圆半径rb-1已知情况下求取液滴轮廓和表观接触角的方法：
如图4所示，采用与上述(2)中相同的算法，另外需要在上述(2)中的b)中添加 r[n+1]＝rb-1约束，搜索得到接触圆半径rb-1对应的系统最小无量纲总能量E'wmin-1-fix、以及表观接触角θfix和截面轮廓曲线。
(4)求取液滴在水平亲水粗糙表面上滞后角和截面轮廓；
41.首先，通过步骤(2)算法计算出在给定几何参数下的接触圆半径rb；
42.计算接触圆上得能垒Ebarr：
Figure BDA0002769401960000113
其中：U为液体与固体之间的粘着摩擦，lact为三相接触线的实际长度；
43.计算亲水粗糙表面上液滴的前进角：
a)设置初始体积增量:
Figure BDA0002769401960000114
b)利用步骤(2)中算法计算出体积变化到V1+ΔV1时，得出重液滴在水平亲水表面上最小无量纲总能量E′v1+Δv1及对应的轮廓曲线；
c)利用步骤(3)中算法计算出在体积变化到V1+ΔV1和接触圆半径固定为rb-1时，通过不断的迭代计算得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1+Δv1-fix，表观接触角θfix及对应的轮廓曲线；
d)运用二分法查找,不断通过搜索ΔV1且满足E′v1+Δv1-fix-E′v1+Δv1＝Ebarr时，此时对应的步骤c)中的θfix，即为后退角θa＝θfix，计算结果满足
Figure BDA0002769401960000115
时结束。否则，不断循环步骤a)、b)、c)，如图5(a)；
44.亲水粗糙表面上液滴的后退角计算：
a)_设置初始体积增量:
Figure BDA0002769401960000116
b)利用步骤(2)中算法计算出在体积变化为V1+ΔV1时，得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1-Δv1；
c)利用步骤(3)中算法计算出在体积增量为V1+ΔV1和接触圆半径固定为rb时，通过不断的迭代计算得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1-Δv1-fix，表观接触角θfix，否则不断循环步骤a)、b)、c)；
d)运用二进制迭代法,通过收索ΔV1且满足E′v1-Δv1-fix-E′v1-Δv1＝Ebarr时，此时对应的步骤c)的θfix，即为后退角θr＝θfix，计算结果满足
Figure BDA0002769401960000121
时结束。否则，不断循环本步骤a)、b)、c)；如图5(b)；
45.计算重液滴在水平亲水粗糙表面上接触角滞后(CAH)：
CAH＝θa-θr (26)
以下是一个具体应用例子：
系统模型的几何参数为：基底和微米柱的能量势垒均为：U＝5*10-5N，ρ＝1000kg/m3，γlv＝0.0728J/m2，亲水表面本征角θ＝65.3°。
通过MATLAB的编程来研究当改变V1、a、h等参数对CAH的影响。如图6所示，当给定亲水表面参数为d＝h＝6μm，a＝400μm，随着液滴体积的增加，后退角θr较为明显增加，而前进角θa在一个很小的范围内波动，导致接触角滞后随着液滴体积增大而减小。由于CAH是描述表面上大体积液滴动态特性的更精确的性能参数，CAH越小，大体积液滴越容易在表面上滚动或滑动，因此，体积越大越不利于在亲水表面滑动。
上述公式中的变量的含义是：
CAH 滞后接触角
d 圆柱的直径
a 圆柱间距
h 柱高
Figure BDA0002769401960000122
矢径
Figure BDA0002769401960000123
矢径与Z轴正方向之间的夹角
ha 接触面到液滴顶点的距离
hamax 为ha最大值
rb-1 接触圆的半径
rb 平衡状态下液滴接触圆的半径
rbmax 为rb-1的最大值
Ew-1 系统总能量
E'w-1 无量纲总能量
Ea-1 重力势能
Eb-1 界面自由能
ρ 液体密度
g 重力加速度
Sext-1 液滴的外表面积
Sbase-1 液滴与基底的表观接触面积
Ssl-1 在Wenzel状态，实际的固-液接触面积
Ssv-1 在Wenzel状态，实际的固-气接触面积
γLV 液-气界面的界面张力系数
γSL 固-液界面的界面张力系数
γSV 固-气界面的界面张力系数
rgh 亲水表面的粗糙度因子
E′wmin-1 最小无量纲总能量
E'wmin-1-fix 当固定平衡液滴接触半径为rb时，最小无量纲总能量
E′v1+Δv1-fix 当平衡液滴接触半径为定值rb和体积增量为Δv1时，系统最小无量纲总能量
E′v1+Δv1 液滴接触线自由移动和体积增量为Δv1时，系统最小无量纲总能量
n 为
Figure BDA0002769401960000131
的等分数
Figure BDA0002769401960000132
水平亲水粗糙表面上液滴的离散半径
r[i] 简化水平亲水粗糙表面上液滴的离散半径
V1 初始液滴体积
ΔV1 体积增量
θe 水平亲水表面上液滴的表观接触角
θfix 当平衡液滴接触半径为定值rb，液滴表观接触角
Ebarr 接触圆上的能垒
U 液-气界面的能量势垒
L0 示意图中平面上参考粗糙亲水表面的边长
lact-1 三相接触线的实际长度
lbase-1 三相接触线的表观长度
θa 前进角
θr 后退角
以上所述仅为本发明的其中一个实施例而已,并非用于限定本发明的保护范围.凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改,等同替换,改进等,均包含在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种亲水粗糙表面上重液滴的接触角滞后求取方法，步骤如下：
(1)构建亲水表面上的重液滴系统；
亲水表面上的重液滴系统是由液滴和微结构表面区域构成组成，其中表面上周期性分布微米柱，该系统的几何参数为:圆柱的直径d、圆柱间距a和柱高h；液滴在水平表面上的轮廓是轴对称图形，因此，通过液滴截面轮廓可分析出液滴接触角滞后现象；选择极坐标系来分析液滴的轮廓曲线，定义与液滴表观接触面平行且水平右方向为Y轴正方向，将液滴的接触面的对称轴的交点定义为原点O，把垂直于接触面且通过原点的方向定义为Z方向,X正方向为垂直于YOZ平面且由内向外的指向；定义从O点到液滴轮廓曲率上的一点距离为矢径
Figure FDA0002769401950000011
与Z轴正方向之间的夹角为
Figure FDA0002769401950000012
还定义了ha为接触面到液滴顶点的距离，hamax为ha最大值，rb-1为接触圆的半径，rbmax为rb-1的最大值；
(2)推导重液滴在规则粗糙亲水表面上的系统无量纲总能量函数,推导过程如下：
21.构建系统模型几何参数关系式；
表面的粗糙度，即实际固-液接触面积与表观固-液接触面积之比：
Figure FDA0002769401950000013
重液滴的体积V1:
Figure FDA0002769401950000014
液滴在亲水粗糙表面上的最大高度hamax可以表示为:
Figure FDA0002769401950000015
Figure FDA0002769401950000016
时，液滴半径的极限值r(0)可以表示为：
Figure FDA0002769401950000017
液滴接触圆的最大半径rbmax等于一个假想锥的底半径，其顶点为液滴的脐点，锥体积等于液滴的体积，可表示为:
Figure FDA0002769401950000018
Figure FDA0002769401950000019
时，液滴半径的极限值
Figure FDA00027694019500000110
可以表示为:
Figure FDA00027694019500000111
液滴的外表面积Sext-1为：
Figure FDA0002769401950000021
液滴与表面的表观接触面积Sbase-1可以表示为：
Figure FDA0002769401950000022
三相接触线的表观长度lbase：
lbase＝2πrb (9)
其中rb是液滴的平衡接触圆半径；
在Wenzel状态，实际的固-液接触面积Ssl-1
Ssl-1＝rghSbase-1 (10)
实际的固-气接触面积Ssv-1：
Figure FDA0002769401950000023
三相接触线的实际长度lact：
Figure FDA0002769401950000024
选择的粗糙表面为均质的亲水表面，重液滴在该亲水粗糙表面上润湿接触状态为Wenzel状态。因此，可推导Wenzel液滴在该表面上系统总能量方程。
Wenzel润湿接触状态液滴的系统总能量Ew-1等于重力势能Ea-1和界面自由能Eb-1之和：
Ew-1可以表示为：
Ew-1＝Ea-1+Eb-1 (13)
Ea-1可以表示为：
Figure FDA0002769401950000025
式中：ρ是液体密度,g是重力加速度；
Eb-1可以表示为：
Figure FDA0002769401950000031
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，S表示接触面积，γ表示界面张力系数，lv、sl、sv分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
将参数带入公式(14)(15)代入(13)可得重液滴在亲水粗糙表面处于Wenzel润湿接触状态的系统总能量：
Figure FDA0002769401950000032
式中：ρ是液体密度，g是重力加速度，γLV、γSL、γSV分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
当给定该系统几何参数(液滴体积、界面间的表面张力、表面参数等)时，式(16)中的γsvrgh
Figure FDA0002769401950000033
为常数。简化成系统无量纲总能量E'w-1：
Figure FDA0002769401950000034
式中：ρ是液体密度,g是重力加速度,γLV、γSL、γSV分别代表液-气、固-液和固-气界面的界面张力系数，rgh是亲水表面的粗糙度因子；
22.优化系统无量纲总能量E′w-1和接触圆半径rb：
使用非线性优化算法和有限差分算法获取给定液滴体积为V时的最小系统无量纲总能量E′wmin-1和rb。
a)离散：用n(
Figure FDA0002769401950000035
的等分数)来离散重液滴截面轮廓曲线，在水平亲水粗糙表面上液滴的离散半径
Figure FDA0002769401950000036
可简化为r[i]；
Figure FDA0002769401950000038
Figure FDA0002769401950000037
优化E′wmin-1
变量：r[i](i＝1,2,...,n+1)；
优化目标：
Figure FDA0002769401950000041
b)建立约束条件；
i.
Figure FDA0002769401950000042
ii.
Figure FDA0002769401950000043
c)搜索；
在约束条件下搜索变量r[i]，利用Matlab函数“fmincon”得到最优解并计算出Wenzel润湿接触状态下的接触圆半径rb＝r[n+1]和系统最小无量纲总能量E′wmin-1；
利用Matlab中的“fmincon”函数来搜索E'wmin-1，不断计算直到
Figure FDA0002769401950000044
可接受范围内，这时记录rb对应的最小无量纲总能量E'wmin-1、轮廓曲线、三相接触线，根据轮廓曲线可以计算出水平亲水表面上液滴的表观接触角θe,当接触线不是固定时，可求出对应体积的接触圆半径rb，否则将翻倍n的划分，再次进行步骤(2)；
Figure FDA0002769401950000045
Figure FDA0002769401950000046
(3)当液滴的接触圆半径rb已知情况下求取液滴轮廓和表观接触角；
采用与步骤(2)中相同的算法，另外需要在步骤(2)的b)中添加r[n+1]＝rb约束，搜索得到rb对应的最小无量纲总能量E'wmin-1-fix、以及表观接触角θfix和截面轮廓曲线。
(4)求取液滴在水平亲水粗糙表面上滞后角和截面轮廓：
41.首先，通过步骤(2)算法计算出接触圆半径rb；
42.计算接触圆上得能垒Ebarr：
Figure FDA0002769401950000051
其中：U为液体与固体之间的粘着摩擦，lact为三相接触线的实际长度；
43.计算亲水粗糙表面上液滴的前进角：
a)设置初始体积增量:
Figure FDA0002769401950000052
b)利用步骤(2)中算法计算出体积变化到V1+ΔV1时，得出重液滴在水平亲水表面上系统最小无量纲总能量E′v1+Δv1及对应的轮廓曲线；
c)利用步骤(3)中算法计算出在体积变化到V1+ΔV1和接触圆半径固定为rb时，通过不断的迭代计算得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1+Δv1-fix，表观接触角θfix及对应的轮廓曲线；
d)运用二分法查找,通过不断搜索ΔV1且满足Ev′1+Δv1-fix-E′v1+Δv1＝Ebarr时，对应的本步骤c)中的θfix，即为后退角θa＝θfix，计算结果满足
Figure FDA0002769401950000053
时结束。否则，不断循环本步骤a)、b)、c)；
44.计算亲水粗糙表面上液滴的后退角：
a)设置初始体积增量:
Figure FDA0002769401950000054
b)利用步骤(2)中算法计算出在体积变化为V1+ΔV1时，得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1-Δv1；
c)利用步骤(3)中算法在体积增量为V1+ΔV1和接触圆半径固定为rb时，通过不断的迭代计算得出重液滴在水平亲水粗糙表面上的系统最小无量纲总能量E′v1-Δv1-fix，表观接触角θfix，否则不断循环本步骤a)、b)、c)；
d)运用二进制迭代法,通过搜索ΔV1且满足E′v1-Δv1-fix-E′v1-Δv1＝Ebarr时，此时对应的本步骤c)的θfix，即为后退角θr＝θfix，计算结果满足
Figure FDA0002769401950000055
时结束。否则，不断循环本步骤a)、b)、c)；
45.计算重液滴在水平亲水粗糙表面上接触角滞后(CAH)：
CAH＝θa-θr (26)
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