CN112380306A - 顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法 - Google Patents

顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，针对空间插值算法中需合理设置待插值点的邻域搜索，并考虑空间分布问题。首先，构建采样点的最小外包围盒并对其进行八叉树剖分，将采样点各自归于剖分后的包围盒中；然后，计算并判断各个小立方体内的点密度，根据各个小立方体内的点密度确定待插值点数量及其空间分布；最后，将上述的邻域搜索策略应用到普通克里金插值模型中进行空间插值，并将本发明与传统的空间插值方法进行对比实验。结果表明，本发明方法在插值精度与效率上均优于传统方法，且能保证插值点在空间分布的均匀性，数据冗余较少，可应用于各类基于离散点的空间插值场景与插值算法中，是一种可靠的空间插值方法。

Description

顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法
技术领域
本发明涉及地理空间插值领域，具体涉及一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法。
背景技术
空间插值是一种根据有限的采样点数据来推求同一区域其它未知点数据的算法。它是基于“地理学第一定律”的假设：空间位置上距离越近的点，具有相似特征的可能性越大，反之，就越小。实际应用中，人们所获取的样本数据往往是有限的。利用插值算法能够很好地解决由点到面的赋值问题，是地学科学研究常用的方法。尤其在地质学研究中，由于地质空间错综复杂，勘查得到的都是离散的、空间分布不均匀的样本数据，难以表达真实的地质情况。因此，地质现象的空间分布就需要通过空间插值来实现。
目前，空间插值主要分为确定性插值与空间统计插值。克里金插值作为空间统计学插值的主要方法，其能够很好地表达复杂地质空间结构特征，也是目前应用最广泛的一种空间插值方法。它是一种定义在空间有限域上的算法，在实际应用中常会涉及到计算区域选取的问题，即待插值点的邻域搜索问题。该问题是影响克里金插值效率与精度的重要因素之一。克里金插值邻域搜索的算法主要有固定距离法、固定数目法、Delaunay-固定邻域选择算法等，但这些算法对于样本点的空间均匀分布有较强的依赖性，对于分布不均匀的已知点，其插值结果会受到一定的影响。同时，在构建三维地质模型时，基于传统的插值方法往往会存在插值点数据冗余、空间分布不均匀等问题。
发明内容
本发明针对以上问题，提供了一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，该方法在普通克里金插值方法的基础上，利用八叉树网格剖分改进插值点的邻域搜索方法，优化参考点的选取策略，且插值后的数据空间分布更均匀，其精度与效率进一步提高。
本发明采用的技术方案为：
一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，包括如下步骤：
步骤1，构建样本点的最小外包围盒并对其进行八叉树剖分，将样本点各自归于剖分后的包围盒中；
步骤2，计算并判断各个小立方体内的点密度，根据各个小立方体内的点密度确定待插值点数量及其空间分布；
步骤3，将步骤1和步骤2中的邻域搜索策略使用普通克里金插值原理进行空间插值。
进一步，所述步骤1具体为：
通过确定样本点数据中的xmin、ymin、zmin与xmax、ymax、zmax来获取最小外包围盒，即对于任意的样本点数据均满足下式：
Figure BDA0002772464860000021
式中，xmax、ymax、zmax与xmin、ymin、zmin为样本点数据坐标的最大最小值；xi、yi、zi表示样本点数据的坐标；n表示样本点数量。
对构建好的最小外包围盒进行八叉树剖分，并将剖分后的包围盒进行编码。
进一步，对外包围盒进行剖分时，若剖分后的立方体内样本点数量若大于30则继续剖分；若大于15小于30则不再剖分；若小于15，则在插值时采用邻近立方体内的样本点数据补充已知点数量至15；若剖分后立方体内样本点数量为0，则删除该立方体所占的空间。
进一步，所述步骤2具体为：
设总的样本点数量为N，剖分后的每个小立方体内样本点与插值点的数量之和为Ni，Ni的初始值为各个小立方体内样本点的数量，即Ni0；剖分后总的立方体个数为n，不包括无数据的空立方体；研究区域点的总数量为T，包括样本点与插值点，T的初始值为样本点的数量，即T0，则初始时的点密度di0＝Ni0/T0；各个小立方体加密点数量ti与点密度di的关系满足式(2)：
Figure BDA0002772464860000022
初始时，T的数量即为样本点的总数量T0，以此根据式di＝Ni/T计算第一次插值后各个小立方体内的点密度，并判断di0的值是否等于1/n，若不等于，则再进行插值计算；计算时，构建样本点的最小外包围盒，分别在x、y和z方向上根据实际需求等间距将其剖分为i×j×k大小的格网，将位于研究区域范围内的网格交点作为待估点进行插值计算，此时T的数量变为待插值点与样本点之和。接着再计算di的值并进行判断，若di的值仍不符合要求，则继续进行下一次的插值，将不满足要求的小立方体内的区域采用上述方法继续进一步细化网格，将网格交点作为待估点；如此进行循环计算，直到di的值都达到要求，即di的值为1/n时；当各个小立方体的点密度基本保持一致时停止加密插值，说明插值后的点在空间分布基本均匀。
进一步，所述步骤3的具体步骤为：
将上述邻域搜索策略应用到普通克里金插值当中，用于估算未采样位置的属性值，如式(3)所示：
Figure BDA0002772464860000031
式中，
Figure BDA0002772464860000032
为x0处的估计值；z(xi)为已知位置xi处的观测值；λi为z(xi)分配的权重系数，是满足估计值与真实值的差最小的一套最优系数，即
Figure BDA0002772464860000033
同时满足无偏估计条件
Figure BDA0002772464860000034
在根据上述步骤插值加密完成后，将在插值结果中将过于靠近原始样本点的插值点去除，即样本点与插值点间距离小于相邻插值点间距离最小值，减少数据冗余。
本发明产生的有益效果是：
本发明提出了基于八叉树的修正克里金空间插值算法，依据普通克里金插值原理，设计相应的精度验证实验，得出其精度饱和的阈值；通过八叉树空间剖分，优化其邻域搜索策略；顾及加密点的空间分布均衡，提出基于“点密度”的自适应加密算法；并与传统的插值算法进行对比实验。结果表明：本发明的方法在插值精度与效率上均优于大多数传统插值算法，同时保证了加密点在空间分布的相对均匀性，有效减少了数据冗余。
本发明能够适用于各种基于离散点的空间插值问题，可将该方法用于对其他属性插值的场景中，如利用站点数据插值区域的空气PM2.5含量、降雨量等。同时，本发明所优化的邻域搜索策略对于其他插值算法，如反距离加权插值、自然邻域法、协同克里金插值、泛克里金插值等同样适用，为插值模型中的邻域搜索和地球系统空间的建模与表达提供了一种有效的技术手段。
附图说明
图1为八叉树剖分示意图；
图2为交叉验证结果图；
图3为研究区域示意图；
图4为原始样本点空间分布图；
图5a为固定数目法(30个样本点)-普通克里金插值方法结果；
图5b为固定距离法(800米)-普通克里金插值方法结果；
图5c为自适应修正克里金空间插值方法结果；
图6为地层结构渲染图；
图7固定数目法(左上)与固定距离法(左下)建模结果。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。
根据克里金插值的基本原理，随着距离的增大，数据的相关性降低。当邻域过大时会导致相关性低的点参与计算，从而影响插值的效率；而当邻域过小时则会导致插值点不足，使得插值结果精度不能保证。基于此，本发明提出基于八叉树的空间插值算法，对普通克里金插值中的邻域搜索进行改进，包括以下步骤：
步骤1，构建样本点的最小外包围盒：
通过确定样本点数据中的xmin、ymin、zmin与xmax、ymax、zmax来获取最小外包围盒，即对于任意的样本点数据均满足下式：
Figure BDA0002772464860000041
式中，xmax、ymax、zmax与xmin、ymin、zmin为样本点数据坐标的最大最小值；xi、yi、zi表示样本点数据的坐标；n表示样本点数量。
对构建好的最小外包围盒进行八叉树剖分，并将剖分后的包围盒进行编码。如图1所示，从上到下顺时针依次记为0-7，第二次剖分时仍采用此方法编码，依次类推。以第一次剖分后编码为“1”的立方体为例，第二次剖分后八个小立方体依次记为10-17。
对外包围盒进行剖分时，需有约束条件对剖分次数限制。
空间插值的精度主要与距离相关，当已知点与待插值点距离过远时，则对待插值点的影响很小；同时，当待插值点附近的已知点达到一定数量时，再增加已知点个数对插值结果精度提高很小；且已有的研究表明，插值计算的邻域点至少要超过3个。因此，本发明采用交叉验证的方法，即每次从采样数据中选取一些点作为未知点，利用普通克里金插值的方法预测该点的值。实验时，以高程插值为例，已知点的个数以5为间隔，由5到90依次递增。每次从已知点中随机选取5个点作为未知点进行验证，最后求出这5个点的均方根误差作为验证标准，结果如图2a所示。
由图2a可知，当已知点的数量达到一定值时，插值点的变化很小或几乎不再变化。同时，从图中还可得知，当已知点数量大于30时，插值结果基本上不再发生变化，即插值点的精度达到饱和。
为验证上述结论对于其他属性值的适用性，本发明对某块土壤中某元素的含量也进行了插值计算。实验时仍以5个样本点作为起始样本点，以5为间隔，依次递增，在验证结果时同样采用交叉验证的方式。如图2b所示，实验结果与上述结论基本相同，说明这种插值精度规律具有一般性。
根据上文得到的插值点精度饱和条件，当已知点数量超过15时，插值点的精度可达到8米以下，能够满足基本的需求；当超过30时，插值点的精度提高很小。因此，若剖分后的立方体内样本点数量若大于30则继续剖分；若大于15小于30则不再剖分；若小于15，则在插值时采用邻近立方体内的样本点数据补充已知点数量至15；若剖分后立方体内样本点数量为0，则删除该立方体所占的空间。
步骤2，计算并判断各个小立方体内的点密度，根据各个小立方体内的点密度确定待插值点数量及其空间分布。
在进行实际的插值计算时，原始样本数据通常是稀疏且分布不均的。如何根据样本数据空间分布特点，提高插值效率，使插值后的点空间分布相对均匀，就成为问题的关键。本发明通过定义“点密度”来约束插值点的密度与分布，从而达到自适应加密的效果。
设总的样本点数量为N，剖分后的每个小立方体内样本点与插值点的数量之和为Ni，Ni的初始值为各个小立方体内样本点的数量，即Ni0。剖分后总的立方体个数为n，不包括无数据的空立方体。研究区域点的总数量为T，包括样本点与插值点，T的初始值为样本点的数量，即T0，则初始时的点密度di0＝Ni0/T0。各个小立方体加密点数量ti与点密度di的关系满足式(2)：
Figure BDA0002772464860000061
初始时，T的数量即为样本点的总数量T0，以此根据式di＝Ni/T计算第一次插值后各个小立方体内的点密度，并判断di0的值是否等于1/n，若不等于，则再进行插值计算。在计算时，构建样本点的最小外包围盒，分别在x、y和z方向上根据实际需求等间距将其剖分为i×j×k大小的格网，将位于研究区域范围内的网格交点作为待估点进行插值计算，此时T的数量变为待插值点与样本点之和。接着再计算di的值并进行判断，若di的值仍不符合要求，则继续进行下一次的插值，将不满足要求的小立方体内的区域采用上述方法继续进一步细化网格，将网格交点作为待估点……如此进行循环计算，直到di的值都达到要求，即di的值为1/n时。当各个小立方体的点密度基本保持一致时停止加密插值，说明插值后的点在空间分布基本均匀。
步骤3，将步骤1和步骤2中的邻域搜索策略使用普通克里金插值原理进行空间插值。
将上述邻域搜索策略应用到普通克里金插值当中。普通克里金插值，是地质统计学中广泛使用的插值方法，也是地质统计学的重要组成部分。该方法用来估算未采样位置的属性值，是一种最优无偏估计方法，如式(3)所示：
Figure BDA0002772464860000062
式中，
Figure BDA0002772464860000071
为x0处的估计值；z(xi)为已知位置xi处的观测值；λi为z(xi)分配的权重系数，是满足估计值与真实值的差最小的一套最优系数，即
Figure BDA0002772464860000072
同时满足无偏估计条件
Figure BDA0002772464860000073
在根据上述步骤插值加密完成后，将在插值结果中将过于靠近原始样本点的插值点去除，即样本点与插值点间距离小于相邻插值点间距离最小值，减少数据冗余。
为了验证本发明中的插值算法的准确性，本发明采用实验验证。
实验数据采用某地层的实测钻孔数据，*.obj格式，Beijing54坐标系，研究区域为河南省郑州市航空港经济区，如图4所示。钻孔数据在三维空间中的离散分布见图5，共计69个样本点，x的极差为14889.82米，y的极差为19805.86米，z的极差为72.37米。
对上述数据，分别应用基于固定距离和固定数目邻域搜索策略的普通克里金插值与本发明方法进行加密计算，加密计算时，待估点的选择采用常规的方法，对研究区域进行网格化处理，以网格的交点作为待估点。针对本次实验数据，固定距离法中的距离设置为样本点间距离最大值的四分之一(800米)和八分之一(400米)，这样设置可以保证待插值点邻域内有较为合适数量的样本点进行计算；在设置固定数目法中的邻域点数时，依据插值点精度饱和条件得到的结果将其设为15和30个，可以保证插值结果的精度。然后采用交叉验证的方法，即依次将每个样本点作为未知点进行验证计算，以误差绝对值的最大值、最小值与均方根误差作为评定指标，并对不同方法所用的时间进行比较。结果如表1。
表1不同插值方法的比较
Figure BDA0002772464860000074
本次实验参与计算的插值点数共106,126个。由表1可知，本发明方法在绝对误差的最大值、最小值、均方根误差以及耗时方面均优于使用固定数目法(15个样本点)、固定距离法(400米)和固定距离法(800米)邻域搜索策略的普通克里金插值，本发明方法与使用固定数目法(30个样本点)邻域搜索策略的普通克里金插值相比，本发明方法在结果精度上要较低，但在耗时上要优于使用该方法。
将上述结果可视化如图5a至图5c所示。为更直观地比较不同方法的结果，分别计算不同方法得到的结果中相邻点的最大、最小距离，结果如表2所示。由图5a至图5c与表2可知，使用固定数目法(15个样本点)、固定距离法(400米)和固定距离法(800米)邻域搜索策略的普通克里金插值得到的结果，其插值点在空间分布上存在过疏或过密的情况，使用本发明的方法得到的结果，能够自适应插值加密样本点，使得插值点在空间上分布更为均匀。
表2不同方法得到的插值结果的空间分布比较
Figure BDA0002772464860000081
为验证本方法在地质真三维建模中的应用，本发明采用球体离散网格中的球体测地线八叉树网格构建上述地层的真三维模型。SGOG网格利用大圆弧和半径中分的剖分规则，以0°～180°首子午圈、东西经90°子午圈、赤道3条大圆弧为界线，将地球体剖分成8个相同的球面三棱锥(八分体)，对每个棱锥进行递归的横向和径向剖分，直到满足精度为止。SGOG采用“圈层码(十六进制)+八分体码(八进制)+球面位置码(四叉树)+径向位置码(二叉树)”的网格编码模型，其网格体元具有结构简单、变形适中、排列整齐、拓扑关系一致、几何特征明晰等特点，是构建真三维数字地球平台的基础网格模型之一。球体网格机制为基于体元的地质真三维模型建立提供了一种新的方法，即直接根据离散点建立模型。其原理是将离散点的坐标映射到相应层次的网格编码，然后进行网格绘制即可。这里的关键问题是：离散点要均匀致密，才能保证模型的完整性。实验采用SGOG横向16层、三角形边长约150m、为可视化清晰、径向不剖分的网格，在尽可能减少数据量的前提下，充分体现地层的完整性及结构特征，地层结构渲染图如图6所示，整个地层模型共有网格32,520个。
本发明分别采用基于固定数目法(30个样本点)、固定距离法(800米)的普通克里金插值与本发明方法进行插值。实验发现：采用基于固定数目法的普通克里金插值法构建上述层次的地层网格需要120,104个插值点；基于固定距离法的普通克里金插值需要122,004个；本发明方法只需88,132个。本发明方法减少了1/3的冗余点。为更直观地展示不同方法的建模效果，以88,132个插值点为限，分别使用基于固定数目法(30个样本点)、固定距离法(800米)的普通克里金插值得到的建模结果如图7所示。可以看出，使用传统搜索策略建立的模型，在相同剖分层次下，会出现一些漏洞，而本发明的方法则不然。

Claims (5)

1.一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1，构建样本点的最小外包围盒并对其进行八叉树剖分，将样本点各自归于剖分后的包围盒中；
步骤2，计算并判断各个小立方体内的点密度，根据各个小立方体内的点密度确定待插值点数量及其空间分布；
步骤3，将步骤1和步骤2中的邻域搜索策略使用普通克里金插值原理进行空间插值。
2.根据权利要求1所述的一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，其特征在于，所述步骤1具体为：
通过确定样本点数据中的xmin、ymin、zmin与xmax、ymax、zmax来获取最小外包围盒，即对于任意的样本点数据均满足下式：
Figure FDA0002772464850000011
式中，xmax、ymax、zmax与xmin、ymin、zmin为样本点数据坐标的最大最小值；xi、yi、zi表示样本点数据的坐标；n表示样本点数量；
对构建好的最小外包围盒进行八叉树剖分，并将剖分后的包围盒进行编码。
3.根据权利要求2所述的一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，其特征在于，对外包围盒进行剖分时，若剖分后的立方体内样本点数量若大于30则继续剖分；若大于15小于30则不再剖分；若小于15，则在插值时采用邻近立方体内的样本点数据补充已知点数量至15；若剖分后立方体内样本点数量为0，则删除该立方体所占的空间。
4.根据权利要求1所述的一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，其特征在于，所述步骤2具体为：
设总的样本点数量为N，剖分后的每个小立方体内样本点与插值点的数量之和为Ni，Ni的初始值为各个小立方体内样本点的数量，即Ni0；剖分后总的立方体个数为n，不包括无数据的空立方体；研究区域点的总数量为T，包括样本点与插值点，T的初始值为样本点的数量，即T0，则初始时的点密度di0＝Ni0/T0；各个小立方体加密点数量ti与点密度di的关系满足式(2)：
Figure FDA0002772464850000021
初始时，T的数量即为样本点的总数量T0，以此根据式di＝Ni/T计算第一次插值后各个小立方体内的点密度，并判断di0的值是否等于1/n，若不等于，则再进行插值计算；计算时，构建样本点的最小外包围盒，分别在x、y和z方向上根据实际需求等间距将其剖分为i×j×k大小的格网，将位于研究区域范围内的网格交点作为待估点进行插值计算，此时T的数量变为待插值点与样本点之和。接着再计算di的值并进行判断，若di的值仍不符合要求，则继续进行下一次的插值，将不满足要求的小立方体内的区域采用上述方法继续进一步细化网格，将网格交点作为待估点；如此进行循环计算，直到di的值都达到要求，即di的值为1/n时；当各个小立方体的点密度基本保持一致时停止加密插值。
5.根据权利要求1所述的一种顾及分布均衡的自适应修正克里金空间插值方法，其特征在于，所述步骤3的具体步骤为：
将上述邻域搜索策略应用到普通克里金插值当中，用于估算未采样位置的属性值，如式(3)所示：
Figure FDA0002772464850000022
式中，
Figure FDA0002772464850000023
为x0处的估计值；z(xi)为已知位置xi处的观测值；λi为z(xi)分配的权重系数，是满足估计值与真实值的差最小的一套最优系数，即
Figure FDA0002772464850000024
同时满足无偏估计条件
Figure FDA0002772464850000025
在根据上述步骤插值加密完成后，将在插值结果中将过于靠近原始样本点的插值点去除，即样本点与插值点间距离小于相邻插值点间距离最小值。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN114925152A (zh) * 2022-05-19 2022-08-19 河北大学 基于反距离加权法和克里金法的土壤养分空间插值方法
CN115063460A (zh) * 2021-12-24 2022-09-16 山东建筑大学 一种高精度自适应同名像素插值与优化方法

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