CN112365608B - 一种球面小波变换方法及装置 - Google Patents

Abstract

公开一种球面小波变换方法及装置，包括：(1)采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型；(2)将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；(3)对变形后的球面直角三角像元执行提升小波变换，并不断对生成的低通系数l_m重复小波变换分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成多张高通子带图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。

Description

一种球面小波变换方法及装置

技术领域

本发明涉及图像处理的技术领域，尤其涉及一种球面小波变换方法和装置，其通过球面三角层级剖分，生成球面三角像元，并在此基础上对球面三角像元进行球面提升小波变换。该技术可以用于球面图像的表示、压缩、识别和分类等涉及图像小波的应用领域中。

背景技术

在传统平面图像处理的应用中，小波变换是一个强大的处理工具被广泛应用到图像的编码、边缘检测、识别等领域。小波变换利用多分辨率分解的思想，将原始图像分解划分成不同的频率子带，使原始信号的某些要素被良好的表达出来。分解过程可以采用滤波器组来实现。小波提升方法提供了构造小波变换滤波器组的方法，可以利用该方法在不规则的曲面上构造小波变换。

球面图像是定义在球面这种流形上的图像信号，应用领域包括球面显示、地球遥感以及360图像/视频处理等。在实际应用中，球面图像通常被投影为一幅或多幅2D图像，然后再利用现有图像小波变换方法来实施小波变换。比如，球面图像通常被投影为ERP格式，并直接使用9/7或5/3等常见的小波进行变换，从而实现球面图像的后续处理。然而，基于平面的表达方法改变了球面数据原有的几何特性，造成靠近球面两极区域拉伸和过采样，引入了较大的形变和冗余，破坏了球面信号的相关性，在很多应用中处理效果较差。这种情况主要是因为球面图像定义在球面域，是一个二维流形，一些传统欧氏几何的基本假设不能在其上成立，需要专门开发与平面图像处理工具不同的工具和方法适应球面几何特性。目前，还没有在保持球面图像球面几何关系情况下对球面图像进行小波变换的有效方法。

发明内容

为克服现有技术的缺陷，本发明要解决的技术问题是提供了一种球面小波变换方法，其可以十分方便的实现球面图像的小波多分辨率分解，能够保持原始球面三角像元的几何关系，克服了投影带来的弊端，可获得比投影方法好的应用效果。

本发明的技术方案是：这种球面小波变换方法，该方法包括以下步骤：

(1)采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型，其递归定义表示为公式(1)

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形，n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形；该模型将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n为每个四叉树深度；

(2)将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；

具体步骤为：

(2.1)分裂：将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示。G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

(2.2)预测：用G₀中的像元预测G₁中的像元，分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

(2.3)更新：通过h_n更新G₀，并生成低通系数集合l_m；

(3)小波变换分解不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成多张高通子带图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。

本发明利用球面三角像元模型表达原始球面图像信号，并以此为基础利用提升方法构造球面小波变换，因此该小波变换方法可以十分方便的实现球面图像的小波多分辨率分解，能够保持原始球面三角像元的几何关系，克服了投影带来的弊端，可获得比投影方法好的应用效果。

还提供了一种球面小波变换装置，该装置包括：

球面三角格网模型生成模块，其采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型，其递归定义表示为公式(1)

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形，n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形；该模型将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n为每个四叉树深度；小波变换分解模块，其将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；

具体执行：

(2.1)分裂：将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示。G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

(2.2)预测：用G₀中的像元预测G₁中的像元，分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

(2.3)更新：通过h_n更新G₀，并生成高通系数集合l_m；

小波系数集合获取模块，其通过小波变换分解不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成三张高通子带球面图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。

附图说明

图1示出了球面三角格网剖分及数据组织方式。

图2是基于球面规格化三角像元的球面小波变换分解过程示意图。

图3是分裂过程分组情况示意图。其中每8个三角像元为一个整体，形成宽和高均为w的区域。坐标p和q方向分别做1:2的上下采样，每次分解后可得到四组像素G₀，G₁，G₂，G₃，可生成宽高均为w/2的四组图像区域。

图4示出了本发明对某球面进行小波分解后结果及分组情况对应。左图中的7个球面图像分别对应右面的分组。

图5是边缘检测结果对比。Harr，5/3以及9/7小波直接在ERP投影图像上进行变换，而本发明的球面小波在球面三角像元的直角排列基础上进行。最后的检测结果统一投影到球面上以便于比较查看。(a)列为原始图像，(b)列为本发明所提出的球面小波的边缘检测结果，(c)，(d)和(e)列分别对应harr小波，5/3小波及9/7小波边缘检测结果。

图6示出了重建质量随α₁取值变换情况。

图7示出了根据本发明的球面小波变换方法的流程图。

具体实施方式

目前，球面图像的小波变换还是主要通过投影后采用传统平面小波变换的方式来实现的。但是平面方法引入了形变、数据冗余并且会破坏数据相关性。为解决这一问题，需要建立直接用于球面图像的球面小波变换。该发明基于三角球面剖分的球面图像表达方法和小波提升方法，在球面三角像元上直接构建小波变换，能够保持小波分解球面数据原有的几何特性及相关性。

三角像元表达方式是最符合球面几何特性的表达方式，生成形状及面积大小近似都相等的球面三角像元。在此基础上，该方案可以对球面图像进行类似平面小波变换一样的多分辨率分解和重构，可以大大开发球面图像的应用难度并克服平面方法带来的问题，潜在应用十分广泛，几乎可以用于所有球面图像处理方法工具的开发，包括但不限于压缩、特征提取、重建及机器视觉等领域。

如图7所示，这种球面小波变换方法，该方法包括以下步骤：

(1)采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型，其递归定义表示为公式(1)

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形，n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形；该模型将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n为每个四叉树深度；

(2)将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；

具体步骤为：

(2.1)分裂：将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示。G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

(2.2)预测：用G₀中的像元预测G₁中的像元，分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

(2.3)更新：通过h_n更新G₀，并生成低通系数集合l_m；

(3)小波变换分解不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成多张高通子带图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。

本发明利用球面三角像元模型表达原始球面图像信号，并以此为基础利用提升方法构造球面小波变换，因此该小波变换方法可以十分方便的实现球面图像的小波多分辨率分解，能够保持原始球面三角像元的几何关系，克服了投影带来的弊端，可获得比投影方法好的应用效果。

优选地，所述步骤(1)包括：

(1.1)球内接正八面体与球相交生成球面上的八个点，使用大圆连接这些点生成8个球面三角；

(1.2)计算每个球面三角形的三个边的中点，使用大圆弧连接三个中点，生成四个更小的球面三角形；

(1.3)递归执行步骤(1.2)，对生成的每个球面三角形进行剖分，直至达到预先规定的层次；

通过以上步骤生成的球面三角格网，将所有生成的三角像元组织为一个森林，由8个深度为n的完全四叉树组成的结构进行表示，通过固定完全四叉树中结点的位置，从而建立四叉树叶子与每一个三角单元的一一对应关系。

优选地，所述步骤(2)中，通过步骤(2.1)-(2.3)，完成整个小波变换的一次分解，通过一次分解生成2组低通系数和6组高通系数，集合h_n中1≤n≤6，l_m中1≤m≤2。

优选地，所述步骤(3)中，让高通子带都采用同样的高通滤波器，设x_p，q，m为变形后排列生成的球面三角像元平面中任意三角像元，其中p为直角三角形两两结合后形成的沿横向从左到右的序号，q为直角三角形沿垂直方向从下到上的序号，m表示直角三角形的朝向，直角顶点朝下m为0，反之则为1。

优选地，所述步骤(3)中，高通滤波器根据公式(2)设计：

相应的低通滤波器根据公式(3)设计：

全部变换需要涉及5个参数α₁，α₂，β₁，β₂以及γ，高通和低通滤波器被记为：

f_H:[1,α₁,α₂]

f_L:[γ+3β₁α₁+2β₂α₂,2β₁α₂+3β₂α₁,β₁α₂,β₂α₂,β₁,β₁,β₁,β₂,β₂,β₂]。

其中α₁,α₂为高通滤波器参数，β₁，β₂以及γ为低通滤波器参数。

优选地，所述步骤(3)中，高通滤波器满足正交性条件，低通滤波器归一化，∑f_H(k)＝0以及∑f₁(k)＝1，得到

所有的低通信号的均值满足

设定低通滤波器具有一阶消失矩

1+(β₁-β₂)(3α₁-α₂+1)＝0 (6)

综合式(4)，(5)，(6)，则所有的参数满足的约束为

根据此约束，如果五个参数中的一个参数确定即可固定所有参数的值。

优选地，所述公式(7)中，通过变动α₁的值来确定其他参数的值。

还提供了一种球面小波变换装置，该装置包括：

球面三角格网模型生成模块，其采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型，其递归定义表示为公式(1)

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形，n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形；该模型将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n为每个四叉树深度；小波变换分解模块，其将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；

具体执行：

(2.1)分裂：将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示。G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

(2.2)预测：用G₀中的像元预测G₁中的像元，分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

(2.3)更新：通过h_n更新G₀，并生成高通系数集合l_m；

小波系数集合获取模块，其通过小波变换分解不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成三张高通子带球面图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。

以下更详细地说明本发明。

1、球面四元三角像元生成及组织方式

首先需要采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型。

其递归定义可以表示为:

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，即整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形。n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形。该模型可以将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n即为每个四叉树深度。(见图1)

以上公式定义的递归剖分方法描述如下：

步骤1：球内接正八面体与球相交生成球面上的八个点，使用大圆连接这些点生成8个球面三角(即八分之一球面)；

步骤2：计算每个球面三角形的三个边的中点，使用大圆弧连接三个中点，生成四个更小的球面三角形；

步骤3：递归执行步骤2，对生成的每个球面三角形进行剖分，直至达到预先规定的层次。

通过以上步骤生成的球面三角格网，可以将所有生成的三角像元组织为一个森林，由8个深度为n的完全四叉树组成的。结构进行表示，通过固定完全四叉树中结点的位置，从而建立四叉树叶子与每一个三角单元的一一对应关系。

图1展示了球面三角像元排列和组织方式。从图中可以看到，球面三角像元被变形为直角三角形，并按照像元原始邻域结构排列在平面上。变形后的球面三角像元两两结合后可以形成正方形，与普通平面图像非常相似，为后续小波变换的分组及上下采样操作提供了非常有益的基础。

2、基于球面三角像元的球面图像小波变换方案

公式(1)形式的三角形地址系统描述了完全四叉树的层次结构，每个顶点的四个子结点的顺序是根据实际需要指定的。这种顶点有序的四元树结构是在计算机领域中被视为有序根树。它可以用具有一维索引的有序线性序列进行存储。该索引基于四叉树，因此可以称为有序根树索引。用一个整数i表示该有序根树索引，则其具体的值可以通过下面的公式从四叉树地址得到

经典的小波变换可以提供平面图像的紧致表示和多分辨率分析。球面图像是定义在球面域的图像，定义在平面域的传统小波方法较难被直接扩展到未投影过的球面图像上，增加了定义球面小波变换的问题的难度。不过，通过对球面图像重新采样后生成的球面三角像元以特定方式排列，可以将原始球面图像信号表达为某种易于构造提升小波的形式。将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成图1左图的平面排列形式。图1这种排列方式可以将球面三级形两两结合成一个正方形，可在某种程度上与平面像元一致，有利于上下采样，从而构造球面图像的多分辨率分析。

分解过程如图2所示。

第一步：分裂。将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示。G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

第二步：预测。用G₀中的像元预测G₁中的像元，即分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

第三步：更新。通过h_n更新G₀，并生成低通系数集合l_m。

图2展示了采用图1中平面排列后的分解过程中的分组情况。图3是本发明的小波变换的分解框架。

通过以上三步，可以完成整个小波变换的一次分解。通过一次分解可以生成2组低通系数和6组高通系数。因此，集合h_n中1≤n≤6，l_m中1≤m≤2。

与常用的Mallat算法类似，本发明所提出的小波变换分解可不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤以可得到多尺度的小波系数集合。这些小波系数组合可称为子带图像，高通系数可组成多张高通子带图像，低通系数可最终组成一张低通子带图像。分解层次需要根据具体应用来确定。

3、球面小波变换的滤波器组设计

根据上面的分解变换步骤，G₀对应低通系数集合l_m，G₁₁，G₁₂，G₁₃对应高通系数集合h_n。考虑到球面的各向同性的特点，让高通子带都采用同样的高通滤波器。设x_p，q，m为变形后排列生成的球面三角像元平面中任意三角像元，其中p为直角三角形两两结合后形成的沿横向从左到右的序号，q为直角三角形沿垂直方向从下到上的序号，m表示直角三角形的朝向，直角顶点朝下m为0，反之则为1。

高通滤波器可以设计如下：

相应的低通滤波器如下：

全部变换需要涉及5个参数α₁，α₂，β₁，β₂以及γ。此时，高通和低通滤波器可以被记为：

f_H:[1,α₁,α₂]

f_L:[γ+3β₁α₁+2β₂α₂,2β₁α₂+3β₂α₁,β₁α₂,β₂α₂,β₁,β₁,β₁,β₂,β₂,β₂]

实际应用中，为确定参数的值，需要增加一些约束。首先，高通滤波器需要满足正交性条件，其次，低通滤波器需要归一化，即∑f_H(k)＝0以及∑f₁(k)＝1，可以得到

然后，所有的低通信号的均值满足

最后，再设定低通滤波器具有一阶消失矩，即即

1+(β₁-β₂)(3α₁-α₂+1)＝0 (6)

综合式(3)，(4)，(5)，则所有的参数需要满足的约束为

根据此约束，如果五个参数中的一个参数确定即可固定所有参数的值。一般情况下通过变动α₁的值来确定其他参数的值。

为了验证所提方案的有效性，通过基于本发明的球面小波变换与其他传统小波变换在球面图像边缘检测上的效果进行了比较。

传统小波变换，如harr小波、5/3小波以及9/7小波直接在ERP投影图像上进行，而本方法对ERP图像进行三角像元重新采样后，在球面三角像元上进行。图4显示了采用本发明中的球面小波变换对球面图像进行两次分解的结果。该结果按照图3的分组进行分裂过程，并重新组织成球面图像。

边缘检测过程是针对不同的小波变换均进行三次分解，然后将低通系数置零，最后进行重建，最终比较重建后图像边缘检测的效果。经过对重建图像的观察比较发现，本发明的方法比传统方法能够找到更多的边缘信息，特别是在ERP投影后形变比较大的区域，如两极附近，能够找到传统边缘检测方式不能找到的物体边缘。图5显示了该边缘检测结果的对比图像。从图中可以看到,第一幅图的“顶灯”，第二幅图中的“支架”都可以被本方法检测出来，而其他三种基于小波的边缘检测方法无法有效检测出来。

本发明中的小波变换需要先确定参数的取值。根据参数约束公式(7)，只用变动α₁即可确定所有其他参数。经过分解重构实验，基本上可以大概确定当α₁取值在-0.86附近时，可以获得较好的重建质量。针对某一幅图像，重建质量PSNR随α₁变动的曲线如图6所示。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (8)

1.一种球面小波变换方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型，其递归定义表示为公式(1)

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形，n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形；该模型将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n为每个四叉树深度；

(2)将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；对变形后的球面直角三角像元执行提升小波变换；

具体步骤为：

(2.1)分裂：将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示，G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

(2.2)预测：用G₀中的像元预测G₁中的像元，分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

(2.3)更新：通过h_n更新G₀，并生成低通系数集合l_m；

(3)不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成多张高通子带图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。

2.根据权利要求1所述的球面小波变换方法，其特征在于：所述步骤(1)包括：

(1.1)球内接正八面体与球相交生成球面上的八个点，使用大圆连接这些点生成8个球面三角；

(1.2)计算每个球面三角形的三个边的中点，使用大圆弧连接三个中点，生成四个更小的球面三角形；

(1.3)递归执行步骤(1.2)，对生成的每个球面三角形进行剖分，直至达到预先规定的层次；

通过以上步骤生成的球面三角格网，将所有生成的三角像元组织为一个森林，由8个深度为n的完全四叉树组成的结构进行表示，通过固定完全四叉树中结点的位置，从而建立四叉树叶子与每一个三角单元的一一对应关系。

3.根据权利要求2所述的球面小波变换方法，其特征在于：所述步骤(2)中，通过步骤(2.1)-(2.3)，完成整个小波变换的一次分解，通过一次分解生成2组低通系数和6组高通系数，集合h_n中1≤n≤6，l_m中1≤m≤2。

4.根据权利要求3所述的球面小波变换方法，其特征在于：所述步骤(3)中，让所有低通子带都采用同样的高低通滤波器，并设x_p,q,m为变形后排列生成的球面三角像元平面中任意三角像元，其中p为直角三角形两两结合后形成的沿横向从左到右的序号，q为直角三角形沿垂直方向从下到上的序号，m表示直角三角形的朝向，直角顶点朝下m为0，反之则为1。

5.根据权利要求4所述的球面小波变换方法，其特征在于：所述步骤(3)中，高通滤波器根据公式(2)设计：

相应的低通滤波器根据公式(3)设计：

全部变换需要涉及5个参数α₁，α₂，β₁，β₂以及γ，高通和低通滤波器被记为：

f_H:[1,α₁,α₂]

f_L:[γ+3β₁α₁+2β₂α₂,2β₁α₂+3β₂α₁,β₁α₂,β₂α₂,β₁,β₁,β₁,β₂,β₂,β₂]，

其中α₁,α₂为高通滤波器参数，β₁，β₂以及γ为低通滤波器参数。

6.根据权利要求5所述的球面小波变换方法，其特征在于：所述步骤(3)中，高通滤波器满足正交性条件，低通滤波器归一化，∑f_H(k)＝0以及∑f₁(k)＝1，得到

所有的低通信号的均值满足

设定低通滤波器具有一阶消失矩

1+(β₁-β₂)(3α₁-α₂+1)＝0 (6)

综合式(4)，(5)，(6)，则所有的参数满足的约束为

根据此约束，如果五个参数中的一个参数确定即可固定所有参数的值。

7.根据权利要求6所述的球面小波变换方法，其特征在于：所述公式(7)中，通过变动α₁的值来确定其他参数的值。

8.一种球面小波变换装置，其特征在于：该装置包括：

球面三角格网模型生成模块，其采用基于QTM的递归剖分的方法生成球面规格化的球面三角格网模型，其递归定义表示为公式(1)

其中S²表示整个球面，T₀ ⁱ表示八分之一球面，整个球面被分成八个完全对称的8个球面三角形，n表示剖分层次，和/>表示剖分生成的左、中、右、上或下四个小球面三角形；该模型将球面数据组织为八个完全四叉树，剖分层次n为每个四叉树深度；小波变换分解模块，其将由QTM方法生成的球面三角像元变形成为直角三角形，并在经纬度坐标为(±180°,0°)的点处将球面展开成平面排列方式，这种排列方式将球面三角形两两结合成一个正方形；

具体执行：

(2.1)分裂：将所有球面三角像元分为两组，分别用集合G₀和G₁表示，G₁又被进一步分解为三个子集，可用G₁₁，G₁₂，G₁₃分别表示；

(2.2)预测：用G₀中的像元预测G₁中的像元，分别预测G₁₁，G₁₂，G₁₃，预测误差为高通系数集合h_n；

(2.3)更新：通过h_n更新G₀，并生成高通系数集合l_m；

小波系数集合获取模块，其通过小波变换分解不断对生成的低通系数l_m重复以上的分解步骤，得到多尺度的小波系数集合；这些小波系数组合称为子带图像，高通系数组成三张高通子带球面图像，低通系数最终组成一张低通子带图像，分解层次根据具体应用来确定。