CN112346030B - 无人机群的超分辨波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种快速鲁棒的无人机群超分辨波达方向估计方法，主要解决现有超分辨波达估计方法运算复杂度高且对低信噪比敏感的问题。其方案为：对回波信号进行预处理，获得无人机群的粗略波达方向；对预处理后的回波数据进行快速傅里叶变换；对快速傅里叶变换后回波数据中各行的模值作比较，根据各行最大模值所在的位置，提取包含信息最多的列；由粗略波达方向及包含信息最多的列，构建带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划，求解该规划获得最优值；对最优值进行范德蒙德分解，获得波达方向对应的频率；根据波达方向对应的频率，计算无人机群的波达方向。本发明增强了波达方向估计的鲁棒性，将低了运算复杂度，可用于无人机的精确探测。

Description

无人机群的超分辨波达方向估计方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术领域，特别涉及一种波达方向估计方法，可用于无人机的精确探测和航迹跟踪。

背景技术

无人机因其低成本、灵活性高且便捷性高的特点而被广泛应用。同时，由于通信技术与控制技术的发展，使用无人机群替代单个无人机成为可能。无人机群具有很多优点，例如可以实现分工协作与群体智能。近年来，有关无人机非法使用的报道屡见不鲜，如扰乱民航机场的正常起降秩序和非法拍摄大型重要活动。在这些场景中，违法人员可能使用无人机群，多架次非法使用，因此需要使用雷达对无人机群进行精确检测，以防某个无人机进入禁飞区域。

无人机群具有高密度且运动状态相似的特点。在雷达检测无人机群的场景下，多架无人机很容易位于同一个角度-距离-多普勒单元，且回波信号高度相关。距离分辨率与多普勒分辨率分别取决于发射信号带宽与相参积累时间，而角度分辨率取决于天线孔径。就目前雷达技术而言，距离分辨率可以达到厘米级别，多普勒分辨率可以达到1Hz级别。然而，出于雷达成本与机动性的考虑，天线孔径受限，导致雷达较难区分空间上临近的无人机。因此需要一种方法来超分辨地估计空间上临近的无人机的波达方向，从而确定各个无人机的精确位置。

传统的超分辨波达方向估计方法，如多重信号分类MUSIC算法和信号参数旋转不变估计ESPRIT算法，需要大量的采样点而且对信号的相关性敏感。同时，对于精确的角度估计，这些算法需要精确的目标个数信息。但由于噪声和目标间的相关性，精确的目标个数信息是较难获取的。

与天线阵元个数相比，位于同一个角度-距离-多普勒单元中的无人机往往是远小于阵元个数的，即待进行波达方向估计的信号是具有稀疏性的。过去十年间，稀疏恢复技术因其低旁瓣、高分辨率和相关性不敏感的特点而被广泛研究。其中基于原子范数的无网格稀疏方法，可以规避传统有网格方法中的网格失配问题，恢复任意频率的信号，但其要求稀疏信号的频率间隔必须大于4倍的频率分辨率，即无法实现超分辨。通过对原子范数进行合理加权，重加权原子范数最小化方法打破了分辨率的限制，实现了稀疏信号，如波达方向的超分辨恢复。但该方法由于对信噪比较为敏感，且运算复杂度较高，限制了其广泛应用。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术的不足，提出一种无人机群的超分辨波达方向估计方法，旨在保证具有较高分辨率的同时，有效提高波达方向估计的噪声鲁棒性，减小运算复杂度。

为实现上述目的，本发明采取的技术方案包括如下步骤：

(1)根据雷达回波信号，获取无人机群的粗略波达方向θ₀和包含目标的预处理信号y(n,l)；

(2)对包含目标的预处理信号y(n,l)进行最大化有效信息提取，获取包含有效信息的列y_p(n)；

(3)根据粗略波达方向θ₀及包含有效信息的列y_p(n)，构建带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划：

(3a)将y_p(n)改写为向量形式：y＝x+e，

其中：y表示向量形式的包含有效信息的列，x表示向量形式的不含噪声的有效信息，e表示向量形式的噪声；

(3b)根据粗略波达方向θ₀，计算波达方向所在区间对应的频率区间(f_L,f_H)：

其中δ_θ表示瑞利准则下的角度分辨率，f_c、d与c分别表示载频频率、天线阵元间距与光速；

(3c)根据频率区间(f_L,f_H)，得到如下带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划：

min_z,x,U Tr(WU)+Tr(z)

其中，z表示一个自由变量，Tr(·)表示矩阵的秩，W＝(U+∈I)^-1表示加权矩阵，∈表示正则化参数，I表示单位矩阵，U表示托普利兹矩阵，[·]^H表示矩阵或向量的共轭转置，η≥||e||₂表示经过快速傅里叶变换后的噪声上界，||·||₂表示向量2范数，

表示先验信息约束矩阵；

(4)利用凸优化求解工具，迭代求解带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划，获得最优托普利兹矩阵U^*；

(5)利用范德蒙德分解方法分解最优值矩阵U^*，得到波达方向对应信号的频率f_k，根据波达方向对应信号的频率f_k，计算波达方向θ_k：

其中Q表示无人机的个数。

本发明与现有技术相比，具有如下优点：

1.本发明通过对预处理后的回波数据进行最大化有效信息提取，实现了回波数据中有效信息的最大化提取，降低了待处理信号的维度，同时也实现了相参积累，提高了对噪声的鲁棒性。

2.本发明通过将粗略波达方向作为先验信息，构建并求解带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划，提高了波达方向估计的分辨率，与现有技术相比，在具有较高的分辨率的同时，也保持了低运算复杂度。

附图说明

图1是本发明的实现流程图。

图2是本发明与现有技术对无人机群的波达方向进行估计的对比仿真图。

图3是本发明与现有技术对临近无人机正确分离概率的对比仿真图。

图4是本发明与现有技术平均运行时间的对比仿真图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施例和效果，作进一步的详细描述。

参照图1，本发明实现步骤如下：

步骤1，根据雷达回波信号，获取无人机群的粗略波达方向θ₀和包含目标的预处理信号y(n,l)。

(1.1)对包含Q个同距离同速度且角度差距小于系统角度分辨率的无人机的无人机群回波信号依次进行波束形成、脉冲压缩、脉间积累、恒虚警检测及和差波束测角获得无人机群的粗略波达方向θ₀；

(1.2)对(1.1)中的无人机群回波信号依次进行波束形成、脉冲压缩、脉间积累、恒虚警检测、目标所在距离单元抽取和波束域及多普勒域反变换，得到包含目标的预处理信号y(n,l)：

其中，n和l分别表示天线阵列索引与脉冲编号索引，n＝1,…,N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数，l＝1,…,L，L表示收集的脉冲个数，s_0k与θ_k分别表示第k个目标的幅度与角度，

表示虚数单位，f_c、d与c分别表示载频频率、天线阵元间距与光速，f_d表示Q个目标的多普勒频率，T表示脉冲发射间隔，e(n,l)表示加性复白噪声；

本实施例中，所用天线为均匀线阵，包含16个阵元，阵元间距为半波长，进行波束形成时，在-45°～45°之间，每间隔6°形成一个波束；脉冲压缩采用宽脉冲发射以提高发射的平均功率，保证足够的最大作用距离，而在接收时则采用相应的脉冲压缩法获得窄脉冲，以提高距离分辨率。对形成的每个波束做脉冲压缩处理，而后对脉冲压缩处理后的结果进行恒虚警率检测，并将恒虚警率检测的结果进行和差波束测角获得无人机群的粗略波达方向θ₀，最后提取包含有无人机的距离单元，进行波束域反变换，获得y(n,l)。

步骤2，对包含目标的预处理信号y(n,l)进行最大化有效信息提取，获取包含有效信息的列y_p(n)。

(2.1)对包含目标的预处理信号y(n,l)的第L+1列至

列所有元素进行补零扩充，得到补零后的信号y'(n,l')，其中l'表示补零后信号的列数索引，/>

表示快速傅里叶变换的点数，/>

L表示收集的脉冲个数；

(2.2)对补零后信号y'(n,l')的各行进行

点快速傅里叶变换，得到相参积累后的信号y_l(n,n_l)：

其中n_l表示相参积累后的列数索引，

D_k表示第k个目标经快速傅里叶变换后的幅度，sinc(·)表示辛格函数，e_ft(n,l)表示经快速傅里叶变换后的噪声；

(2.3)通过如下公式计算相参积累后的信号y_l(n,n_l)中各元素的模值y_b(n,n_l)：

其中

与/>

分别表示相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第(n,n_l)个元素的实部与虚部；

(2.4)比较相参积累后的信号y_l(n,n_l)各行中元素的模值y_b(n,n_l)，记录其各行最大值所在的列数，计算最大值所在列数的众数p：

(2.4.1)比较模值y_b(n,n_l)各行的值，记录第q行最大模值所在的列数为m_q，q＝1,…,N，若某行有多个模值均为最大值，记录第一个最大值所在的列数为m_q；

(2.4.2)统计m₁,m₂,…,m_q…,m_N中出现次数最多的数，记为众数p，若有多个众数，记录最小众数为p；

(2.5)根据众数p，取出相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第p列y_p(n)：

其中F_k表示相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第p列中第k个目标的幅度，e_p(n)表示相参积累后的信号的第p列中包含的噪声；

在本实施例中，通过对预处理信号y(n,l)进行补零操作，并设定快速傅里叶变换点数

为1024，远大于阵元个数16，以保证快速傅里叶变换形成的频谱足够细致，并保证后续步骤可以实现速度信息的精确获取，同时通过快速傅里叶变换实现了相参积累，提升了待处理信号的信噪比；通过比较各行最大值并计算众数的方式确定最大信息列所在的位置，提取该列数据，从而完成了最大有效信息的提取，滤除了无效信息，有利于后续波达方向估计算法的进行。

步骤3，根据粗略波达方向θ₀及包含有效信息的列y_p(n)，构建带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划。

(3.1)将y_p(n)改写为向量形式：y＝x+e，

其中：y表示向量形式的包含有效信息的列，x表示向量形式的不含噪声的有效信息，e表示向量形式的噪声，y、x、e的具体形式分别表示如下：

y＝[y_p(1),y_p(2),…,y_p(N)]^T，

e＝[e_p(1),e_p(2),…,e_p(N)]^T,

其中[·]^T表示向量的转置操作，F_k表示相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第p列中第k个目标的幅度，e_p(n)表示相参积累后的信号的第p列中包含的噪声，n表示天线阵列索引，n＝1,…,N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数；

(3.2)根据粗略波达方向θ₀，计算波达方向所在区间对应的频率区间(f_L,f_H)：

其中δ_θ表示瑞利准则下的角度分辨率；

(3.3)根据频率区间(f_L,f_H)，得到如下带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划：

min_z,x,U Tr(WU)+Tr(z)

其中，z表示一个自由变量，Tr(·)表示矩阵的秩，U表示托普利兹矩阵，W＝(U+∈I)^-1表示加权矩阵，∈表示正则化参数，I表示单位矩阵，[·]^H表示矩阵或向量的共轭转置，η≥||e||₂表示经过快速傅里叶变换后的噪声上界，||·||₂表示向量2范数，

表示先验信息约束矩阵；

托普利兹矩阵U，表示如下：

其中u_n表示托普利兹矩阵U第一行的第n个元素，n＝1,…,N，

表示复数的共轭，

先验信息约束矩阵

表示如下：

其中u_n表示托普利兹矩阵U第一行的第n个元素，n＝1,…,N，

表示复数的共轭，h₁＝exp(jπ(f_L+f_H))sign(f_H-f_L)，h₂＝-2cos(π(f_H-f_L))sign(f_H-f_L)表示加权系数，sign(·)表示符号函数；根据粗略波达方向θ₀及包含有效信息的列y_p(n)。

带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划综合利用了粗略波达方向θ₀和包含有效信息的列y_p(n)，提升了波达方向估计的准确度，同时也降低了运算复杂度；

步骤4，利用凸优化求解工具，迭代求解带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划，获得最优托普利兹矩阵U^*。

(4.1)设定托普利兹矩阵U⁽⁰⁾为全零矩阵，尺寸为N×N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数，正则化参数∈⁽⁰⁾＝1，加权矩阵W⁽⁰⁾为全1矩阵，尺寸为N×N，其中U⁽⁰⁾、∈⁽⁰⁾、W⁽⁰⁾和x⁽⁰⁾分别表示初始化时的托普利兹矩阵、正则化参数、加权矩阵和不含噪声的有效信息向量；

(4.2)令迭代次数索引i的初始值为i＝1；

(4.3)使用凸优化求解工具，求解第i次规划的托普利兹矩阵：

其中，W⁽ⁱ⁾＝(U^(i-1)+∈⁽ⁱ⁾I)^-1，记本次迭代求解出的不含噪声的有效信息为x⁽ⁱ⁾，求解出的托普利兹矩阵为U⁽ⁱ⁾，其中U⁽ⁱ⁾、∈⁽ⁱ⁾、W⁽ⁱ⁾和x⁽ⁱ⁾分别表示第i次迭代时的托普利兹矩阵、加权矩阵和不含噪声的有效信息向量；

(4.4)判断迭代终止条件：

若||x⁽ⁱ⁾-x^(i-1)||₂≤10^-6或者i＝20，则终止迭代，输出最优托普利兹矩阵为U^*，

若||x⁽ⁱ⁾-x^(i-1)||₂＞10^-6且i＜20，则令i＝i+1，∈⁽ⁱ⁾＝∈^(i-1)/2，返回(4c)；

在多次迭代的过程中，随着正则化参数的逐步减小，优化目标逐步趋近最佳稀疏性的表达，使得波达方向估计的分辨率逐步提升。

步骤5，利用范德蒙德分解方法分解最优托普利兹矩阵U^*，得到波达方向对应信号的频率f_k，根据波达方向对应信号的频率f_k，计算波达方向θ_k。

(5.1)利用范德蒙德分解方法分解最优托普利兹矩阵U^*，得到波达方向对应信号的频率f_k，分解公式如下：

其中σ_k表示分解后的第k个目标的幅度，a(f_k)表示导向矢量，a(f_k)＝[1,exp(j2πf_k),…,exp(j2π(N-1)f_k)]^T，[·]^T表示向量的转置操作，f_k表示波达方向对应信号的频率；

(5.2)根据波达方向对应信号的频率f_k，计算波达方向θ_k：

其中Q表示无人机的个数。

通过范德蒙德分解方法获得波达方向，避免了传统有网格类方法的网格偏差的问题，使得估计得到的波达方向更加准确。

下面结合仿真实验，对本发明的技术效果作进一步的说明。

1.仿真条件：

设雷达载频为载波频率f_c＝10GHz，所用天线为均匀线阵，包含16个阵元，阵元间距为半波长，电磁波传播速度c＝3*10⁸m/s。

硬件环境：CPU为Inter(R)Xeon(R)CPU E3-1231 v3，主频为3.40GHz，内存为32.0GB，64位操作系统。

软件环境：Microsoft windows 10专业版，MATLAB 2019仿真软件。

2.仿真场景

场景1：假设4个无人机距离雷达的初始距离均为1km，均以径向速度v＝20m/s在雷达视线中飞行，波达方向分别为0°、5.72°、8.26°和13.34°，设定预处理信号的信噪比为20dB，积累16个周期，即L＝16，采用的快速傅里叶变换的点数为1024，即

场景2：设2个无人机距离雷达的初始距离均为1km，均以径向速度v＝20m/s在雷达视线中飞行，波达方向间隔分别设定为0.1δ_θ～δ_θ，间隔0.1δ_θ，预处理信号的信噪比分别设定为10dB～40dB，间隔10dB。

场景3：分别设定积累周期数L为1、2、4、8、16与64，其他仿真参数与场景1相同。

3.仿真内容

仿真1：在场景1下，分别用本发明和现有的加权原子范数最小化规划方法进行蒙特卡洛实验30次，对无人机群的波达方向进行估计，其结果如图2所示。其中，

图2(a)为本发明的多无人机波达方向估计结果，横坐标为波达方向，纵坐标为幅度；

图2(b)为现有技术的多无人机波达方向估计结果，横坐标为波达方向，纵坐标为幅度。

仿真2：在场景2下，分别用本发明和现有的加权原子范数最小化规划方法进行蒙特卡洛实验30次，对空间临近无人机的波达方向进行估计，统计两种方法对临近无人机的正确分离概率，其结果如图3所示。其中，图3(a)至3(d)分别为信噪比设置为10dB、20dB、30dB与40dB下的结果，横坐标为波达方向间隔×δ_θ，纵坐标为分离概率，实线加方块表示本发明的仿真结果，实线加圆圈表示现有技术的仿真结果。

仿真3：在场景3下，分别用本发明和现有的加权原子范数最小化规划方法进行蒙特卡洛实验30次，对无人机群的波达方向进行估计，统计两种方法的平均运行时间，其结果如图4所示，图4的横坐标为积累脉冲数，纵坐标为平均运行时间，实线加方块表示本发明的仿真结果，实线加圆圈表示现有技术的仿真结果。

4.仿真结果分析：

从图2可以看出，本发明可以有效分离第二、三个无人机，而现有技术无法分离这两个无人机。对比真实值与两种方法给出的波达方向估计值可以看出，在探测的无人机群中存在波达方向较为接近的无人机时，本发明的分辨性能更好。

从图3可以看出，在信噪比为10dB和20dB时，相比于现有技术，本发明对空间临近无人机有较高的正确分离概率；在信噪比为30dB和40dB时，本发明的分离概率仍略好于现有技术；对比不同信噪比及不同波达方向间隔下的两种方法的正确分离概率，本发明的鲁棒性更强。

从图4可以看出，随着脉冲积累数的增加，现有技术的平均运行时间快速上升，而本发明的平均运行时间并未发生较大的变化，而在实际雷达检测群目标的情况下，所使用的积累脉冲数都较多，因此本发明是一种快速的波达方向估计方法。

综上所述，本发明在保证具有较高分辨率的同时，可有效提高波达方向估计的噪声鲁棒性，减小运算复杂度。

Claims (10)

1.一种无人机群的超分辨波达方向估计方法，其特征在于，包括如下：

(1)根据雷达回波信号，获取无人机群的粗略波达方向θ₀和包含目标的预处理信号y(n,l)；

(2)对包含目标的预处理信号y(n,l)进行最大化有效信息提取，获取包含有效信息的列y_p(n)；

(3)根据粗略波达方向θ₀及包含有效信息的列y_p(n)，构建带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划：

(3a)将y_p(n)改写为向量形式：y＝x+e，

其中：y表示向量形式的包含有效信息的列，x表示向量形式的不含噪声的有效信息，e表示向量形式的噪声；

(3b)根据粗略波达方向θ₀，计算波达方向所在区间对应的频率区间(f_L,f_H)：

其中δ_θ表示瑞利准则下的角度分辨率，f_c、d与c分别表示载频频率、天线阵元间距与光速；

(3c)根据频率区间(f_L,f_H)，得到如下带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划：

min_z,x,U Tr(WU)+Tr(z)

其中，z表示一个自由变量，Tr(·)表示矩阵的秩，W＝(U+∈I)^-1表示加权矩阵，∈表示正则化参数，I表示单位矩阵，U表示托普利兹矩阵，[·]^H表示矩阵或向量的共轭转置，η≥||e||₂表示经过补零式大点数快速傅里叶变换后的噪声上界，||·||₂表示向量2范数，

表示先验信息约束矩阵；

(4)利用凸优化求解工具，迭代求解带有先验信息约束的加权原子范数最小化规划，获得最优托普利兹矩阵U^*；

(5)利用范德蒙德分解方法分解最优托普利兹矩阵U^*，得到波达方向对应信号的频率f_k，根据波达方向对应信号的频率f_k，计算波达方向θ_k：

其中Q表示无人机的个数。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述(1)的具体实现如下：

(1a)对包含Q个同距离同速度且角度差距小于系统角度分辨率的无人机的无人机群回波信号依次进行波束形成、脉冲压缩、脉间积累、恒虚警检测及和差波束测角获得无人机群的粗略波达方向θ₀；

(1b)对(1a)中的无人机群回波信号依次进行波束形成、脉冲压缩、脉间积累、恒虚警检测、目标所在距离单元抽取和波束域及多普勒域反变换，得到包含目标的预处理信号y(n,l)：

其中，n和l分别表示天线阵列索引与脉冲编号索引，n＝1,…,N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数，l＝1,…,L，L表示收集的脉冲个数，s_0k与θ_k分别表示第k个目标的幅度与角度，

表示虚数单位，f_d表示Q个目标的多普勒频率，T表示脉冲发射间隔，f_c、d与c分别表示载频频率、天线阵元间距与光速，e(n,l)表示加性复白噪声。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(2)对包含目标的预处理信号y(n,l)进行最大化有效信息提取，具体实现如下：

(2a)对包含目标的预处理信号y(n,l)第L+1列至

列所有元素进行补零扩充，得到补零后的信号y'(n,l')，其中l'表示补零后信号的列数索引，/>

表示快速傅里叶变换的点数，/>

L表示收集的脉冲个数；

(2b)对补零后的信号y'(n,l')各行进行

点快速傅里叶变换，得到相参积累后的信号y_l(n,n_l)：

其中n表示天线阵列索引，n＝1,…,N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数，n_l表示相参积累后的列数索引，

D_k表示第k个目标经快速傅里叶变换后的幅度，s_0k与θ_k分别表示第k个目标的幅度与角度，/>

表示虚数单位，f_d表示Q个目标的多普勒频率，T表示脉冲发射间隔，sinc(·)表示辛格函数，f_c、d与c分别表示载频频率、天线阵元间距与光速，e_ft(n,l)表示经快速傅里叶变换后的噪声；

(2c)计算相参积累后的信号y_l(n,n_l)中各元素的模值；

(2d)比较相参积累后的信号y_l(n,n_l)各行中元素的模值，记录其各行最大值所在的列数，计算最大值所在列数的众数p；

(2e)根据众数p，取出相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第p列y_p(n)：

其中F_k表示相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第p列中第k个目标的幅度，e_p(n)表示相参积累后的信号的第p列中包含的噪声。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，(2c)计算相参积累后的信号y_l(n,n_l)中各元素的模值y_b(n,n_l)，通过如下公式计算：

其中

与/>

分别表示相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第(n,n_l)个元素的实部与虚部。

5.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，(2d)中计算最大值所在列数的众数p，实现如下：

(2d1)比较模值y_b(n,n_l)各行的值，记录第q行最大模值所在的列数为m_q，q＝1,…,N，若某行有多个模值均为最大值，记录第一个最大值所在的列数为m_q；

(2d2)统计m₁,m₂,…,m_N中出现次数最多的数，记为众数p，若有多个众数，记录最小众数为p。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(3a)公式中三个向量，y、x、e的具体形式分别表示如下：

y＝[y_p(1),y_p(2),…,y_p(N)]^T，

e＝[e_p(1),e_p(2),…,e_p(N)]^T,

其中[·]^T表示向量的转置操作，F_k表示相参积累后的信号y_l(n,n_l)的第p列中第k个目标的幅度，e_p(n)表示相参积累后的信号的第p列中包含的噪声，n表示天线阵列索引，n＝1,…,N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数。

7.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(3c)中的托普利兹矩阵U，表示如下：

其中u_n表示托普利兹矩阵U第一行的第n个元素，n＝1,…,N，

表示复数的共轭。

8.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(3c)中的先验信息约束矩阵

表示如下：

其中u_n表示托普利兹矩阵U第一行的第n个元素，n＝1,…,N，

表示复数的共轭，h₁＝exp(jπ(f_L+f_H))sign(f_H-f_L)，h₂＝-2cos(π(f_H-f_L))sign(f_H-f_L)表示加权系数，sign(·)表示符号函数。

9.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(4)中获得最优托普利兹矩阵U^*，实现如下：

(4a)设定托普利兹矩阵U⁽⁰⁾为全零矩阵，尺寸为N×N，N表示所用均匀阵列天线的阵元个数，正则化参数∈⁽⁰⁾＝1，加权矩阵W⁽⁰⁾为全1矩阵，尺寸为N×N，其中U⁽⁰⁾、∈⁽⁰⁾、W⁽⁰⁾和x⁽⁰⁾分别表示初始化时的托普利兹矩阵、正则化参数、加权矩阵和不含噪声的有效信息向量；

(4b)令迭代次数索引i的初始值为i＝1；

(4c)使用凸优化求解工具，求解第i次规划的托普利兹矩阵：

其中，W⁽ⁱ⁾＝(U^(i-1)+∈⁽ⁱ⁾I)^-1，记本次迭代得到的不含噪声的有效信息为x⁽ⁱ⁾，得到的托普利兹矩阵为U⁽ⁱ⁾，其中U⁽ⁱ⁾、∈⁽ⁱ⁾、W⁽ⁱ⁾和x⁽ⁱ⁾分别表示第i次迭代时的托普利兹矩阵、加权矩阵和不含噪声的有效信息向量；

(4d)判断迭代终止条件：

若||x⁽ⁱ⁾-x^(i-1)||₂≤10^-6或者i＝20，则终止迭代，输出最优托普利兹矩阵为U^*，

若||x⁽ⁱ⁾-x^(i-1)||₂＞10^-6且i＜20，则令i＝i+1，∈⁽ⁱ⁾＝∈^(i-1)/2，返回(4c)。

10.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(5)中利用范德蒙德分解方法分解最优托普利兹矩阵U^*，分解公式如下：

其中σ_k表示分解后的第k个目标的幅度，a(f_k)表示导向矢量，a(f_k)＝[1,exp(j2πf_k),…,exp(j2π(N-1)f_k)]^T，[·]^T表示向量的转置操作，f_k表示波达方向对应信号的频率。

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